MedOpt Skript 2014

HOCHSCHULE FÜR TECHNIK UND WIRTSCHAFT
Optik und Laserphysik
Prof. Dr. Michael Möller
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Optik
1.1 Beschreibung des Lichtes . . . . . . . . . .
1.1.1 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . .
Elektromagnetische Wellen . . . . .
Wellenfronten . . . . . . . . . . . .
Energietransport . . . . . . . . . .
1.1.2 Strahlenoptik . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Quantenoptik . . . . . . . . . . . .
1.2 Brechung und Reflexion . . . . . . . . . .
1.2.1 Reflexions- und Brechungsgesetz . .
Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . .
Brechungsgesetz . . . . . . . . . . .
Totalreflexion . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fresnel-Formeln . . . . . . . . . . .
Einfallsebene und Polarisation . . .
Koeffizienten für die Feldstärken . .
Koeffizienten für die Intensitäten .
Koeffizienten für die Leistungen . .
Brewster-Winkel . . . . . . . . . .
1.2.3 Absorption und Dispersion . . . . .
1.3 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Optische Achse . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sammellinsen . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Abbildung . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Virtuelle Bilder . . . . . . . . . . .
1.3.5 Zerstreuungslinse . . . . . . . . . .
1.4 Auge und Sehfehler physikalisch betrachtet
1.4.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildung . . . . . . . . . . . . . .
Akkomodation . . . . . . . . . . .
Refraktion . . . . . . . . . . . . . .
Emmetropie . . . . . . . . . . . . .
Ametropie . . . . . . . . . . . . . .
Nahpunkt . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Sehfehler . . . . . . . . . . . . . . .
Hypermetropie . . . . . . . . . . .
Presbyopie . . . . . . . . . . . . . .
Myopie . . . . . . . . . . . . . . . .
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Iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-20
2 Paraxiale (Gaußsche) Optik
2.1 Matrixformulierung der paraxialen Optik . . .
2.1.1 Grundelemente . . . . . . . . . . . . .
Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ungestörte Ausbreitung . . . . . . . .
Brechung an Kugelflächen . . . . . . .
2.1.2 Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dünne Linsen . . . . . . . . . . . . . .
Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . .
GRIN-Linsen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennebene . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildung durch dünne Linse . . . . .
Abbildung durch ein beliebiges System
Hauptebenen . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Augenbezogene optische Systeme . . .
Sehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . .
Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Aperturblenden und Feldblenden . . .
Aperturblenden . . . . . . . . . . . . .
Feldblenden . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Aperturblende und Pupillen . . . . . .
2.2.3 Feldblende und Vignettierung . . . . .
Feldlinsen . . . . . . . . . . . . . . . .
Kondensoren . . . . . . . . . . . . . .
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3 Beugung
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Das Huygens-Fresnel-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Beugungsbilder I: geometrische Konstruktion . . . . . . . . . .
Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lochblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Beugungsbilder II: Das Beugungsintegral . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer- und Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fraunhofer-Beugung in der Brennebene einer Linse . . . . . .
Fraunhofer-Beugung und Fouriertransformation . . . . . . . .
Bedeutung der Raumfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschub: wieso macht eine Linse eine Fouriertransformation?
Einschub: Geometrische Erklärung der Brennweitenbedingung
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3.2
Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . .
Lochblende . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Babinetsches Theorem . . . . . . . . . . . .
Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen als Beugungsphänomen . . . . . . . .
3.2.1 Bildentstehung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Kontrast und MTF . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bildfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bildfilterung in der Fourierebene . . . . . .
Phasenkontrast- und Dunkelfeldmikroskopie
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4 Laserphysik
4.1 Laserdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Strahlungsübergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Induzierte (stimulierte) Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verstärkung des Lichtfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Laser-Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung eines Pumpmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . .
3-Niveau-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4-Niveau-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laser-Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschub: Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterhalb der Laserschwelle (Photonendichte 0) . . . . . . . . . .
Oberhalb der Laserschwelle (Photonendichte > 0) . . . . . . . . .
Laserschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stationärer Laserbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgekoppelte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Zeitabhängiges Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relaxationsoszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spiking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Gaußsche Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Strahlausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Charakterisierung eines Gaußschen Strahls . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Strahltransformation durch eine Linse . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Strahltransformaion durch ein mit der ABCD-Matrix beschriebenes
optisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Strahlaufweitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Beugungsverluste und Raumfilterung . . . . . . . . . . . . . . . .
Beugungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raumfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4-16
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4-18
4-19
Kapitel 1
Grundlagen der Optik
Optik im historischen Sinn ist die Lehre vom Licht und befasste sich zunächst mit den
”
Erscheinungen, die durch unser Sinnesorgan Auge wahrgenommen werden können, wobei
eine wesentliche Fragestellung die Natur des Lichtes selbst betraf.“ (Aus [1]).
Optik als physikalisch-technische Disziplin untersucht zum einen die physikalischen Grundlagen der Entstehung und Ausbreitung von Licht sowie der Wechselwirkung von Licht und
Materie, zum anderen aber auch die Möglichkeiten, diese zu beeinflussen. Eine wesentliche
Aufgabenstellung ist hier die Abbildung von Objekten, d.h. die Rekonstruktion der von
einem Objekt ausgesandten Lichtverteilung an einem anderen Ort.
1.1
1.1.1
Beschreibung des Lichtes
Wellenoptik
Elektromagnetische Wellen
Die Wellenoptik beschreibt das Licht als transversale elektromagnetische Welle, in der die
~ und eine damit gekoppelte magnetische Feldstärke H
~ periodisch
elektrische Feldstärke E
~
~
und mit gleicher Frequenz schwingen. Die Vektoren von E und H und die Ausbreitungs~
richtung stehen stets senkrecht aufeinander. Die Richtung des elektrischen Feldvektors E
wird als Polarisationsrichtung bezeichnet.
Abbildung 1.1: Elektrische und magnetische Feldstärke in einer Lichtwelle zu einem festen
Zeitpunkt. Die Welle breitet sich in z-Richtung aus. (aus [2])
Ein besonderer Fall ist das zirkular polarisierte Licht. Hier rotiert der Feldvektor während
der Propagation um die Achse der Ausbreitungsrichtung.
1-1
Abbildung 1.2: Linear (links) und zirkular (rechts) polarisiertes Licht.us. (aus [3])
Eine Welle ist periodisch in Raum und Zeit, demnach verhält sich die elektrische Feldstärke
wie
E(x, t) = E0 cos (2π (f · t − x/λ)) ,
(1.1)
dabei bezeichnet E0 die Feldstärkeamplitude, t die Zeit, f die Frequenz, x die Ortskoordinate und λ die Wellenlänge.
Zwischen Frequenz f , Wellenlänge λ und Ausbreitungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwinddigkeit) c besteht der Zusammenhang
c=λ·f
Im Vakuum beträgt die Lichtgeschwindigkeit c0 = 2, 998 · 108 m/s.
Abbildung 1.3: Wellenlängenbereiche elektromagnetischer Strahlung
1-2
(1.2)
Zur Vereinfachung der in Gleichung 1.1 eingeführten Darstellung einer Welle werden noch
die Kreisfrequenz ω und die Wellenzahl k bzw. der Wellenvektor ~k eingeführt:
ω = 2π · f
2π
k =
λ
~k = k · ~ec
(1.3)
(1.4)
(1.5)
dabei ist ~ec der Einheitsvektor der Ausbreitungsrichtung.
Mit diesen Definitionen lässt sich eine Welle vektoriell an jedem Punkt ~r im Raum beschreiben:
~ r, t) = E
~ 0 cos(ωt − ~k~r + ϕ0 )
E(~
(1.6)
mit einer hier zusätzlich eingeführten Phasendifferenz ϕ0 .
Aus der Wellennatur folgt, dass die Ausbreitung von Licht wesentlich durch Beugung
bestimmt ist, bzw. sich durch das Huygenssche Prinzip beschreiben lässt.
1-3
Wellenfronten
Um eine Vorstellung von der räumlichen Ausdehnung von Lichtwellen zu erhalten, werden die Phasenflächen der Wellen betrachtet, z.B. die Orte maximaler Feldstärken (siehe
Abb. 1.4. Sie werden auch als Wellenfronten bezeichnet. Der Abstand zweier benachbarter
Phasenflächen ist die Wellenlänge. Bei einer ebenen Welle sind die Phasenflächen parallele
Ebenen, bei einer Kugelwelle ergeben sich konzentrische Kugelflächen.
Abbildung 1.4: Wellenfronten von ebenen Wellen und Kugelwellen. Dargestellt sind die
Schnittlinien der Phasenflächen mit einer Ebene. (aus [2])
Energietransport
Intensität Für die Beschreibung der meisten optischen Erscheinungen reicht es aus,
die elektrische Feldstärke des Lichtes zu betrachten. Die Feldstärke einer Lichtwelle ist
allerdings nicht direkt messbar. Statt dessen kann die Intensität I bestimmt werden: die
~
Intensität ist der zeitliche Mittelwert der durch den Poyntingvektor S
~=E
~ ×H
~
S
(1.7)
gegebenen momentanen Energiestromdichte der elektromagnetischen Welle. die durch den
zeitlichen Mittelwert des Quadrats der Feldstärkeamplitude E gegeben ist:
I=
dW
= hSit = εε0 c E 2 t = εε0 c E02 t
dA · dt
(1.8)
Dabei bedeuten ε0 = 8, 858 · 10−12 As/Vm, ε die relative Dielektrizitätszahl, µ0 =
4π · 10−7 Vs/Am, µ die relative magnetische Permeabilität und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit in dem betreffenden Medium. Der waagrechte Strich über E 2 symbolisiert
den zeitlichen Mittelwert. Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist V/m, die der Leistungsdichte W/m2 . Die Intensität ist die Leistungsdichte bzw. Energiestromdichte der
elektromagnetischen Welle. Im Kontext photometrischer Betrachtungen ist die auf eine
Oberfläche fallende Intensität die Bestrahlungsstärke.
Leistung Fällt eine elektromagnetische Welle durch oder auf eine gegebene senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung stehende Fläche A, so ist die Strahlungsleistung bzw. der Strahlungsfluss oder Energiefluss durch diese Fläche gegeben durch
Z
dW
=
IdA;
(1.9)
Φ=
dt
A
ist die Intensität über die ganze Fläche konstant, ist die Leistung einfach das Produkt aus
Intensität und Fläche.
1-4
1.1.2
Strahlenoptik
Aus der Wellennatur des Lichtes folgt, dass es so etwas wie Lichtstrahlen, d.h. unendlich schmale Lichtbündel, nicht gibt. Trotzdem ist es für viele Zwecke praktisch, diese
Darstellung zu verwenden. Dabei sollte man nicht die Propagation einzelner Lichtstrahlen als physikalische Realität betrachten, sondern sich Lichtstrahlen als Normalen zu den
Wellenfronten vorzustellen, wie auch in Abb. 1.4 angedeutet.
Die meisten optischen Instrumente lassen sich durch die geradlinige Propagation, Reflexion und Brechung von Lichtstrahlen ausreichend genau beschreiben; bei der Abbildung
sehr kleiner Strukturen muss allerdings die Beugung berücksichtigt werden.
1.1.3
Quantenoptik
Ein völlig anderer Aspekt ist der Teilchencharakter des Lichtes. In dieser Beschreibung
besteht das Licht aus masselosen Teilchen, den Photonen oder Lichtquanten. Die Energie
eines Photons hängt mit der Lichtfrequenz nach der Formel
E =h·f =~·ω
(1.10)
zusammen, dabei ist h = 6, 626 · 10−34 Js das Plancksche Wirkungsquantum, ~ = h/2π
( ha quer“ ausgesprochen). Die Größenordnungen der Photonenenergien sind in der un”
tersten Zeile von Abb. 1.3 gezeigt. Die quantenoptische Darstellung ist insbesondere bei
der Wechselwirkung von Licht mit (einzelnen) Atomen und Molekülen wichtig; auch das
Verständnis des Lasers ist ohne Quantenoptik nicht möglich.
1-5
1.2
Brechung und Reflexion
Das wesentliche Phänomen der Optik ist die Aufteilung des Lichtes in einen reflektierten
und einen gebrochenen Anteil, wenn es auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit
unterschiedlichen Brechungsindices (s.u.) trifft. Die Gesetzmäßigkeiten dieser Aufteilung
werden zwar meist im Kontext der Strahlenoptik formuliert, das Phänomen tritt aber
nicht nur bei elektromagnetischen Wellen auf sondern lässt sich für beliebige Arten von
Wellen mit Hilfe des Huygensschen Prinzips erklären. (siehe z.B. [4], Kapitel 13.10)
Abbildung 1.5: Winkel bei Reflexion und Brechung (aus [4])
1.2.1
Reflexions- und Brechungsgesetz
Reflexions- und Brechungsgesetz beschreiben zunächst die Zusammenhänge zwischen den
Winkeln der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahlen. Alle Winkel werden relativ zur Flächennormalen der Grenzfläche gemessen. Abbildung 1.2 zeigt die betrachtete
Situation.
Reflexionsgesetz
Auf der mit 1 bezeichneten Seite der Grenzfläche trifft ein Lichtstrahl unter dem Winkel
α1 , dem Einfallswinkel, daher auch mit αE bezeichnet, auf die Grenzfläche. Dann verläuft
der reflektierte Anteil des Strahls unter dem gleichen Ausfallswinkel αA – allerdings nach
der anderen Seite der Flächennormalen:
αE = αA
(1.11)
• Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel“
”
Brechungsgesetz
Die Lichtgeschwindigkeit auf der mit 1 bezeichneten Seite der Grenzfläche betrage c1 , auf
der mit 2 bezeichneten Seite c2 . Auf der mit 1 bezeichneten Seite falle ein Lichtstrahl
unter dem Winkel α1 ein. Dann verläuft der transmittierte Anteil des Strahls unter dem
Winkel α2 . Der Zusammenhang zwischen den Winkel ist
c1
sin α1
=
= nrel
sin α2
c2
(1.12)
Das Verhältnis nrel zwischen den Lichtgeschwindigkeiten in Gleichung 1.12 wird als relativer Brechungsindex bezeichnet. Der absolute Brechungsindex eines optischen Materials i
1-6
ist das Verhältnis zwischen der Lichtgeschwindigkeit ci in diesem Material und der Lichtgeschwindigkeit c0 in Vakuum:
c0
(1.13)
ni =
ci
Für unmagnetische optische Medien gilt der folgende Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex ni und der relativen Dielektrizitätszahl εi :
ni =
√
εi
(1.14)
Das Produkt aus der geometrischen Länge l eines Lichtweges und dem Brechungsindex ni
des Materials, in dem dieser Lichtweg zurückgelegt wird, wird als optische Weglänge lopt
bezeichnet:
lopt = l · ni
(1.15)
Die Zeit, die das Licht zum Zurücklegen eines solchen Weges benötigt berechnet sich damit
als
l
l·n
lopt
t= =
=
(1.16)
ci
c0
c0
Verwendet man also die Brechungsindices, so lautet das Brechungsgesetz
n1 sin α1 = n2 sin α2 .
(1.17)
Werden zwei optische Medien verglichen, so wird dasjenige mit dem größeren Brechungsindex als optisch dichter, das mit dem kleineren Brechungsindex als optisch dünner bezeichnet. Damit ergeben sich folgende Faustregeln:
• Beim Eintritt in ein optisch dichteres Medium wird das Licht zum Lot (d.h. zur
Flächennormale) hin gebrochen.
• Beim Eintritt in ein optisch dünneres Medium wird das Licht vom Lot weg gebrochen.
Totalreflexion
Die Berechnung des Winkels des gebrochenen Strahls nach dem Brechungsgesetz ergibt
sin α2 =
n1
sin α1 .
n2
(1.18)
Diese Gleichung ist nur lösbar, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite nicht größer als
1 ist. Wenn dies nicht der Fall ist, d.h. wenn
n2
α1 > αc = arcsin
(1.19)
n1
ist, gibt es keinen gebrochenen Strahl und alles Licht wird reflektiert. Totalreflexion kommt
nur beim Eintritt in ein optisch dünneres Medium vor, z.B. beim Übergang von Wasser nach Luft. Einem Einfallswinkel von αc entspricht dann ein Winkel des gebrochenen
Strahls von 90◦ , d.h. der gebrochene Strahl würde parallel zu Grenzfläche verlaufen.
1-7
1.2.2
Fresnel-Formeln
In diesem Abschnitt werden Formeln dafür angegeben, welche Anteile der Feldstärke,
Intensität oder Leistung eines Lichtbündels reflektiert bzw. transmittiert werden.
Einfallsebene und Polarisation
Bei der Berechnung dieser Anteile kommt es aufgrund von Stetigkeitsbedingungen für
die Tangentialkomponenten der elektrischen und magnetischen Felder an der Grenzfläche
nicht nur auf die Ein- und Ausfallswinkel an, sondern auch auf die Polarisation, d.h.
die Richtung des elektrischen Feldvektors relativ zur Einfallsebene. Die Einfallsebene ist
diejenige Ebene, die die Flächennormale und den einfallenden Strahl enthält, es liegen
damit auch der reflektierte und der gebrochene Strahl in dieser Ebene (siehe Abbildung
1.6).
Abbildung 1.6: Einfallsebene und Polarisationsrichtungen (aus [1])
Eine einfallende Lichtwelle wird in einen p-polarisierten (parallel zur Einfallsebene, k) und
einen s-polarisierten Anteil (senkrecht zur Einfallsebene, ⊥) zerlegt, und die transmittierten und reflektierten Feldstärken werden für beide Anteile getrennt berechnet.
Aus Gründen, die hier nicht erläutert werden sollen, wird senkrecht einfallendes Licht als
s-polarisiert betrachtet!
Im Unterschied zum vorhergehenden Kapitel wird hier der Einfallswinkel im Medium 1
mit α anstelle von α1 bezeichnet und der Winkel des gebrochenen Strahls im Medium 2
mit β anstelle von α2 .
1-8
Koeffizienten für die Feldstärken
Amplitudenreflexionskoeffizienten
Er
=
rk =
E0 k
Er
r⊥ =
=
E0 ⊥
n2 cos α − n1 cos β
n2 cos α + n1 cos β
(1.20)
n1 cos α − n2 cos β
n1 cos α + n2 cos β
(1.21)
Amplitudentransmissionskoeffizienten
Et
2n1 cos α
tk =
=
E0 k
n2 cos α + n1 cos β
Et
2n1 cos α
t⊥ =
=
E0 ⊥
n1 cos α + n2 cos β
(1.22)
(1.23)
Bei senkrechtem Lichteinfall (α = 0) gilt
n1 − n2
n1 + n2
2n1
t =
n1 + n2
r =
(1.24)
(1.25)
Bei der Reflexion an einem optisch dichteren Medium (n2 > n1 ) ist r negativ, es tritt also
ein Phasensprung der reflektierten Wellen um π bzw. 180◦ auf.
Koeffizienten für die Intensitäten
Da die Intensität proportional zur Lichtgeschwindigkeit, Dielektrizitätszahl und Betragsquadrat der elektrischen Feldstärke ist (siehe Gl. 1.8 und Gl. 1.14), gilt für die Intensitätsreflexions- und -transmissionskoeffizienten
Intensitätsreflexionskoeffizient
2
n2 cos α − n1 cos β
Ir
2
= rk =
I0 k
n2 cos α + n1 cos β
2
Ir
n1 cos α − n2 cos β
2
= r⊥ =
I0 ⊥
n1 cos α + n2 cos β
Intensitätstransmissionskoeffizient
It
n2 2
4n1 n2 cos2 α
=
tk =
I0 k
n1
(n2 cos α + n1 cos β)2
It
n2 2
4n1 n2 cos2 α
=
t⊥ =
I0 ⊥
n1
(n1 cos α + n2 cos β)2
1-9
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Koeffizienten für die Leistungen
Bei der Berechnung der Leistungen ist zu beachten, dass sich für den gebrochenen Strahl
die Ausbreitungsrichtung ändert. Damit ändert sich auch die Querschnittsfläche eines
Lichtbündels: wird auf der Grenzfläche eine Fläche A durch ein Lichtbündel beleuchtet,
so ist die Querschnittsfläche (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) des einfallenden und
reflektierten Bündels A cos α, die des gebrochenen Bündels aber A cos β.
Reflexionsgrade
2
n2 cos α − n1 cos β
Φr
2
= rk =
%k =
Φ0 k
n2 cos α + n1 cos β
2
Φr
n1 cos α − n2 cos β
2
%⊥ =
= r⊥ =
Φ0 ⊥
n1 cos α + n2 cos β
(1.30)
(1.31)
Transmissionsgrade
n2 cos β 2
4n1 n2 cos α cos β
Φt
=
tk =
=
Φ0 k
n1 cos α
(n2 cos α + n1 cos β)2
Φt
n2 cos β 2
4n1 n2 cos α cos β
=
=
t⊥ =
Φ0 ⊥
n1 cos α
(n1 cos α + n2 cos β)2
τk
τ⊥
(1.32)
(1.33)
Bei senkrechtem Lichteinfall (α = 0) gilt
2
n1 − n2
% =
n1 + n2
4n1 n2
τ =
(n1 + n2 )2
(1.34)
(1.35)
Abbildung 1.7 zeigt die Reflexionsgrade in Abhängigkeit von von Polarisation und Einfallswinkel beim Übergang von Luft (n ≈ 1) in Glas (n ≈ 1, 5) bzw. umgekehrt. Der
Abbildung 1.7: Reflexionsgrad als Funktion von Polarisation und Einfallswinkel (aus [1]).
αP bezeichnet den Polarisationswinkel, αc den Totalreflexionswinkel
1-10
Totalreflexionswinkel für diese Kombination liegt bei etwa 42◦ , es zeigt sich hier, dass der
Reflexionsgrad bei der Annäherung an diesen Winkel kontinuierlich gegen 1 konvergiert.
Bei senkrechtem Einfall liegt der Reflexionsgrad einer Luft-Glas-Grenzfläche bei etwa 4%.
Energieerhaltung Die Intensitäten sind Leistungsdichten. Wegen der Energieerhaltung
muss sich die Gesamtleistung des einfallenden Lichtbündels in die Leistung des gebrochenen und des reflektierten Bündels aufteilen. Es gilt daher, für beide Polarisationsrichtungen
%+τ =1
(1.36)
Brewster-Winkel
Wie die Abbildung 1.7 zeigt, und wie auch leicht aus Gl. 1.30 zu ersehen ist, gibt es einen
Winkel, bei dem der Reflexionsgrad für die p-Polarisation Null wird. Dieser Winkel heißt
Brewster-Winkel oder Polarisationswinkel. Er errechnet sich als
n2
(1.37)
αp = arctan
n1
Strahlt man ein beliebig polarisiertes Lichtbündel unter diesem Winkel auf eine Grenzfläche ein, so ist das reflektierte Licht rein s-polarisiert. Es lässt sich auf diese Weise also
linear polarisiertes Licht erzeugen. Eine Glasplatte, die unter diesem Winkel in einem
Strahlengang steht, stellt für p-polarisiertes Licht ein verlustfreies Fenster dar, d.h. durch
eine solche Schrägstellung lässt sich zumindest für eine Polarisationrichtung der Verlust
durch die 2-fache 4%-Reflexion vermeiden.
1-11
1.2.3
Absorption und Dispersion
Sämtliche Stoffe beeinflussen hindurchgehendes Licht, sie können einen Teil der Lichtleistung absorbieren und die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts – also den Brechungsindex – verändern. Ursache ist die Wechselwirkung des Lichtfeldes mit den Elektronenhüllen
der Atome und Moleküle. Die Elektronen können nur bestimmte, quantisierte, Zustände
einnehmen, zwischen denen fest bestimmte Energieunterschiede liegen. Die Stärke der
Wechselwirkung mit Licht bestimmter Wellenlänge ist dadurch bestimmt, inwieweit die
Photonenenergie des Lichtes (siehe Abschnitt 1.1.3) mit diesen Energien übereinstimmt.
Bei genauer Übereinstimmung mit einer solchen Energie spricht man von Resonanz; hier
ist die Wechselwirkung maximal. Abb. 1.8 zeigt schematisch diesen Zusammenhang. In
Abbildung 1.8: Schematische Absorptions- und Dispersionskurven, f bezeichnet die Lichtfrequenz, fr die Resonanzfrequenz des Atoms oder Moleküls. (aus [4])
der Umgebung der Resonanz ändert sich der Brechungsindex ebenfalls besonders stark.
Die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Lichtfrequenz (bzw. Wellenlänge) wird als
Dispersion bezeichnet.
Für die meisten optischen Materialien liegen die Resonanzfrequenzen weit von den verwendeten Lichtfrequenzen entfernt, da solches Materialien wenig Verluste, also eine geringe
Absorption haben sollen. In solchen Bereichen (in Abb. 1.8 mit 1-2 und 3-4 bezeichnet)
nimmt der Brechungsindex mit der Wellenlänge ab (d.h. die Lichtgeschwindigkeit nimmt
mit der Frequenz zu). Dieses Verhalten wird als normale Dispersion bezeichnet. Abb. 1.8
zeigt die Absorptions- und Dispersionskurven des häufig verwendeten Glases BK7.
Abbildung 1.9: Absorptions- und Dispersionskurven des Kronglases BK7 (aus [1])
1-12
1.3
Abbildung mit Linsen
An dieser Stelle sollen die wichtigsten Grundkenntnisse der geometrischen Abbildungsoptik kurz rekapituliert werden.
1.3.1
Optische Achse
Ein optisches System wird als rotationssymmetrisch um eine optische Achse dargestellt;
d.h. alle Einzelelemente sind rotationssymmetrisch und so angeordnet, dass ihre Symmetrieachse gleich der optischen Achse ist. Die dargestellte Zeichenebene enthält die optische Achse; Ebenen, die die optische Achse nicht enthalten, werden hier nicht betrachtet. Lichtstrahlen die entlang der optischen Achse verlaufen, erfahren keinerlei Brechung.
Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, werden als Parallelstrahlen bezeichnet.
1.3.2
Sammellinsen
Das grundlegende Bauelement ist die Sammellinse. Ihre wesentliche Eigenschaft ist die,
dass sie auf beiden Seiten einen sogenannten Brennpunkt F , gelegen auf der optischen
Achse im Abstand f , der Brennweite, von der Linse, mit folgenden Eigenschaften besitzt:
Alle Parallelstrahlen, die von einer Seite auf die Linse einfallen, schneiden sich auf der an-
Abbildung 1.10: Brennpunktseigenschaft einer Sammellinse (aus [1])
deren Seite im dortigen Brennpunkt (siehe Abb. 1.10). Alle Strahlen die vom Brennpunkt
der Linse kommend auf die Linse einfallen, als Brennstrahlen bezeichnet, verlaufen auf der
anderen Seite als Parallelstrahlen. Im Sinne größerer Allgemeingültigkeit wird häufig zwischen der objektseitigen Brennweite f und der bildseitigen Brennweite f 0 unterschieden,
die in manchen Situationen unterschiedlich sein können (z.B. bei unterschiedlichen Brechungsindices der Umgebungsmedien auf den beiden Seiten), diese Unterscheidung wird
hier im Folgenden nicht gemacht.
1-13
1.3.3
Abbildung
Der Zweck der Abbildung ist es, die Lichtintensitätsverteilung der Oberfläche eines Objektes an einer anderen Position, z.B. auf einem Film oder einer Projektionsleinwand, zu
reproduzieren. Diese reproduzierte Intensitätsverteilung wird als Bild bezeichnet. Es wird
dabei einem planaren Objekt ausgegangen, d.h. von einer Intensitätsverteilung in einer
Objektebene die senkrecht zur optischen Achse ist. Das Bild liegt dann ebenfalls in einer
Ebene, der Bildebene.
Damit eine Abbildung zustande kommt, müssen alle Lichtstrahlen, die von einem bestimmten Objektpunkt ausgehen, müssen sich nach der Abbildungsoptik wieder in dem
korrespondierenden Bildpunkt schneiden.
Abbildung 1.11: Bildentstehung: alle Strahlen, die von einem Objektpunkt P1 ausgehen,
werden von der Linse so abgelenkt, dass sie sich im Bildpunkt P − 2 schneiden.(aus [1])
Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass Lichtwege umkehrbar sein müssen, damit gilt diese
Abbildungsbedingung auch für den umkehrten Weg: alle Lichtstrahlen, die von einem bestimmten Objektpunkt ausgehen, müssen sich nach der Abbildungsoptik wieder in dem korrespondierenden Bildpunkt schneiden und umgekehrt. Bildebene und Objektebene werden
– wenn sie dieser Bedingung genügend – deshalb auch als konjugierte Ebenen bezeichnet.
Zur geometrischen Konstruktion einer Abbildung werden meist drei vom Objektpunkt
ausgehende Strahlen verfolgt: ein Parallelstrahl, der auf der Bildseite durch den Brennpunkt verläuft; ein Brennstrahl, der hinter der Linse zum Parallelstrahl wird, und ein so
genannter Mittelpunktstrahl durch den Scheitelpunkt der Linse auf der optischen Achse,
von ihm wird hier angenommen, dass er nicht gebrochen wird. Wenn diese Konstruktion
zum Erfolg führt, d.h. sich wirklich ein Bild auf der Bildseite ergibt, so wird dieses als
reelles Bild bezeichnet.
Abbildung 1.12: Bildkonstruktion mit Hilfe des Parallel-, Mittelpunkt- und Brennstrahls.(aus [1])
1-14
1.3.4
Virtuelle Bilder
Es kann sich auch ergeben, dass sich die von einem Objektpunkt ausgehenden Strahlen nicht zu einem reellen Bildpunkt zusammenlaufen (konvergieren), sondern dass sie
auseinanderlaufen (divergieren), als wenn sie von einem vergrößerten Objekt auf der Objektseite ausgingen. Dieses scheinbare neue Objekt wird als virtuelles Bild bezeichnet. Bei
Abbildung mit einer Sammellinse ist es größer als das Objekt.
Abbildung 1.13: Virtuelles Bild bei Abbildung mit einer Sammellinse.(aus [1])
1.3.5
Zerstreuungslinse
Eine andere Linsenform ist die Zerstreuungslinse. Ihre bestimmende Eigenschaft besteht
darin, dass einfallende Parallelstrahlen von der optischen Achse weg gebrochen werden,
als wenn sie alle von einem gemeinsamen Punkt kämen, der auf der Einfallsseite liegt.
Dieser Punkt wird als Brennpunkt der Zerstreuungslinse bezeichnet. Bei der Abbildung
mit einer Zerstreuungslinse entstehen verkleinerte virtuelle Bilder.
Abbildung 1.14: Verlauf eines Parallelstrahlbündels in einer Zerstreuungslinse (aus [1])
Abbildung 1.15: Virtuelles Bild bei Abbildung mit einer Zerstreuungslinse (aus [1])
1-15
1.4
Auge und Sehfehler physikalisch betrachtet
Ophthalmologische Begriffsdefinitionen aus Pschyrembel, Klinisches Wörterbuch
1.4.1
Begriffe
Abbildung
Für eine scharfe Abbildung eines Objekts auf die Netzhaut gilt die Gleichung
1
1 1
= +
f
b g
Dabei ist b die optisch wirksame Länge des Augapfels (tatsächliche Länge dividiert durch
den Brechungsindex des Glaskörpers), g der Abstand des scharf abgebildeten Gegenstandes und f die für die Abbildung des Gegenstandes im Abstand g eingestellte Brennweite
von Hornhaut und Linse.
Akkomodation
(engl.) accommodation; Anpassung:
Die Fähigkeit des Auges, den Brechwert der Linse der Entfernung des fixierten Gegenstandes so anzupassen, dass er in der Netzhautebene (in der Fovea centralis) scharf abgebildet
wird.
Dem passiven Streben der elastischen Linse zur Kugelform (hoher Brechwert, Naheinstellung) steht die Zugwirkung des radiären Aufhängeapparats (Zonulafasern der Zonula
Zinii) entgegen, die eine Abflachung der Linse bewirkt (Ellipsenform; geringer Brechwert,
Ferneinstellung); durch aktive Kontraktion des Ziliarmuskels kommt es zur Erschlaffung
der Zonulafasern (und damit zur Scharfeinstellung im Nahbereich); die Akkommodationsbreite (Akkommodationsvermögen) beträgt z. B. mit 10 Jahren 12 dpt, mit 30 Jahren 7,5
dpt, mit 60 Jahren 0 dpt (s. Presbyopie) infolge zunehmender Sklerosierung der Linse.
Die minimale Brechkraft f1
liegt bei der Ferneinstellung vor, in diesem Zustand ist
min
der Ziliarmuskel entspannt, diese Situation wird
daher auch als nicht akkomodierter Zuentspricht der Naheinstellung (Nahstand bezeichnet. Die maximale Brechkraft f1
max
akkomodation), hier ist der Ziliarmuskel am stärksten kontrahiert.
Akkomodationsbreite Die Akkomodationsbreite ist die Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Brechkraft, also
1
1
∆D =
−
(1.38)
f max
f min
Bezugssehweite Bei der Charakterisierung augenbezogener optischer Instrumente geht
man, bei normalsichtigem Auge, von einem Nahpunkt im Abstand von 25 cm vom Auge
aus, d.h.
1
1
1
=
=
= 4dpt
(1.39)
gmin
s0
25cm
Es wird hier also eine Akkomodationsbreite von 4 Dioptrien angenommen.
1-16
Refraktion
(engl.) refraction; Lichtbrechung:
Beim menschlichen Auge die Beziehung des Gesamtbrechungszustands aller optischen
Medien zur Achsenlänge des Auges; wird als Differenz zwischen dem Brechwert, den das
Auge zur Einstellung des Fernpunkts im Unendlichen benötigt, und dem Brechwert im
nicht akkommodierten Zustand berechnet; bei Normalsichtigen = 0 (Emmetropie), bei
Kurzsichtigen < 0 (Myopie), bei Weitsichtigen > 0 (Hypermetropie).
Die Brechkraft f∞ , die das Auge zur Einstellung des Fernpunkts im Unendlichen (g = ∞)
benötigt, ist
1
1
1
1
= +
=
(1.40)
f∞
b ∞
b
Im nicht akkomodierten Zustand wird die minimale Brechkraft eingestellt, die Refraktion
ist damit
1
1
1
1
R=
−
= −
(1.41)
f∞
f min b
f min
Emmetropie
(engl.) emmetropia; Abk. E; Normalsichtigkeit:
Achsenlänge und Brechwert des Auges stehen zueinander im richtigen Verhältnis; die
aus dem Unendlichen parallel ins Auge einfallenden Strahlen werden in einem auf der
Netzhaut liegenden Brennpunkt vereinigt.
Bei Emmetropie (Normalsichtigkeit) gilt, nach Definition, bei nicht akkomodiertem Auge
gmax = ∞, also damit
1
1
=
(1.42)
f min bn
die (optisch wirksame) Länge bn des normalsichtigen Auges entspricht also der maximalen
Brennweite des Auges, die Refraktion beträgt 0.
Ametropie
(engl.) ametropia:
Fehlsichtigkeit infolge Brechungsfehler (Refraktionsanomalie) des Auges bei abnormem
axialem Durchmesser des Augapfels (Achsenametropie), seltener bei abnormem Brechwert
von Hornhaut bzw. Linse (Brechungsametropie). Der Brennpunkt parallel verlaufender
Strahlen liegt im nicht akkommodierten Auge vor (Myopie) oder hinter (Hypermetropie)
der Retina.
Korrektur durch Brille Bei der Korrektur durch eine Brille werden die Brechkräfte
von Auge und Brille addiert, es gilt also dann
1
fAuge
+
1
fBrille
=
1 1
+
b g
(1.43)
Bei Ametropie ist die Brechkraft des Auges im nicht akkomodierten Zustand ungleich der
Brechkraft, die zur Abbildung unendlich weit entfernter Gegenstände benötigt wird; die
1-17
Brille soll dies korrigieren:
1
1
1
+
=
f min fBrille
b
1
1
1
=
−
=R
fBrille
b
f min
(1.44)
(1.45)
Die benötigte Brechkraft der Brille ist also gerade die Refraktion.
Nahpunkt
(engl.) near point; Punctum proximum:
Nahpunkt der Akkommodation: der dem Auge nächste Punkt, der bei maximaler Akkommodation noch scharf gesehen werden kann; seine Entfernung nimmt mit steigendem
Lebensalter zu.
Der Nahpunkt beschreibt die minimale Gegenstandsweite g = gmin, die bei maximaler
Brechkraft des Auges noch scharf gesehen werden kann:
1
1
1
=
+
(1.46)
f max
b gmin
1
1
1
=
(1.47)
−
gmin
f max b
1.4.2
Sehfehler
Hypermetropie
(engl.) hypermetropia; syn. Hyperopie, Übersichtigkeit; Weitsichtigkeit:
Form der Ametropie, bei der parallel laufende Strahlen im nicht akkommodierenden Auge
hinter der Retina vereinigt werden. Achsenhypermetropie mit zu kurzer Bulbusachse oder
Brechungshypermetropie mit zu geringem Brechwert des optischen Apparats, z. B. bei
Abflachung der Hornhaut oder Verlust der Linse.
Bei Weitsichtigkeit ist die Länge bw des Augapfels zu klein, es gilt also
1
1
1
>
=
bw < bn ⇒
(1.48)
bw
bn
f min
1
1
R =
−
>0
(1.49)
bw
f min
Die Brechkraft des Auges ist also zu gering, zur Korrektur würde eine Brille mit positiver
Brechkraft benötigt.
Ohne Brille muss auch für das Sehen im Unendlichen akkomodiert werden: benötigt wird
dazu die Brechkraft
1
1
1
=
>
(1.50)
f∞
bw
f min
diese ist größer als die Brechkraft im nicht akkomodierten (entspannten) Zustand des
Auges.
1-18
Verglichen mit einem normalen Auge liegt der Nahpunkt weiter entfernt:
1
1
1
1
1
1
=
−
;
=
− ;
gmin,w
f max bw
gmin,n
f max bn
1
1
<
gmin,w
gmin,n
gmin,w > gmin,n
(1.51)
(1.52)
(1.53)
Das Ziel der Korrektur bei Kurzsichtigkeit ist es daher, den Nahpunkt wieder näher ans
Auge zu rücken, dafür ist die benötigte Brechkraft für eine Lesebrille“ für den gewünsch”
ten Nahpunktabstand gmin,soll so zu berechnen:
1
1
1
=
+
(1.54)
f max
bw gmin,ist
1
1
1
1
+
=
+
(1.55)
fBrille
f max
bw gmin,soll
1
1
1
=
−
(1.56)
fBrille
gmin,soll gmin,ist
Presbyopie
f: (engl.) presbyopia; Alterssichtigkeit, altersbedingte Weitsichtigkeit:
Erschwerung des Nahsehens durch Elastizitätsverlust (Sklerosierung) der Linse und nachlassende Fähigkeit zur Akkommodation; der Nahpunkt rückt mit zunehmendem Alter
immer mehr in die Ferne; eine latente Hypermetropie kann durch Presbyopie manifest
werden.
Bei reiner Alterssichtigkeit stehen Brechkraft und Augapfellänge für den nicht akkomodierten Zustand, also für die Abbildung unendlich weit entfernter Objekte, wie bei Emmetropie im richtigen Verhältnis:
1
1
1
=
=
(1.57)
ba
bn
f min
Die maximale Brechkraft ist aber geringer, damit ist der Nahpunkt weiter entfernt als bei
Normalsichtigkeit (s.o.)
1
1
1
1
1
1
−
− ;
=
;
=
(1.58)
gmin,a
f max,a bn
gmin,n
f max,n bn
1
1
<
(1.59)
f max,a
f max,n
1
1
<
(1.60)
gmin,a
gmin,n
gmin,a > gmin,n
(1.61)
Myopie
(engl.) myopia; Abk. My; sog. Kurzsichtigkeit:
Form der Ametropie, bei der parallel einfallende Strahlen vor der Netzhaut vereinigt
werden. Zu starker Brechwert von Hornhaut oder Linse (Brechungsmyopie) bzw. überdurchschnittliche Länge des Augapfels (Achsenmyopie).
1-19
Bei Myopie (Kurzsichtigkeit) ist die Länge bk des Augapfels zu groß, es gilt also
1
1
1
bk > bn ⇒
<
=
bk
bn
f
min
1
1
−
<0
R =
bk
f min
(1.62)
(1.63)
Die Brechkraft des Auges ist also zu groß.
Die maximale Sehweite ohne Brille beträgt
1
1
=
−
f min bk
1
gmax,k
1
= −R > 0
gmax,k
gmax,k < ∞
(1.64)
(1.65)
(1.66)
diese ist kleiner als unendlich, weiter entfernte Gegenstände lassen sich nicht scharf abbilden.
Zur Korrektur würde eine Brille mit negativer Brechkraft benötigt, gemäß der vorherigen
Rechnung lässt sich die benötigte Brechkraft für eine Fernbrille“ aus der maximalen
”
Sehweite ohne Brille bestimmen
1
fBrille
=−
1
gmax,k
Verglichen mit einem normalen Auge liegt der Nahpunkt näher:
1
1
1
1
1
1
−
− ;
=
;
=
gmin,k
f max bk
gmin,n
f max bn
1
1
>
gmin,k
gmin,n
gmin,k < gmin,n
(1.67)
(1.68)
(1.69)
(1.70)
Die Augen von Kurzsichtigen werden daher auch manchmal als Lupenaugen“ bezeichnet.
”
Iris
(engl.) iris; Regenbogenhaut des Auges:
Teil der mittleren Augenhaut (Tunica vasculosa bulbi); frontal gestelltes Segel zwischen
vorderer und hinterer Augenkammer mit einer zentralen kreisrunden Öffnung (Sehloch,
Pupille). Die eingelagerten glatten Muskelzellen des M. dilatator u. M. sphincter pupillae
regulieren die Pupillenweite und damit die Intensität des Lichteinfalls.
Die Irisblende wirkt als Aperturblende, d.h. sie begrenzt nur die Lichtmenge, nicht aber
das sichtbare Bildfeld.
1-20
Kapitel 2
Paraxiale (Gaußsche) Optik
Die Paraxiale Optik ist eine Vereinfachung der Strahlenoptik, die von der Voraussetzung
ausgeht, dass die betrachteten Anordnungen optischer Komponenten rotationssymmetrisch um eine sogenannte optische Achse sind und dass die betrachteten Lichtstrahlen in
der Nähe der optischen Achse (= paraxial“) verlaufen. Die Forderung in der Nähe“ be”
”
deutet, dass die Abstände zur optischen Achse klein sind im Vergleich zu den Abständen
zwischen den optischen Komponenten, diese Forderung ist äquivalent zu der Näherung,
dass die Winkel zwischen den betrachteten Strahlen und der optischen Achse klein sind.
Mathematisch bedeutet dies, dass für alle Winkel der Wert des Winkels selbst (im Bogenmaß), sein Sinus und sein Tangens als gleich angesehen werden:
α ≈ sin α ≈ tan α
2.1
(2.1)
Matrixformulierung der paraxialen Optik
Die in diesem Abschnitt eingeführte Methode verwendet 2 × 2 Matrizen zur Beschreibung
optischer Komponenten; ein Lichtstrahl wird beschrieben durch einen Vektor bestehend
aus Abstand und Winkel zur optischen Achse. Die Beeinflussung eines beliebigen Lichtstrahls durch eine optische Komponente lässt sich dann mathematisch als Multiplikation
des Strahlvektors mit der Matrix der optischen Komponente beschreiben. Der Weg des
Strahls durch das optische System wird also durch das Hintereinanderausführen solcher
Matrixmultiplikationen beschrieben.
Der Vorteil der Matrixmethode liegt darin, dass für ein beliebiges System zunächst die
Systemmatrix, d.h. die Produktmatrix aller Einzelmatrizen der einzelnen optischen Komponenten und Propagationswege berechnet werden kann und dann die Transformation
beliebiger Strahlen durch das Gesamtsystem durch eine einzige Multiplikation mit einer
2 × 2-Matrix berechnet werden kann.
Die Systemmatrix wird häufig auch als ABCD-Matrix bezeichnet:
A B
(2.2)
C D
d.h. die einzelnen Elemente der Matrix werden, ohne weitere Erklärung, als A, B, C und
D diskutiert.
Aus dieser Art der Berechnung lässt sich folgern, dass sich die wesentlichen Abbildungseigenschaften eines Systems auch allein aus den Eigenschaften seiner Systemmatrix bestimmen lassen werden.
2-1
2.1.1
Grundelemente
Wie schon in Abschnitt 1.3.1 eingeführt, werden auch hier die optischen Systeme als
rotationssymmetrisch um eine optische Achse angenommen. Der Formalismus ist damit
zweidimensional; windschiefe Strahlen, d.h. Strahlen, die die optische Achse nicht schneiden werden nicht berücksichtigt. Die Koordinate entlang der optischen Achse wird als z
bezeichnet, der Abstand zur optischen Achse als x.
Strahlen
An einer bestimmten Position z des Propagationswegs ist ein Strahl spezifiziert durch den
Abstand x von der optischen Achse und den Winkel α zur optischen Achse. Ein weiterer
Parameter ist der Brechungsindex n des optischen Mediums.
Ein Lichtstrahl wird damit durch folgenden Vektor beschrieben:
x
,
(2.3)
nα
dabei gilt folgende Vorzeichenkonvention: α ist positiv; wenn der Winkel vom Strahl zur
optischen Achse im Uhrzeigersinn verläuft (siehe auch Pfeile an den Winkeln in den Abbildungen).
Ungestörte Ausbreitung
Bei einer Ausbreitung um eine Länge d in einem homogenen Medium entlang der optischen
Achse ändern sich die Parameter wie folgt:
z2 = z1 + d
x2 = x1 − α 1 · d
α2 = α1
Dieses lässt sich auch durch die folgende Matrixoperation ausdrücken:
x2
1 −d/n
y1
=
nα2
0
1
nα1
(2.4)
(2.5)
Die Matrix für die Translation (Propagation) um die Strecke d in einem Medium mit
Brechungsindex n hat also die Form
1 −d/n
MT (d, n) =
(2.6)
0
1
Abbildung 2.1: Translation eines Strahls über die Strecke d (aus [1])
2-2
Brechung an Kugelflächen
Bei der Brechung an einer Oberfläche, die unter dem Winkel γ zur Vertikalen steht, ist der
Einfallswinkel ε1 (Vorzeichen der Winkel siehe Pfeile in Abb. 2.2, gegen den Uhrzeigersinn
ist positiv) gegeben durch
ε1 = γ − α 1
(2.7)
Nach dem Brechungsgesetz (Gl. 1.17) in paraxialer Näherung (sin ε ≈ ε) gilt für Ein- und
Ausfallswinkel
n1 · ε1 = n2 · ε2
(2.8)
also hier
n1 (γ − α1 ) = n2 (γ − α2 )
(2.9)
Bei einer gekrümmten Oberfläche mit Krümmungsradius R (R = PM in Abb. 2.2) und
dem Krümmungsmittelpunkt M auf der optischen Achse ist, ebenfalls in paraxialer Näherung, der Winkel γ zwischen der Oberfläche und der Vertikalen im Abstand x von der
optischen Achse gegeben durch
γ = arcsin(x1 /R) ≈ x1 /R,
(2.10)
dabei ist R positiv (negativ), wenn der Krümmungsmittelpunkt hinter (vor) der betrachteten Fläche liegt, der Strahl also von außen (innen) auf die Kugelfläche trifft.
Setzt man diesen Zusammenhang in das Brechungsgesetz ein, so ergibt sich
n2 α2 = n1 α1 +
In der Matrixformulierung ist damit
x2
=
n2 α 2
1
n2 −n1
R
n2 − n1
x1
R
0
1
x1
n1 α 1
(2.11)
(2.12)
Die Matrix für die Brechung an einer Kugelfläche mit Krümmungsradius R zwischen zwei
Medien mit Brechungsindices n1 und n2 hat also die Form
!
1
0
n2 − n1
MB (R, n1 , n2 ) =
(2.13)
1
R
Damit sind die beiden wichtigsten Matrizen für die Beschreibung der paraxialen Optik
bereitgestellt. Alle üblichen optischen Komponenten, d.h. Propagationswege, dünne und
dicke sphärische Linsen aller Arten (konkav, konvex, plan-, bi-, usw.) lassen sich daraus
aufbauen.
Abbildung 2.2: Brechung an einer Kugelfläche mit Krümmungsmittelpunkt M zwischen
zwei Medien mit Brechungsindices n1 und n2 .(aus [1])
2-3
2.1.2
Systemmatrix
Aus den bisher vorgestellen Elementen lassen sich schon eine große Anzahl optischer
Systeme aufbauen, z.B.
- Linsen
- Linsensysteme
- Gekrümmte Grenzflächen
- Immersionssysteme
Wie schon in der Einleitung zu diesem Kapitel angedeutet, wird ein optisches System
durch seine Systemmatrix ode ABCD-Matrix beschrieben, d.h. durch die Produktmatrix
der Brechungs- und Propagationsmatrizen der einzelnen Komponenten und Lichtwege
zwischen den Komponenten. Nach Berechnung dieser Matrix kann dann die Transformation beliebiger Strahlen von der Eingangsebene in die Ausgangsebene des Systems durch
eine einfache Multiplikation des Strahlvektors mit der Systemmatrix erfolgen.
x2
A B
x1
=
(2.14)
n2 α2
C D
n1 α1
Die Determinanten der Propagations- und Brechungsmatrizen (Gl. 2.6 und Gl. 2.13) sind
jeweils gleich eins. Da sich alle hier besprochenen optischen Systeme aus solchen Matrizen
zusammensetzen, gilt: Die Determinante jeder Systemmatrix ist gleich eins.
A B
det
= (AD − BC) = 1
(2.15)
C D
Wenn eine ABCD-Matrix die Transformation eines Strahls 1 in einen Strahl 2 beschreibt,
dann beschreibt ihre Inverse die Transformation von Strahl 2 in Strahl 1:
−1 A B
x2
x1
(2.16)
=
n2 α 2
n1 α 1
C D
Wegen der Determinanteneigenschaft lässt sich die Inverse leicht angegeben:
−1 A B
D −B
=
−C A
C D
(2.17)
Wird das optische System umgekehrt, d.h. Objekt- und Bildebene vertauscht bzw. alle
Abstände und optischen Komponenten in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen, so wird
dies nicht durch die Inverse der ABCD-Matrix des Originalsystems beschrieben, sondern,
wegen der geometrischen Bedeutung der Winkel, durch:
0
D B
A B0
=
(2.18)
C A
C 0 D0
{z
} | {z }
|
umgekehrt
Original
In den folgenden Abschnitten sollen die Eigenschaften einer solchen Systemmatrix näher
diskutiert werden, insbesondere im Hinblick auf die Abbildungseigenschaften des durch die
Matrix beschriebenen optischen Systems.
2-4
Abbildung 2.3: Dünne Linse (aus [1])
2.1.3
Linsen
Dünne Linsen
Eine dünne Linse wird durch die Hintereinanderausführung der Brechungen an zwei Kugelflächen beschrieben. Als Matrix, mit nL als Brechungsindex des Linsenmaterials:
!
!
!
1
0
1
0
1
0
nL − n1
nL − n1 n2 − nL
n2 − nL
·
=
(2.19)
1
1
+
1
R2
R1
R1
R2
Nimmt man an, dass außerhalb der Linse der gleiche Brechungsindex no = n1 = n3
vorliegt, so transformiert sich diese Matrix zu


1
0


1
1
(2.20)
(nL − no )
−
1
R1 R2
Brennweite In Abschnitt 1.3.2 wurden Sammellinsen durch ihre Brennweite f beschrieben. Aus deren Eigenschaften sollte sich die Form der Matrix ebenfalls bestimmen lassen:
Die erste Eigenschaft ist, dass ein Strahl, der vor der Linse parallel zur optischen Achse
verläuft, (α1 = 0), im Abstand f 0 hinter der Linse die optische Achse im so genannten
Brennpunkt schneidet, also unmittelbar hinter der Linse den Winkel α2 = x/f 0 hat.
Abbildung 2.4: Eine Sammellinse bildet Parallelstrahlen in den Brennpunkt ab (aus [1])
In den Matrixformalismus übersetzt bedeutet dies:
x1
Ax1
A B
x1
=
=
n2 x1 /f 0
Cx1
C D
0
Damit sind die beiden Matrixelemente A = 1 und C = n2 /f 0 bestimmt.
2-5
(2.21)
Abbildung 2.5: Eine Sammellinse transformiert Strahlen aus dem Brennpunkt in Parallelstrahlen (aus [1])
Die zweite Eigenschaft ist, dass ein Strahl, der aus dem objektseitigen Brennpunkt kommt
– also wenn er die Linse in der Höhe x1 trifft, dort den Winkel α1 = −x1 /f hat –, nach
der Linse parallel zur optischen Achse verläuft (α2 = 0).
Dies stellt sich, mit den schon bekannten Elementen im Matrixformalismus so dar:
x1
1
B
x1
x1 − Bn1 x1 /f
=
=
(2.22)
0
n2 /f 0 D
−n1 x1 /f
n2 /f 0 · x1 − D · n1 /f · x1
Hieraus ergeben sich die noch fehlenden Matrixelemente folgendermaßen: B = 0, daraus
dann D = 1 wegen der Determinantenbedingung Gl. 2.15. Ferner ist
n2 /f 0 = n1 /f = C.
(2.23)
Wie schon in Abschnitt 1.3.2 angedeutet, sind also bei unterschiedlichen Brechungsindices
der Umgebungsmedien auf beiden Seiten der Linse die Brechungsindices unterschiedlich.
Die Matrix für eine dünne Linse, die in einem Umgebungsmedium mit Brechungsindex no
die Brennweite f besitzt, hat also die Form
1
0
ML (f, n0 ) =
(2.24)
n0 /f 1
Der Vergleich mit Gl. 2.20 ergibt
nL − no
1
=
f
no
1
1
−
R1 R2
(2.25)
Dies ist die sogenannte Linsenmacherformel für die Brechkraft (angegeben in Dioptrien:
1 Dpt = 1/m), d.h. den Kehrwert der Brennweite, einer dünnen Linse. Man beachte die
ggf. unterschiedlichen Vorzeichen von R1 und R2 . Es ist zu beachten, dass die Brechkraft
bzw. die Brennweite der Linse von beiden Brechungsindices, sowohl dem des Linsenmaterials als auch dem des umgebenden optischen Mediums abhängt.
Beispiel: Im einfachsten Fall einer symmetrischen Bikonvexlinse aus Glas in umgebendem
Vakuum (no = 1) ist R1 = R positiv und R2 = −R, und damit
1
2
= (nL − 1)
f
R
2-6
(2.26)
Dicke Linsen
Eine dicke Linse wird durch die Hintereinanderausführung der Brechungen an zwei Kugelflächen mit einer dazwischen liegenden Propagation im Linsenmaterial beschrieben. Als
Matrix, mit nL und n0 als Brechungsindices von Linsenmaterial und Umgebung:

! 
!
d
1
0
1
0
1 −
nL − n1
n0 − nL
·
=
nL  ·
1
1
0
1
R2
R1


d(n0 − nL )
d
1+
−


nL ·R1
nL


2

1
1
d(nL − n0 )
d(n0 − nL )  (2.27)
1−
(nL − n0 )
−
+
R1 R2
nL R1 R2
nL · R2
Die Brechkraft beträgt damit
1
C = = (nL − n0 )
f
1
1
−
R1 R2
+
d(nL − n0 )2
nL R1 R2
(2.28)
Sie ist damit z.B. für eine dicke Bikonvexlinse geringer als für eine dünne Bikonvexlinse,
für eine dicke Plankonvexlinse aber unverändert gegenüber der dünnen Linse.
GRIN-Linsen
Eine besondere Art optischer Komponenten sind die sogenannten Gradientenindexlinsen
(GRIN-Linsen). Sie werden vor allem in der Faseroptik bei der Integration mit optoelektronischen Elementen eingesetzt. Es handelt sich dabei um zylindrische Elemente mit
einem parabolischen Verlauf des Brechungsindex
A 2
n(r) = n1 1 − r
(2.29)
2
Abbildung 2.6: Strahlverlauf in einer GRIN-Linse (aus [1])
Durch die kontinuierliche Brechungsindexvariation verlaufen Lichtstrahlen im inneren des
Elements auf einer gekrümmten Bahn, beschrieben durch die ABCD-Matrix


√
√
n0
√ sin AL
cos AL
n1 A


(2.30)
 n √A

√
√
1
−
sin AL
cos AL
n0
dabei beschreibt L die Länge des Elements und n0 den Brechungsindex der Umgebung.
2-7
Abbildung 2.7: Beispiele für GRIN-Linsen (aus [1])
Die Länge des Elements wird häufig als pitch“, d.h. als Bruchteil der Periodenlänge des
”
Sinus bzw. Cosinus in den Matrixelemente angegeben. Abb. 2.7 zeigt einige Anwendungen für solche Linsen: a) die Kollimation (Umwandlung in ein paralleles Lichtbündel) des
Lichtes einer Leuchtdiode, b) und d) die Einkopplung eines kollimierten Lichtbündels in
eine dünne Glasfaser (mit und ohne Luftspalt), c) die Abbildung einer Leucht- oder Laserdiode in eine Glasfaser. Besonders die letzte Anwendung zeigt, dass sich diese Elemente
in direkter Verbindung von Quelle, Linse und Ziel anordnen – z.B. aufeinander kleben
– lassen, ohne dass Ausbreitungsstrecken in Luft – die evtl. zusätzliche Abstandshalter
notwendig machen würden – dazwischen sind.
2-8
2.1.4
Abbildung
Ein optisches System ist dann ein abbildendes System, wenn die Lichtverteilung in einer
bestimmten Ausgangsebene, der sogenannten Objektebene, in einer anderen Ebene, der
Bildebene reproduziert wird, wobei sich eventuell der Maßstab der Abbildung ändern kann.
Präziser formuliert heisst das: alle Strahlen, die aus einem Punkt in der Objektebene
hervorgehen, müssen sich unabhängig vom Winkel, unter dem sie abgestrahlt werden,
wieder in einem Punkt der Bildebene wieder schneiden. Das Paar aus Bildebene und
Objektebene (oder umgekehrt) wird auch als konjugierte Ebenen bezeichnet.
Abbildung 2.8: Bildentstehung: alle Strahlen, die von einem Objektpunkt P1 ausgehen,
werden von der Linse so abgelenkt, dass sie sich im Bildpunkt P2 schneiden.(aus [1])
Beschreibt man die Transformation von der Objektebene zur Bildebene durch den Matrixformalismus (Gl. 2.14) so bedeutet dies: der Ort in der Bildebene
x2 = Ax1 + B · n · α1
(2.31)
soll unabhängig von α1 sein, also muss B = 0 sein. Das Matrixelement A stellt dann die
Vergrößerung m dar.
Aus der Determinantenbedingung AD − BC = 1 folgt für B = 0
A=
1
D
(2.32)
dies ist die Winkelvergrößerung für Strahlen von der optischen Achse (y=0):
n2 α 2 =
1
n1 α1
m
Eine Abbildungsmatrix hat damit die Form
x2
m
0
x1
=
n2 α 2
C 1/m
n1 α 1
(2.33)
(2.34)
Brennebene
Wenn hingegen, bei B 6= 0, das Matrixelement A = 0 wird, gilt
x2 = Bα1
(2.35)
d.h. der Abstand von der optischen Achse hängt nur vom Winkel ab – durch jeden Punkt
in dieser Ebene verlaufen Strahlen von allen Objektpunkten. Damit ist die Endebene des
durch die Matrix beschriebenen Strahlenganges eine Brennebene (vgl. Abschnitt 1.3.2).
2-9
Abbildung durch dünne Linse
Die Abbildung durch eine dünne Linse (siehe Abb. 2.8) wird üblicherweise folgendermaßen
beschrieben: im Abstand s1 von der Objektebene, der sogenannten Gegenstandsweite, ist
eine dünne Linse mit Brennweite f angeordnet. Die Bildebene befinde sich im – noch
zu bestimmenden – Abstand s2 von der Linse, der sogenannten Bildweite. Objekt- und
Bildebene werden hierbei auch als konjuguierte Ebenen bezeichnet.
Die Systemmatrix für den Weg von der Objektebene zur Bildebene ist
1 0
1 −s1
1 − s2 /f s1 s2 /f − s1 − s2
1 −s2
=
(2.36)
1/f 1
0 1
1/f
1 − s1 /f
0 1
{z
}|
{z
}|
{z
}
|
Propagation
Linse
Propagation
Damit es sich tatsächlich um eine Abbildung handelt, muss B = 0 sein, daraus folgt
(f − s1 )(f − s2 ) = f 2
(2.37)
dies ist das bekannte Newtonsche Linsengesetz, häufig auch, für s1 6= 0, s2 6= 0, geschrieben
als
1
1
1
+
= .
(2.38)
s1 s2
f
Die Bildweite beträgt also
f s1
s2 =
.
(2.39)
s1 − f
Eine positive Bildweite bedeutet, nach Konstruktion, dass die konjugierten Ebenen auf
verschiedenen Seiten der Linse liegen und die Strahlen von einem Objektpunkt sich
tatsächlich in einem realen Punkt auf der anderen Seite der Linse schneiden. Das divergente Strahlenbündel vom Objektpunkt wird also in ein zum Bildpunkt hin konvergentes
Bündel transformiert. In diesem Fall spricht man von einem reellen Bild (vgl. Abschnitt
1.3.3). Die Bedingung dafür ist offensichtlich die, dass bei positiver Brennweite f die Gegenstandsweite s1 größer ist als die Brennweite. Bei negativer Brennweite ist kein reelles
Bild möglich, da s1 nach Definition immer positiv ist.
Dem gegenüber bedeutet eine negative Bildweite, dass die Propagation zur Bildebene nach
Passieren der Linse wieder zurück in Richtung auf die Objektebene erfolgen müsste. Die
Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, sind also auch nach Passieren der Linse
divergent, sie scheinen aber jetzt von einem anderen Punkt auszugehen, der ebenfalls
auf der Objektseite der Linse liegt. In diesem Fall spricht man von einem virtuellen Bild
(vgl. Abschnitt 1.3.4).
Die Vergrößerung ist das Matrixelement A, also
m=
s2
f − s2
=−
f
s1
(2.40)
das Verhältnis zwischen Bildweite und Gegenstandsweite. Bei einem reellen Bild ist die
Vergrößerung negativ, d.h. das Bild steht auf dem Kopf.
Abbildungseigenschaften bei unterschiedlichen Brechungsindices Sind die Brechungsindices auf den beiden Seiten der Linse verschieden, so muss Gleichung 2.38 modifiziert werden, dabei gilt für die Brechkraft die Gleichung 2.23:
n1 n2
n1
n2
+
=C=
= 0
(2.41)
s1
s2
f
f
2-10
Abbildung durch ein beliebiges System
Die Abbildung durch eine beliebiges System, z.B. eine dünne Linse (siehe Abb. 2.8) wird
üblicherweise folgendermaßen beschrieben: im Abstand s1 von der Objektebene, der soge-
nannten Gegenstandsweite, ist das optische System, beschrieben durch die Matrix ac db
angeordnet. Die Bildebene befinde sich im – noch zu bestimmenden – Abstand s2 von der
Linse, der sogenannten Bildweite.
Die Systemmatrix für den Weg von der Objektebene zur Bildebene ist
a b
1 −s1
a − cs2 b − as1 − ds2 + cs1 s2
A B
1 −s2
=
=
c d
0 1
c
d − cs1
C D
0 1
{z
} | {z } |
{z
}
|
Propagation
opt. System
Propagation
(2.42)
Abbildungsbedingung Aus der Forderung B = 0 für eine Abbildungsmatrix folgt
c=
a
b
d
+
−
,
s1 s2 s1 s2
(2.43)
dies lässt sich, unter Verwendung der Determinantenbedingung ad − bc = 1, schreiben als
(a − cs2 )(d − cs1 ) = 1
(2.44)
Brennebenen Aus der Systemmatrix
lassen sich die Lagen der Brennebenen (nicht die
a
b
Brennweiten!) des durch c d beschriebenen Systems ermitteln:
Wenn s2 die Entfernung zur bildseitigen Brennebene des Systems ist, muss A = 0 sein:
a
s2 = f 2 = ;
c
(2.45)
wenn s1 die Entfernung zur objektseitigen Brennebene des Systems ist, muss D = 0 sein:
d
s1 = f 1 = .
c
2-11
(2.46)
Hauptebenen
Auch für ein beliebiges System wäre es hilfreich, wenn man es durch eine einzige Brennweite sowie durch entsprechende Bild- und Gegenstandsweiten beschreiben könnte. Da ein
optisches System sehr lang sein kann, werden sich die Bild- und Gegenstandsweiten im
Allgemeinen auf verschiedene Referenzebenen auf der Objekt- und Bildseite beziehen, die
sogenannten Hauptebenen: die Gegenstandsweite ist dann der Abstand s1 von der Objektebene zur objektseitigen Hauptebene, die Bildweite der Abstand s2 von der bildseitigen
Hauptebene zur Bildebene.
Abbildung 2.9: Definition der Hauptebenen eines optischen Systems (aus [1])
Das optische System wird dazu durch folgende Vorstellung ersetzt (siehe Abb. 2.10):
– Auf der Objektseite beginnt das System an der objektseitigen Hauptebene H1
– Unmittelbar an dieser Position befindet sich eine dünne Linse mit Brennweitef
– Unmittelbar nach der Brechung durch die Linse befinden sich alle Strahlen in der
bildseitigen Hauptebene H2
Zwischen den Hauptebenen scheint also keine Propagationsstrecke zu liegen, sondern nur
eine dünne Linse.
Abbildung 2.10: Bildkonstruktion mittels Hauptebenen (aus [1])
Ein optisches System zwischen den Scheitelebenen durch die Punkte S1 und S2 sei durch
seine ABCD-Matrix beschrieben. Seine Wirkung soll jetzt – wenn möglich – in folgende
Schritte zerlegt werden (vgl. Abb. 2.9):
- Propagation von der objektseitigen Scheitelebene S1 zur objektseitigen Hauptebene
H1 . Der Abstand h1 soll positiv sein, wenn die Hauptebene außerhalb des optischen
Systems (links von S1 ) liegt.
- Transformation durch eine dünne Linse mit Brennweite f .
- Propagation von der bildseitigen Hauptebene H2 zur bildseitigen Scheitelebene S2 . Der
Abstand h2 soll positiv sein, wenn die Hauptebene außerhalb des optischen Systems
(rechts von S2 ) liegt.
2-12
Diese Abbildung wird dann beschrieben durch die Matrix
1 h2
1 0
1 h1
A B
!
=
0 1
1/f 1
0 1
C D
| {z } |
{z
} | {z } | {z }
Propagation
Dünne Linse
Propagation
(2.47)
Opt. System
woraus sich zunächst einmal vier Bedingungen für die drei gesuchten Größen f , h1 und
h2 ergeben:
A = 1+
h2
,
f
B = h1 + h2 +
C =
(2.48)
h1 h2
,
f
1
,
f
D = 1+
(2.49)
(2.50)
h1
;
f
(2.51)
Mit der Determinantenbedingung AD −BC = 1 lässt sich die Gleichung für B eliminieren
und es bleiben drei Bestimmungsgleichungen für die gesuchten drei Größen. Als Lösung
ergibt sich
1
,
C
D−1
,
=
C
A−1
=
.
C
f =
h1
h2
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Insgesamt lässt sich also folgendes feststellen:
• Ein beliebiges durch eine ABCD-Matrix beschriebenes System lässt sich durch zwei
Hauptebenen und eine Brennweite beschreiben.
• Die Brennweite des Systems, d.h. der Abstand der Brennpunkte von den jeweiligen
Hauptebenen, ist 1/C , die Brennebenen (vgl. Gln. 2.45) liegen damit bei
D
= h1 + f
C
A
f2 =
= h2 + f
C
f1 =
(2.55)
(2.56)
• Die beiden Hauptebenen sind konjugierte Ebenen, d.h. die eine Hauptebene ist das
Bild der anderen.
• Genau dann, wenn das Matrixelement B = 0 ist, beschreibt die ABCD-Matrix
ein abbildendes System, d.h. dann sind Eingangs- und Ausgangsebenen konjugierte
Ebenen. In diesem Falle ist das Matrixelement A die Vergrößerung und das Matrixelement D = 1/A die Winkelvergrößerung.
2-13
2.1.5
Augenbezogene optische Systeme
Sehwinkel
Der Sehwinkel ist der Winkel, unter dem ein Gegenstand dem Auge erscheint, d.h. der
Winkel zwischen Strahlen, die vom Auge zu gegenüberliegenden Rändern des Gegenstandes führen.
Gegenstandsgröße
(2.57)
Θ = Sehwinkel =
Abstand vom Auge
Abbildung 2.11: Sehwinkel (a) ohne (b) mit Instrument (aus [1])
Die Größe des Bildes eines Gegenstandes auf der Netzhaut ist (näherungsweise) dem
Sehwinkel proportional.
• Große Gegenstände, die extrem weit entfernt sind sind nur durch den Sehwinkel definiert (z.B. Sterne), Entfernung und Größe sind einzeln nicht bekannt. Der Sehwinkel
ist sehr klein und lässt sich nicht beeinflussen.
• Große Gegenstände, die nicht weit entfernt sind, erscheinen unter einem großen
Sehwinkel. Ihr Bild kann die Netzhaut ganz ausfüllen oder überragen.
• Der Sehwinkel sehr kleiner Gegenstände ist ebenfalls sehr klein. Er lässt sich vergrößern, indem man sie so nahe an das Auge heranholt, wie das Auge sie noch scharf
abbilden kann. Dieser minimale Abstand ist für jedes Auge verschieden; für die Definition von Vergrößerungen wird eine Bezugssehweite sB =25 cm angenommen.
Θmax = maximaler Sehwinkel =
Gegenstandsgröße
G
≡
Bezugssehweite
sB
(2.58)
Die Aufgabe augenbezogener optischer Instrumente ist es, für die Beobachtung von sehr
kleinen oder sehr weit entfernten Gegenständen den Sehwinkel zu vergrößern. Das Verhältnis zwischen dem Sehwinkel mit dem optischen Instrument und dem (maximalen) Sehwinkel ohne das Instrument wird in diesem Zusammenhang als Vergrößerung bezeichnet.
Γ=
ΘInstr
Θmax
2-14
(2.59)
Lupe
Eine Lupe wird zur Betrachtung kleiner Gegenstände verwendet. Es handelt sich meist um
eine dünne Sammellinse, der zu betrachtende Gegenstand befindet sich in der Nähe der
Brennebene der Linse. Betrachtet wird das vergrößerte virtuelle Bild des Gegenstandes
(siehe Abb. 2.12). Da die Vergrößerung von der gewählten Gegenstandsweite abhängt,
wird zur Angabe der sogenannten Normalvergrößerung als Eigenschaft einer bestimmten
Lupe angenommen, das sich das Objekt genau in der Brennebene befindet:
1 −f
1 −f
1 0
=
(2.60)
0 1
1/f 0
1/f 1
{z
}|
{z
}
|
Linse
Propagation
Wirkung auf Strahl von Objektpunkt (x1 , α1 ):
x2
1 −f
x1
x1 − f · α1
=
=
α2
1/f 0
α1
x1 /f
(2.61)
Durch die Lupe betrachtet, erscheinen in dieser Situation alle Strahlen von dem betrachteten Objektpunkt unter dem Winkel ΘLupe = α2 = x1 /f . Ohne Lupe wäre der maximale
Sehwinkel Θmax = x1 /sB . Die Vergrößerung beträgt also
sB
ΓLupe =
f
(2.62)
Da sich das Objekt in der Brennebene befindet, findet keine Abbildung statt, die konjugierte Ebene liegt im Unendlichen.
Abbildung 2.12: (a) Beobachtung des vergrößerten virtuellen Bildes einer Lupe (b) zur
Normalvergrößerung: das Objekt befindet sich in der Brennebene der Lupe, das virtuelle
Bild im Unendlichen (aus [1])
2-15
Im allgemeinen Fall (vgl. Abb. 2.12a) befindet sich das Objekt mit Größe x1 in einer Entfernung s1 ≤ f wenn ein virtuelles Bild entstehen soll. Die Lupe wird in einer Entfernung
a vom Auge gehalten. Die Entfernung des virtuellen Bildes von der Linse (hier positiv auf
der Objektseite im Gegensatz zu Gl. 2.39) beträgt dann
s2 =
f s1
.
f − s1
(2.63)
Die Entfernung des virtuellen Bildes vom Auge ist
s2 + a =
f s1 + af − as1
,
f − s1
(2.64)
hier ist aber zu beachten, dass diese Entfernung nicht kleiner als sB werden darf, um eine
Beobachtung zu ermöglichen!
Die Größe x2 des virtuellen Bildes beträgt (hier ebenfalls positiv bezeichnet)
s2
f x1
=
.
s1
f − s1
(2.65)
x2
f
= x1
s2 + a
f s1 + af − as1
(2.66)
x2 = x1 ·
Es ergibt sich damit ein Sehwinkel von
ΘLupe =
und eine Vergrößerung des Sehwinkels gegenüber der Betrachtung ohne Lupe von
Γ(f, s1 , a) = sB
f
.
f s1 + af − as1
(2.67)
Es ergibt sich hier das auf den ersten Blick erstaunliche Resultat, dass wenn die die Linse
im Brennweitenabstand vom gehalten wird (f = a), die Vergrößerung unabhängig von s1
wird:
sB
f
=
,
(2.68)
Γ(f, s1 , a)|a=f = sB
2
f s1 + f − f s1
f
dabei ist allerdings zu betrachten, dass das Auge auf die jeweilige Entfernung des virtuellen
Bildes akkomodieren muss, also hier
f2
s2 + f =
,
f − s1
(2.69)
wobei, wie schon erwähnt, dieser Abstand die Bezugssehweite nicht unterschreiten darf.
2-16
Teleskop
Ein Teleskop dient zur Vergrößerung des Sehwinkels weit entfernter Objekte. Auch hier
findet keine Abbildung statt; es wird angenommen, das sich die Objektebene im unendlichen befindet. Das Teleskop ist eine Anordnung zweier dünner Linsen im Abstand der
Summe ihrer Brennweiten: eine Linse mit großer Brennweite F , das Objektiv ist dem Objekt zugewandt, eine Linse mit kleiner Brennweite f , das Okular ist dem Auge zugewandt:
Abbildung 2.13: Strahlengang und Sehwinkel in einem auf unendlich eingestellten (a)
Kepler-Telekop und (b) Galilei-Teleskop (aus [1])
1 0
−f /F −f − F
1 0
1 −F − f
=
1/F 1
0
−F/f
1/f 1
0
1
{z
}|
{z
}|
{z
}
|
Okular
P ropagation
(2.70)
Objektiv
Damit ergibt sich
F
Θ0 = − Θ
f
0
F
Θ
Γ=
= −
Θ
f
(2.71)
Das Okular kann sowohl eine Linse mit positiver Brennweite sein (Astronomisches oder
Kepler-Teleskop) also auch eine Linse mit negativer Brennweite (Galilei-Teleskop). Die
Funktion des astronomischen Fernrohrs kann man auch als eine Abbildung des Objekts
aus dem Unendlichen in die Brennebene des Objektivs; dort entsteht ein reelles (umgekehrtes) Zwischenbild; das Okular dient als Lupe zur Betrachtung des Zwischenbildes. Das
reelle Zwischenbild hat den Vorteil, dass in der Brennebene beispielsweise ein Maßstab zur
Größenbestimmung angebracht werden kann. Das Galilei-Teleskop hat kein reelles Zwischenbild; sein Vorteil ist die kürzere Baulänge, außerdem ist das Bild nicht invertiert.
2-17
Mikroskop
Das Mikroskop dient zur Betrachtung extrem kleiner Objekte. Ein Objektiv mit sehr
kleiner Brennweite fOb erzeugt ein reelles Zwischenbild in einem festen Abstand, der
Tubuslänge t (normalerweise 160 mm) von der bildseitigen Brennebene des Objektivs.
Es gilt also, für die Gegenstandsweite g und die Bildweite b:
b = fOb + t
fOb
(fOb + t)
g =
t
t
t
b
=
=
ΓOb =
g
fOb
fOb
(2.72)
mit der reellen Vergrößerung ΓOb . Wegen der festen Tubuslänge ist bei Mikroskopobjektiven meist nur die Vergrößerung angegeben und nicht die Brennweite.
Das Okular mit der Brennweite fOk dient dann wieder als Lupe zur Betrachtung des
Zwischenbildes, mit der augenbezogenen Vergrößerung
ΓOk =
sB
.
fOk
(2.73)
Auch bei Okularen ist meist nur die Vergrößerung angegeben und nicht die Brennweite.
Die Gesamtvergrößerung beträgt damit
Γ = ΓOb · ΓOk =
t
fOb
·
sB
fOk
Abbildung 2.14: Strahlengang und virtuelles Bild im Mikroskop (aus [5])
2-18
(2.74)
2.2
Blenden
2.2.1
Aperturblenden und Feldblenden
Der nutzbare Durchmesser eines optischen Systems ist im Allgemeinen begrenzt durch
die endlichen Durchmesser der einzelnen optischen Komponenten. Es können aber auch
zusätzlich in ein System Durchmesserbegrenzungen eingebaut werden, um z.B. Verschlechterungen der Bildqualität durch Abweichungen von der paraxialen Näherung zu minimieren. Alle hier diskutierten Blenden werden, wie die sonstigen optischen Komponenten, als
rotationssymmetrisch um die optische Achse angenommen.
Abbildung 2.15: Bündelbegrenzende Öffnungen bei einer Abbildung (aus [1])
Die Wirkung solcher Blenden betrifft zwei Aspekte der Abbildung:
• Als Aperturblende wird diejenige Öffnung in einem abbildenden System bezeichnet,
die den Öffnungswinkel der Strahlen begrenzt, die von einem Objektpunkt auf der
optischen Achse ausgehen. Die Aperturblende begrenzt damit die Lichtmenge, die durch
das abbildende System tritt und bestimmt damit die Bildhelligkeit.
• Als Feldblende wird eine Blende bezeichnet, die Lichtbündel, die von achsfernen Punkten der Objektebene ausgehen ganz oder teilweise blockiert. Eine Feldblende begrenzt
damit die Bildgröße.
Es ist zu beachten, dass diese Begriffe zunächst verschiedene Auswirkungen von Blenden beschreiben, nicht notwendigerweise verschiedene Objekte im Strahlengang. Eine bestimmte Durchmesserbegrenzung kann sowohl als Aperturblende als auch als Feldblende
wirken. Ein optisches System sollte aber so gestaltet sein, dass insbesondere bei einstellbaren Blenden die Apertur- und Feldblende unabhängig voneinander einstellbar sind.
Abbildung 2.15 zeigt diese Wirkungen: die schwarz gezeichnete Aperturblende ist eine
reale Lochblende, die zunächst einmal den Öffnungswinkel σ1 des Strahlenbündels von
der Objektmitte O1 begrenzt. Die Abbildung zeigt aber auch, dass die Lichtbündel von
achsenfernen Objektpunkten einen immer kleineren Teil der Linse ausleuchten, je weiter
sich der Objektpunkt von der optischen Achse entfernt.
2-19
Aperturblenden
Eine Aperturblende begrenzt, nach Definition, den Öffnungswinkel von Strahlen, die von
einem Objektpunkt auf der optischen Achse ausgehen. Im Matrixformalismus bedeutet
dies: für Eingangsstrahlen (0, α1 ) ist der Winkelbereich begrenzt:
| α1 | ≤ αmax
(2.75)
Eine ideale Aperturblende hat nur diese Wirkung: Wenn man die Größe der Aperturblende ändert, wird die Bildhelligkeit modifiziert, der Bildausschnitt aber bleibt erhalten.
Im Matrixformalismus bedeutet dies: für Eingangsstrahlen (x1 , α1 ) ist der Winkelbereich
begrenzt, aber beliebig große Abstände zugelassen:
| x1 | ≤ ∞
| α1 | ≤ αmax
(2.76)
(2.77)
Eine Aperturblende mit Radius r schränkt die möglichen Werte des Abstandes von der
optischen Achse ein:
r ≥ x2 = A1→2 x1 + B1→2 α1
(2.78)
dabei sind A1→2 und B1→2 Matrixelemente des Teilsystems von der Objektebene z1 zur
Position der Blende z2 . Wenn dies für beliebig große x1 gelten soll, dann muss A1→2 = 0
sein:
Eine ideale Aperturblende muss in einer Brennebene angeordnet sein! (siehe Seite 2-9).
Feldblenden
Eine Feldblende begrenzt Strahlen von achsfernen Punkten des Objekts. Im Matrixformalismus bedeutet dies: für Eingangsstrahlen (x1 , α1 ) ist der Abstand von der optischen
Achse begrenzt:
| x1 | ≤ xmax
(2.79)
Eine ideale Feldblende hat nur diese Wirkung: Wenn man die Größe der Feldblende ändert,
wird die Bildgröße modifiziert, die Bildhelligkeit innerhalb des eingestellten Bildbereichs
aber bleibt erhalten. Im Matrixformalismus bedeutet dies: für Eingangsstrahlen (x1 , α1 )
ist der Abstandsbereich begrenzt, aber beliebig große Winkel zugelassen:
| x1 | ≤ xmax
| α1 | ≤ ∞
(2.80)
(2.81)
Eine Feldblende mit Radius r schränkt die möglichen Werte des Abstandes von der optischen Achse ein:
r ≥ x2 = A1→2 x1 + B1→2 α1
(2.82)
dabei sind wieder A1→2 und B1→2 Matrixelemente des Teilsystems von der Objektebene
z1 zur Position der Blende z2 . Wenn dies für beliebig große α1 gelten soll, dann muss
B1→2 = 0 sein:
Eine ideale Feldblende muss in einer (Zwischen-)Bildebene angeordnet sein!
2-20
2.2.2
Aperturblende und Pupillen
Die tatsächliche Aperturblende kann sich irgendwo im Inneren des optischen Systems
befinden. Zur quantitativen Beschreibung ihrer Wirkung muß aber angegeben werden, wie
groß die möglichen Öffnungswinkel an der Ein- und Ausgangseite des Systems tatsächlich
sind. Zu diesem Zweck dienen die folgenden Definitionen
- Die Eintrittspupille (EP) begrenzt den Öffnungswinkel von Strahlen, die vom Achsenpunkt der Objektebene in das optische System eintreten. Sie ist entweder die reale
Aperturblende (wenn diese vor der ersten Linse angeordnet ist) oder das Bild der realen
Aperturblende durch den Teil des optischen Systems, der sich zwischen der Objektebene und der Aperturblende befindet.
- Die Austrittspupille (AP) begrenzt den Öffnungswinkel von Strahlen, die zum Bildpunkt konvergieren (bei reellem Bild) bzw. den Öffnungswinkel der Austrittsstrahlen
(bei virtuellem Bild). Sie ist entweder die reale Aperturblende (wenn diese hinter der
letzten Linse angeordnet ist) oder das Bild der realen Aperturblende durch den Teil des
optischen Systems, der sich zwischen der Aperturblende und der Bildebene befindet.
Eintrittspupille und Austrittspupille zueinander konjugiert.
Abbildung 2.16: Aperturblende, Ein- (EP) und Austrittspupille (AP) im Strahlengang
eines mehrlinsigen Systems. (aus [1])
Abb. 2.16 zeigt eine solche Situation: die Aperturblende befindet sich mitten im System;
sowohl die Eintrittspupille als auch die Austrittspupille sind virtuelle Bilder der Aperturblende an Positionen außerhalb des eigentlichen optischen Systems.
Bei komplizierten optischen Systemen muss zur Bestimmung der Ein- bzw. Austrittspupille jede im System befindliche Blende (echte Blenden und nutzbare Durchmesser
optischer Elemente) zur Objekt- und Bildseite des Systems abgebildet werden. Diejenige
der so bestimmten Blenden, die den Öffnungswinkel von Strahlen, die von der Objektmitte ausgehen (zur Bildmitte konvergieren), am meisten einschränkt, ist dann die Eintritts(Austritts)pupille.
Es bleibt die Frage, an welcher Position im Strahlengang eine Blende nur als Aperturblende wirkt, also nicht die Bildgröße beeinflusst. Diese Forderung bedeutet, dass der
Abstand eines Strahls von der optischen Achse an dieser Stelle nicht vom Abstand von
der optischen Achse in der Objektebene abhängen darf. In der Sprache des Matrixformalismus also ganz einfach: das Matrixelement A der Matrix, die die Propagation von der
Objektebene bis in eine für eine Aperturblende geeignete Ebene beschreibt, muss Null
sein. Wie sich leicht zeigen lässt, ist dies in einer Brennebene erfüllt.
2-21
Quantitativ werden Aperturblenden wie folgt bezeichnet:
• Die Blendenzahl, häufig auch als Blende“ oder Lichtstärke“ bezeichnet, ist defi”
”
niert als das Verhältnis aus der Brennweite und dem Durchmesser der Eintrittspupille
f
(2.83)
k = f/# =
dEP
Eine große Blendenzahl bezeichnet einen kleinen Durchmesser der Eintrittspupille!
• Das Öffnungsverhältnis bezeichnet den Kehrwert der Blendenzahl
1
1
dEP
=
=
k
f/#
f
(2.84)
Es wird häufig als Verhältnis notiert, z.B. 1:2,8“ für eine Blendenzahl von 2,8.
”
Diese beiden Maße werden vor allem für Systeme benutzt, bei denen die Objektentfernung
groß ist, z.B. Kameras oder Teleskope. In solchen Situationen ist es nicht nötig, die genaue
Position der Eintrittpupille relativ zur Eintrittsebene des optischen Systems zu kennen,
und es reicht, ihren Durchmesser anzugeben.
Bei Systemen zur Abbildung sehr kleiner Objekte in sehr kleiner Objektentfernung, insbesondere bei Mikroskopobjektiven, aber auch bei Optiken zum Umgang mit Glasfasern oder integrierten elektrooptischen Elementen, reicht es nicht aus, den Durchmesser
der Eintrittspupille anzugeben, um daraus auf die Einschränkung des Winkelbereichs zu
schließen. Diese wird daher direkt angegeben:
• Die Numerische Apertur bezeichnet den halben Öffnungswinkel des Lichtbündels,
vom Objektpunkt aus gesehen
N A = n0 · sin σ
(2.85)
Der Öffnungswinkel ist dabei für diejenige Objektentfernung angegeben, bei der das
optische System benutzt wird. (meist ist dies ungefähr die Brennweite; für Mikroskope siehe Seite 2-18)
2-22
2.2.3
Feldblende und Vignettierung
Die bisher besprochenen Blenden beschreiben die Begrenzung des Öffnungswinkels der
Lichtbündel von oder zu Punkten auf der optischen Achse und damit die Beeinflussung
der Bildhelligkeit. Im Folgenden werden Begrenzungen der Strahlenbündel von bzw. zu
achsenfernen Positionen diskutiert.
Eine Begrenzung des abgebildeten Bereichs des Objektes durch eine Blende in der Objektoder Bildebene oder einer anderen Ebene wird als Feldblende bezeichnet. Auch hier
werden wieder die Abbildungen in die Objekt- und Bildebene betrachtet:
- Die Begrenzung des abgebildeten Bereiches in der Bildebene wird als Austrittsluke
bezeichnet. Diese kann eine reale Begrenzung in der Bildebene oder das Bild einer
Begrenzung in der Objektebene oder einer anderen Ebene sein.
- Die Begrenzung des abgebildeten Bereiches in der Objektebene wird als Eintrittsluke
bezeichent. Diese kann eine reale Begrenzung in der Objektebene oder das Bild einer
Begrenzung in der Bildebene oder einer anderen Ebene sein.
Bei einer Kamera ist die Feldblende durch das Filmfenster oder den Rand des CCD-Chips
gegeben (vgl. den Formatrahmen“ in Abb. 2.15), da diese in der Bildebene liegt ist sie
”
zugleich die Austrittsluke. Würde z.B. ein Mensch formatfüllend“ fotografiert, so könnte
”
man sich dann die Eintrittsluke als einen 2m × 3m großen rechteckigen Ausschnitt in
einer ansonsten schwarzen Ebene um den Menschen herum vorstellen.
Ein Problem tritt dann auf, wenn eine Feldblende nicht scharf in die Bild- ober Objektebene abgebildet wird, was bedeutet dass nur ein Teil der Lichtbündel von randnahen
Objektpunkten in der Bildebene ankommt, das Bild also zum Rand hin dunkler wird.
Dieser Effekt heißt Vignettierung.
Abbildung 2.17: Beispielfoto Vignettierung
Vignettierung tritt dann also nur dann nicht auf, wenn der Abstand eines Strahls von der
optischen Achse am Ort einer Feldblende nicht vom Winkel der vom Objekt ausgehenden Strahlen abhängt. Dies ist gerade die Abbildungsbedingung B = 0 (siehe Abschnitt
2.1.4). Vignettierung tritt dann auf, wenn die Feldblende nicht genau in der Objekt- oder
Bildebene oder einer Zwischenbildebene liegt.
2-23
Eine Situation, in der es zu Vignettierung kommt, ist in Abb. 2.18 gezeigt. Dabei werden
so genannte Hauptstrahlen betrachtet, dies sind Strahlen die von einem achsfernen Objektpunkt durch den Mittelpunkt der Eintrittspupille treten. Die Eintrittsluke begrenzt
den vom Mittelpunkt der Eintrittspupille aus gesehenen Öffnungswinkel dieser Hauptstrahlen. Der grau gezeichnete Bereich des Bildes außerhalb des Öffnungskegels nahe der
Punkte P2 und Q2 wird nicht von Hauptstrahlen erreicht, hier ist das Bild abgedunkelt.
Abbildung 2.18: Die Feldblende begrenzt den Öffnungswinkel 2ϕ1 der Hauptstrahlen HS
von den Punkten Q1 und P1 (aus [1])
Feldlinsen
In den meisten Fällen wird eine Vignettierung durch eine (unerwünschte) Feldblende
innerhalb des optischen Systems verursacht. Die Vignettierung lässt sich dann häufig
durch eine so genannte Feldlinse vermeiden. Dies soll hier am Beispiel eines Teleskops
demonstriert werden:
Bei einem gewöhnlichen Teleskop (Matrix beschreibt den Weg von der Objektseite des
Objektivs bis zur Bildseite des Okulars)


f
f
 −F f + F 
(2.86)

F  → x2 = − F x1 + (f + F )α1
0
−
f
ist die Position x2 der verschiedenen Bündel auf der Okularlinse sehr stark vom Eintrittswinkel abhängig. Strahlenbündel, die von Randbereichen des Objektes ausgehen werden
auch auf Randbereiche des Okulars abgebildet. Der Rand der Okularlinse (oder auch der
Rand der Pupille des Auges eines Beobachters, der das Okular direkt ans Auge hält) wirkt
dann als Feldblende und es tritt Vignettierung auf.
Bei einem Teleskop mit einer Feldlinse der Brennweite a in der Zwischenbildebene, d.h.
der gemeinsamen Brennebene der beiden Teleskoplinsen


fF
f
f +F −
 −F

a

 → x2 = − f x1 + f + F − f F α 1
(2.87)


F
F
a
0
−
f
ist die Positionsvariation in der Austrittsebene zunächst einmal verringert.
2-24
Abbildung 2.19: Teleskop mit und ohne Feldlinse (aus [5])
Wählt man für die Brennweite der Feldlinse
a=
fF
f +F
(2.88)
so ist die Systemmatrix
f
−
 F

0


0 
f
F  → x2 = − F x1
−
f
(2.89)
und die Position auf der Okularlinse ist unabhängig von α1 , das bedeutet, dass die Bündel
von allen Objektpunkten die Okularlinse zentriert passieren.
Unabhängig von der Existenz der Feldlinse ist
F
α2 = − α1 ;
f
(2.90)
die Vergrößerung ist also nicht beeinträchtigt.
Die Austrittspupille ist das Bild der Eintrittspupille, letztere ist hier die Öffnung des
Objektivs. Die Lage der Austrittspupille lässt sich bestimmen, indem die Systemmatrix
durch eine weitere Propagation um eine Strecke b so ergänzt wird, dass das Matrixelement
B der ABCD-Matrix Null wird, welches ja die Bedingung für eine Abbildung ist.
Ohne Feldlinse lautet die Systemmatrix
 


f
F
−f f +F
−
f +F −b
1 −b  F
  F
f  → b = (f + F ) · f
=
(2.91)
 


F
F
0 1
F
0
−
0
−
f
f
Die Austrittspupille, das Bild der Öffnung der Eintrittslinse, befindet sich also ohne Feldlinse um mehr als die Okularbrennweite vom Okular entfernt. Selbst wenn das Okular
2-25
Abbildung 2.20: Ramsden-Okular. (aus [5])
keine Strahlen abschneiden würde, müsste der Benutzer das Teleskop in diesem Abstand
zu seinem Auge positionieren. Das Matrixelement B der Systemmatrix für das Teleskop
mit Feldlinse ist bereits 0, das System bildet also die Eintrittspupille in die Austrittsebene
(die Bildseite der Okularlinse) ab. Das Okular kann direkt ans Auge gehalten werden.
Als Baugruppe eines Teleskops (oder Mikroskops) besteht das Okular“ häufig aus der
”
Feldlinse (die etwas hinter der Zwischenbildebene steht, damit die Austrittspupille nicht
unmittelbar auf der Oberfläche der Okularlinse liegt), evtl. einem Fadenkreuz oder einer
Messskala in der Zwischenbildebene und der eigentlichen Okularlinse.
Kondensoren
Ein Kondensor ist das Äquivalent zu einer Feldlinse bei Beleuchtungsoptiken für Durchlichtprojektoren. Seine Aufgabe ist es die Lichtquelle auf die eigentliche Projektionslinse
abzubilden, um einen möglichst großen Teil des abgestrahlten Lichtes der Lichtquelle in
den Projektionsstrahlengang einzubringen.
Abbildung 2.21: (a) Die Glühwendel wirkt als Eintrittspupille, wodurch der Aperturwinkel 2σ1 sehr klein ist. (b) Der Aperturwinkel wird vergrößert durch die Abbildung der
Glühwendel auf die Linse mit dem zusätzlichen Kondensor (aus [1])
Der Bildhelligkeit ist bestimmt durch den Aperturwinkel, d.h. den Öffnungswinkel eines
Lichtbündels vom Mittelpunkt des durchleuchteten Objektes, z.B. eines Dias oder dem
LCD-Element in einem Datenprojektor. Dieser Winkel kann ohne Kondensor nur so groß
sein, wie der Winkel, unter dem die Lichtquelle vom Mittelpunkt des Dias aus erscheint.
Durch den Kondensor wird die Lichtquelle auf die Abbildungslinse abgebildet, wodurch
sich ein viel größerer Aperturwinkel ergibt.
2-26
Kapitel 3
Beugung
3.1
Grundlagen
In Abschnitt 1.1.1 waren zwei Idealfälle der Wellenausbreitung vorgestellt worden:
- Kugelwelle: die Welle geht von einem Punkt aus
- ebene Welle: die Welle geht von einer unendlich ausgedehnten Ebene aus
Die Fronten dieser Wellenformen bleiben bei der Ausbreitung Kugeln um den Ausgangspunkt bzw. unendlich ausgedehnte Ebenen parallel zur Ausgangsebene.
Die Fragen, denen in diesem Abschnitt nachgegangen werden soll, sind:
- wie breitet sich eine Welle aus, die keine Kugelwelle oder ebene Welle ist?
- was geschieht, wenn sich eine Welle (auch Kugel- oder ebene Welle) nicht ungehindert
ausbreiten kann?
Die Antwort sei hier vorweggenommen:
Intensitätsverteilung und Wellenfronten einer Welle, die keine Kugelwelle
oder ebene Welle ist, verformen sich bei der Ausbreitung.
Dieses Phänomen heißt Beugung.
Scharfe Schatten, wie man sie sich nach den Gesetzen der Strahlenoptik
vorstellt, gibt es nicht.
Das Phänomen der Beugung ist nicht auf Licht bzw. elektromagnetische Wellen beschränkt, sondern tritt bei allen Wellenarten auf.
3.1.1
Das Huygens-Fresnel-Prinzip
Eine erste beschreibende Erklärung dieses Phänomens erfolgte durch Huygens um 1690:
Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen (Kugel-)Welle.
Diese Wellen werden als Elementarwellen bezeichnet. Die Einhüllende aller
Elementarwellen ist die neue Wellenfront.
Diese Beschreibung wurde im 19. Jhdt. durch Fresnel präzisiert:
An jedem nachfolgenden Punkt ist die Amplitude durch die phasenrichtige
Überlagerung (Interferenz) aller dieser Elementarwellen gegeben.
3-1
3.1.2
Beugungsbilder I: geometrische Konstruktion
Die nachfolgend beschriebenen Anordnungen stellen extrem reduzierte Situationen dar,
die bei der Erforschung und Erklärung des Phänomens der Beugung eingeführt wurden
um die grundlegenden qualitativen und quantitativen Gesetzmäßigkeiten zu finden bzw.
eine experimentelle Annäherung an die theoretischen Konzepte (z.B. die Kugelwelle) zu
ermöglichen.
Viele Beugungserscheinungen sind dadurch gekennzeichnet, dass, verglichen mit dem
Schatten“ der beugenden Struktur, zusätzliche Minima und Maxima, sogenannte Beu”
gungsstreifen oder Beugungsringe auftreten. Die Erklärung dafür ist, dass die Orte ausgeprägter Minima Orte destruktiver Interferenz der Elementarwellen sind, während an den
zusätzlichen Maxima konstruktive Interferenz auftritt.
In diesem Abschnitt soll anhand geometrischer Betrachtungen die Lage dieser Minima und
Maxima bestimmt werden; Form und relative Höhen werden hier noch nicht betrachtet.
Dabei werden die Beugungsbilder in großen Abständen“ betrachtet, dies bedeutet, daß
”
man davon ausgeht, daß sich die Winkel, unter denen verschiedene Elementarwellen an
einem bestimmten Punkt in der Ebene des Interferenzbildes eintrefffen, nur sehr wenig
unterscheiden. Man betrachtet dann nicht Orte in einer bestimmten Ebene, sondern Richtungen und damit die Gangunterschiede zwischen Parallelstrahlen.
Doppelspalt
Die einfachste Situation zur Untersuchung von Beugungseffekten sind zwei zweidimensionale Elementarwellen (Kreiswellen), deren Ausgangspunkte einen gewissen Abstand voneinander haben. Die Anordnung zur Untersuchung einer solchen Situation ist der Doppelspalt, d.i. eine Anordnung von zwei lichtdurchlässigen schmalen parallelen Schlitzen mit
Abstand D in einer ansonsten lichtundurchlässigen Fläche. Die Breite der Spalte wird
nicht betrachtet; es wird angenommen, dass sie sehr klein ist (insbesondere im Verhältnis zu D). Die beiden Spalte werden mit gleicher Phase beleuchtet, beispielsweise durch
eine sehr weit entfernte Punktlichtquelle, die in der Symmetrieebene der beiden Spalte
angeordnet ist.
Betrachtet man hier den Gangunterschied zwischen zwei Parallelstrahlen, die unter dem
Winkel α zur optischen Achse (Symmetrieachse) von den beiden Spalten ausgehen, so
beträgt dieser
∆ = D · sin α
(3.1)
Abbildung 3.1: Beugung am Doppelspalt, Phasenunterschiede zwischen Strahlen mit gleicher Ausbreitungsrichtung bei konmstruktiver Interferenz.
3-2
Ist der Gangunterschied ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge
∆ = ±(m + 12 )λ,
m = 0, 1, 2, 3 . . . ,
(3.2)
so kommt es zu destruktiver Interferenz;
ist der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
∆ = ±m · λ,
m = 0, 1, 2, 3 . . . ,
(3.3)
so kommt es zu konstruktiver Interferenz.
Es gibt also Minima und Maxima für folgende Winkel:
λ
Minima: sin α = ±(m + 21 ) ,
D
λ
Maxima: sin α = ±m · ,
D
m = 0, 1, 2, 3 . . . ,
(3.4)
m = 0, 1, 2, 3 . . .
Die Maxima werden als Beugungsordnungen bezeichnet: das zentrale Maximum oder
Hauptmaximum, d.h. die Interferenz von Strahlen parallel zur optischen Achse wird als
0. Ordnung bezeichnet, die weiteren Nebenmaxima dann als ±1. Ordnung, ±2. Ordnung
usw.
Die Winkel, unter denen die einzelnen Beugungsordnungen auftreten, sind offensichtlich
proportional zum Verhältnis aus Wellenlänge und Spaltabstand. Dies gilt bei allen Beugungserscheinungen: die Aufweitung des Lichtbündels durch die Beugung ist um so größer,
je größer die Wellenlänge und je kleiner die beugende Struktur ist.
Beugungsgitter
Ein Beugungsgitter ist eine Anordnung von sehr vielen parallelen Spalten, die als Striche
oder Linien bezeichnet werden. Der Abstand zwischen den Spalten wird als Gitterkonstante bezeichnet. Im Gegensatz zum Doppelspalt sind Beugungsgitter auch technisch
sehr wichtige optische Komponenten, die nicht nur der Untersuchung von Beugungserscheinungen sondern insbesondere ihrer Nutzung, vor allem bei der räumlichen Trennung
von Licht unterschiedlicher Wellenlängen, dienen.
Ein Beugungsgitter kann eine in Glas geritzte Struktur oder eine photographisch oder photolithographisch hergestellte Folge von lichtdurchlässigen und lichtundurchlässigen Bereichen sein. Mit photographischen Methoden erreicht man einige 100 Linien pro Millimeter.
Mit photolithographischen Verfahren kann man Gitter mit einigen 1000 Linien pro Millimeter produzieren.
Für die Winkel, unter denen die Minima und Maxima auftreten, gelten die gleichen Zusammenhänge wie beim Doppelspalt:
λ
Minima: sin α = ±(m + 21 ) ,
d
λ
Maxima: sin α = ±m · ,
d
m = 0, 1, 2, 3 . . . ,
(3.5)
m = 0, 1, 2, 3 . . .
Das genaue Aussehen des Beugungsbildes des Gitters unterscheidet sich umso stärker von
dem des Doppelspaltes, je größer die Anzahl der Striche (Einzelspalte) ist.
3-3
Spalt
Zur Beschreibung der Beugung an einem einzelnen Spalt mit Breite b (Abb. 3.2), kann
man nicht mehr von diskreten Ausgangspunkten einzelner Elementarwellen ausgehen.
Zur Ermittlung der Lage der 1. Minima betrachtet man die Interferenz zwischen Elementarwellen, die von der einen Hälfte des Spaltes ausgehen (1, 2, 3, 4, 5) mit denen, die von
der anderen Hälfte ausgehen (1’, 2’, 3’, 4’, 5’). Beträgt der Gangunterschied ∆ zwischen
zwei solchen Wellen eine halbe Wellenlänge,
∆=
λ
b
sin α = ± ,
2
2
(3.6)
so kommt es zu destruktiver Interferenz. Die 1. Minima liegen also bei
λ
sin α = ± .
b
(3.7)
Die Maxima und weiteren Minima lassen sich nicht mit entsprechend höheren Gangunterschieden indentifizieren, sondern es muss die Interferenz zwischen kleineren Abschnitten
der Spaltöffnung betrachtet werden; d.h. die gleichzeitige destruktive Interferenz des 1.
bzw. 3. Viertels mit dem 2. bzw. 4. Viertel für die 2. Minima usw.. Die Maxima liegen
dazwischen (anschauliche Vorstellung: das 1. Drittel interferiert destruktiv mit dem 2.
Drittel und das 3. Drittel bleibt übrig usw.). Es gibt damit Minima und Nebenmaxima
für folgende Winkel:
Minima b · sin α = ±mλ
m = 1, 2, 3 . . .
1
Maxima b · sin α ≈ ±(m + 2 )λ m = 1, 2, 3 . . .
(3.8)
In den folgenden Abbildungen sind sowohl berechnete (Abb. 3.3) wie auch beobachtete
(Abb. 3.4 Intensitätsverteilungen für diese Situation gezeigt.
Abbildung 3.2: Beugung am Spalt, Überlagerung von Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip (aus [1])
3-4
Abbildung 3.3: Relative Intensitätsverteilung für die Beugung am Spalt (aus [1])
Abbildung 3.4: Beugungsbilder eines mit einem He-Ne-Laser beleuchteten Spalts für drei
Spaltbreiten (von oben:) 0,45 mm, 0,27 mm und 0,14 mm. (aus [1])
Lochblende
Bei der Beugung an einer (kreisrunden) Lochblende muss die Interferenz von (dreidimensionalen) Kugelwellen betrachtet werden. Hier gilt für die Winkel, unter dem die ersten
Minima auftreten
λ
,
D
λ
= 2, 23 · ,
D
λ
= 3, 24 · ,
D
sin α01 = 1, 22 ·
sin α02
sin α03
(3.9)
dabei ist D der Durchmesser des Loches. Dieses Beugungsbild, d.h. insbesondere das erste
Maximum, wird auch als Airy-Scheibchen bezeichnet. (Siehe Abb. 3.5).
Abbildung 3.5: Beugungsbild einer mit einem He-Ne-Laser beleuchteten Lochblende (aus
[1])
3-5
3.1.3
Beugungsbilder II: Das Beugungsintegral
Die im letzten Abschnitt erläuterten geometrischen Betrachtungen erklären die Lage der
Minima und Maxima der Beugungsbilder einfacher beugender Strukturen. Bei näherer Betrachtung lässt sich aus ihnen auch die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes ableiten,
was hier aber nicht näher ausgeführt werden soll.
Statt dessen soll hier ein Formalismus zur Berechnung der Beugungsbilder beliebiger beugender Strukturen angegeben werden. Dazu sei folgende Situation angenommen:
- Die beugende Struktur soll sich in einer bestimmten Ebene R (im Folgenden Beu”
gungsebene“ genannt) befinden und über eine (endliche) Fläche S ausgedehnt sein.
Ein Ort in der Beugungsebene wird durch den Vektor ~r bezeichnet.
- Die beugende Struktur wird durch eine Transmissionsfunktion t(~r) beschrieben. Im
einfachsten Fall nimmt t(~r) nur die Werte null an den undurchsichtigen Stellen oder
eins an den durchsichtigen Stellen an, aber man kann sich leicht dazwischenliegende
Werte vorstellen oder auch komplexe Werte, bei denen die Phase der einlaufenden Welle
um einen festen Betrag geändert wird (z.B. durch unterschiedliche Brechungsindices).
- Die beugende Struktur werde von einer Punktquelle Q im Abstand L1 von der Beugungsebene beleuchtet. Der Vektor von Q zum betrachteten Punkt ~r in der Beugungsbene wird als d~1 (~r) bezeichnet. Die Feldstärke ψ1 (~r) der Kugelwelle, die von Q mit der
Stärke aQ und der Wellenlänge λ ausgestrahlt wird, kann mit der Wellenzahl k0 = 2π/λ
geschrieben werden als
aQ ik0 d1 (~r)
e
(3.10)
ψ1 (~r) =
d1 (~r)
- Die Feldverteilung f (~r) in der beugenden Ebene ergibt sich damit zu
f (~r) = t(~r) · ψ1 (~r) = t(~r)
aQ ik0 d1 (~r)
e
d1 (~r)
(3.11)
- Berechnet werden soll die Feldamplitude ψ an einem Ort P in der Beobachtungsebe”
ne“, die sich im Abstand L von der Beugungsebene befindet. Der Vektor vom betrach~ r) bezeichnet.
teten Punkt ~r in der Beugungsbene zu P wird als d(~
Der Beitrag dψ eines Flächenelements dS am Ort ~r zur Amplitude ψ ist
dψ =
1 f (~r) ik0 d(~r)
·
e
dS
iλ d(~r)
(3.12)
Der Faktor 1/iλ = −ik0 /2π wird hier nicht hergeleitet (siehe z.B. [5]).
~ r) (Neigungswinkel) wird, ähnlich wie
- Der Winkel θ zwischen den Vektoren d~1 (~r) und d(~
bei der paraxialen Näherung, als klein angenommen und im Weiteren nicht betrachtet.
Abbildung 3.6: Definition der Größen für das Beugungsintegral (aus [5])
3-6
Unter diesen Voraussetzungen wird die Amplitude ψ am Ort P durch das HuygensKirchhoffsche Beugungsintegral beschrieben:
ZZ
f (~r) ik0 d(~r)
1
e
dx dy.
(3.13)
ψ=
iλ
d(~r)
S
Die Integration erfolgt über die gesamte beugende Fläche S – also überall dort, wo die
Transmissionsfunktion nicht null ist.
Die Abbildungen 3.7 und 3.8 zeigen Beugungsmuster die auf diese Weise berechnet wurden. Vergleicht man diese mit den Abbildungen aus Abschnitt 3.1.2, so erkennt man, dass
die Beugungsbilder nicht nur deutlich komplexer sind, sondern auch, dass sie sich mit dem
Abstand zwischen Beugungsebene und Beobachtungsebene verändern.
Abbildung 3.7: (a) Amplitude der Fresnelschen Beugungsmuster, berechnet für eine
Schlitzblende der Breite 0,9 mm mit den Parametern L = 20 cm, L1 = 28 cm und
λ = 0, 6µm. Der geometrische Schatten ist gestrichelt eingezeichnet. (b) Photografie des
Beugungsmusters bei diesen Bedingungen (aus [5])
Abbildung 3.8: Fresnelsche Beugungsmuster einer Lochblende. (a) für kR2 /2L = 2nπ; (b)
für kR2 /2L = (2n + 1)π (aus [5])
3-7
Fraunhofer- und Fresnel-Beugung
Im Folgenden soll nun die Feldverteilung ψ(~p) als Funktion des Ortes in der Beugungsebene betrachtet werden. Hierzu noch einmal die verwendeten Variablen:
- ~r = (x, y) ist ein Vektor in der Beugungsebene, ~r = 0 bezeichnet den Schnittpunkt von
Beugungsebene und optischer Achse.
- p~ = (px , py ) ist ein Vektor in der Beobachtungsebene, p~ = 0 bezeichnet den Schnittpunkt von Beobachtungsebene und optischer Achse.
- L ist der Abstand zwischen der Beugungsebene und der Beobachtungsebene
- f (~r) beschreibt die Feldverteilung (incl. Phase) in der Beugungsebene
- d(~r, p~) ist der Abstand von einem Punkt ~r in der Beugungsebene zu dem betrachteten
Punkt p~ in der Beobachtungsebene
Der Abstand d(~r, p~) ist sowohl für die Abschwächung der Elementarwellen als auch für
die Interferenz zwischen verschiedenen Teilen der beugenden Struktur wichtig.
q
p
(3.14)
d(~r, p~) = L2 + | p~ − ~r |2 = L2 + p2 − 2~p · ~r + r2
Es bietet sich auch hier eine Vereinfachung an, ähnlich der paraxialen Optik. Die Annahme, die dafür gemacht werden muss, ist wiederum die, dass die auftretenden Winkel
klein sind, d.h. dass die Beugungsebene und die Beobachtungsebene – verglichen mit den
Größen der beugenden Struktur und des betrachteten Beugungsbildes – weit voneinander
entfernt sind:
L r, p
(3.15)
Man kann dann d in eine Taylorreihe entwickeln:
1 p2 − 2~p · ~r + r2 · · ·
+ 4 + ··· .
d=L 1+
2
L2
L
(3.16)
Zum Abbrechen der Reihe müssen zwei Aspekte berücksichtigt werden:
• Bei der Abschwächung
1
1
≈
d
L
1 p2 − 2~p · ~r + r2 · · ·
− 4 − ···
1−
2
L2
L
≈
1
L
(3.17)
macht man nur einen kleinen Fehler, wenn man die 0. Näherung verwendet.
• Bei der Interferenz ist zu beachten, dass eik0 d(~r) periodisch ist, der Absolutwert von d
ist damit nicht wichtig, sondern Änderungen im Bereich einer Wellenlänge entscheiden über konstruktive oder destruktive Interferenz im Punkt p~. Die Entwicklung bis
zur 1. Näherung lässt sich folgendermaßen aufteilen:
~·~
r
1 p2
2πiL
2πi p
πi r2
1
+
−
2πi
2
e λ d(~r,~p) = e| λ {z 2 L } ·
e| λ{z L }
·
e| λ {z L }
(3.18)
konstant für festes p
~
ebene Welle mit Richtung p
~ parabolische Wellenfront
Der erste Term beschreibt eine von ~r unabhängige Verformung der Phasenfront, die
beiden anderen die Interferenz von Beiträgen aus verschiedenen Orten ~r.
3-8
Diese erste Näherung dürfte sich nur noch wenig von der exakten Lösung unterscheiden,
wenn der Abstand L wenigstens das 10-fache der Ausdehnung von beugender Struktur
und Beugungsbild beträgt.
Zur weiteren Vereinfachung soll jetzt die Gesamtgröße % der beugenden Struktur betrachtet werden, d.h. der Bereich, in dem die Transmissionsfunktion ungleich null ist:
| ~r |max = %. Damit lassen sich zwei Fälle unterscheiden:
• Die so genannte Fraunhofersche Beugung:
Hier wird angenommen, dass die Ausdehnung der beugenden Struktur erheblich
kleiner als die betrachteten Abstände ist: Wenn
%2 λL
ist (damit muss % um etwa
ist
(3.19)
p
λ/L kleiner sein, als nach Gl. 3.15 angenommen), dann
2
e
πi
λ
r
L
≈ 1,
(3.20)
also näherungsweise konstant. Damit ist der ~r-abhängige Teil des Phasenfaktors nur
noch
p
~·~
r
− 2πi
λ
L
(3.21)
e
Wie sich im Folgenden zeigen wird, lassen sich in dieser Näherung die Beugungserscheinungen als Funktion des Winkels, d.h. der Richtung vom Ursprung der Beugungsebene zum Punkt p~, sehr einfach angeben.
• Die so genannte Fresnelsche Beugung:
Hier ist die Bedingung für die Fraunhofersche Beugung nicht erfüllt:
%2 & λL
(3.22)
und es muss zur Berechnung des Beugungsbildes im Allgemeinen das vollständige
Beugungsintegral nach Gl. 3.13 berechnet werden, wie beispielsweise in den Abbildungen 3.7 und 3.8 gezeigt.
3-9
3.1.4
Fraunhofer-Beugung
Fraunhofer-Beugung in der Brennebene einer Linse
Den Näherungen, die zu den Ausdrücken für die Fraunhofer-Beugung geführt haben,
liegt die Annahme zugrunde, dass die Beobachtungsebene sehr weit“ bzw. unendlich
”
”
weit“ von der Beugungsebene entfernt ist. Das berechnete Beugungsbild in einer unendlich
weit entfernten Beobachtungsebene lässt sich aber – wie jede andere Feldverteilung in
irgendeiner Ebene auch – durch eine Linse abbilden:
In der beschriebenen Situation liegt ein unendlich weit entferntes virtuelles Objekt vor,
die Gegenstandsweite beträgt also s1 = −∞. Nach der Abbildungsgleichung (Gl. 2.38)
für eine Sammellinse mit Brennweite f ergibt sich ein reelles Bild in der bildseitigen
Brennebene der Linse, also bei s2 = f .
Wählt man als Abstand zwischen Linse und beugender Struktur ebenfalls die Brennweite, so wird die Strahltransformation von der Beugungsebene (Koordinaten (r, ϑ)) in die
bildseitige Brennebene (Koordinaten (q, θ)) durch folgende Matrix beschrieben:
0 −f
(3.23)
1/f 0
Damit folgt für die Transformation eines Strahles von einem beliebigen Punkt der Beugungsebene, der unter dem Winkel ϑ ausgestrahlt wird:
r
f ·ϑ
→
(3.24)
−ϑ
r/f
Der Abstand q von der optischen Achse in der Brennebene ist also proportional zum
Winkel ϑ.
Sei jetzt P~ ein Vektor, der von einem Punkt der beugenden Struktur zum Punkt p~ in der
weit entfernten“ Beobachtungsebene führt (siehe Abb. 3.9).
”
Abbildung 3.9: Definition der Vektoren für Fraunhofer- und Fresnel-Beugung
Da in der Fraunhofer-Näherung die beugende Struktur als klein gegen alle anderen geometrischen Längen angenommen wird, hängt der Winkel ϑ zwischen der optischen Achse
und dem Vektor P~ bzw. seinen Projektionen in die x-z- und y-z-Ebenen nur von p~ ab:
q/f = ϑ ≈ tan ϑ = p/L
qx /f = ϑx ≈ tan ϑx = px /L
qf /f = ϑy ≈ tan ϑy = py /L
(3.25)
Dieser Winkel, von dem angenommen wird, dass er auch für L → ∞ erhalten bleibt,
stellt nun den charakteristischen Parameter zur Beschreibung des Beugungsmusters dar.
So lassen sich auch die in Abschnitt 3.1.2 beschriebenen Winkelabhängigkeiten in der
Brennebene einer Linse als Ortsabhängigkeiten beobachten.
3-10
Fraunhofer-Beugung und Fouriertransformation
In der Fraunhofer-Näherung lautet das Beugungsintegral
ZZ
~·~
r
1 p2
2πi p
1
+
−
1 1 2πiL
2 L2
ψ(~p) =
· ·e λ
f (~r)e λ L dx dy
iλ L
Definiert man den Wellenvektor ~k als
~k = 2π~p = k0 p~
λL
L
(3.26)
(3.27)
so ist
1 k2 Z Z
iLk0 1+
1
1
2
~
2 k0
· ·e
ψ(~k) =
f (~r)e−ik·~r dx dy
(3.28)
iλ L
Die Interferenzamplitude am Ort p~, ist damit proportional zur 2-dimensionalen Fouriertransformierten von f (~r) bei der Raumfrequenz ~k:
1 k2
iLk0 1+
1
1
2
2 k0
· ·e
ψ(~k) =
· F ~k
(3.29)
iλ L
Die Fraunhofer-Beugung ist also eine optische Fouriertransformation.
Aus den Definitionen von ~k (Gl. 3.27) und den Ausbreitungswinkeln (Gl. 3.25) folgt
kx = k0 · sin ϑx ≈ k0 · ϑx
ky = k0 · sin ϑy ≈ k0 · ϑy ,
(3.30)
die Raumfrequenzen kx und ky entsprechen also den transversalen Komponenten bestimmter Ausbreitungsrichtungen des gebeugten Lichts, und es lässt sich schreiben
ZZ
2
1 1 iLk0 1+ 12 kk2
0
· ·e
f (~r)e−k0 (x·ϑx +y·ϑy ) dx dy.
(3.31)
ψ(ϑx , ϑy ) =
iλ L
Beobachtet man die Fraunhofer-Beugung mittels einer Sammellinse, wobei die Beugungsebene und die Beobachtungsebene in je einer Brennebene der Linse stehen, so ist der
Zusammenhang zwischen den Beugungswinkeln ϑx , ϑy und den Koordinaten qx und qy in
der bildseitigen Brennebene (auch als Fourierebene“ bezeichnet):
”
qx = f · ϑ x ,
(3.32)
qy = f · ϑx .
(3.33)
Die Feldverteilung in der Brennebene der Linse ist proportional zur 2-dimensionalen Fouriertransformierten der Feldverteilung in der Beugungsebene.
Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten qx und qy in der Brennebene und den
Raumfrequenzen kx , ky ist
kx
,
(3.34)
k0
kx
qy = f · .
(3.35)
k0
Es wurde bisher keine Erklärung dafür gegeben, warum auch der Abstand zwischen beugender Struktur und Linse gleich der Brennweite sein soll. Die einfache Begründung ist:
der umgekehrte Weg sollte ebenfalls eine (inverse) Fouriertransformation sein, also muss
auf beiden Seiten der Brennweitenabstand eingehalten werden. Die präzisere Begründung
ist: die komplexe Feldverteilung muss der Fouriertransformierten entsprechen; dies ist der
Fall, wenn auch der Abstand zur Beugungsebene gleich der Brennweite ist.
qx = f ·
3-11
Bedeutung der Raumfrequenzen
Enthält die Fouriertransformation einer Feldverteilung eine bestimmte Raumfrequenz ~k1 ,
so entspricht dieser eine Fourierkomponente exp(i~k1~r) in der Feldverteilung selbst. Dafür
hier einige Beispiele:
- Besteht die Fouriertransformierte aus nur einer Fourierkomponente ~k1 = (k1x , k1y ),
dann besteht das Beugungsbild in der Fourierebene aus nur einem Punkt, der abseits
der optischen Achse liegt, wenn (k1x , k1y ) 6= (0, 0) ist:
F (kx , ky ) = a · δ(kx − k1x )δ(ky − k1y )
Die inverse Fouriertransformierte
Z
1
dkx dky F (kx , ky )ei(x·kx +y·ky )
f (x, y) =
(2π)2
Z
1
dkx dky a · δ(kx − k1x )δ(ky − k1y )ei(x·kx +y·ky )
=
(2π)2
a i(k1x x+k1y y)
=
e
(2π)2
a i~k1~r
e
f (~r) =
(2π)2
(3.36)
(3.37)
(3.38)
beschreibt dann eine lineare Phasenvariation bei konstanten Betrag der Amplitude.
Dies ist eine ebene Welle mit schrägstehender Phasenfront, beschrieben durch die Ausbreitungsrichtung ~k = (k1x , k1y , 2π/λ). Diese Situation ist aus der einfachen Strahlenoptik bekannt: ein Parallelstrahlbündel wird auf einen Punkt in der Brennebene
abgebildet.
- Besteht die Fouriertransformierte aus einem Paar von entgegengesetzt gleichen Fourierkomponenten ~k1 und −~k1 , dann besteht das Beugungsbild in der Fourierebene aus
zwei symmetrisch zur optischen Achse liegenden Punkten.
1
1
δ(kx − k1x )δ(ky − k1y ) + δ(kx + k1x )δ(ky + k1y )
(3.39)
F (kx , ky ) = a ·
2
2
Die inverse Fouriertransformierte
a
(2π)2
a
=
(2π)2
a
=
(2π)2
f (x, y) =
·
1 −i(k1x x+k1y y)
e
+ e+i(k1x x+k1y y)
2
cos(k1x x + k1y y)
(3.40)
cos(~k1~r)
beschreibt eine reelle cosinusförmige Amplitudenmodulation, also so etwas wie ein Beugungsgitter mit cosinusförmiger Transmissionsfunktion (mit positiver und negativer
Transmission, also Phasenwechseln nach jeder Halbperiode). Der Wellenvektor ~k1 beschreibt die Richtung dieses Gitters in der Beugungsebene.
- Besteht die Fouriertransformierte aus einem Paar von entgegengesetzt gleichen Fourierkomponenten ~k1 6= ~0 und −~k1 , sowie einer Komponente mit ~k = ~0, dann besteht das
Beugungsbild in der Fourierebene aus zwei symmetrisch zur optischen Achse liegenden
3-12
Punkten und einem Punkt auf der optischen Achse.
1
1
F (kx , ky ) = a · δ(kx )δ(ky ) + δ(kx − k1x )δ(ky − k1y ) + · δ(kx + k1x )δ(ky + k1y )
2
2
(3.41)
Die inverse Fouriertransformierte
a
−i(k1x x+k1y y)
+i(k1x x+k1y y)
f (x, y) =
e
+
e
(2π)2
a
(1 + cos (k1x x + k1y y))
(3.42)
=
2π 2 a
=
1 + cos(~k1~r)
2π 2
beschreibt eine positive reelle cosinusförmige Amplitudenmodulation, also ein Amplitudengitter mit cosinusförmiger Transmissionsfunktion (Abb. 3.10a).
Abbildung 3.10: Amplitudengitter a) mit cosinusförmiger Transmissionsfunktion b) mit
rechteckförmiger Transmissionsfunktion (aus [6])
- Weitere Paare von Fourierkomponenten zu entgegengesetzt gleichen k-Vektoren, also
weitere Paare von symmetrisch zur optischen Achse liegenden Punkten in der Fourierebene entsprechen weiteren reellen Sinus- bzw. Cosinusmodulationen in der Beugungsebene. Eine Rechteckschwingung lässt sich bekanntlich durch Fouriersynthese aus
Vielfachen der Grundschwingung aufbauen, dementsprechend besitzt auch ein Rechteckgitter (Abb. 3.10b) unendlich viele höhere Beugungsordnungen bei ±k1 , ±2k1 , ±3k1
usw. (vgl. Abschnitt 3.1.2).
3-13
Einschub: wieso macht eine Linse eine Fouriertransformation?
Die optische Fouriertransformation durch eine Linse lässt sich auch unmittelbar als Beugungserscheinung herleiten:
Eine dünne Linse mit Brennweite f lässt sich in paraxialer Näherung durch die komplexwertige Transmissionsfunktion
− πi r2
(3.43)
tf (r) = e λf
beschreiben (vgl. Abschnitt 2.1.3, der Phasenunterschied resultiert aus den unterschiedlichen Dicken der Materialien mit Brechungsindices nL und n0 als Funktion des Abstandes).
Die Abfolge von
- Feldverteilung f (~r) in der Beugungsebene, Koordinaten ~r = (x, y)
- Beugung bis zu in einer Ebene im Abstand f , Koordinaten p~ = (px , py )
- Linse mit Brennweite f in dieser Ebene
- Beugung zur Brennebene der Linse im Abstand f , Koordinaten ~q = (qx , qy )
mit der Abschätzung der Phasen wie in Gl. 3.18 stellt sich dann folgendermaßen dar:
ψ(~q) =
1 2πif
e λ
iλf
2 Z+∞ Z+∞
ZZ
πi 2
πi 2
q −2~
q ·~
p+p2 )
p −2~
p·~
r+r2 )
(
λf
dx dy e λf (
tf (~p)
f (~r).
dpx dpy e
−∞
−∞
S
(3.44)
Setzt man die Transmissionsfunktion der Linse ein und fasst alle Phasen zusammen, so
ergibt sich
ψ(~q) =
1 2πif
e λ
iλf
2 Z+∞ Z+∞
ZZ
πi 2
q −2~
q ·~
p+p2 −2~
p·~
r+r2 )
dpx dpy
dx dy e λf (
f (~r)
−∞
−∞
(3.45)
S
Die Brennweiteneigenschaft der Linse würde dazu führen, dass Strahlen, die unter dem
Winkel α
~ = (~p − ~r)/f auf die Linse fallen, in einen Punkt ~q = f · α
~ , also ~q = p~ − ~r
abgebildet werden. In strahlenoptischer Näherung wäre also p~ − ~r − ~q = 0. Hier wird jetzt
zunächst eine neue Variable
~a = p~ − ~r − ~q
(3.46)
eingeführt. Substituiert man p~ durch ~a, so erhält man:
ψ(~q) =
1 2πif
e λ
iλf
2 Z+∞ Z+∞
ZZ
πi 2
a −2~
r·~
q)
f (~r)
dax day
dx dy e λf (
−∞
−∞
(3.47)
S


2 Z+∞ Z+∞
ZZ
πi
πi
2πif
1
a2
(−2~
r·~
q)
λf


=
e λ
dax day e
dx dy e λf
f (~r)
iλf
−∞
−∞
S
!2 Z Z
2 r r
πi
λf π
1 2πif
(−2~
r·~
q)
=
e λ
(1 + i)
dx dy e λf
f (~r)
iλf
π
2
S
ZZ
πi
4πif
1
(−2~
r·~
q)
=
·e λ
dx dy e λf
f (~r)
iλf
S
Das ist, bis auf einen konstanten Faktor, die Fouriertransformierte von f (~r).
3-14
(3.48)
(3.49)
(3.50)
Einschub: Geometrische Erklärung der Brennweitenbedingung
Abbildung 3.11: fehlt noch (aus [5])
Zur Brennweitenbedingung auf beiden Seiten der Linse hier eine geometrische Erklärung
mit den in Abbildung 3.11 gezeigten Strahlengängen:
Man betrachte die Anteile des Beugungsbildes, die unter einem bestimmten Winkel zur
optischen Achse abgestrahlt werden (also eine ebene Welle mit der in der Abbildung
gezeigten gekippten Wellenfront) und von der Linse auf den Punkt P in abgebildet werden. Die Phasenverschiebung des Strahls, der von der Mitte der beugenden Struktur, O,
ausgeht, und durch den Punkt A auf der Linse geht, beträgt eik0 OAP
Es stellt sich nun die Frage, ob für die anderen Strahlen weitere Phasenverschiebungen
auftreten. Zur Beantwortung dieser Frage wird das Fermatsche Prinzip herangezogen:
Der Weg, den das Licht zwischen zwei Punkten zurücklegt, ist immer der
schnellstmögliche Weg.
Der schnellstmögliche Weg ist die kürzeste optische Weglänge (vgl. Gl.1.15). Für die Propagation in einem homogenen Medium ist dies der gerade Weg, aber mit diesem Prinzip
lässt sich beispielsweise auch das Snelliussche Brechungsgesetz (Gl. 1.17) oder der Strahlverlauf in einer GRIN-Linse (Gl. 2.30) erklären. Für eine Abbildung gilt demnach
- Wenn zwei Punkte konjugiert sind (d.h. Bilder voneinander), dann dauert jeder
Weg zwischen ihnen gleich lang!
- Die Propagation von jedem Punkt der Wellenfront einer ebenen Welle zu dem konjugierten Punkt in der Brennebene dauert ebenfalls gleich lang.
Es interferieren also alle Strahlen, die unter dem gleichen Winkel auf die Linse treffen, in
der bildseitig Brennebene konstruktiv miteinander.
Es wird weiterhin verlangt, daß die Phase der Feldverteilung in der Beobachtungsebene
der der Fouriertransformierten entspricht. Dazu müssen insbesondere alle Strahlen aus O
(unter jedem beliebigen Winkel) in eine ebene Welle transformiert werden; d.h. sie müssen
unabhängig vom Winkel die gleiche optische Weglänge OAP zur Beobachtungsebene haben. Dazu muss der Punkt O der konjugierte Punkt der bildseitigen Brennebene sein, also
der objektseitige Brennpunkt.
3-15
Beugung am Spalt
Wenn sich die Feldverteilung f (x, y) in einzelne Funktionen von x und y separieren lässt,
f (x, y) = g(x) · h(y),
(3.51)
wie es ins besondere bei den eindimensionalen“ beugenden Strukturen wie Doppelspalt,
”
Spalt und Beugungsgitter, aber auch z.B. bei rechteckigen Öffnungen der Fall ist, dann
lässt sich die zweidimensionale Fouriertransformierte ebenfalls separieren:
+∞
ZZ
F (kx , ky ) =
f (x, y)e−i(xkx +yky ) dxdy
−∞
Z+∞
Z+∞
−ixkx
=
g(x)e
dx ·
h(y)e−iyky dy
−∞
(3.52)
−∞
Ein Spalt mit Breite b parallel zur y-Richtung lässt sich beschreiben durch:
x 1 für − b/2 ≤ x ≤ b/2
=
b(x) = rect
0 sonst
b
h(y) = 1
(3.53)
(3.54)
Die Fouriertransformierte lautet damit
+b/2
Z
F (kx , ky ) =
e
−b/2
−ixkx
Z+∞
bkx
−iyky
dx ·
e
dy = b · sinc
· δky
2
(3.55)
−∞
mit der Fouriertransformierten eines Rechteck-Pulses, sinc(x) = sin(x)/x (vgl. Abb. 3.12).
Die Funktion δ(ky ) drückt aus, dass nur der Wellenvektor ky = 0 vorkommt: bezüglich
der y-Richtung findet keine Beugung statt, da der Spalt in y-Richtung unendlich lang ist.
Die Nullstellen der sinc-Funktion, d.h. die Beugungsminima liegen bei
kx = k0,m = m ·
sin ϑx ≈ ϑx =
2π
,
b
kx
λ
=m· .
k0
b
(3.56)
(3.57)
Abbildung 3.12: (a) Feldamplitude und (b) Intensität als Funktion der Raumfrequenz u
bei der Beugung an einem Spalt der Breite a. (aus [5])
3-16
Lochblende
Eine kreisrunde Lochblende mit Radius R, wie sie bereits auf Seite 3-5 beschrieben wurde,
lässt sich nicht gut in kartesischen Koordinaten beschrieben. Man wählt daher
- Polarkoordinaten im Ortsraum: x = % cos θ, y = % sin θ, 0 < % < R
- Polarkoordinaten im Fourierraum: kx = k0 ζ cos ϕ, ky = k0 ζ sin ϕ
Die Fraunhofer-Beugung berechnet sich damit als
ZR Z2π
F (ζ, ϕ) =
0
ei%k0 ζ cos(θ−ϕ) % d% dθ
(3.58)
0
= πR
2
2J1 (k0 ζR)
k0 ζR
(3.59)
mit der Besselfunktion J1 . Die erste Nullstelle dieser Funktion liegt bei k0 ζR = 3, 83 bzw.
sin ζ ≈ ζ = 0, 61
λ
R
(3.60)
Abbildung 3.13: Fraunhofer-Beugung an einer Lochblende. (a): Berechnete Amplitude,
(b): Photografie des Beugungsmusters (aus [5])
3-17
Hieraus lässt sich auch bestimmen, wie klein der Brennpunkt einer realen, endlich großen
Linse eigentlich sein kann: Eine Linse mit Durchmesser D und Brennweite f lässt sich
beschreiben als eine Lochblende mit Durchmesser D, unmittelbar gefolgt von einer unendlich großen Linse mit Brennweite f . Die Lochblende hätte eine Beugungsfigur mit einem
Winkelradius des zentralen Maximums (Airy-Scheibchen) von
ζ = 1, 22
λ
D
(3.61)
In der Brennebene der Linse ist dann der Radius q gegeben durch
q = f · ζ = 1, 22
f ·λ
D
(3.62)
Der Durchmesser des Brennpunkts einer realen Linse kann also nicht kleiner sein als
d = 2, 44
f ·λ
D
(3.63)
Der Brennpunkt ist also umso kleiner, je größer die Öffnung der Linse ist. Wenn die
Qualität eines realen optischen Systems so hoch ist, dass die in Gl. 3.63 gegebene Grenze
tatsächlich erreicht wird, bezeichnet man diese als beugungsbegrenzt, das heißt also: besser
geht es aus fundamentalen Gründen nicht!
Beispiel: menschliches Auge Der Durchmesser der voll geöffneten Pupille des menschlichen Auges wird als D = 7 mm angenommen. Die Brennweite des Auges sei f = 17 mm.
Dann betrüge der Durchmesser eines Punktes auf der Netzhaut bei einer Vakuumwellenlänge von λ = 550 nm mindestens 3,25 µm, tatsächlich geht man von etwa 10 µm
aus, das entspricht einer Fläche von ungefähr 10−10 m2 . Das Lichtfeld eines aufgeweiteten
Laserstrahls ist einer ebenen Welle sehr ähnlich, so dass man erwarten kann, dass auch
wirklich ein so kleiner Fokus entsteht. Bei einer Laserleistung von 1 mW entstünde auf
der Netzhaut eine Intensität von 107 W/m2 . Sieht man direkt in die Sonne, so wird die
einfallende Intensität von etwa 1kW/m2 zu etwa 2 · 108 W/m2 auf der Netzhaut.
Beispiel: Kameraobjektiv Bei Objektiven für fotografische Kameras wird als Parameter die Blendenzahl f /# (siehe Gl. 2.83) als Maß für die Größe der Öffnung angegeben.
Es zeigt sich jetzt, dass die zu erreichende minimale Punktgröße in der Filmebene ebenfalls
durch Gl. 3.63 gegeben ist:
d = 2, 44 · λ · f /#;
(3.64)
geht man wieder von λ = 550 nm aus, so ist
d ≈ 1, 3µm · f /#;
(3.65)
z.B. Digitalkamera, 12,8 Megapixel, Pixelgröße ca. 8,2 µm. Lichtstärke des Objektivs
(Zoom) zwischen 3,5 und 5,6 ergäbe Punktdurchmesser zwischen 4,6 µm und 7,3 µm.
3-18
Babinetsches Theorem
Am Beispiel der Beugung an einer Lochblende lässt sich folgende Frage diskutieren: wie
unterscheiden sich die Beugungsbilder von zwei komplementären Strukturen, also z.B. der
Lochblende und einer kreisrunden Scheibe in einer ansonsten vollständig transparenten
Ebene?
Es lässt sich leicht einsehen, dass die Summe der Transmissionsfunktionen t(x, y) der einen
Struktur und t̃(x, y) der komplementären Struktur sich zu eins ergänzen müssen:
t(x, y) + t̃(x, y) = 1 für alle x, y
(3.66)
Damit muss auch die Summe der Beugungsbilder das ungestörte Beleuchtungsfeld ergeben; z.B. eine ebene Welle.
T (kx , ky ) + T̃ (kx , ky ) = δ(kx , ky )
T̃ (kx , ky ) = δ(kx , ky ) − T (kx , ky )
(3.67)
Die Beugungsbilder von komplementären Strukturen unterscheiden sich nur
in der 0. Beugungsordnung!
3-19
Beugungsgitter
Ein Beugungsgitter ist eine endliche periodische Anordnung von N Spalten der Breite b
im Abstand d. Als mathematischer Ausdruck lässt sich dies schreiben als
+ N 2−1
f (x) = b(x) ⊗
X
δ(x − n · d)
(für gerades N ),
(3.68)
n=− N 2−1
dabei ist b(x) die Transmissionsfunktion des Einzelspaltes (Gl. 3.53). Die Gitterstriche
befinden sich z.B. für N = 4 an den Positionen − 32 d, − 12 d, + 12 d, + 23 d.
Das Symbol ⊗ bezeichnet die Faltung zweier Funktionen; mathematisch definiert als
Z+∞
f (x) ⊗ g(x) =
f (x0 )g(x − x0 )dx0
(3.69)
−∞
Eine unendliche Summe von Delta-Funktionen, deren Maxima an äquidistanten Orten
liegen, wird auch als Delta-Kamm“ oder Kammfunktion bezeichnet.
”
+∞
X
K(x) =
δ(x − nd)
(3.70)
n=−∞
Die Faltung einer lokalisierten Funktion wie z.B. der Spaltfunktion mit einer solchen
Kammfunktion ergibt eine Summe von Wiederholungen der Funktion, jeweils zentriert an
den Positionen der Kammzinken. Der Fall des Beugungsgitters ist in Abb. 3.14 gezeigt.
Abbildung 3.14: Beugunggitter als Faltung aus Spalt und Kammfunktion
Die Fouriertransformation der Delta-Funktion ist
F T (δ(x)) = 1,
(3.71)
die Fouriertransformation einer um x0 verschobenen Funktion wird berechnet als
g(x) = f (x − x0 )
m
G(kx ) = e−ikx x0 · F (kx )
3-20
(3.72)
Die Fouriertransformation einer verschobenen Deltafunktion δ(x − x0 ) ist demnach eine
ebene Welle (komplexe Schwingung).
FT
δ(x − x0 ) −→ e−ikx x0
(3.73)
Bei der optischen Fouriertransformation mit einer Linse bedeutet das: konjugiert zu einem
verschobenen Punkt in der Brennebene ist ein schräges Parallelstrahlbündel bzw. eine
ebene Welle, deren Wellenfronten nicht senkrecht zur optischen Achse stehen.
Wichtig für die Fouriertransformation ist der Faltungssatz: die Fouriertransformierte der
Faltung zweier Funktionen ist das Produkt der Fouriertransformierten der einzelnen Funktionen:
h(x) = f (x) ⊗ g(x)
m
H(kx ) = F (kx ) · G(kx )
(3.74)
Die Fouriertransformierte der in Gleichung 3.68 gegebenen endlichen Kammfunktion ist
eine geometrische Reihe, die sich wie folgt umformen lässt:
+ N 2−1
X
K(kx ) =
eikx ·n·d
(3.75a)
n=− N 2−1
+ N 2−1
=
N −1
X
+ 2
X
n
ikx ·d n
e
+
e−ikx ·d
n= 12
n= 12
N
= e
+ 21 ikx ·d
−1
2
X
(3.75b)
N
ikx ·d n
e
n=0
+e
− 21 ikx ·d
−1
2
X
e−ikx ·d
n
(3.75c)
n=0
N
N
−ikx ·d 2
eikx ·d 2 − 1
e
−1
1
− 2 ikx ·d
= e
+
e
ik
·d
−ik
·d
e x −1
e x −1
N
N
eikx ·d 2 − 1
e−ikx ·d 2 − 1
= + 1 ik ·d
+
1
1
1
e 2 x − e− 2 ikx ·d e− 2 ikx ·d − e+ 2 ikx ·d
N
N
e+i 2 kx ·d − e−i 2 kx ·d
=
1
1
e+ 2 ikx ·d − e− 2 ikx ·d
sin N2 kx · d
=
sin 21 kx · d
+ 12 ikx ·d
Die Intensität des Beugungsmusters eines endlichen Delta-Kamms ist damit
sin2 N2 kx · d
I(kx ) = I0 2 1
sin 2 kx · d
(3.75d)
(3.75e)
(3.75f)
(3.75g)
(3.76a)
bzw., mit sin ϑx = λ · kx /2π
π·d
sin N
sin ϑx
λ
I(ϑx ) = I0
π·d
2
sin
sin ϑx
λ
2
3-21
(3.76b)
Diese Funktion ist in Abbildung 3.15 gezeigt. Die Hauptmaxima treten dort auf, wo Zähler
und Nenner gleichzeitig verschwinden, d.h. bei
kx = m ·
2π
,
d
(3.77)
die Intensität beträgt dort
Imax = I0 · N 2 .
(3.78)
Zwischen den Hauptmaxima liegen N − 2 Nebenmaxima, deren Lage durch die Maxima
des Zählers bestimmt ist; die N − 1 Nullstellen dazwischen sind durch die Nullstellen des
Zählers (bei nicht verschwindendem Nenner) gegeben.
Abbildung 3.15: Relative Bestrahlungsstärke für Beugung an einem Gitter mit a) 4, b) 6
und c) 10 Spalten (aus [1])
In der bisherigen Herleitung ist die endliche Breite b der Gitterstriche noch nicht berücksichtigt worden. Wie in Gleichung 3.68 angesetzt, ist das endliche Beugungsgitter als eine
Faltung aus der Transmissionsfunktion des Einzelspalts mit der endlichen Summe von Deltafunktionen zu sehen. Die Fouriertransformierte der Faltung ist nach dem Faltungssatz
das Produkt der Fouriertransformierten von Einzelspalt und Kamm, also
sin N2 kx · d
bkx
·
(3.79a)
H(kx ) = b · sinc
2
sin 21 kx · d
sin 12 kx · b sin N2 kx · d
=
·
(3.79b)
1
k
sin 21 kx · d
2 x
Die Position der Beugungsordnungen ist damit gegenüber Gln. 3.76a unverändert, ihre
Intenstität nimmt aber zu den höheren Ordnungen hin ab (siehe Abb. 3.16).
3-22
Abbildung 3.16: Gitterbeugungsfunktion für ein Gitter mit p = 6 Spalten. Der Spaltabstand D wurde viermal so groß wie die Spaltbreite d gewählt. Die Spaltbeugungsfunktion
ist gestrichelt eingezeichnet (aus [7])
Lage und relative Phase der einzelnen Fourierkomponenten hängen von der Breite der
Striche und der Symmetrie des Gitters ab; ein Beispiel für ein Gitter mit ungerader
Spaltanzahl zeigt Abb. 3.17.
Abbildung 3.17: Eine Rechteckwelle und ihre Transformierte (aus [6])
Will man nur wenige Beugungsordnungen haben, so muss die sinc-Funktion möglichst
schmal werden, d.h. die Spaltbreite b muss groß werden. Maximal sinnvoll ist hier eine
Spaltbreite von der halben Gitterkonstante (b = d/2), eine Vergrößerung führt nach dem
Babinet-Theorem wieder zu einer Verbreiterung. In diesem Fall sind die 1. Minima der
sinc-Funktion bei
4π
2λ
kx = ±
θx = ± ,
(3.80)
d
d
also gerade bei den 2. Beugungsordnungen des Gitters. Die Intensität der 1. Ordnungen
beträgt hier dann etwa 40% derjenigen der 0. Ordnung.
3-23
Für die Anwendung in Spektrometern ist es wünschenswert, maximale Intensität bei der
1. Beugungsordnung zu haben. Hierfür muss das Maximum der sinc-Funktion dorthin
verschoben werden. Eine Verschiebung im Fourierraum (also im Beugungsbild) lässt sich
durch eine Phasenverschiebung im Ortsraum, ein so genanntes Blaze-Gitter erreichen:
x
ıkB ·x
(3.81a)
b(x) = e
rect
b
b (kx − kB )
B(x) = b · sinc
(3.81b)
2
Wählt man
2π
b
bkx
B(x) = b · sinc
−π ,
2
kB =
so erhält man
(3.82)
(3.83)
also eine Verschiebung der sinc-Funktion um eine Beugungsordnung.
Wählt man jetzt b = d (dies ist jetzt möglich!) so ergibt sich für das gesamte Beugungsbild
sin N2 kx · d
kx · d
−π ·
H(kx ) = d · sinc
2
sin 21 kx · d
sin 21 kx · d − π sin N2 kx · d
=
·
1
k
sin 12 kx · d
2 x
Substitutiert man
kA = kx − kB = kx −
2π
d
(3.84a)
(3.84b)
(3.85)
so erhält man
sin N2 kA · d + N2 kB · d
kA · d
H(kx ) = d · sinc
·
2
sin 21 kA · d + 21 kB · d
sin 21 kA · d sin N2 kA · d + N · π
=
·
1
k
sin 12 kA · d + π
2 A
sin 21 kA · d sin N2 kA · d
= ±
·
1
k
sin 12 kA · d
2 A
(3.86a)
(3.86b)
(3.86c)
Dies ist also die um π verschobene Beugungsfunktion des normalen“ Beugungsgitters.
”
Abbildung 3.18: Blaze-Gitter (Wikipedia)
Technisch führt man ein solches Gitter z.B. als Reflexionsgitter mit unter dem Winkel θB
geneigten Furchen aus. Beträgt die Höhe der Furchen h = d · tan θB , so ergibt sich für eine
parallel zum Gitter einfallende ebene Welle ein Gangunterschied zwischen 0 und 2h, also
∆(x) = x ·
3-24
2h
d
(3.87)
Die Phasenverschiebung nach Gl. 3.81a beträgt damit
x·
also
4πh
= kB · x
d·λ
4πh
2π
= kB =
d·λ
d
hier gefordert
(3.88)
(3.89)
Daraus folgt
λ
(3.90)
2
Die gewünschte Eigenschaft ergibt sich damit vollständig nur für eine bestimmte Wellenlänge; ein solches Gitter wird daher passend für die vorgesehene Mittenwellenlänge
(Blaze-Wellenlänge) gefertigt.
Übrigens: ohne die Phasenverschiebung erhält man bei b → d das Beugungsmuster eines
Spalts der Breite N · d, wie es sich gehört:
sin N2 kx · d
dkx
·
H(kx ) = d · sinc
(3.91a)
2
sin 12 kx · d
sin 21 kx · d sin N2 kx · d
(3.91b)
=
·
1
1
k
sin
k
·
d
x
x
2
2
sin N2 kx · d
=
(3.91c)
1
k
x
2
N ·d
= N · d · sinc
kx
(3.91d)
2
h=
3-25
3.2
Abbildungen als Beugungsphänomen
3.2.1
Bildentstehung
Die Strukturen eines Objektes lassen sich durch ein zweidimensionales Spektrum von
Raumfrequenzen, d.h. die zweidimensionale Fouriertransformation der Feldverteilung in
der Objektebene beschreiben.
Abbildung 3.19: Raumfrequenzen (aus [6])
Eine Abbildung lässt sich damit als eine zweimalige Fouriertransformation (mit eventueller
Beschneidung der Fouriertransformierten innerhalb des Abbildungssystems) beschreiben.
Abbildung 3.20: Bildentstehung als zweimalige Fouriertransformation (aus [6])
3-26
Die Abbildungsqualität lässt damit sich bezüglich der Auflösung durch den Frequenz”
gang“ für die Raumfrequenzen, bezeichnet als Modulationsübertragungsfunktion (MTF)
quantifizieren (s.u.).
Anders betrachtet: Kleine Objekte oder Strukturen haben große Beugungswinkel. Das
bedeutet z.B. wenn man einen schmalen Spalt (Abb. 3.21) oder ein Gitter (Abb. 3.22)
genau abbilden will, muß man das ganze Beugungsbild übertragen .
Abbildung 3.21: Abbildung eines Spaltes (aus [6]). Eingezeichnet sind Strahlen von den
Rändern des Spaltes.
Abbildung 3.22: Abbildung zweier Punkte eines Beugungsgitters (aus [6]). Eingezeichnet
sind Strahlen bis zur zweiten Beugungsordnung.
3-27
Fehlt ein Teil der Beugungsordnungen, so ist die Bildqualität reduziert (Abb. 3.23)
Abbildung 3.23: Abbildung eines Beugungsgitters (aus [6]). Hier wird nur die 1. Beugungsordnung übertragen, für die Übertragung der 2. Ordnung reicht der Durchmesser
der Linse nicht aus.
Ein anderes Maß für die Bildqualität ist die Point-Spread-Function (PSF, Punktverwaschungsfunktion):
- Die PSF ist das reale Beugungsild eines unendlich kleinen Punktes, d.h. einer Deltafunktion bzw. einer Elementarwelle.
- Die ideale Fouriertransformation wäre überall konstant.
- Die reale Fouriertransformation entsteht durch die Beschneidung der idealen Fouriertransformation durch eine Aperturblende sowie evtl. weiteren Verformungen.
- Das reales Bild der Deltafunktion ist damit (mindestens) ein Airy-Scheibchen.
Abbildung 3.24: Abbildung eines Punktes (aus [6])
3-28
Abbildung 3.25: Unterschiedliche Auflösungskriterien (aus [5])
Die Auflösung eines optischen Systems wird durch den Abstand zweier Punkte in der
Objektebene beschrieben, deren Bilder sich gerade noch auseinanderhalten lassen; es gibt
hier unterschiedliche Bedingungen um dies zu definieren:
• Das Rayleigh-Kriterium (vgl. Abbildung 3.25a) definiert die Auflösung als den Abstand zweier Punkte, bei dem das Maximum der PSF des einen Punktes im ersten
Minimum des anderen Punktes liegt. Dieses Kriterium wird meistens verwendet.
• Das Sparrow-Kriterium (vgl. Abbildung 3.25b) nimmt zwei benachbarte Punkte
erst dann als nicht unterschieden an, wenn die Bildfunktion nur noch ein Maximum
besitzt.
3.2.2
Kontrast und MTF
Der Kontrast eines Bildes oder einer Struktur ist definiert als
k=
fmax − fmin
fmax + fmin
(3.92)
dabei sind fmax und fmin der maximale bzw. der minimale Funktionswert (z.B. Intensität)
Abbildung 3.26: Sinus- und Rechteckgitter [Hecht]
3-29
Sinusgitter mit Ortsfrequenz u = 1/Periode
hier
f (x) = 1 + cos(2πux)
(3.93)
Rechteckgitter mit Ortsfrequenz u = 1/Periode.
[u] = lp/mm (Linienpaare/mm)
f (x) = 1 + sgn sin(2πux)
= 1 + sin(2πux)
1
+ sin(6πux)
3
1
+ sin(10πux) + · · ·
5
(3.94)
(3.95)
Kontrast eines Sinusgitters mit Ortsfrequenz u = 1/Periode nach Abbildung
kAusgang = M T F (u) · kEingang
(3.96)
mit der Modulationsübertragungsfunktion M T F (u)
Kontrast eines Rechteckgitters mit Ortsfrequenz u = 1/Periode nach Abbildung
kAusgang = R(u) · kEingang
(3.97)
mit der Rechteckkontrast-Übertragungsfunktion R(u)
Abbildung 3.27: Typischer Verlauf der MTF für Systeme unterschiedlicher Qualität [Kühlke]
3-30
3.2.3
Bildfilterung
Bildfilterung in der Fourierebene
Abbildung 3.28: Bildfilterung (aus [6])
3-31
Phasenkontrast- und Dunkelfeldmikroskopie
Abbildung 3.29: Dunkelfeld- und Phasenkontrastmikroskopie (aus [5])
Abbildung 3.30: Phasenkontrastmikroskopie (aus [6])
3-32
Kapitel 4
Laserphysik
In Lasern wird spontan emittiertes Licht durch induzierte Emission verstärkt (Light
Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Damit die induzierten Emissionsprozesse überwiegen, und es damit zu den speziellen Eigenschaften der Laserstrahlung
kommt, muß entweder die Lichtverstärkung bei einem Durchlauf groß genug sein (Superstrahler), oder es muß für einen mehrfachen Durchgang der Laserphotonen durch das
verstärkende Material gesorgt werden. Dies führt zu der charakteristischen Laseranordnung aus aktivem Material und Spiegeln.
Die wesentlichen Bestandteile eines Lasers sind also ein Verstärkungsmedium und ein
Resonator.
4.1
4.1.1
Laserdynamik
Strahlungsübergänge
Der Energieaustausch zwischen Licht und Materie kann durch die in Abbildung 4.1 dargestellten drei verschiedenen Strahlungsübergänge beschrieben werden: die spontane Emission, die Absorption und die induzierte Emission:
Abbildung 4.1: Übergänge im 2-Niveau-System (aus [2])
Dabei soll hier zunächst nur der Übergang zwischen zweien der vielen möglichen Zustände
verschiedener Energie, sogenannter Energieniveaus, betrachtet werden, in denen ein Atom
sich befinden kann. Die Frequenz f12 der Strahlung für den Übergang zwischen den Niveaus E1 und E2 hängt mit der Energiedifferenz wie folgt zusammen:
hf12 = E2 − E1
(4.1)
dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum (6, 626 · 10−34 Js). Die ausgestrahlte Strahlungsmenge mit der Energie hf 1 2 wird als ein Photon oder Lichtquant bezeichnet. Der
4-1
Energiezustand des Atoms mit der niedrigsten Energie wird als Grundzustand bezeichnet,
alle anderen als angeregte Zustände. Die Anzahldichten der Atome in den verschiedenen
Zuständen werden als Besetzungen dieser Zustände bezeichnet, die Besetzungen hängen
von der Temperatur ab. Normalerweise, d.h. ohne Wechselwirkung mit einem Lichtfeld,
sind die Besetzungen der angeregten Zustände sehr klein im Verhältnis zu der des Grundzustandes. Zunächst wird nur der eigentliche Laserübergang als 2-Niveau-System betrachtet. N1 und N2 bezeichnen die Teilchenzahldichten ([Ni ] = 1/m3 ) im Grund- bzw. angeregten Zustand.
Spontane Emission
Befindet sich ein Atom im oberen Zustand 2, so kehrt es nach einiger Zeit wieder in
den unteren Zustand 1 zurück und sendet dabei Strahlung mit der Frequenz f12 aus.
Dieser Vorgang wird als spontane Emission bezeichnet. Die Zeit, die das Atom im oberen
Zustand bleibt, ist statistisch verteilt, ihr Mittelwert wird als natürliche Lebensdauer oder
spontane Lebensdauer τ des oberen Zustands bezeichnet. Die Zahl der Emissionsprozesse
pro Volumeneinheit und Zeitintervall ist gegeben durch:
N2
1
dN2
=−
= −Γ · N2 mit Γ =
(4.2)
dt
τ
τ
dies beschreibt eine exponentielle Abnahme der Besetzung des angeregten Zustandes mit
der Zeitkonstanten Γ. Die spontane Emission kann in beliebige Richtungen erfolgen, Phase
und Polarisation der emitierten Wellen sind zufällig.
Absorption
Befindet sich ein Atom im unteren Zustand 1, so kann es durch Absorption eines Photons
mit der Energie hf12 in den oberen Zustand gelangen. Zur Absorption wird eingestrahltes
Licht mit der passenden Frequenz f12 und einer endlichen Bestrahlungsstärke (Intensität)
I, [I] = W/m2 benötigt. Es gilt für die Abnahme der Intensität längs eines Weges x:
dI
= −σ12 N1 I
(4.3)
dx
dabei ist σ12 der Wirkungsquerschnitt für Absorption [σ] = m2 , letzterer entspricht der
Querschnittsfläche, mit der die Atome/Moleküle absorbieren.
Induzierte (stimulierte) Emission
Der zur Absorption umgekehrte Prozess ist die stimulierte Emission. In einem Strahlungsfeld können angeregte Atome durch Photonen stimuliert werden, unter Abgabe eines weiteren Photons in den unteren Zustand überzugehen. Für die Zunahme der Intensität I
längs des Weges x gilt analog zu 4.3:
dI
= +σ21 N2 I
(4.4)
dx
dabei ist σ21 der Wirkungsquerschnitt für stimulierte Emission. Die beiden Wirkungsquerschnitte σ12 für die Absorption und σ21 für die stimulierte Emission sind in der Regel
gleich und werden im Weiteren einfach als σ bezeichnet. Bei der stimulierten Emission
sind die das stimulierende und das neu emittierte Photon, nach Frequenz, Richtung, Polarisation und Phase identisch (kohärent). Dieser Mechanismus ist also zur Verstärkung
eines vorhandenen Lichtfeldes geeignet.
4-2
Verstärkung des Lichtfeldes
Faßt man Absorption und induzierte Emission zusammen, erhält man:
dI
= σ(N2 − N1 )I
dx
(4.5)
Durch Integration erhält man für die Änderung der Intensität I entlang der Strecke x
G≡
I
= eσ(N2 −N1 )x = egx
I0
(4.6)
dabei ist G der Verstärkungsfaktor und g = σ(N2 − N1 ) die differentielle Verstärkung. Es
tritt nur dann eine Verstärkung auf, wenn sich mehr Atome im oberen als im
unteren Energiezustand befinden (N2 > N1 ). Dieser Zustand wird als Inversion
bezeichnet.
Im Folgenden werden der obere und untere Zustand des zur Verstärkung dienenden Übergangs als oberer Laserzustand und unterer Laserzustand bezeichnet, der Übergang selbst
als Laserübergang. Die Übergangsfrequenz f12 wird im Folgendes als ν bezeichnet.
4.1.2
Laser-Ratengleichungen
In diesem Abschnitt soll ein Satz von Differentialgleichungen zur Beschreibung der Inversion und der Intensität des Lichtfeldes (Photonendichte) im Laser hergeleitet werden.
Dazu sind zunächst noch einige Umformungen der bereits eingeführten Gleichungen nötig.
1. Zunächst einmal wird die Verstärkung (oder Schwächung) des Lichtfeldes durch die
induzierten Prozesse ebenfalls als Funktion der Zeit dargestellt. Dazu wird benutzt,
dass sich das Licht mit der Geschwindigkeit c ausbreitet.
dI
dI
dI
=c·
⇒
= c · σ(N2 − N1 )I
dt
dx
dt
(4.7)
2. Als nächstes wird die Intensität (Energiestromdichte) I durch die Photonenzahldichte p ersetzt. Damit werden sowohl die Atome als auch das Licht als Teilchen
betrachtet, der Übergang eines Atoms entspricht der Emission oder Absorption eines
Photons.
Energiedichte:
E
= p · hν
V
(4.8)
Energiestromdichte:
E
= p · hν · c
V
(4.9)
dp
= c · σ(N2 − N1 )p
dt
(4.10)
I =c·
damit wird aus Gleichung 4.7
3. Aus dem Laser soll Laserstrahlung ausgekoppelt werden, dies stellt einen Verlustmechanismus für die Photonenzahl im Resonator dar, weiterhin sind Verluste durch
4-3
Absorption, Streuung oder Beugung möglich. Die Verluste werden als ein exponentieller Zerfall angenommen, mit der Resonatorlebensdauer τph . Damit lautet die
Differentialgleichung für die Photonenzahldichte:
dp
p
= c · σ(N2 − N1 )p −
(4.11)
dt
τph
|
{z
}
|{z}
Verstärkung
Verluste
Diese Gleichung zeigt schon eine wichtige Bedingung für den Betrieb eines Lasers:
Wenn die Photonenzahl nicht abnehmen soll, darf die Verstärkung nicht
kleiner als die Verluste sein!
4. Die Differentialgleichungen für die Besetzungen lauten jetzt
dN1
=
c · σ(N2 − N1 )p +ΓN2
dt
dN2
= −c · σ(N2 − N1 )p −ΓN2
| {z }
dt
|
{z
}
induziert
(4.12)
spontan
5. Da ja offensichtlich die Inversion wichtig für die Verstärkung ist, werden jetzt statt
der einzelnen Besetzungen die Inversion n = N2 − N1 und die (zunächst konstante)
Gesamtteilchendichte ntot = N2 + N1 betrachtet. Damit ergeben sich die gesuchten
zwei Differentialgleichungen für Inversion und Photonendichte.
dn
= −2σ · c · p · n − Γ(n + ntot )
(4.13)
dt
dp
1
=
c·σ·n−
p
(4.14)
dt
τph
6. Gleichung 4.13 beschreibt eine Abnahme einer vorhandenen Inversion n > 0 (beide
Terme auf der rechten Seite der Gleichung sind dann negativ) und zwar auf den
(negativen) Wert
1
1
· ntot = −
· ntot ;
(4.15)
ñ = −
1 + 2σ · c · p/Γ
1 + 2σ · c · p · τ
wenn n klein genug ist, beschreibt dann Gleichung 4.14 auch eine Abnahme der
Photonendichte.
Einführung eines Pumpmechanismus
Das im vorigen Abschnitt beschriebene Verhalten entspricht im Groben den Erkenntnissen
der statistischen Thermodynamik: im thermischen Gleichgewicht ist der Grundzustand am
stärksten besetzt. Eine Inversion bedeutet also eine Umkehr (das ist auch die Wortbedeutung) der Gleichgewichtssituation, deren Aufrechterhaltung wird als Pumpen das Lasers
bezeichnet.
Im bisher betrachteten 2-Niveau-System konkurrieren stimulierte Emission und Absorption. Zusätzlich kommt es zu einer Entvölkerung des oberen Niveaus durch spontane Emission. Eine Inversion ist prinzipiell nicht möglich. Es müssen also weitere Übergänge zu Hilfe
genommen werden, d.h. für einen Laser müssen einerseits geeignete Verstärkungsmedien
und andererseits Quellen und Übertragungsmechanismen für die Pumpenergie gefunden
oder hergestellt werden um eines der folgenden Schemata zu realisieren:
4-4
Abbildung 4.2: Schematische Darstellung verschiedener Niveauschemata. Der fette Pfeil
bezeichnet den Laserübergang.
3-Niveau-Laser
Im 3-Niveau-System sind im thermischen Gleichgewicht die Niveaus 2 und 3 praktisch
nicht besetzt, der Laserübergang ist von Niveau 2 in den Grundzustand 1. Die Anregung,
z.B. durch Elektronenstoß oder Einstrahlung von Licht passender Frequenz erfolgt in das
Niveau 3 mit der Pumprate Wp . Erfolgt jetzt eine sehr schnelle Entleerung nach 2 (d.h. es
wird angenommen, dass die Besetzung N3 = 0 ist), z.B. durch inelastische Stöße, so wird
der Umkehrprozess des Pumpvorgangs durch induzierte Emission verhindert und es wird
praktisch in das obere Laserniveau 2 gepumpt:
dN1
=
c · σ(N2 − N1 )p
dt
dN2
= −c · σ(N2 − N1 )p
|
{z
}
dt
induziert
+ΓN2
−Wp N1
−ΓN2
| {z }
+ Wp N1
| {z }
spontan
(4.16)
gepumpt
bzw.
dn
= −2σ · c · p · n − Γ(n + ntot ) + Wp (ntot − n)
dt
1
dp
=
c·σ·n−
p
dt
τph
(4.17)
(4.18)
4-Niveau-Laser
Im 4-Niveau-System ist das untere Niveau des Laserübergangs nicht der Grundzustand
(hier jetzt 0), sondern ein Niveau darüber, das normalerweise leer ist. Das Pumpen erfolgt
jetzt, mit den gleichen Bedingungen wie im 3-Niveau-System mit einer Anregung von
Niveau 0 nach Niveau 3 mit nachfolgendem schnellen Übergang nach Niveau 2, dem
möglichst langlebigen oberen Laserniveau. Damit der Laser arbeiten kann, muss das untere
Laserniveau 1 durch einen nichtstrahlenden Prozess schnell entvölkert werden, weil sonst
die Inversion nicht mehr gegeben ist; ist dies der Fall, so wird analog zum Pumpprozess
angenommen, dass N1 =0 ist. Es gilt dann n = N2 und ntot = N0 + N2 und somit
dn
= −σ · c · p · n − Γ · n + Wp (ntot − n)
dt
dp
1
=
c·σ·n−
p
dt
τph
Die meisten Gaslaser sind 4- Niveau-Laser.
4-5
(4.19)
(4.20)
Laser-Ratengleichungen
Fasst man die Resultate für den 3- und den 4-Niveau-Laser zusammen, so ergeben sich
folgende Gleichungen:
dn
= −γ · σ · c · p · n − Γ (n + (γ − 1) ntot ) + Wp (ntot − n)
dt
dp
1
=
c·σ·n−
p
dt
τph
(4.21)
(4.22)
mit γ = 2 für 3-Niveau-Laser; γ = 1 für 4-Niveau-Laser
Einschub: Lotka-Volterra
Die Lotka-Volterra-Gleichungen stellen ein Modell für Populationsdynamik in der Biologie/Ökologie, z.B. für Raub- und deren Beutetiere dar. Sie wurden etwa um 1925 aufgestellt. Das Gleichungssystem ist den Laser-Ratengleichungen sehr ähnlich, und es zeigen
sich auch sehr ähnliche Verhaltensweisen.
Die Anzahl der Beutetiere B, die benötigt werden um die Raubtiere zu füttern, entspricht
dabei der Inversion n, die benötigt wird um das Lichtfeld zu verstärken: die Anzahl der
Raubtiere R entspricht damit der Photonendichte p.
dB
= −γ1 R · B + ε1 B
dt
γ1 : Fressrate der Räuber pro Beutetier, ε1 : Reproduktionsrate der Beute bei viel Nahrung
dR
= +γ2 R · B − ε2 R
dt
γ2 : Reproduktionsrate der Räuber pro gefressene Beute, ε2 : Sterberate der Räuber ohne
Beute
4.1.3
Stationäre Zustände
Zur Beschreibung der möglichen Betriebszustände eines Lasers und der dazugehörigen Bedingungen für die Parameters sollen zunächst stationäre Zustände der Ratengleichungen
betrachtet werden. Für die Inversion gilt dann:
Wp − (γ − 1)Γ
dn
= 0 ⇒ n = ntot ·
dt
γ · c · σ · p + Wp + Γ
(4.23)
Unterhalb der Laserschwelle (Photonendichte 0)
Zunächst werde die Situation ohne Lasertätigkeit betrachtet, d.h. bei der Photonendichte
p = 0 ergibt sich die Inversion n0 gemäß
dp
Wp − (γ − 1)Γ
= 0 ∧ p = 0 ⇒ n0 = ntot ·
(4.24)
dt
Wp + Γ
Betrachtet man die beiden möglichen Niveauschemata, so folgt:
4-6
Beim 3-Niveau-Laser (γ = 2) lässt sich Inversion nur erzeugen, wenn die Pumprate Wp
größer als die spontane Zerfallsrate Γ ist:
n0 = ntot ·
Wp − Γ
Wp + Γ
(4.25)
Beim 4-Niveau-Laser (γ = 1) lässt sich bei beliebig kleinen Pumpraten Inversion erzeugen:
n0 = ntot ·
Wp
Wp + Γ
(4.26)
Oberhalb der Laserschwelle (Photonendichte > 0)
Für die weiteren Rechnungen wird die Sättigungsphotonendichte ps definiert:
ps =
Wp + Γ
γ·c·σ
(4.27)
mit diesem Begriff ergibt sich die Inversion für den Fall p > 0, also im Laserbetrieb, als
n0
n(p) =
1+
p
ps
(4.28)
Wieder auf die anschaulicheren Größen bezogen ergibt sich als Zusammenhang zwischen
Intensität I = h · ν · c · p und differentieller Verstärkung g = σ · n:
g0
g(I) =
(4.29)
I
Is
Derartige Zusammenhänge werden als Sättigungsverhalten bezeichnet: die Inversion bzw.
Verstärkung ist ungefähr konstant wenn p ps bzw. I Is ist, und ungefähr umkehrt
proportional zu p bzw. I wenn diese groß gegenüber der Sättigungsphotonendichte bzw.
Sättigungsintensität sind.
Die Verstärkung nimmt also bei zunehmender Laserintensität ab!
Das Verhältnis der Photonendichte zur Sättigungsphotonendichte beschreibt näherungsweise das Verhältnis von spontanen und induzierten Emissionsprozessen: vernachlässigt
man (für diese Betrachtung) die Pumprate, so ist
1+
ps ≈
Γ
γ·c·σ
(4.30)
das Verhältnis aus induzierter Emissionrate c · σ · p und spontaner Emissionsrate Γ. Bei
kleiner Photonendichte überwiegen also die spontanen Emissionsprozesse, bei großer Photonendichte die induzierten, d.h. die Lebensdauer eines Teilchens im oberen Laserzustand
ist dann viel kürzer als die spontane Lebensdauer τ = 1/Γ.
4-7
Laserschwelle
Ein Laserresonator ist eine Anordnung aus zwei oder mehr Spiegeln, in der das Licht
einen geschlossenen Weg der Länge L zurücklegt. Bei zwei Spiegeln ist L der doppelte
Spiegelabstand. Es benötigt dazu die Umlaufzeit
τUmlauf =
L
c
(4.31)
Während eines Resonatorumlaufs ergeben sich die Verluste für das Lichtfeld durch Absorption im Lasermedium oder irgendwo auf dem Weg durch den Resonator (beschrieben
durch Transmission T ≤ 1) und durch die Auskopplung an einem Spiegel (beschrieben
durch Reflexion R < 1). Der Zusammenhang mit der Resonatorlebensdauer τph ist damit
R·T =e
τ
− Umlauf
τ
(4.32)
ph
Die Verstärkung auf einem Umlauf ist, analog zu Gleichung 4.6
G = eσ·n·L
(4.33)
Bei Laserbetrieb soll die Photonendichte nicht abnehmen:
dp
1
≥0→c·σ·n≥
dt
τph
(4.34)
damit gilt für die Inversion n die Bedingung
n ≥ nth =
1
c · σ · τph
(4.35)
Die Inversion muss also mindestens gleich der Schwellinversion (threshold) nth sein.
Die Pumprate, die benötigt wird, um nth bei p = 0 zu erzeugen Laser an der Schwelle“,
”
wird als Schwellpumprate Wth bezeichnet:
Wth =
Γ(ntot · (γ − 1) + nth )
ntot − nth
(4.36)
Integriert man dies, so ergibt sich
(c·σ·n− τ 1 )τUmlauf
p(τUmlauf ) ≥ p(0) · e
≥ p(0) ·
ph
σ·n·L
|e {z }
Verstaerkung
≥ p(0) · G · R · T
−τUmlauf
τph
· |e {z
}
Verluste
(4.37)
Damit lautet die Laserbedingung:
G·R·T ≥1
4-8
(4.38)
Stationärer Laserbetrieb
Für einen stationären Zustand endlicher Photonendichte gilt dann in den vorstehenden
Ungleichungen das Gleichheitszeichen:
1
1
dp
= 0 ∧ p 6= 0 ⇒ c · σ · n −
= 0 ⇒ n = nth =
(4.39)
dt
τph
c · σ · τph
Das bedeutet, dass bei endlicher stationärer Photonendichte die Inversion immer gleich
der Schwellinversion ist. Die Photonendichte steigt also so weit an, bis die durch das
Pumpen erzeugte Inversion auf den Wert der Schwellinversion abgebaut ist.
Damit lässt sich aus Gleichung 4.28 die Photonendichte als Funktion der Pumprate berechnen:
n0 − nth
p =
ps
(4.40)
nth
Wp (ntot − nth ) − Γ((γ − 1)ntot + nth )
(4.41)
=
γ · σ · c · nth
(ntot − nth )(Wp − Wth ) · τph
p =
für Wp > Wth
(4.42)
γ
die Photonendichte steigt also oberhalb der Schwellpumprate linear an. Unterhalb der
Schwellpumprate ist die Photonendichte Null. Es ist dabei zu rekapitulieren, dass der
Parameter nth sowohl von σ, einer Eigenschaft des Lasermediums und von τph , d.h. im
Wesentlichen der Güte des Resonators abhängt. Wth hängt noch von einer weiteren Eigenschaft des Lasermediums, der spontanen Zerfallsrate Γ ab.
Ausgekoppelte Leistung
Für die Anwendung des Lasers ist weniger die resonatorinterne Photonendichte sondern
eher die ausgekoppelte Leistung von Interesse. Geringere Reflektivität des Auskoppelspiegels führt dazu, dass ein größerer Anteil der im Resonator umlaufenden Leistung ausgekoppelt wird – aber auch zu größeren Verlusten. Diese Verluste lassen sich darstellen als
ln R
ln(1 − Tm )
Tm
dp
=p·
=p·
≈ −p ·
(4.43)
dt a
τUmlauf
τUmlauf
τUmlauf
dabei ist Tm die Transmission des Spiegels. Die ausgekoppelte Leistung ist damit
dp
(ntot − nth )(Wp − Wth ) τph
Pa = −h · ν · V ·
= −h · ν · V · ln R
(4.44)
dt a
γ
τUmlauf
dabei ist V das Volumen des Resonators. Die tatsächlich ausgekoppelte Leistung hängt
damit von den Resonatoreigenschaften ab über das Verhältnis
τph
ln R
Tm
− ln R
=
≈
(4.45)
τUmlauf
ln(T · R)
A + Tm
dabei beschreibt A die Absorption, d.h. diejenigen Verluste, die nicht durch Auskopplung
entstehen. Es folgt also
(ntot − nth )(Wp − Wth ) Tm
Pa ≈ h · ν · V
(4.46)
γ
A + Tm
Eine große Transmission des Auskoppelspiegels führt nicht unbedingt zu deutlich höherer
Leistung; wenn die sonstigen Verluste nicht vernachlässigbar sind, lässt sich diese aber
durch die Wahl der Transmission optimieren.
4-9
4.1.4
Zeitabhängiges Verhalten
Aus Gründen der Vereinfachung werden im Folgenden nur 4-Niveau-Laser betrachtet.
Relaxationsoszillationen
Betrachtet man eine kleine Abweichung ∆n, ∆p vom stationären Zustand n̄, p̄
n = n̄ + ∆n, | ∆n | n̄, n ntot
p = p̄ + ∆p, | ∆p | n̄
(4.47)
(4.48)
und setzt man diese in die Ratengleichungen ein, wobei man Ausdrücke der Ordnung
∆n∆p vernachlässigt, so erhält man
d∆n
∆p
= −(σ · c · p̄ + Γ)∆n −
dt
τph
d∆p
= σ · c · p̄ · ∆n
dt
(4.49)
(4.50)
Hieraus lässt sich ∆p eliminieren und man erhält
d∆n σ · c · p̄
d2 ∆n
+
(σ
·
c
·
p̄
+
Γ)
+
∆n = 0
dt2
dt
τph
(4.51)
Diese Gleichung beschreibt gedämpfte harmonische Schwingungen mit der Frequenz
r
σ · c · p̄
ω0 =
(4.52)
τph
Zumindest bei Festkörperlasern tritt hier der Schwingfall ein, die gedämpften Schwingungen werden dann als Relaxationsoszillationen bezeichnet. Bei Gaslasern ergibt sich
eine überkritische Dämpfung, d.h. der Laser kehrt ohne Oszillationen zum Gleichgewicht
zurück ( Kriechfall“).
”
Der Ablauf solcher Oszillationen kann z.B. wie folgt sein
• Zunächst werde eine Abweichung vom Gleichgewicht präpariert, z.B. durch eine
plötzliche Reduktion der Pumpleistung. Die Inversion bleibt dabei auf der Schwellinversion n̄ = nth , dies ist der alte und neue Gleichgewichtswert.
• Die momentane Photonendichte ist für die neue, geringere Pumpleistung zu hoch:
p = p̄neu + ∆p.
• Die Inversion sinkt daraufhin unter die Schwellinversion (mehr induzierte Emission):
n → n̄ − ∆n
• Daraufhin nimmt die Photonendichte ab (keine Verstärkung mehr). . .
• Daraufhin nimmt die Inversion wieder zu (weniger induzierte Emission) . . .
• usw.
4-10
Spiking
Bei größeren Abweichungen treten nichtlineare Oszillationen auf, bei denen Laser-Pulse
entstehen können; d.h. die Schwellinversion wird so weit unterschritten, dass das Laserfeld
zusammenbricht. Z.B.
• Beim Einschalten der Pumpquelle baut sich schnell die Inversion auf
• Bedingt durch die relativ geringe Resonatorgüte baut sich die Photonendichte relativ
langsam auf
• Die Inversion wächst daher schneller an, als sie durch das sich aufbauende Photonenfeld abgebaut wird, sie wächst daher bis weit über die Laserschwelle an
• Bei der jetzt sehr großen Inversion wächst das Lichtfeld schneller, es baut sich ein
großer Puls auf.
• Die Photonendichte überschreitet den Gleichgewichtswert, daher wird jetzt die Inversion stärker angebaut und sinkt unter die Schwellinversion. Gemäß der Ratengleichungen tritt das Maximum der Photonendichte auf, wenn die Inversion den Wert
der Schwellinversion durchläuft.
• Die Photonendichte ist immer noch recht groß, die Inversion sinkt weiter.
• Das Lichtfeld wird stärker gedämpft als verstärkt und bricht wieder zusammen.
• Die Inversion erreicht ihr Minimum, wenn die Photonendichte den stationären Wert
unterschreitet und wächst dann wieder an
Dies geht so weiter, mit abnehmender Pulshöhe, bis der Laser im stationären Zustand ist.
Abbildung 4.3: Laser-Spiking
4-11
4.2
4.2.1
Gaußsche Strahlen
Strahlausbreitung
Die Verteilung der komplexen Feldstärkeamplitude eines Gaußschen Strahls ist durch
ψ = ψ0
2
πr2
1
−r
p
·
e−i λR
· ei arctan(z/zr ) · e w2
1 + (z/zr )2
| {z }
| {z }
{z
} | {z }
|
Guoy
phase
Gaußprofil
Wellenfrontkrümmung
Strahlaufweitung
(4.53)
gegeben, dabei ist r der Abstand von der optischen Achse und z die longitudinale Koordinate entlang der Ausbreitungsrichtung.
Abbildung 4.4: Strahlprofil eines Gaußschen Strahls.
Der Strahlradius w ist der Abstand von der optischen Achse, bei dem die Intensität I(r)
(Abbildung 4.4),
r 2
I(r) = I e−2( w ) ,
(4.54)
0
auf den e−2 -ten Teil der Spitzenintensität I0 abgefallen ist.
Bei einem Radius von
p
r1/e = w · 1/2 ≈ 0.7071w
(4.55)
ist die Intensität auf den 1/e-ten Teil der Spitzenintensität I0 abgefallen.
Der Strahlradius hängt mit der Halbwertsbreite d1/2 , d.i. der Durchmesser des Strahlprofils bei halber Spitzenintensität I = 12 I0 , wie folgt zusammen:
d1/2 = w ·
√
2ln2 ≈ 1.1774w
(4.56)
Die Strahltaille ist der Ort mit minimalem Strahlradius w = w0 und ebener Wellenfront.
Die longitudinale Koordinate z ist so gewählt, daß die Strahltaille bei z = 0 liegt. Ausgehend von der Strahltaille wächst, durch Beugung, der Strahlradius an; das Strahlprofil
bleibt aber gaußförmig.
Die
√ Rayleigh-Länge zr ist der Abstand zur Strahltaille, in dem der Strahlradius auf
2w0 angewachsen ist. Sie stellt die signifikante Längenskala für alle Ausbreitungseffekte
eines Gaußschen Strahls dar.
πw02
zr =
(4.57)
λ
4-12
Abbildung 4.5: Ausbreitung eines Gaußschen Strahls.
Der Strahlradius verändert sich mit z wie
s
w(z) = w0
1+
z
zr
2
(4.58)
Für kleine Abstände (z zr ) ist der Strahlradius praktisch konstant. Asymptotisch
(z zr ) steigt der Strahlradius linear mit dem Abstand – also wie in der Strahlenoptik
– an.
Der Divergenzwinkel θ ist dann gegeben durch
zzr
w ≈ θz,
θ=
w0
λ
=
πw0
zr
Die Wellenfrontkrümmung R verändert sich mit z wie
z 2 r
R(z) = z 1 +
z
(4.59)
(4.60)
Für z = 0 ist die Wellenfront eben (R = ∞), für z zr fällt der Krümmungsradius dann
mit 1/z. Asymptotisch (z zR ) liegt eine Kugelwelle (R ≈ z) vor.
4.2.2
Charakterisierung eines Gaußschen Strahls
Die Zusammenhänge des vorangegangenen Abschnitts ergeben, daß sich ein Gaußscher
Strahl hinsichtlich seiner Ausbreitungseigenschaften durch folgende Kombinationen von
Parametern beschreiben läßt:
• Strahlradius w, Wellenlänge λ und Wellenfrontkrümmung R
• Strahlradius w oder w0 , Wellenlänge λ und Abstand z von der Strahltaille
• Rayleigh-Länge zr und Abstand z von der Strahltaille
• komplexer Strahlparameter q,
πw02
=
λ
1
1
λ
=
−i 2
q
R
πw
q = z+i
4-13
z + izr
(4.61)
(4.62)
4.2.3
Strahltransformation durch eine Linse
Eine Linse mit Brennweite f , angeordnet im Abstand z von der Strahltaille, bewirkt
eine Transformation des komplexen Strahlparameters q → q 0 . Dabei wird ebenfalls der
Nullpunkt der z-Achse geändert: d.h. z 0 = 0 ist der Ort der neuen Strahltaille, −z 0 ist der
Abstand von der Linse zur neuen Strahltaille
q0 =
q
1 − q/f
(4.63)
Abbildung 4.6: Strahltransformation durch eine Linse.
Änderung der einzelnen Parameter:
−z 0 = f ·
zr0 =
zr2 + (z − f )z
zr2 + (z − f )2
=f·
1+
1+
f 2 zr
f2
1
=
·
2
2
(z−f
zr + (z − f )
zr 1 + 2 )2
z
(z−f )z
zr2
(z−f )2
zr2
!
(4.64)
(4.65)
r
w00
fλ
1
=
·q
)2
πw0
1 + (z−f
z2
(4.66)
r
Näherung: kollimiert → fokussiert : Ist der ankommende Strahl kollimiert, d.h. ein
Strahl mit sehr großem Durchmesser und damit sehr großer Rayleigh-Länge, so ist
die genaue Position der Linse zur Strahltaille unerheblich:
zr z, |z − f |
−z 0 ≈ f
f2
zr0 ≈
zr
fλ
w00 ≈
πw0
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
Gleichung ?? bedeutet: je größer der kollimierte Strahl, desto kleiner der Fokus!
4-14
Abstand charakterisiert durch Rayleighlänge: Drückt man den Abstand der Linse
zur Strahltaille des ankommenden Strahls mit Hilfe der Rayleigh-Länge aus so ergibt
sich eine sehr übersichtliche Darstellung:
z = f + x · zr
f2
1
0
·
zr =
zr 1 + x2
(4.71)
(4.72)
−z 0 = f + x · zr0 = f +
w00 =
x f2
1 + x2 zr
1
fλ
·√
πw0
1 + x2
(4.73)
(4.74)
Diese Darstellung zeigt, daß die Rayleigh-Länge unmittelbar ein Maß der Genauigkeitsanforderungen für die longitudinale Position ist!
Die Wellenfrontkrümmung (nach Gl. 4.60) in der Brennebene der Linse ist gegeben
durch
z 0 = −x · zr0 = −
R = −
x f2
1 + x2 zr
1 f2
x zr
(4.75)
(4.76)
Spezialfall z = f ergibt die maximale Strahltaille bzw. Rayleighlänge
f2
zr
= f
fλ
=
πw0
zr0 =
−z 0
w00
(4.77)
(4.78)
(4.79)
Spezialfall z = f + zr ergibt den maximalen Abstand der Strahltaille
f2
2zr
= f + zr0
1 fλ
= √
2 πw0
zr0 =
−z 0
w00
4.2.4
(4.80)
(4.81)
(4.82)
Strahltransformaion durch ein mit der ABCD-Matrix beschriebenes optisches System
Die Transformation eines Gaußschen Strahls durch ein Linsensystem, das mit einer ABCDMatrix (siehe Abschnitt 2.1) wird beschrieben als
q0 =
Aq + B
,
Cq + D
(4.83)
dabei ist q der komplexe Strahlparameter vor der Transformation, q 0 nach der Transformation. A, B, C und D sind die gleichen Marixelemente wie in der paraxialen Optik.
4-15
4.2.5
Strahlaufweitung
Unter einer Strahlaufweitung versteht man die Transformation eines kollimierten Strahls
mit Radius w0 in einen kollimierten Strahl mit anderem, i.A. größerem Radius w000 . Es sind
hierzu zwei Linsen notwendig, wobei die erste Linse eine sehr kleine (reelle oder virtuelle)
Strahltaille w00 erzeugt und die zweite Linse den stark divergenten Strahl dann wieder
kollimiert. Dabei ist eine genaue Positionierung der ersten Linse nicht nötig (siehe Gln.
??, die Annahme ist x2 1), die zweite Linse muß wegen der sehr kleinen Rayleighlänge
sehr präzise positioniert werden (siehe Gln. 4.2.3):
−z
00
zr00
w000
0 2
f
x0
= f 0 + x0 · zr00
≈ f + zr ·
0
2
1 + (x )
f
0 2
f
1
≈ zr ·
0
2
1 + (x )
f
0
1
f
≈ w0 · p
0
2
f
1 + (x )
0
(4.84)
(4.85)
(4.86)
Die Wellenfrontkrümmung (nach Gl. 4.60) in der Nähe der Brennebene der zweiten Linse
ist gegeben durch
z 00 ≈ −x0 · zr00
1 f 02
R = −zr 0 2
x f
02
f
= 0 0
x zr
(4.87)
(4.88)
(4.89)
wobei x0 zr0 die reale Abweichung des Linsenabstands von der Summe de Brennweiten ist.
Das Verhältnis zwischen dem Radius des ankommenden Strahls, w0 , und dem Radius des
Strahls auf der zweiten Linse, w00 ist das Verhältnis der Brennweiten:
w00
f0
≈
w0
f
Abbildung 4.7: Strahlaufweitung mit zwei Linsen.
4-16
(4.90)
Ziel der Strahlaufweitung ist es meistens, für eine Strahlpropagation über eine sehr lange
Strecke l die Divergenz zu verringern. Als optimale Kollimation für solch eine Situation
wird die Strahlaufweitung bezeichnet, bei der die Strahldurchmesser an Anfang und Ende
der Strecke minimal sind, also Optiken mit möglichst kleinen Öffnungen benutzt werden
können. Dies ist dann gegeben, wenn
00
−z =
zr00
π(w000 )2
= l/2
=
λ
(4.91)
ist, also die Strahltaille in der Mitte der zu überbrückenden Entfernung, jeweils eine
Rayleigh-Länge von Anfang und Ende entfernt liegt. Dies ist nach Gl. ?? erfüllt, unter
der zusätzlichen Annahme, daß die zu überbrückende Länge groß gegen die Brennweite
der zweiten Linse ist, wenn
l/2 f 0 ,
x0 ≈ 1
r
f0
l
≈
.
f
zr
Abbildung 4.8: Optimale Kollimierung.
4-17
(4.92)
(4.93)
(4.94)
4.2.6
Beugungsverluste und Raumfilterung
Beugungsverluste
Die Leistung Pt eines Gaußschen Strahls mit Spitzenintensität I0 beträgt
Pt =
πw2
I0
2
(4.95)
Wird ein Gaußscher Strahl durch eine Blende – d.h. irgendeine optische Komponente
mit begrenzter Öffnung – von Radius r bzw. Durchmesser D begrenzt, so beträgt die
transmittierte Leistung P (r) bzw. P (D):
r 2
(4.96)
P (r) = Pt 1 − e−2( w )
1 D 2
P (D) = Pt 1 − e− 2 ( w )
(4.97)
Häufig betrachtete Blendendurchmesser sind 3w(98.89%), πw(99.28%) oder 4w(99.97%).
Abbildung 4.9: Transmission eines Gaußschen Strahls (Radius a) durch eine Blende (Radius r).
Wird ein zu großer Teil der Leistung zurückgehalten, so äußert sich die Interferenz zwischen dem idealen Gaußschen Strahl und dem durch die Blende abgeschnittenen, feh”
lenden“ Feld in deutlich sichtbaren Beugungsringen. Häufig wird ein Blendendurchmesser
von 6w, der noch einen Verlust von 1.5 × 10−8 verursacht, als sicher“ groß genug be”
trachtet um in Experimenten wie in numerischen Simulationen solche Beugungseffekte
vernachlässigen zu dürfen.
4-18
Raumfilterung
Bei jeglicher Abbildung mit einer Linse entspricht die Feldverteilung in der bildseitigen
Brennebene der Fouriertransformierten der Feldverteilung in der objektseitigen Brennebene. Ein ausgedehnter Gaußscher Strahl, dessen Profil durch Beugung an kleinen Verunreinigungen, Staubteilchen etc. gestört ist (Abb. 4.10a), hat eine Fouriertransformierte,
in der der ungestörte Strahl und die Störungen deutlich getrennt sind (Abb. 4.10b).
a)
b)
Abbildung 4.10: a) Strahlprofil und b) Fouriertransformierte eines gestörten Gaußschen
Strahls. dn : typische Größe der Störungen, F : Brennweite der Linse, a: Strahlradius.
Bei der Raumfilterung wird der Strahl fokussiert und eine Blende in der Fokusebene
eingesetzt, die gerade den ungestörten Strahl durchläßt und die Störungen blockiert.
Abbildung 4.11: Raumfilterung
4-19
Literaturverzeichnis
[1] D. Kühlke, Optik - Grundlagen und Anwendungen, Verlag Harri Deutsch,
2. Aufl. 2004
[2] J. Eichler, H.-J. Eichler, Laser, Springer-Verlag, 5. Aufl. 2003
[3] E. Hering, R. Martin, M. Stohrer, Physik für Ingenieure, Springer-Verlag, 2004
[4] R. Pitka, S. Bohrmann, H. Stöcker, G. Terlecki, H. Zetsche, Physik - Der Grundkurs,
Verlag Harri Deutsch, 3. Aufl. 2005
[5] S.G. Lipson, H.S. Lipson, D.S. Tannhauser, Optik, Springer-Verlag, 1997
[6] E. Hecht, Optik, 4. Auflage, Oldenbourg-Verlag 2005
[7] H. J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser-Verlag, 2002
4-20

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