AB Wahrscheinlichkeit II-2 -(Aufgaben 3-6)

Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer
Oberstufe
Übungsaufgaben II
Schuljahr 2015/2016
(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer
Oberstufe
Übungsaufgaben II
Schuljahr 2015/2016
(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
Aufgabe 3
Eine Firma stellt preiswerte Lampen her. Erfahrungswerte haben ergeben, dass mit
einer Wahrscheinlkichkeit von 10 % eine der Lampen defekt ist. Die Firma verkauft die
Lampen in Kisten mit je 10 Lampen an die Händler. Die Firma überprüft eine der
Kisten und untersucht alle 10 Lampen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
dabei …
a) genau zwei Lampen defekt sind?
b) höchstens 3 Lampen defekt sind?
c) mindestens 2 Lampen defekt sind?
Ein Händler hat beschlossen, eine gelieferte Kiste dann zurückzuschicken, wenn mehr
als 2 Lampen defekt sind.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Kiste nicht zurückschickt?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von 100 Kisten mindestens eine
zurückschickt?
Aufgabe 4
Eine Gärtnerin kauft 100 Blumensamen und sät sie aus. Ihr wurde beim Kauf
versichert, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Samenkorn nicht aufgeht 10 %
beträgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass …
a) genau 8 Samenkörner nicht aufgehen?
b) höchstens 8 Samenkörner nicht aufgehen?
c) mindestens 12 Samenkörner nicht aufgehen?
d) zwischen 8 und 12 Samenkörner nicht aufgehen?
1
2
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Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
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(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
f) Wenn mehr als 14 Samenkörner nicht aufgehen, will sich die Gärtnerin
beschweren. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zu Unrecht
beschwert, d.h. dass die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen trotzdem 10 % beträgt?
e) Wie viele Samenkörner muss man mindestens pflanzen, damit mit einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein Samen nicht
g) Sie schenkt ihrer Tochter 5 Samenkörner. Wie groß müsste die Wahr-
aufgeht?
scheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 5 Samen aufgehen mehr als 10 % beträgt?
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samen beträgt nun nicht mehr p = 0,9 , sondern
muss neu bestimmt werden.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass 5 von 5 Samen aufgehen gilt allgemein:
5
P ( X = 5) =   ⋅ p 5 ⋅ (1 − p )5 − 5 = 1⋅ p 5 ⋅ (1 − p )0 = p 5
5
P ( X = 5 ) ≥ 0,1
Somit erhält man:
⇒
p 5 ≥ 0,1
⇒
p ≥
5
5
0,1 ≈ 0,63
Die Wahrscheinlichkeit für das Aufgehen der Samenkörner muss also mindestens
63 % betragen, damit alle 5 Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10 %
aufgehen.
(Sollen die Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % aufgehen, so gilt:
p ≥
3
5
0,8 ≈ 0,96 )
4
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Aufgabe 5
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b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Test ein defektes Gerät
anzeigt?
Eine Firma stellt ein Steuergerät für CNC-Fräsmaschinen her. Erfahrungsgemäß
P (T − ) = 0,1064
sind 4 % der Geräte defekt. Um die Qualität ihrer Produkte möglichst auf diesem
Niveau zu halten hat sie ein Testverfahren entwickelt das alle Geräte vor der Auslieferung durchlaufen. Dieses Testverfahren erkennt bei 98 % der defekten Geräte
c) Ein Gerät wird als defekt getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
diesen Defekt korrekt. Allerdings werden auch 7 % der Geräte ohne Defekt fälsch-
dieses Gerät tatsächlich defekt ist?
licherweise als defekt erkannt.
P T − (NOK ) =
a) Erstellen Sie ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel für diese Situati-
P (T − ∩ NOK )
0,0392
=
≈ 0,3684
P (T − )
0,1064
on.
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das ausgeliefert wird
Verwenden Sie die Ereignisse
defekt / fehlerfrei
(also als einwandfrei getestet wurde), tatsächlich defekt ist?
NOK / OK
T − /T +
Test zeigt defekt / Test zeigt in Ordnung
P T + (NOK ) =
P (T + ∩ NOK )
0,0008
=
≈ 0,0009
P (T + )
0,8936
e) Sie erhalten ein defektes Gerät. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es ursprünglich als einwandfrei eingestuft worden?
P NOK (T + ) =
NOK
OK
P (T + ∩ NOK )
0,0008
=
≈ 0,02
P (NOK )
0,04
Die Steuergeräte werden für 65 € verkauft. Die Produktionskosten betragen 36 € und der
Test kostet 4 € pro Gerät. Falls eine Kunde ein defektes Gerät erhält, bekommt er den
Kaufpreis zurück und kann das Gerät zurückschicken. Die Portokosten von 12 € übernimmt die Herstellerfirma.
f)
Welchen Gewinn kann die Firma unter diesen Bedingungen langfristig erwarten.
T+
T−
OK
0,8928
0,0672
0,98
NOK
0,0008
0,0392
0,04
0,8936
0,1064
1
Folgende Fälle können auftreten (siehe Baumdiagramm):
Das Gerät ist OK und wurde auch OK getestet
65€ − 36€ − 4€ = 25 €
Das Gerät ist OK und wurde defekt getestet
0€ − 36€ − 4€ = − 40 €
Das Gerät ist defekt und wurde defekt getestet
0€ − 36€ − 4€ = − 40 €
Das Gerät ist defekt und wurde aber OK getestet
5
6
0€ − 36€ − 4€ − 12€ = − 52 €
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xi
P (X = x i )
+ 25
0,8928
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− 40
0,1064
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Daher gilt: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) .und
− 52
n 
P (X = 0 ) =   ⋅ 0,040 ⋅ (1 − 0,04)n − 0 = 1 ⋅ 0,040 ⋅ 0,96n = 0,96n .
0
0,0008
Somit ergibt sich:
Somit gilt: E (X ) = 25 ⋅ 0,8928 − 40 ⋅ 0,1064 − 52 ⋅ 0,0008
≈
P ( X ≥ 1) ≥ 0,9
18,02
⇒
1 − P ( X = 0 ) ≥ 0,9
⇒
1 − 0,96 n ≥ 0,9
Ein Kunde kauft 20 Steuergeräte.
⇔
1 ≥ 0,9 + 0,96
Achtung: Korrekterweise hätte hier die in Aufgabenteil d) berechnete
⇔
0,1 ≥ 0,96
Wahrscheinlichkeit benutzt werden müssen
⇔
ln(0,1) ≥ n ⋅ ln( 0,96)
⇔
ln(0,1)
≤ n
ln( 0,96)
g) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten genau 2 defekte?
 20 
P (X = 2) =   ⋅ 0,042 ⋅ (1 − 0,04)20 − 2 = 190 ⋅ 0,042 ⋅ 0,9618 ≈ 0,1458
2
h) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten höchstens 2 de-
⇔
⇔
+ 0,96 n
n
n
− 0,9
ln (nat .Logarithmus anwenden )
: ln(0,96) ACHTUNG : ln(0,96) < 0
− 2,3026
≤ n
− 0,0408
56,45 ≤ n
Dies bedeutet, dass mindestens 57 Taschenlampen gekauft werden müssen.
fekte?
P (X ≤ 2 ) = 0,9561
(siehe Tabelle)
alternativ: P (X ≤ 2) = P (X = 2 ) + P (X = 1) + P (X = 0 )
Aufgabe 6
Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Buslinie ein Fahrgast als
i)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter diesen Geräten mehr als 2 defek-
Schwarzfahrer mitfährt, beträgt erfahrungsgemäß 5%. Es werden zunächst 45
te?
Fahrgäste kontrolliert und auf der Rückfahrt nochmals 35 (insgesamt also
P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − 0,9561 = 0,0439
80 Personen).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter genau 3 Schwarzfahrer?
j)
Wie viele Geräte müsste ein Kunde abnehmen, damit er mit einer Wahr-
 80 
P (X = 3 ) =   ⋅ 0,053 ⋅ (1 − 0,05)80 − 3 = 82160 ⋅ 0,053 ⋅ 0,9577 ≈ 0,1978
3
scheinlichkeit von mindestens 90 % wenigstens ein defektes Gerät erhält?
Hier müssen alle Pfade erfasst werden, in denen mindestens ein defektes Gerät
auftritt. Das bedeutet, dass lediglich der Pfad in dem kein defektes Gerät vorkommt
nicht erfasst wird. Die Länge n der Bernoulli-Kette ist allerdings nicht bekannt. Sie
wird hier gesucht.
7
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 3 Schwarzfahrer erwischt?
P (X ≥ 3 ) = 1 − P (X ≤ 2 ) = 1 − 0,2306 = 0,7694
8
(siehe Tabelle)
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alternativ: P (X ≥ 2 ) = 1 −
(P (X
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= 2 ) + P (X = 1) + P (X = 0 ))
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mehr als 3, aber höchstens 8
Schwarzfahrer erwischt?
P (X ≤ 8 ) − P (X ≤ 3 ) = 1 − 0,4284 = 0,5716
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden mindestens 10 Schwarzfahrer er-
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⇒
1 − 0,95n ≥ 0,9
⇔
1 ≥ 0,9 + 0,95 n
⇔
0,1 ≥ 0,95 n
⇔
ln( 0,1)
⇔
ln( 0,1)
≤ n
ln( 0,95 )
− 2,3026
≤ n
− 0,0513
44,88 ≤ n
⇔
wischt?
P (X ≥ 10 ) = 1 − P (X ≤ 9 ) = 1 − 0,9935 = 0,0065
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P (X ≥ 1) ≥ 0,9
1 − P (X = 0 ) ≥ 0,9
⇒
⇔
Übungsaufgaben II
+ 0,95 n
− 0,9
ln ( nat .Logarithmus anwenden)
≥ n ⋅ ln( 0,95 )
: ln( 0,95 )
ACHTUNG : ln( 0,95 ) < 0
Dies bedeutet, dass mindestens 45 Schwarzfahrer kontrolliert werden müssen.
(siehe Tabelle)
f) Wie groß muss der Anteil der Schwarzfahrer an allen Fahrgästen mindestens sein, damit sich bei der Kontrolle von 40 Fahrgästen mit einer Wahr-
e) Wie viele Fahrgäste müssen mindestens kontrolliert werden, damit mit ei-
scheinlichkeit von wenigstens 99% mindestens ein Falschfahrer befindet?
ner Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens ein Schwarzfahrer
erwischt wird?
Der Anteil der Schwarzfahrer beträgt nun nicht mehr p = 0,05 , sondern muss neu bestimmt
Hier müssen alle Pfade erfasst werden, in denen mindestens ein Schwarzfahrer auf-
werden.
tritt. Das bedeutet, dass lediglich der Pfad in dem kein Schwarzfahrer vorkommt nicht
erfasst wird. Daher gilt: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) .und
n
P (X = 0 ) =   ⋅ 0,050 ⋅ (1 − 0,05)n −0 = 1 ⋅ 0,050 ⋅ 0,95n = 0,95n .
0
Für die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens ein Schwarzfahrer erwischt wird gilt:
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0 )
 40 
P (X = 0 ) =   ⋅ p 0 ⋅ (1 − p )40 − 0 = 1 ⋅ p 0 ⋅ (1 − p )40 = (1 − p )40
0
Somit ergibt sich:
Somit erhält man:
9
und
⇒
P (X ≥ 1) ≥ 0,99
1 − P (X = 0 ) ≥ 0,99
⇔
1 − (1 − p )40 ≥ 0,99
− 0,99
⇔
0,01 − (1 − p )
+ (1 − p )40
⇔
0,01 ≥ (1 − p )40
⇔
(1 − p )40
⇔
(1 − p )
40
≤ 0,01
≥0
40
≤ 40 0,01 ≈ 0,8913
10
Berufskolleg Marienschule Lippstadt
Schule der Sekundarstufe II mit gymnasialer
Oberstufe
Somit gilt:
(1 − p )
⇒
Übungsaufgaben II
Schuljahr 2015/2016
(Binomialverteilung)
Kurs: Mathematik AHR 13.1
Kurslehrer: Langenbach
≤ 0,8913
p ≥ 1 − 0,8913 = 0,1087
Der Anteil der Schwarzfahrer an allen Fahrgästen
muss also mindestens
10,87 % betragen (ca. 11 %), damit sich bei der Kontrolle von 40 Fahrgästen mit einer
Wahrscheinlichkeit von wenigstens 99% mindestens ein Falschfahrer befindet.
Der Betreiber der Buslinie geht davon aus, dass 10 % der Schwarzfahrer erwischt
werden. Ein erwischter Schwarzfahrer muss 40 € erhöhtes Beförderungsentgelt zahlen. Besitzt er eine Zeitkarte, die er nur zu Hause vergessen hat, muss er diese innerhalb einer Woche vorzeigen und zahlt dann nur eine Bearbeitungsgebühr von 5 €.
Dieser Fall trifft etwa bei der Hälfte der erwischten Schwarzfahrer zu. Jeder nicht erwischte Schwarzfahrer verursacht im Durchschnitt entgangene Einnahmen von 3 €.
g) Untersuchen Sie, ob das erhöhte Beförderungsentgelt angehoben werden
muss, um die erwarteten Verluste, die durch die Schwarzfahrer entstehen,
auszugleichen und bestimmen Sie gegebenenfalls wie hoch es sein muss.
Achtung: Die Kosten, die die Entlohnung der Kontrolleure verursacht, sollen hier unberücksichtigt bleiben.
S erwischt
S erwischt
S nicht
ohne Zeitkarte
+ Zeitkarte
erwischt
xi
40 − 3
5
−3
P (X = x i )
0,05
0,05
0,9
E ( X ) = 37 ⋅ 0,05 + 5 ⋅ 0,05 − 3 ⋅ 0,9 = − 0,6
11

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