Kein Folientitel

Extremalprinzip
Schießen - Strömen
Energiesatz ohne Reibungsansatz:
Anwendung auf den Fließvorgang in offenen Querschnitten
Es wird nachfolgend ein Freispiegelgerinne mit einem rechteckigen
Durchflussquerschnitt A, der Breite b und der Wassertiefe h vorausgesetzt.
E.L.
Aufgabe:
1. Welchen Betrag hat der Durchfluss Q für
die Wassertiefen h = 5 m und h = 3 m?
2
v
2⋅g
H = 6 m 2. Bei welcher Tiefe h hat Q einen
h
B.H.
Extremwert?
3. Welche Gestalt hat die Funktion
Q = f(h)?
b = 10 m
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14.1
Lösung Aufgabe 1.:
Nach dem Energiesatz ist
v2
H = h +
= konstant
2⋅g
v =
(1)
2 ⋅ g ⋅ (H - h )
Q = v ⋅A
Q = h ⋅b ⋅
(2)
A = h ⋅b
2 ⋅ g ⋅ (H − h ) = f (h )
h in m
Q in m³/s
5
221,47
3
230,16
(3)
(4)
H = 6 m, b = 10 m, g = 9,81 m/s²
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14.2
Lösung Aufgabe 2.:
Q = h ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (H − h ) = f (h )
dQ
=0=
dh
2 ⋅ g ⋅ (H − h ) ⋅ b + b ⋅ h ⋅
2 ⋅ g ⋅ (H − h ) =
(4)
− 2⋅g
2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (H − h )
2⋅g ⋅h
2
⋅ 2 ⋅ g ⋅ (H − h)
(5)
2⋅H − 2⋅h = h
Maximalen Durchfluss bei : H =
3
h
2
bzw.
h=
2
H
3
(6)
Mit H = 6 m und b = 10 m erhält man :
h=
2
⋅6 = 4 m
3
max Q = 4 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (6 − 4 ) = 250 ,57 m 3 s
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14.3
Lösung Aufgabe 3.:
Funktion Q = f(h)
v gr2
2⋅g
5
Strömen
6
Schießen
h in m
4
3
2
hgr
1
0
0
50
100
150
200
250
Q in m³/s
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14.4
Berechnung der Grenztiefe:
Nachfolgend wird H aus der Gleichung (6) in die Gleichung (4)
eingesetzt:
3
H = h
2
(6)
Q = h ⋅b ⋅
⎛3
⎞
2 ⋅g ⋅⎜ h − h⎟
⎝2
⎠
Q = h ⋅b ⋅
⎛1 ⎞
2 ⋅g ⋅⎜ h⎟
⎝2 ⎠
Q = h ⋅b ⋅
2 ⋅ g ⋅ (H − h ) = f (h )
(4)
Q 2 = b2 ⋅h3 ⋅g
Grenztiefe für den
Rechteckquerschnitt:
h grenz =
3
Q2
b2 ⋅g
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(7)
14.5
Extremalprinzip
(Schießen - Strömen)
Energiesatz
bezüglich des
Abflusses
durch einen
Rechteckquerschnitt:
E.L.
v2
2⋅g
H
h
B.H.
b
v2
(1)
H =h+
2⋅g
Q
v=
b⋅h
Welche Energiehöhe minH ist für einen vorgegebenen Abfluss Q = konst. mindestens erforderlich ?
Q2
Q2
−2
H = f (h ) = h + 2 2
=h+
⋅
h
b ⋅ h ⋅ 2g
2 ⋅ g ⋅ b2
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(8)
14.6
H = f(h )
Q2
Q2
−2
H = f (h ) = h + 2 2
=h+
⋅
h
b ⋅ h ⋅ 2g
2 ⋅ g ⋅ b2
(8)
Extremwert:
Hyperbel
dH
Q2
−3
(
)
= 0 = 1+
⋅
−
⋅
h
2
dh
2⋅ g ⋅ b2
dH
Q2
= 0 = 1−
dh
g ⋅ b2 ⋅ h3
vgr2 Prop h-2
2⋅ g
Hmin
hgr
hgr
h3
Q2
=
g ⋅b2
Prop h
h
Da 2. Ableitung positiv, liegt Minimum vor!
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h gr =
3
Q2
g ⋅b2
(7)
Grenztiefe
14.7
H = f(h )
Hyperbel
v gr2
3
h gr = h gr +
min H =
2
2g
Es verhält sich:
vgr2 prop h-2
2⋅ g
Hmin
hgr
Fr =
v
prop h
hgr
Die FROUDE´sche Zahl ist
v
v
=
g ⋅h c
h gr
h
2
gr
2
=
2g 1
→ v gr =
g ⋅ h gr
(9)
(10)
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14.8
h in m
Rechteckgerinne, Breite b = 10m,
Energiehöhen Hi = 3, 4, 5, 6m
6
v gr2
2⋅g
H=6m
5
H=5m
4
H=4m
3
H=3m
hgr
2
1
0
0
50
100
150
Q = f (h ) = h ⋅ b ⋅ 2g ⋅ (H − h )
200
250
Q in m³/s
(4)
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14.9
Q in m³/s
Rechteckgerinne, Breite b = 10m,
Energiehöhen H = 3, 4, 5, 6 m
v gr2
2⋅g
300
hgr
250
H=6m
200
H=5m
150
H=4m
100
H=3m
50
0
0
1
2
3
Q = f (h ) = h ⋅ b ⋅ 2g ⋅ (H − h )
4
5
6
7
h in m
(4)
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14.10
H in m
Rechteckgerinne, Breite b = 10m,
Durchflüsse Qi = 5, 10, 15, 20 m³/s
1. Q = 5 m³/s
2. Q = 10 m³/s
3. Q = 15 m³/s
4. Q = 20 m³/s
9
8
7
1.
2.
4.
3.
6
5
4
3
vgr2 3
2⋅ g
2
minH3
1
hgr3
0
0
1
2
3
4
Q2
H = f (h ) = h +
2g ⋅ b 2 ⋅ h 2
5
6
7
8
h in m
(8)
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14.11
Grenztiefe, Grenzgeschwindigkeit oder die FROUDE´sche
Zahl entscheiden über das Vorliegen bestimmter Abflusszustände:
Strömender Abfluss:
h > h gr
v < v gr
Fr < 1
Gewellter Abfluss:
h = h gr
v = v gr
Fr = 1
Schießender Abfluss:
h < h gr
v > v gr
Fr > 1
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14.12

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