MATHEMATIK G10 (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch

MATHEMATIK G10
GERADEN
(1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte
P und Q:
a)
P (2|5),
Q(4|7)
b)
P (3|11),
Q(3, 12)
c)
P (3|5),
Q(−1|7)
d)
P (2|0),
Q(0|3)
e)
P (3|7),
Q(5|7)
f)
P ( 21 | 12 ),
Q( 31 | 31 )
(2) Geraden, deren Gleichungen die Form x = a haben, sind parallel
zur y-Achse. Was kann man über Gleichungen der Form y = b
sagen?
(3) Zeichne die Geraden x = 2 und y = 2x − 3. Bestimme deren
Schnittpunkt zeichnerisch und rechnerisch.
(4) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden:
a)
b)
c)
d)
e)
y = 2x − 3
y = 16 x − 1
x
+ y3 = 1
2
x=2
y = 2x − 1
und
und
und
und
und
y =x−2
y = 15 x + 1
x
− y3 = 1
5
y=3
y = 2x − 2
(5) Welche der folgenden Geraden sind parallel, bzw. orthogonal
zueinander?
a)
y = 2x − 1
b)
y = 1 − 3x
c)
y=
1
x
2
d)
y = − 12 x + 3
e)
y = 3x − 1
f)
y = 2x + 3
(6) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = 2x − 3
parallel ist und durch
(a) A(2|5) geht;
(b) O(0|0) geht;
(c) A( 21 | − 12 ) geht.
1
2
GERADEN
(7) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = 2x − 3
orthogonal ist und durch
(a) A(2|5) geht;
(b) O(0|0) geht;
(c) A( 12 | − 12 ) geht.
(8) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden mit den
Koordinatenachsen, sowie deren Steigung.
a)
c)
y = 3x − 1
x y
+ =1
3 5
b)
y = 5 − 4x
d)
2x + 3y = 4.
(9) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden.
(a) y = 2x − 1 und y = 3x − 4.
(b) y = 51 x − 1 und y = 17 x + 2.
(c) y = x und
x
2
+
y
3
=1
(10) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden und Parabeln.
(a) y = 2x2 + x + 1 und y = 3x + 1
(b) y = 21 x2 + 1 und y = 5 − x
(c) y = x2 und y = 4x − 4
(11) Beschreibe, wie man den kürzesten Abstand eines Punkts P zu
einer Geraden g findet.
(12) Bestimme den Lotfußpunkt von P auf die Gerade g und den
Abstand von P zu g.
(a) P (0|0), g : y = 3 − 43 x.
(b) P (0|4), g : y = 2x − 1
(c) P (3|2), g : y = 2x + 1.
2 y1 +y2
(13) Sind P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) zwei Punkte, dann ist M ( x1 +x
| 2 )
2
der Mittelpunkt von P1 P2 . Zeige:
(a) Es ist P1 M = M P2 = 21 P1 P2 .
(b) Der Punkt M liegt auf der Geraden durch P1 und P2 .
MATHEMATIK G10
3
Lösungen
(1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte
P und Q.
a) P (2|5), Q(4|7).
(a) Steigung: m =
y2 −y1
x2 −x1
=
7−5
4−2
= 1.
(b) Einsetzen von P (oder Q) in die Gleichung y = x + b liefert
5 = 2 + b, also b = 3.
(c) Geradengleichung : y = x + 3.
(d) Punktprobe mit Q: 7 = 4 + 3, also alles richtig.
b) P (3|11), Q(3, 12).
Hier liefert die Formel für m eine 0 im Nenner. Die Geradengleichung ist x = 3, da beide Punkte x-Koordinate 3 besitzen.
c) P (3|5), Q(−1|7): y = − 21 x +
13
.
2
d) P (2|0), Q(0|3): y = − 23 x + 3.
e) P (3|7), Q(5|7): y = 7.
f) P ( 21 | 12 ), Q( 13 | 13 ): y = x.
(2) Geraden, deren Gleichungen die Form x = a haben, sind parallel
zur y-Achse. Was kann man über Gleichungen der Form y = b
sagen?
Diese beschreiben Geraden mit Steigung 0, sind also parallel
zur x-Achse.
(3) Zeichne die Geraden x = 2 und y = 2x − 3. Bestimme deren
Schnittpunkt zeichnerisch und rechnerisch.
Die Gerade x = 2 verläuft senkrecht und schneidet y = 2x−3 in
S(2|1). Rechnerisch erhält man den Schnittpunkt, indem man
x = 2 in y = 2x − 3 einsetzt: y = 2 · 2 − 3 = 1.
(4) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden:
a) y = 2x−3, y = x−2: Gleichsetzen liefert 2x−3 = x−2, also
x = 1. Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen
ergibt y = −1. Schnittpunkt S(1| − 1).
b) S(−60, −11)
4
GERADEN
c) S( 83 | − 1)
d) S(2|3)
e) kein Schnittpunkt: die Geraden sind parallel.
(5) Welche der folgenden Geraden sind parallel, bzw. orthogonal
zueinander?
a)
y = 2x − 1
b)
y = 1 − 3x
c)
y=
1
x
2
d)
y = − 12 x + 3
e)
y = 3x − 1
f)
y = 2x + 3
a) und f) sind parallel (gleich Steigung). a) und d), sowie d)
und f) sind orthogonal zueinander: beidesmal ist
1
m · m0 = 2 · (− ) = −1.
2
(6) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = 2x − 3
parallel ist und durch
(a) A(2|5)
(b) O(0|0)
(c) A( 12 | − 12 )
geht.
Parallel zu y = 2x − 3 bedeutet, dass die Gerade Steigung m =
2 hat. Den y-Achsenabschnitt bestimmt man durch Einsetzen
eines Punktes.
(a) A(2|5) : 5 = 2 · 2 + b liefert b = 1 und y = 2x + 1.
(b) O(0|0) : y = 2x
(c) A( 21 | − 12 ) : y = 2x − 23 .
(7) Bestimme die Gleichung der Geraden, die zu g : y = 2x − 3
orthogonal ist und durch
(a) A(2|5)
(b) O(0|0)
(c) A( 12 | − 12 )
geht
MATHEMATIK G10
5
(a) A(2|5): y = − 12 x + 6
(b) O(0|0): y = − 12 x
(c) A( 21 | − 12 ) : y = − 21 x − 14 .
(8) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden mit den Koordinatenachsen, sowie deren Steigung.
y = 3x − 1
b)
y = 5 − 4x
x y
c)
+ =1
d)
2x + 3y = 4.
3 5
(a) Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0 setzen; A(0| − 1).
a)
Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0 setzen; B( 31 |0).
(b) A(0|5), B( 45 |0)
(c) A(3|0), B(0|5).
(d) A(2|0), B(0| 34 ).
(9) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden.
(a) y = 2x − 1 und y = 3x − 4: S(3|5)
(b) y = 51 x − 1 und y = 17 x + 2: S(52, 5|9, 5)
(c) y = x und
x
2
+
y
3
= 1: S( 65 | 56 ).
(10) Bestimme die Schnittpunkte der folgenden Geraden und Parabeln:
(a) y = 2x2 + x + 1 und y = 3x + 1: S1 (0|1), S2 (1|4).
(b) y = 21 x2 + 1 und y = 5 − x: S1 (−4|9), S2 (2|3).
(c) y = x2 und y = 4x − 4: S(2|4)
(11) Beschreibe, wie man den kürzesten Abstand eines Punkts P zu
einer Geraden g findet.
1. Stelle die Lotgerade zu g durch P auf; die Steigung der
Lotgeraden ist m0 = − m1 .
2. Schneide g und die Lotgerade; der Schnittpunkt ist der
Lotfußpunkt L
3. Der Abstand von Punkt P und Gerade g ist gleich dem
Abstand der beiden Punkte P und L: d = P L.
6
GERADEN
(12) Bestimme den Lotfußpunkt von P auf die Gerade g und den
Abstand von P zu g.
(a) P (0|0), g : y = 3 − 43 x.
(b) P (0|4), g : y = 2x − 1
(c) P (3|2), g : y = 2x + 1.
| 48 ); Abstand
a) Lotgerade y = 43 x; Lotfußpunkt L( 36
25 25
r
r
362 + 482
122 (32 + 42 )
12
12 √
d = PL =
25 = .
=
=
2
2
25
25
25
5
b) Lotgerade y = − 21 x + 4, Lotfußpunkt L(2|3), Abstand
p
√
√
d = (2 − 0)2 + (3 − 4)2 = 22 + 12 = 5.
c) Lotgerade y = − 12 x + 27 , Lotfußpunkt L(1|3), Abstand
p
√
d = (3 − 1)2 + (2 − 1)2 = 5.
2 y1 +y2
(13) Sind P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) zwei Punkte, dann ist M ( x1 +x
| 2 )
2
der Mittelpunkt von P1 P2 . Zeige:
(a) Es ist P1 M = M P2 = 21 P1 P2 .
(b) Der Punkt M liegt auf der Geraden durch P1 und P2 .
Der Abstand von P1 und P2 ist
p
P1 P2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Wir sollen zeigen, dass der Abstand von P1 und M halb so groß
ist.
Um den Abstand von P1 zum Mittelpunkt M auszurechnen,
−→
bestimmen wir zuerst den Vektor P1 M . Dessen x-Koordinate
ist
x1 + x2
x1 + x2 2x1
x2 − x1
− x1 =
−
=
,
2
2
2
2
1
und die y-Koordinate ergibt sich entsprechend zu y2 −y
. Die
2
Länge dieses Vektors ist
r
r
−→
x2 − x 1 2
y2 − y1 2
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
|P1 M | =
+
=
2
2
4
1 p
1
= · (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = · P1 P2 .
2
2

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