EINF¨UHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 8 Must ¨Ubung 1. Zeigen

EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 8
UNIVERSITÄT BASEL HS2015
ABGABE DI. 24.11.15 UM 16.00
BITTE DEN NAMEN IHRES ASSISTIERENDEN AUF DAS BLATT SCHREIBEN
Must
Übung 1. Zeigen Sie:
a) Cov(X, Y ) := E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] = E[X(Y − E[Y ])] = E[(X − E[X])Y ] =
E[XY ] − E[X]E[Y ]
b) Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y ) für a, b, c, d ∈ R (Lageninvarianz dank Zentrierung!)
c) |Cor(aX +b, cY +d)| = |Cor(X, Y )| für a, b, c, d ∈ R wo a 6= 0, c 6= 0 (Skaleninvarianz
wegen Normierung!)
d) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ), beachten Sie auch den Fall Y := X.
Übung 2. a) Generieren Sie in R einen 100’000–er–Vektor aus der N (0, 4)-Verteilung
(Achtung: wie wird die Varianz in R bei N (µ, σ 2 ) eingegeben?) und legen Sie diesen
als m ab. Berechnen Sie dann n := 5 + 2m für jede einzelne Koordinate. Berechnen Sie
jetzt Cor(m, n). Begründen Sie das Resultat.
b) Berechnen Sie dann f := m2 für jede einzelne Koordinate. Berechnen Sie jetzt
Cor(m, f ). Kommentieren Sie das Resultat nach einer allfälligen Zentrierung mit Hilfe
der x − y−Ebene.
c) Begründen Sie das Resultat aus b) mit einer theoretischen Überlegung, indem Sie
berücksichtigen, dass es sich um eine Normalverteilung handelt (überlegen Sie sich, wie
man die theoretische Kovarianz berechnet und wie man Erwartungswerte berechnet, insbesondere im Fall dieser Normalverteilung, welche ja symmetrisch um µ ist)
Standard
Übung 3. (3 Punkte) Sei X eine Ge(p)–Zufallsgrösse (Geometrische Vert. mit Parameter p). Beweisen Sie, dass
1−p
V [X] =
.
p2
[Tipp: Benutzen Sie, dass V [X] = E[X 2 ] − . . .. Berechnen Sie E[X 2 ] mit Hilfe von
k 2 q k−1 = (k + 1)kq k−1 − kq k−1 = (q k+1 )00 − (q k )0 , wo die Ableitung bezg̈lich q ist. In
unserer Situation ist Die Ableitung der Reihe gleich wie die Summe der Ableitungen.]
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Übung 4. (Aufgabe mit R, 1.5+1.5 Punkte) Wir haben in der Vorlesung die Quantilfunktion, welche die inverse Funktion der Verteilungsfunktion ist, gesehen:
FX−1 : (0, 1) → R.
Sie wird mit QX (x) bezeichnet. Der Befehl in R ist q“R–nameverteilung” (zB. qnorm,
qbinom, qpois...). Die Quartile sind die Qauntile QX (0.25) (bezeichnet auch mit Q1 und
unteres Quartil genannt), QX (0.5) (bezeichnet auch mit Q2 und mittleres Quartil oder
Median genannt) und QX (0.75) (bezeichnet auch mit Q3 und oberes Quartil genannt).
(1) Folgende sind die Alter der Mitglieder der Jugend Symphonie Orchester der
E.i.d.S..
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Sei X die Zufallsgrösse “Alter der Mitglieder”. Rechnen Sie: E[X], V [X] (Varianz!), Q1 , Q2 , Q3 . Zeigen Sie das Histogramm von X.
(2) Sei X eine N (10, 4)–Zufallsgrösse. Mit Hilfe von R berechnen Sie P [|X| > 2]
und P [|X| > 4]. Es ist erlaubt nur die Befehle der Standard–Normalverteilung
N (0, 1) zu benutzen. [Tipp: Z–Transform der Vorlesung.]
Extra
Übung 5. Sei X eine N (µ, σ 2 )-Zufallsgrösse. Zeigen Sie, dass die Z-Transform
X −µ
σ
eine N (0, 1)-Zufallsgrösse ist.
Übung 6. Zeigen Sie:
a)
E[X 2 ] < ∞ ⇒ E[X] < ∞;
b) falls k ≤ j
E[|X|j ] < ∞ ⇒ E[|X|k ] < ∞.
Tipp: Skizzieren Sie dazu im gleichen Koordinatensystem die Graphen der Funktionen
f (x) = x2 und f (x) = x. Wie kann man “erreichen”, dass ”x2 ≥ xı̈mmer gilt (benutzen
Sie E[1] = 1 < ∞)?
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