演習第4回

解析学 I
第4回
（担当：日野）
[4-1] (X, M) を可測空間，{fn }∞
n=1 を X 上の実数値可測関数列とする．
A = {x ∈ X | {fn (x)}∞
n=1 は n → ∞ のとき収束する }
とおくと，A は可測集合であることを示せ．
[4-2] 次の R 上の実数値関数は Borel 可測（B(R)/B(R)-可測）であることを示せ.
(1) R 上の右連続な実数値関数 f .
(2) g を R 上の全ての点で微分可能な実数値関数としたとき，その導関数 g ′ ．
定義 (X, M, µ) を µ(X) > 0 なる測度空間，f を X 上の実数値可測関数とするとき，
inf{α ∈ R | µ({f > α}) = 0}
（ただし inf ∅ = +∞ とする）
を f の本質的上限 (essential supremum) と呼び，ess sup f (x), ess sup f 等と表わす．
x∈X
[4-3] (1) ess sup f ∈ (−∞, +∞] であること（すなわち，ess sup f = −∞ とはならないこと）を示せ．
(2) ess sup f < +∞ のとき，上の定義中の inf は min で置き換えられることを示せ．
(3) 実数値可測関数 f, g に対して，ess sup (f + g) ≤ ess sup f + ess sup g を示せ．
定義 (X, M, µ) を測度空間，f, f1 , f2 , . . . , fn , . . . を X 上の可測関数の列とする．
• {fn }∞
n=1 が f に概収束するとは，µ(N ) = 0 なる N ∈ M が存在して，任意の x ∈ X \ N に
対して lim fn (x) = f (x) となることをいう．
n→∞
• {fn }∞
n=1 が f に測度収束するとは，任意の ε > 0 に対して lim µ({|fn − f | ≥ ε}) = 0 とな
n→∞
ることをいう．
[4-4] X 上の実数値可測関数 f, f1 , f2 , . . . , fn , . . . に対し，{fn }∞
n=1 が f に測度収束するならば，部分列
{fnk }∞
k=1 をうまく取ると f に概収束することを以下の方針で示せ．
第 1 段：無限大に発散する単調増加自然数列 {nk }∞
k=1 をうまく取り，任意の k に対して
µ({|fnk − f | ≥ 1/k}) ≤ 2−k
となるようにする．
第 2 段：Ak := {|fnk − f | ≥ 1/k} (k ∈ N) に Borel–Cantelli の補題を適用して結論を得る．
[4-5]∗∗ （時間が余った人向け）f を区間 [0, 1] 上の実数値連続関数としたとき，
φ(t) = “集合 {x ∈ [0, 1] | f (x) = t} の元の個数”(∈ N ∪ {0, +∞})
で定義される R 上の関数 φ は Borel 可測であることを証明せよ．
以上

Download Report