1 Merkblatt: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen, Halbkugel, Radius gegeben, Zylinder mit maximalem Volumen Wir wollen folgende Aufgabe lösen: Gegeben: Eine Halbkugel mit Radius 20cm. Gesucht: Einen Zylinder in die Halbkugel mit maximalem Volumen ein- beschreiben. Sei h die Höhe und r der Radius des Zylinders. Das Volumen V des Zylinders ist dann V = h π r2 Nach Pythagoras gilt: r2 + h2 = 202 Wir lösen diese Gleichung nach r2 auf: 2 r = 202 − h2 und setzen r2 in V ein: V (h) = h π (202 − h2 ) = 400 π h − π h3 Wir suchen das Maximum von V . Dazu brauchen wir die ersten zwei Ableitungen von V: V 0 (h) = 400π − 3 π h2 V 00 (h) = −6πh Notwendiges Kriterium für ein Maximum: 0 = V 0 (h) = 400π − 3πh2 Diese Gleichung lösen wir nach h auf: 20 h= √ 3 Hinreichendes Kriterium für ein Maximum: V 00 (h) < 0 Aber: 20 20 V 00 ( √ ) = −6π √ < 0 3 3 D.h. wir haben ein Maximum bei 20 h= √ 3 und r= q 202 − 400 3 (c) LeONa-Nachhilfe q = 20 23 gefunden und die Aufgabe ist gelöst. www.leona-nachhilfe.de
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