reguläre und semireguläre polytope

R EGULÄRE
UND
S EMIREGULÄRE P OLYTOPE
regulare und semireguläre polytope
A NDREAS PAFFENHOLZ
JJ
J I
FU Berlin, Germany
II Eulersche Polyederformel
−
Flächen gilt die
.
JJ
J I
Eulersche Polyederformel
Kanten und
Ecken,
Für ein Polytop mit
Theorem
II Eulersche Polyederformel
−
Flächen gilt die
.
Eine Fläche rausnehmen
Polytop in der Ebene ausbreiten
JJ
J I
Eulersche Polyederformel
Kanten und
Ecken,
Für ein Polytop mit
Theorem
II Eulersche Polyederformel
−
Flächen gilt die
.
Eine Fläche rausnehmen
Polytop in der Ebene ausbreiten
Ecken, Flächen: positive Ladung
Kanten: negativ
JJ
J I
Eulersche Polyederformel
Kanten und
Ecken,
Für ein Polytop mit
Theorem
II Eulersche Polyederformel
−
Flächen gilt die
.
Eine Fläche rausnehmen
Polytop in der Ebene ausbreiten
Ecken, Flächen: positive Ladung
Kanten: negativ
Flächen- und Kantenladung zur am
weitesten
rechts
liegenden
Ecke
verschieben
JJ
J I
Eulersche Polyederformel
Kanten und
Ecken,
Für ein Polytop mit
Theorem
II Eulersche Polyederformel
−
Flächen gilt die
.
Eine Fläche rausnehmen
Polytop in der Ebene ausbreiten
Ecken, Flächen: positive Ladung
Kanten: negativ
Flächen- und Kantenladung zur am
weitesten
rechts
liegenden
Ecke
verschieben
Alle Ladungen heben sich auf, außer
an der äußerst rechten Ecke
die der äußeren Fläche.
JJ
J I
Eulersche Polyederformel
Kanten und
Ecken,
Für ein Polytop mit
Theorem
II Satz von Steinitz
Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene
Graph.
Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen.
Graph ist -zusammenhängend
⇔
Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens
drei disjunkte Wege.
⇔
kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden.
JJ
J I
Graph ist planar
II Satz von Steinitz
Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene
Graph.
Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen.
Graph ist -zusammenhängend
⇔
Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens
drei disjunkte Wege.
Graph ist planar
⇔
kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden.
Satz von Steinitz
Eine Graph
ist genau dann Graph eines -Polytops, wenn er
JJ
J I
planar und -zusammenhängend ist.
II Satz von Steinitz
Der Graph des Polytops ist der von durch die Ecken und Kanten des Polytops gegebene
Graph.
Es gibt verschiedene Polytope mit dem gleichen Graphen.
Graph ist -zusammenhängend
⇔
Zwischen je zwei Knoten gibt es mindestens
drei disjunkte Wege.
⇔
Graph ist planar
kann ohne Kantenkreuzung gezeichnet werden.
Satz von Steinitz
Eine Graph
ist genau dann Graph eines -Polytops, wenn er
planar und -zusammenhängend ist.
Beweis: nur „⇒“:
Durch Schlegeldiagramm: Zentralprojektion
auf
Fläche
mit
JJ
J I
Zentrum dich hinter der Fläche.
II -Vektoren
Das Tripel
heißt -Vektor des Polytops.
Definition
Theorem
−
≤
−
≤
Für jedes -Polytop gilt
Beweis:
An jeder Ecke kommen mindestens
Kanten
≤
− .
⇒
−
≤
≤
zusammen, also
− .
JJ
J I
≤
⇒
−
≤
≤
Jede Fläche hat mindestens drei Kanten, also
II -Vektoren
heißt -Vektor des Polytops.
Das Tripel
Definition
Theorem
−
JJ
J I
erfüllt, gibt es ein -Polytop
, daß
∈
festgelegt
Zu jedem Paar
≤
und
ist durch
−
≤
Für jedes -Polytop gilt
II Dualität
Definition
ein Polytop
,
, und
Ecken
Flächen
mit
,
-Vektor
Dann gibt es ein Polytop
.
Flächen
-Vektor
Ecken
mit
Sei
, und
{
}
−→
}
ist genau dann, wenn
heißt duales Polytop zu
Ecke
.
JJ
J I
ist.
von
{
}
−→
Ecke von
so daß
}
{
{
und Bijektionen
II Dualität
Definition
ein Polytop
,
, und
Ecken
Flächen
mit
,
-Vektor
Dann gibt es ein Polytop
.
Flächen
-Vektor
Ecken
mit
Sei
, und
{
}
−→
}
ist genau dann, wenn
heißt duales Polytop zu
Ecke
.
JJ
J I
ist.
von
{
}
−→
Ecke von
so daß
}
{
{
und Bijektionen
II Dualität
Definition
ein Polytop
,
, und
Ecken
Flächen
mit
,
-Vektor
Dann gibt es ein Polytop
.
Flächen
-Vektor
Ecken
mit
Sei
, und
{
}
−→
}
ist genau dann, wenn
heißt duales Polytop zu
Ecke
.
JJ
J I
ist.
von
{
}
−→
Ecke von
so daß
}
{
{
und Bijektionen
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Pflasterungen
Definition
Pflasterung: lückenlose Überdeckung der Ebene mit Polygonen.
Eine Pflasterung heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv ist.
Sie heißt semiregulär, wenn, die Symmetriegruppe eckentransitiv ist.
reguläre und
semireguläre Pflasterungen
JJ
J I
Es gibt
II Reguläre Polytope
Definition
Ein -Polytop
heißt regulär, wenn die Symmetriegruppe fahnentransitiv
ist, wenn also alle Seitenflächen identische reguläre Polygone sind und in
Seitenfläche
Ecken
hat,
und
mit {
zusammenkommen, dann bezeichnen wir
an
jeder
Ecke
}.
jede
Wenn
jeder Ecke die gleiche Anzahl Polygone zusammenkommen.
, also in jeder Ecke einen
⇔
⇔ −
−
aufaddieren, also
.
, bleiben nur endlich viele Möglichkeiten:
}
JJ
J I
} {
} {
} {
} {
{
∈
−
. An jeder Polytopecke müssen sich die Winkel zu
Da
weniger als
−
Winkel von
Beweis: Ein -gon hat Winkelsumme
.
Für ein reguläres -Polytop gilt
Theorem
II Typ: {3,3}
-Vektor
Vier Dreiecke
.
selbstdual
JJ
J I
Tetraeder
II Typ: {3,3}
-Vektor
Vier Dreiecke
.
selbstdual
JJ
J I
Tetraeder
II Typ: {3,4}
.
}.
JJ
J I
dual zu {
-Vektor
Acht Dreiecke
Oktaeder
II Typ: {3,4}
.
}.
JJ
J I
dual zu {
-Vektor
Acht Dreiecke
Oktaeder
II Typ: {4,3}
.
J I
JJ
}.
dual zum Oktaeder {
-Vektor
Sechs Quadrate
Würfel
II Typ: {4,3}
.
J I
JJ
}.
dual zum Oktaeder {
-Vektor
Sechs Quadrate
Würfel
II Typ: {3,5}
.
}.
JJ
J I
dual zu {
-Vektor
Zwanzig Dreiecke
Ikosaeder
II Typ: {3,5}
.
}.
JJ
J I
dual zu {
-Vektor
Zwanzig Dreiecke
Ikosaeder
II Typ: {5,3}
.
J I
JJ
}.
dual zum Ikosaeder {
-Vektor
Zwölf Fünfecke
Dodekaeder
II Typ: {5,3}
.
J I
JJ
}.
dual zum Ikosaeder {
-Vektor
Zwölf Fünfecke
Dodekaeder
II Semireguläre Polytope
Definition
Ein -Polytop
heißt semiregulär, wenn seine
Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken
JJ
J I
operiert.
II Semireguläre Polytope
Definition
Ein -Polytop
heißt semiregulär, wenn seine
Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken
operiert.
Es gibt vier Klassen von semiregulären
Polytopen
Die fünf Platonischen Körper
Prismen
Antiprismen
JJ
J I
Archimedische Körper
II Semireguläre Polytope
Definition
Ein -Polytop
An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn
heißt semiregulär, wenn seine
die gleichen Typen von Polygonen in der
Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken
gleichen Reihenfolge auf. Das Polytop ist
operiert.
dadurch eindeutig festgelegt.
Die Umkehrung ist nicht richtig. Bei gleicher
Es gibt vier Klassen von semiregulären
Polytopen
Die fünf Platonischen Körper
Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das
Polytop nicht semiregulär sein (→ PseudoRhombenkuboktaeder).
Prismen
Antiprismen
Archimedische Körper
Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke
Alle Kanten haben die gleiche Länge
An jeder Ecke des Polytops können drei,
vier oder fünf Polygone zusammenkomJJ
J I
men (→ Winkelsumme!).
II Semireguläre Polytope
Definition
Ein -Polytop
An jeder Ecke treffen im Uhrzeigersinn
heißt semiregulär, wenn seine
die gleichen Typen von Polygonen in der
Symmetriegruppe transitiv auf den Ecken
gleichen Reihenfolge auf. Das Polytop ist
operiert.
dadurch eindeutig festgelegt.
Die Umkehrung ist nicht richtig. Bei gleicher
Es gibt vier Klassen von semiregulären
Polytopen
Die fünf Platonischen Körper
Art und Reihenfolge an einer Ecke muß das
Polytop nicht semiregulär sein (→ PseudoRhombenkuboktaeder).
Prismen
Antiprismen
Alle Kanten haben die gleiche Länge
An jeder Ecke des Polytops können drei,
Polygone um eine Ecke
drei,
Müssen also drei Fälle betrachten:
Alle Flächen sind regelmäßige -Ecke
Archimedische Körper
vier oder
fünf
vier oder fünf Polygone zusammenkomJJ
J I
men (→ Winkelsumme!).
II Klassifikation II
6
:
,
: Abgestumpftes Dodekaeder
,
,
Mit dem gleichen Argument sind
.
6
: Abgestumpftes Hexaeder
gerade.
,
: Abgestumpftes Ikosaeder
: Abgestumpftes Kuboktaeder oder großes
,
: Abgestumpftes Oktaeder
,
gerade sein.
: Abgestumpftes Tetraeder
,
-Ecke. Daher muß
≥ : Prisma
,
,
: Abgestumpftes Ikosidodekaeder oder großes
,
,
Rhombenkuboktaeder
Rhombenikosidodekaeder
JJ
J I
6
- und
-Eck kommen abwechselnd
Um das
: reguläres Polytop
Ecken.
Erster Fall: Drei Polygone mit
II Typ: (4,4,n)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
Quadrate und zwei -Ecke
Prismen
II Typ: (4,4,n)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
Quadrate und zwei -Ecke
Prismen
II ,
.
Flächenfolge:
Typ: (3,6,6)
.
JJ
J I
-Vektor
Vier Sechsecke und vier Dreiecke
Abgestumpftes Tetraeder
II ,
.
Flächenfolge:
Typ: (3,6,6)
.
JJ
J I
-Vektor
Vier Sechsecke und vier Dreiecke
Abgestumpftes Tetraeder
II ,
Flächenfolge:
Typ: (3,8,8)
.
.
JJ
J I
-Vektor
Sechs Achtecke und acht Dreiecke
Abgestumpftes Hexaeder
II ,
Flächenfolge:
Typ: (3,8,8)
.
.
JJ
J I
-Vektor
Sechs Achtecke und acht Dreiecke
Abgestumpftes Hexaeder
II .
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,6)
.
JJ
J I
-Vektor
Acht Sechsecke und sechs Quadrate
Abgestumpftes Oktaeder
II .
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,6)
.
JJ
J I
-Vektor
Acht Sechsecke und sechs Quadrate
Abgestumpftes Oktaeder
II ,
Flächenfolge:
Typ: (3,10,10)
.
.
JJ
J I
-Vektor
20 Dreiecke und zwölf Zehnecke
Abgestumpftes Dodekaeder
II ,
Flächenfolge:
Typ: (3,10,10)
.
.
JJ
J I
-Vektor
20 Dreiecke und zwölf Zehnecke
Abgestumpftes Dodekaeder
II .
,
Flächenfolge:
Typ: (5,6,6) oder Fußball
.
JJ
J I
-Vektor
20 Sechsecke und zwölf Fünfecke
Abgestumpftes Ikosaeder
II .
,
Flächenfolge:
Typ: (5,6,6) oder Fußball
.
JJ
J I
-Vektor
20 Sechsecke und zwölf Fünfecke
Abgestumpftes Ikosaeder
II Großes Rhombenkuboktaeder
,
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,8)
.
Zwölf Quadrate,
acht Sechsecke und
.
JJ
J I
-Vektor
sechs Achtecke
II Großes Rhombenkuboktaeder
,
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,8)
.
Zwölf Quadrate,
acht Sechsecke und
.
JJ
J I
-Vektor
sechs Achtecke
II Gr. Rhombenikosidodekaeder
,
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,10)
.
30 Quadrate,
20 Sechsecke und
.
JJ
J I
-Vektor
zwölf Zehnecke
II Gr. Rhombenikosidodekaeder
,
,
Flächenfolge:
Typ: (4,6,10)
.
30 Quadrate,
20 Sechsecke und
.
JJ
J I
-Vektor
zwölf Zehnecke
II Klassifikation II
und das
≥ : Antiprisma
: Kuboktaeder
: Ikosidodekaeder
: Rhombenkuboktaeder
: Rhombenikosidodekaeder
JJ
J I
,
,
,
,
-Eck teilen sich eine Kante mit dem
: Oktaeder
,
Ecken.
sein, da sie abwechselnd vorkommen müssen.
,
Dreieck, dann müs
- und
Wenn
Zweiter Fall: Vier Polygone mit
II Antiprismen
4
3
Typ: (3,3,3,n)
1
.
JJ
J I
-Vektor
2
,
Dreiecke und zwei -Ecke
5
Flächenfolge:
.
0
II Antiprismen
4
3
Typ: (3,3,3,n)
1
.
JJ
J I
-Vektor
2
,
Dreiecke und zwei -Ecke
5
Flächenfolge:
.
0
II .
JJ
J I
Acht Dreiecke und sechs Quadrate
-Vektor
.
,
Flächenfolge:
Typ: (3,4,3,4)
Kuboktaeder
II .
JJ
J I
Acht Dreiecke und sechs Quadrate
-Vektor
.
,
Flächenfolge:
Typ: (3,4,3,4)
Kuboktaeder
II Zwanzig Dreiecke und zwölf Fünfecke
.
JJ
J I
-Vektor
.
,
Flächenfolge:
Typ: (3,5,3,5)
Ikosidodekaeder
II Zwanzig Dreiecke und zwölf Fünfecke
.
JJ
J I
-Vektor
.
,
Flächenfolge:
Typ: (3,5,3,5)
Ikosidodekaeder
II Kleines Rhombenkuboktaeder
Typ: (3,4,4,4)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
Acht Dreiecke und 18 Quadrate
II Kleines Rhombenkuboktaeder
Typ: (3,4,4,4)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
Acht Dreiecke und 18 Quadrate
II Kleines Rhombenikosidodekaeder
Typ: (3,4,5,4)
.
,
,
Flächenfolge:
Zwanzig Dreiecke,
dreißig Quadrate und
.
JJ
J I
-Vektor
zwölf Fünfecke
II Kleines Rhombenikosidodekaeder
Typ: (3,4,5,4)
.
,
,
Flächenfolge:
Zwanzig Dreiecke,
dreißig Quadrate und
.
JJ
J I
-Vektor
zwölf Fünfecke
II Klassifikation III
und das
Ecken.
-Eck teilen sich eine Kante mit dem
: Ikosaeder
: Abgeschrägtes Hexaeder
: Abgeschrägtes Dodekaeder
JJ
J I
,
,
und
sein, da sie abwechselnd vorkommen müssen.
Dreieck, dann müs
- und
Wenn
Dritter Fall: Fünf Polygone mit
II Typ: (3,3,3,3,4)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
32 Dreiecke und sechs Quadrate
Abgeschrägtes Hexaeder
II Typ: (3,3,3,3,4)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
32 Dreiecke und sechs Quadrate
Abgeschrägtes Hexaeder
II Typ: (3,3,3,3,5)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
80 Dreiecke und zwölf Fünfecke
Abgeschrägtes Dodekaeder
II Typ: (3,3,3,3,5)
.
,
Flächenfolge:
.
JJ
J I
-Vektor
80 Dreiecke und zwölf Fünfecke
Abgeschrägtes Dodekaeder
II JJ
J I
Penrose Tiling
II

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