punktsymmetrisch zum Ursprung

Glossar: Punktsymmetrie
Punktsymmetrie zum Ursprung [Analysis]
Eine der beiden Arten von Symmetrie zum Koordinatensystem. Der Graph einer Funktion f ist punktsymmetrisch zum
Ursprung, wenn er durch Drehung um den Ursprung auf sich
selbst abgebildet wird.
Das ist genau dann der Fall, wenn
f ( - x ) = -f ( x ) für alle x der Definitionsmenge D ( f )
(d.h. insbesondere, dass die Definitionsmenge auch
symmetrisch sein muss.)
Um zu verstehen, warum das so ist, schaut man sich am
besten einen solchen punktsymmetrischen Funktionsgraphen
an. Dazu gibt es eine schöne Geogebra-Seite: hier.
1
13
18
x⁵x³+
x
10
10
5
Überprüfung auf Symmetrie:
1
13
18
f ( -x ) =
(-x) ⁵ (-x) ³ +
(-x)
10
10
5
1
13
18
=x⁵+
x³x = -f ( x ), also liegt Punktsymmetrie
10
10
5
zum Ursprung vor.
Beispiel: f ( x ) =
x)
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de
Für ganzrationale Funktionen gilt:
f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn in der
Normalform von f ausschließlich ungerade Exponenten
auftreten.
Beispiele
f(x)=x5–7x3+9x
punktsymm. zum Ursprung
g(x)=x5–7x4–x3
nicht punktsymm. zum
Ursprung. Zum Term -7x 4
gehört ein gerader
Exponent
h(x)=x5–7x3+3x+9
nicht punktsymm. zum
Ursprung.
Zum Term 9 = 9 x 0 gehört
ein gerader Exponent
Beispiele für nicht ganzrationale Funktionen, die
punktsymmetrisch verlaufen sind:
Die Sinus-Funktion:
Beispiele für die Untersuchung auf Symmetrie zum
Koordinatensystem bei verschiedenen Funktionen findest du
in der Funktionensammlung.
Übungsaufgaben hierzu und zur Achsensymmetrie zur yAchse: ab_symmetrie_ganzrational.pdf,
ab_symmetrie_gebrochen-rational.pdf.
Frank Mergenthal www.mathebaustelle.de

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