Geodätische Kuppeln

Seminar für Lehramt Mathematik
Geodätische Kuppel
Geodätische Kuppeln sind Konstruktionen von sphärischen Kuppeln mit einer
Substruktur aus Dreiecken.
Geschichte
1919 startet der Berliner Walther Wilhelm Johannes Bauersfeld (*1879 ; †1959) mit der Entwicklung
einer freitragenden Kuppel für Projektionszwecke in Jena. Bauersfeld verfeinerte den Ikosaeder so
weit, dass er die entstandene Konstruktion zur Bewährung einer 26m weiten Spritzbetonstruktur
verwenden konnte. Das 1926 eröffnete Planetarium Jena der Carl-Zeiss-Werke gilt als die erste
geodätische Kuppel der Welt.
Weiterentwickelt wurde die Geodätische Kuppel von Richard Buckminster Fuller, (1895-1983), einem
amerikanischen Architekt und Erfinder. Fuller unternahm in den 1940er Jahren systematische
Untersuchungen räumlicher Tragwerkkonstruktionen. So entwickelte er die auf regelmäßigen
Vielflächen basierenden geodätischen Kuppeln. Er benutzte dabei erstmals den Begriff „Geodesic“.
Breite Aufmerksamkeit erfuhr die Fuller-Kuppel Biosphère 1967, die auf der Expo 67 in Montreal als
US-Pavillon eröffnet wurde.
Konstruktion
Eine geodätische Kuppel ist ein konvexes unregelmäßiges Polyeder. Daher gilt für geodätische
Kuppeln der Eulersche Polyedersatz:
𝐸+𝐹 −𝐾 =2
(E…Ecken, F…Flächen, K…Kanten)
Möchte man eine Kuppel möglichst kugelförmig aus ebenen Flächen zusammensetzen, so sollte man
Dreiecke verwenden, die möglichst gleichseitig sind und deren Ecken alle auf einer Kugeloberfläche
liegen.
Bei fünf gleichseitigen Dreiecken an jeder erhält man ein Ikosaeder. Leider ergeben sechs
gleichseitige Dreiecke an einer Ecke keinen Körper mehr, da die entsprechenden sechs Innenwinkel
der Dreiecke zusammen 360° ergeben. Deshalb ist der Gedanke naheliegend, Ecken mit fünf und
sechs Dreiecken möglichst regelmäßig zu kombinieren.
Deshalb ist der Gedanke naheliegend, Ecken mit fünf und sechs Dreiecken möglichst regelmäßig zu
kombinieren. Allerdings geht das nicht mehr mit exakt gleichseitigen Dreiecken.
Da wir nur Polyeder mit Dreiecksflächen betrachten, jedes Dreieck drei Kanten hat, sich die Kanten
aber mit jeweils einem Nachbardreieck teilen muss, gilt hier außerdem:
3
𝐾= 𝐹
2
3
𝐹+𝐸− 𝐹 = 2
2
1
𝐸 = 𝐹+2
2
Von jeder Fünferecke (E5) gehen 5 Kanten aus. Jeder Kante gehört aber gleichzeitig zu einer anderen
Ecke. Das gilt entsprechend für die Sechserecken (E6). Damit muss gelten:
Andreas Ortner
1126100
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5
6
3
𝐸5 + 𝐸6 = 𝐾 = 𝐹
2
2
2
5𝐸5 + 6(𝐸 − 𝐸5 ) = 3𝐹
𝐸5 = 6𝐸 − 3𝐹
𝐸5 = 3𝐹 + 12 − 3𝐹
𝐸5 = 12
Die geodätischen Kuppeln besitzen also immer genau 12 Fünferecken.
Der einfachste Weg, geodätische Kuppeln zu konstruieren, besteht darin, das Ikosaeder als
Ausgangskörper zu verwenden. Man teilt dabei die gleichseitigen Dreiecke des Ikosaeders in 4, 9, 16,
usw. gleichseitige und gleich große Unterdreiecke auf (siehe Abbildung). Dabei entstehen auf den
Seiten eines Ikosaederdreiecks gleich viele und gleich lange Abschnitte. Außerdem bilden sich
zusätzliche Sechserecken. Diese projiziert man vom Ikosaeder-Mittelpunkt auf die Oberfläche der
umgebenden Kugel. Die dabei neu entstehenden Dreiecke bilden in ihrer Gesamtheit eine
geodätische Kuppel.
Nach der Projektion sind die Dreiecke allerdings weder gleichseitig noch gleich groß.
Die Abbildungen zeigen die beiden einfachsten geodätischen Kuppeln, die man aus einem Ikosaeder
konstruieren kann. Sie besitzen 80 bzw. 180 Dreiecke auf der Oberfläche.
Allgemein besitzen diese geodätischen Kuppeln F = 20 · n2 Dreiecke, wobei n eine natürliche Zahl
größer Null ist.
Praktische Anwendung
Der „Sehnen“-Faktor (engl. Chord-factor) ist das Verhältnis von der Länge der Sehne zum Radius der
umgebenden Sphäre.
Für geodätische Sphären gibt es eine Formel um den „Sehnen“-Faktor η zu berechnen:
𝜃
𝜂 = 2sin( )
2
𝜃 bezeichnet den Winkel des Bogens für die gegebene Sehne, das ist der Zentriwinkel von der Sehne
in Bezug auf das Zentrum der Sphäre. Um solche Winkel explizit zu berechnen benötigt man
sphärische Geometrie.
Andreas Ortner
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