Moderne Physik - Formelsammlung
Prof. Dr. Günter Quast
Wiederholung Klassische Physik
Kinematik
x
• Ortsvektor: ~r = y
z
• Zeitkoordinate t als Bahnparameter einer Kurve im Raum: ~r(t)
• Geschwindigkeit (=Änderung des Ortes): ~v (t) =
d
~r(t) = ~r˙ (t)
dt
• Beschleunigung (=Änderung der Geschwindigkeit): ~a(t) =
d2
d
~v (t) = 2 ~r(t) = ~r¨(t)
dt
dt
• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (bei vorgegebenem ~a(t) = const):
R
– v(t) = ~a(t) dt = ~v0 + ~a · t
– ~r(t) =
R
~v (t) dt =
RR
1
~a dt2 = ~s0 + ~v0 t + ~at2
2
Newton’sche Axiome
1. Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft
auf ihn wirkt.
2. Die zeitliche Änderung des Impulses p~ = m · ~v ist gleich der wirkenden Kraft F~ :
d~
p
d
F~ =
=
(m · ~v )
dt
dt
[= m · ~a]
| {z }
[F~ ] = N = kg ·
m
s2
falls m konstant
3. Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F~12 , so wirkt 2 auf 1 mit einer betragsmäßig gleich großen,
entgegengesetzten Kraft F~21 = −F~12 , actio = reactio.
Beispiele für Kräfte
• Schwerkraft: F~G = m · ~g = const (in Erdnähe!)
– g = 9, 81 sm2 : Erdbeschleunigung
• Federkraft: F~Hook (x) = −kx (gilt ganz allgemein bei Verformungen im elastischen Bereich)
• Reibungskräfte:
~v
– Gleitreibung: F~Gl = −
· CGl , CGl = cGl · |F~N | mit der Normalkraft F~N
|~v |
1
– Stokes’sche Reibung: F~S = −~v · cStokes
~v
– Newton’sche Reibung: F~N ewton = −~v 2 ·
· cNewton
|~v |
−G · MErde · m ~r
·
• Schwerkraft im Erdfeld allgemein: F~g =
~r2
|~r|
d
d
• Bewegungen beschreiben durch Differentialgleichungen 2. Ordnung: F~ (~x, t, ~x, . . .) =
dt
dt
m·
d
~x
dt
¨ als Spezialfall
– häufig: F~ (~x) = m · ~x
Energie
Z
x~2
• Emech =
F~ · d~s
~
x1
~
r0
Z
• Potentielle Energie am Ort ~r bezogen auf ~r0 : Epot (~r) =
F~ (~s) · d~s = V (~r)
~
r
• Kennt man die potentielle Energie als Funktion des Ortes (das „Potential“), so erhält man die Kraft durch:
∂/∂x
~ (~r) = − ∂/∂y V (~r)
F~ (~r) = −∇V
∂/∂z
– in einer Dimension: F (x) = −
d
V (x)
dx
– Herleitung: Umkehrung des obigen Integrals, d.h. Ableitung nach der unteren Integralgrenze
• Beispiele zur Energie - Energieformen:
– Konstante Kraft (Schwerkraft am Erdboden): Epot = −FG · h = m · g · h „Lage-Energie“
0
Z
1 2
kl
2
−kx dx =
– Gespannte Feder: Epot =
l
∞
Z
– Gravitationsfeld (r0 → ∞): Epot (r) =
−
r
G · me · m
−G · me · m
dr =
2
r
r
– Bewegungsenergie oder „kinetische Energie“:
Z
Ekin =
Z
F dx =
dv
· v dt = m ·
m·
dt
Z
1
v dv = mv 2
2
1 p2
=
2m
– Bei vielen mechanischen Prozessen wird ständig potentielle Energie in kinetische verwandelt und umgekehrt.
Beispiel: Pendel, Fangpendel.
Emech = Epot + Ekin = const
2
Drehbewegungen
Rotation
analoge Größe bei Translation
Winkel: ϕ
Ort: ~s
Winkelgeschwindigkeit |~
ω| =
dϕ
dt
Geschwindigkeit: ~v =
~ := ~r × p~
Drehimpuls L
2
Kreisbahn: L = mrv = mr
|{z} ω
Impuls: p~
Trägheitsmoment: J
~ = J~
L
ω
Masse: m
p~ = m · ~v
d~
s
dt
=J
~
dL
dt
~ =
Drehmoment: M
Kraft: F~ =
= ~r × F~
Rotationsenergie: ERot = 12 Jω 2 =
~2
L
2J
d~
p
dt
Kinetische Energie: Ekin = 12 m~v 2 =
Schwingungen allgemein
¨(t) + ω 2 ~x(t) = 0
• Allgemeine Schwingungsgleichung: ~x
0
r
• Lösung: x(t) = A · cos(ω0 t + ϕ0 ), ω0 =
• Überlagerung von Schwingungen:
n
X
k
m
Ai cos(i · ω · t + ϕi ) „Fourier-Synthese“
i=0
• Gedämpfte Schwingung:
mẍ + bẋ + kx = 0
Lösung:
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = 0
1. x(t) = A · e−δt cos(ωt + ϕ0 ), ω 2 = ω02 − δ 2 > 0
q
2. x(t) = A · e−δt sinh( δ 2 − ω02 t), ω02 − δ 2 < 0
3. x(t) = A(1 + δt)e−δt , ω02 = δ 2
• Erzwungene Schwingung:
ẍ + 2δ ẋ + ω02 x = F (t)
F (t) = Fm0 · cos(ωE t)
– Lösung t → ∞: x(t) = A2 · cos(ωE t + ϕ0 )
– A2 (ωE ) =
F0
m
1
2
2
2
(ω0 −ωE ) +(2δωE )2 2
[
– A2 hängt ab von
]
F0
m,
ωE und δ!
Wellen
• Welle: y(~x, t) = A · cos(ωt − ~k · ~x)
3
p
~2
2m
– ~k =
2π
λ
• Phasengeschwindigkeit: vP h =
λ
ω
=λ·f =
T
k
• Differentialgleichung für Wellen:
2
∂ 2 f (x, t)
2 ∂ f (x, t)
−
v
=0
Ph
∂t2
∂x2
~
• Komplexe Schreibweise: y(~x, t) = Re A · ei(ωt−k·~x) „ebene Welle“
• Kugelwelle: A(~r, t) =
o
n
A
· Re ei(ωt−λ·r) , r = |~r|
r
– Punkte gleicher Phase liegen auf Kugeloberflächen
Z ∞
• Wellenpaket: f (t, x) =
A(ω) cos(ωt − kx) dω „Fourier-Integral“
0
– Gruppengeschwindigkeit: vG =
∂ω
∂k
– vG 6= vP h für vP h = vP h (ω)
Elektrodynamik
Brechung und Beugung
• Huygens’sches Prinzip: Ebene Wellen als Überlagerung von Kugel-Wellen
⇒ Reflexion, Brechung, Beugung als Wellenphänomene!
• Interferenz: Überlagerung von Wellen A1 cos(ωt − ~k1 · ~x) und A2 cos(ωt − ~k2 · ~x):
| {z }
| {z }
ϕ1
ϕ2
– Maximum für ϕ1 − ϕ2 = 2πm, m = 0, 1, 2, ...
– Minimum für ϕ1 − ϕ2 = (2m + 1)π, m = 0, 1, 2, ...
• Reflexions- und Brechungsgesetz: αi = αr und
sin αi
n2
=
sin αb
n1
• Beugung an Spalt und Gitter:
I(α) = I0 ·
sin2 x
·
2
|x
{z }
Einzelspalt
– x=
– y=
πb
λ
πg
λ
sin2 (py)
sin2 (y)
| {z }
Vielfachspalt / Gitter
sin α, b: Spaltbreite
sin α, g: Spaltabstand, p: Anzahl der (ausgeleuchteten) Spalte
• Intensitätsmaxima bei sin α = ±m
λ
g
4
– p − 2 Nebenmaxima
– m: Beugungsordnung
• Auflösung eines Gitters:
λ
=p·m
∆λ
• Polarisation: linear, zirkular, elliptisch
– Licht polarisierbar durch Reflexion unter „Brewster-Winkel“ αB + αtr = 90◦ , d.h. tan αB =
• Interferenz an dünnen Schichten
1
– Gangunterschied ∆ = 2d(n2 − sin2 α) 2 −
(= 2d cos α −
λ
2
λ
2
für n = 1)
λ
2:
∗
Phasensprung
∗ konstruktive Interferenz: ∆ = mλ, λ = 0, 1, 2, 3, ...
∗ destruktive Interferenz: ∆ = (2m + 1) λ2 , λ = 0, 1, 2, 3, ...
5
n2
n1
• Stehende Welle: f (x, t) = A · cos(ωt) · cos(kx)
– Überlagerung einer hin- und rücklaufenden Welle
– Bei Reflexion an beiden Enden: L = m · λ2 , „nur bestimmte Wellenlängen passen“
• Theorie der Elektrodynamik („Maxwell-Gleichungen“) sagt „Elektromagnetische Wellen“ voraus:
2
∂2E
∂t2
= c2 ∂dxE2
∂2B
∂t2
= c2 ∂∂xB2
2
~ B
~
– E⊥
– c = √ε10 µ0
– Phänomene von Radiowellen über Licht bis γ-Strahlung
• In Materie: cmed = √
1
εε0 µµ0
– ε, µ: Materialkonstanten, µ ≈ 1 bei optischen Medien
√
c
– ⇒ cmed
≈ ε, cmed < c da ε ≥ 1
– ε hängt von der Frequenz ab: cmed = cmed (ω).
ω
ω
cmed =
, d.h. k = cmed
(ω)
k
dk
1
1
⇒ dω = vG 6= cmed : Dispersion
Statistische Mechanik
• ideales Gas, Zusammenhang zwischen Druck P, Volumen V und Temperatur T:
P V = nRT = N kB T
n: Stoffmenge, R Gaskonstante, N Teilchenzahl, kB Boltzmannkonstante
in der statistischen Mechanik:
N
2
PV =
mv 2 = N Ekin
3
3
daraus folgt:
1
Ekin = 3 · kB T
2
1
2 kB T
ist die mittlere Energie pro Freiheitsgrad
6
• Zusammenhang zwischen innerer Energie U , Wärme Q und Arbeit W
dU = δQ + δW
• Wärmekapazität C =
∆Q
∆T
• 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Wärme kann nicht vollständig in Arbeit verwandelt werden, die Entropie S wächst i.a. an,
Z
dQrev
≥0
∆S =
T
• statistische Verteilung der Energie, Boltzmann-Verteilung
w(E)dE =
1
E
exp(−
) dE;
Z
kB T
dabei istZ eine Normierungskonstante, die Zustandssumme.
7
Stoff Physik IV (L)
Relativitätstheorie
• Einsteins Postulate:
1. Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt
2. c = const
• ⇒ Lorentz-Transformation zwischen Koordinatensystemen K und K 0 mit Relativgeschwindigkeit vx :
x0
y0
z0
ct0
= γ(x − βct)
=y
=z
= γ(ct − βx)
β
γ
= vcx
=√
1
1−β 2
• Auch die Zeit wird transformiert!
• Relativistischer Impuls: p~ = mγ~v
• Relativistische Energie: E = mγc2 =
p
p~2 c2 + m2 c4
– mc2 ist die der Ruhemasse entsprechende „Ruhe-Energie“
– Für v c : E = mc2 +
1 p2
; p=m·v
2m
– Für v ≈ c : E = |~
p| · c (hochrelativistischer Grenzfall)
• Nützliche Beziehungen:
– γ=
E
mc2
– β=
p·c
E
• Vierervektoren
– (ct, ~x) bilden Vierervektor x
e: Null-Komonente ct, Dreier-Komponenten ~x
– Vierer-Skalarprodukt x
f1 · x
f2 = c2 t1 t2 − ~x1 · ~x2 ist ist invariant unter Lorentz-Transformation, d.h. hat den
gleichen Wert in allen durch Lorentz-Transfrormation verknüfpten Bezugssystemen
– pe = (E/c, p~) ist ebenfalls ein Vierervektor, der sich durch Differentiation nach der Eigenzeit τ = γ t von x
e und
Multiplikation mit der Masse m ergibt. Der Viererimpuls transfomiert sich nach der Lorentz-Transormation
in ein anderes Bezugssystem.
– der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße in allen physikalischen Reaktionen;
– pe2 = m2 gilt in allen Bezugssytemen für den Gesamtimpuls pe =
N
X
pei (nützliche Beziehung für viele
i=1
Rechnungen)
Ursprünge der Quantenphysik
• Hohlraum-Strahler (schwarzer Körper)
– Wien’sches Verschiebungsgesetz: λmax · T = const
Z ∞
– Stefan-Boltzmann-Gesetz: P =
P (λ, T ) dλ ∝ T 4
0
– Erklärung durch Max Planck: Energieabstrahlung / Absorption in Quanten E = h · ν
8
• Photo-Effekt
– Kinetische Energie der ausgelösten Elektronen: Ekin = h · ν − WA
– WA : Auslöseenergie (materialabhängig)
• Photon:
E = h · ν = ~ω
p = λh = ~k
– h = 6, 6 · 10−34 Js: „Planck’sches Wirkungsquantum“
– ~=
h
2π
– Modernes Experiment: einzelne Photonen am Doppelspalt. Zusammenhang: Welle ↔ Teilchen
• Compton-Effekt (Streuung von Photonen an Elektronen): ∆λ = (λ − λ0 ) =
h
(1 − cos θ)
me c
• Diskrete Energien auch in Röntgenspektren
– λmin =
hc
oder hvmax = Ekin = e · U (Ekin : kinetische Energie der erzeugenden Elektronen)
e·U
• Franck-Hertz-Versuch:
– Stoßanregung von Atomen durch Elektronen
– tritt auf, wenn ∆E = (Ej − Ei ) = Ekin = e · U
– Ei , Ej : Energieniveaus im Atom
• Elektronen sind (punktförmige) Teilchen
– Ladung: −e = −1, 61 · 10−19 C
– Masse: m = 9, 11 · 10−31 kg = 511 keV
c2
• Photonen der Energie E > 2me c2 können Elektron-Positron-Paare erzeugen
• Welleneigenschaften von Teilchen (deBroglie-Welle, Materie-Welle):
– E = ~ω
– p=
h
= ~k
λ
Quantenphysik
• Behandlung von Photonen und Materie-Teilchen ähnlich: für Quanten kann nur eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden, sie an einem bestimmten Ort zu beobachten:
– Photon: P ∝ |elektrische Feldstärke (~r) |2 (∝ I)
– massebehaftetes Teilchen: P ∝ |Amplitude der deBroglie-Welle (~r) |2
• Teilchen im „Potentialkasten“: Wellenfunktion hat Knoten an den Rändern (in einer Dimension):
n·
λ
h2
= L ⇒ En =
· n2 n = 1, 2, 3, ...
2
8mL2
• Wahrscheinlichkeit für den Aufenthaltsort eines Teilchen gegeben durch: P (x; x + dx) = |Ψ(x, t)|2 · dx
– |Ψ(x, t)|2 : „Wahrscheinlichkeitsdichte“
9
Z
• Lokalisierte Teilchen durch Bildung von Wellenpaketen: Ψ(x, t) =
• Heisenberg’sche Unschärferelation:
∆x · ∆p ≥
∆t · ∆E ≥
dk A(k) ei(kx−ωt)
~
2
~
2
– ∆x, ∆p, ∆t, ∆E: Standardabweichung der Verteilungsdichte, z.B. x ∈ [x0 ± ∆x]
• Geschwindigkeit eines Wellenpakets: vG =
– Phasengeschwindigkeit =
dω
= vTeilchen Gruppengeschwindigkeit
dk
vTeilchen
!
2
• Doppelspaltexperimente mit Quanten
Schrödingergleichung
~2 ~ 2
∂
• Schrödingergleichung:
−
∇ + V (~x)
Ψ(~x, t) = i~ Ψ(~x, t)
2m
| {z }
∂t
Potential
Z
• Wahrscheinlichkeit: P (~x, t) =
|Ψ(~x, t)|2 dV
| {z }
=Ψ∗ ·Ψ
• Schrödinger-Gleichung mit Impulsoperator:
p2
∂
+ V (~x) Ψ(~x, t) = i~ Ψ(x, t)
2m
∂t
~ „Impulsoperator“
– ~p = −i~∇:
10
p2
+ V (~x) Ψ(~x) = E · Ψ(~x)
2m
{z
}
|
• Stationäre Schrödingergleichung:
H
– Ψ(~x, t) = Ψ(~x) · e−iωt
– |Ψ(~x)|2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte
Z x0 +∆x
|Ψ(x)|2 dx (1-dim.)
– P (x ∈ [x0 , x0 + ∆x) =
x0
Z
– P (~x ∈ ∆V ) =
|Ψ(~x)|2 dV (3-dim.)
∆V
Z
∞
–
|Ψ(~x)|2 dV = 1 (Normierungsbedingung)
−∞
• Weitere Operatoren:
– E = i~
∂
∂t
– x=x
– V = V (x)
– H=
p2
+ V (x) „Hamilton-Operator“
2m
• Kenntnis der Wellenfunktion eines Systems erlaubt die Berechnung von Erwartungswerten1 physikalischer ObZ
servablen aus dem zugehörigen Operator: hoi = Ψ∗ OΨ dV
– übliche Schreibweise: hoi = hΨ|O|Ψi
2
– auch die
σ, oder V , die Varianz
lassen
sich so berechnen:
Standardabweichung
2
2
2
2
2
2
σO = (O− < O >) =< O > − < O > = Ψ|O |Ψ − hΨ|O|Ψi
– Falls Ψ eine Eigenfuktion des Operators O ist, also gilt OΨ = oΨ mit dem reellen Eigenwert o, so verschwindet die Varianz, d.h. die Observable ist scharf bestimmt.
• Einfache Systeme mit der stationären Schrödingergleichung:
d2
−2m
Ψ(x) = (E − V )Ψ(x) · 2
2
dx
~
– E − V > 0: oszillierende Lösung
– E − V < 0: exponentieller Abfall
• Kasten: V (x) = ∞ für x < 0, x > L und V (x) = 0 für 0 ≤ x ≤ L
• diskrete Energien:
~2 π 2
· n2
2mL2
r
2
nπx
– Ψn =
sin
, n = 1, 2, 3, ...
L
L
– En =
Schrödingergleichung im Potential
1 Bei
2 Die
gegebener Verteilungsdichte f(x) berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen x als x ≡< x >=
Varianz einer Zufallsvariablen x ist definiert als V = σ 2 =< (x− < x >)2 >
11
R
x · f (x)dx.
•
d2
2m
Ψ(x) = 2 (V − E) Ψ(x)
dx2
~
– V − E > 0: exponentiell gedämpft, f · eαx + B · e−αx
– V − E < 0: oszillierende Lösung, f · eikx + B · e−ikx
• Ψ(x), dΨ(x)
stetig an Grenze ⇒ Bedingungen an Koeffizienten
dx
– Wellenfunktion verschwindet nicht in klassisch verbotenen Bereichen!
• Harmonischer Oszillator: V (x) =
1
1
2 2
x und En = ~ω(n + ) n = 0, 1, 2, 3, ...
mω
|{z}
2
2
≡β
– Nullpunktsenergie: im Quantensystem ist die kleinstmögliche Energie nicht Null! (vgl. Unschärfe-Relation)
– diskrete, äquidistante Energieniveaus
– Wellenfunktion 6= 0 auch jenseits der klassischen Umkehrpunkte
• Potentialstufe (ebene Welle als Modell für „Teilchenstrom“): Ψ(x) = A · eikx
– Strom = j = v · |A|2 , Reflexion auch für E > V0
– Reflexions-Koeffizient: R =
(kI − kII )2
(kI + kII )2
• Potential-Wall
– Barriere wird durchtunnelt:
∗ ebene Wellen im Gebiet I und III: AI eikI x und AIII eikIII x , kI = kIII
∗ exponentieller Abfall in Gebiet II
– Transmissions-Koeffizient: T =
∗ α=
1
~
|AIII |2
≈ e−2αa
|AI |2
p
2m(V0 − E) für αa 1
• Potential-Kasten in 3 Dimensionen: Ψ(~x) = A · sin(kx · x) · sin(ky · y) · sin(kz · z)
– kx,y,z =
nx,y,z ·π
lx,y,z ,
nx , ny , nz = 1, 2, 3, ...
– Eine Quantenzahl pro Raumdimension
• Zwei identische Teilchen:
– Ψn,m (x1 , x2 ) = Ψn (x1 ) · Ψm (x2 ) löst Schrödinger-Gleichung
– Teilchen ununterscheidbar ⇒ |Ψn,m (x1 , x2 )|2 = |Ψn,m (x2 , x1 )|2
– ⇒ Ψn,m (x1 , x2 ) = A · [Ψn (x1 )Ψm (x2 ) ± Ψn (x2 )Ψm (x1 )]
∗ +: Bosonen
∗ -: Fermionen
∗ Ψn,n = 0 für Fermionen: Pauli-Prinzip
Wasserstoff-Atom
• Coulomb-Potential V =
−1 Ze2
in Schrödingergleichung einsetzen
4πε0 r
12
– Z: Kernladungszahl, Z = 1 für Wasserstoffatom
• Lösung faktorisiert in Kugelkoordinaten: Ψn,l,m (r, θ, φ) = Rn,l (r) · Θl,m (θ) · Φm (φ)
– n: Hauptquantenzahl, n = 1, 2, 3, ...
– l: Drehimpulsquantenzahl, l = 0, 1, ..., n − 1
– m: magnetische Quantenzahl, m = 0, ±1, ±2, ..., ±l
• (vor allem) die Hauptquantenzahl n legt Energie fest: En,l,m ≈ En = −E0 ·
– E0 =
−me e4 Z 2
(4πε0 )2 2~2
1
n2
= −13, 6eV · Z 2
– Zu jedem Wert von n gibt es n2 Zustände gleicher Energie
• Der Bahndrehimpuls L des Elektrons ist gegeben durch L =
p
l(l + 1) · ~
– Die z-Komponente ist Lz = m · ~
• Magnetisches Moment eines Elektrons: µ
~ =−
– Die z-Komponente ist µ
~z = −
e
~
·L
2me
e
· ~ · m = −µB · m
2me
∗ m: magnetische Quantenzahl
∗ µB : Bohr’sches Magneton
• Energieaufspaltung im Magnetfeld: ∆E = −µB · ∆m · B
1
• Spin des Elektrons: sz = ± ~
2
– µ
~ s,z =
−e
· sz = ∓1µB
me
• Die Struktur des Periodensystems der Elemente wird verständlich durch Quantenzustände des Wasserstoff-Atoms
+ Pauli-Prinzip
– Elektronen „in der äußeren Schale“ bestimmen Chemie
– Übergänge zwischen äußeren Niveaus liegen meist im optischen Bereich
– Übergänge zwischen inneren und äußeren Niveaus erzeugen Röntgenstrahlung
Bosonen und Fermionen
• Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen und gehorchen der Bose-Einstein-Verteilung
fBE (E; T ) =
1
eE/kB T − 1
• Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen und gehorchen dem Pauli-Prinzip; es gibt die Fermi-DiracVerteilung
1
fF D (E; T ) = (E−E )/k T
F
B
e
+1
13
• Für große Energien, E kB T , gilt als Grenzfall die klassische Maxwell-Boltzmann-Verteilung
fM B (E; T ) =
•
P (E)
| {z }
Dichte der besetzten Zustände
=
D(E)
| {z }
1
eE/kB T
·
f (E)
| {z }
= e−E/kB T
Dichte der Zustände Besetzungswahrscheinlichkeit
14
Laser
• Besetzungsinversion (d.h. N3 > N1 ) durch Pumpen (Licht, Stöße)
• Stimulierte Emission 3 → 1
• Spiegel an den Enden des Lasermechanismus erzeugen Vorzugsrichtung des Lichts (optischer Resonator)
• Laserlicht ist kohärente Überlagerung vieler Photonen
Chemische Bindung
• Ionenbindung: A + B + ∆E → A+ + B − bei unendlichem Abstand
– Verringerung der Gesamtenergie durch elektrische Anziehung und Abstandsverringerung
• Kovalente Bindung
– Symmetrische Wellenfunktion bei Überlapp führt zu hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen
zwischen den Atomen → Energieabsenkung → Bindung
• Molekülspektren
Rotations- und Vibrationsanregung zusätzlich zu atomaren Niveaus
– Erot,j = j(j + 1) · B; B =
~2
2I ;
I =Trägheitsmoment
q
β
1
– Evib,i = (i + 12 ) · h ν; ν = 2π
µ
β: klassische Rückstellkraft
m1 ·m2
µ: reduzierte Masse, µ = m
1 +m2
Festkörperphysik
Strukturuntersuchung durch Röntgen-Beugung
• Bragg-Reflexion
– Beugung an hintereinander liegenden Ebenen von Streuzentren
– Einfallswinkel = Ausfallswinkel UND 2d sin θ = n · λ n = 1, 2, ...
∗ d: Ebenen-Abstand
∗ θ: Einfallswinkel
15
• Laue-Bedingung
– Abstand zweier Streuzentren gegeben durch Gittervektor r~m
– der Gangunterschied ist gegeben durch
~
~0
∆ = ∆1 + ∆2 = − kk · ~rm + kk · ~rm
– konstruktive Interferenz für ∆ = n λ, n ganzzahlig
oder ∆~k = k~0 − ~k = n · 2π, n ganzzahlig
~ ∗,
– Vektoren ∆~k, die diese Bedingung erfüllen, nennt man “reziproke Gittervektoren” G
konstruktive Interferenz ergibt sich, falls die Änderung des Wellenvektors einem reziproken Gittervektor
~∗
entspricht, ∆~k = G
– das reziproke Gitter erhält man durch Fourier-Transformation des Gitters im Ortsraum
– alternativ kann man die Laue-Bedingung schreiben als
~k · G
~ ∗ + 1 G∗ 2 = 0;
2
Dies ist eine Ebenengleichung in der Hesse-Normalform; die Wellenvektoren ~k, für die konstruktive Interferenz beobachtet wird, liegen also auf den Mittelebenen der Verbindungslinien von reziproken Gitterpunkten!
• die Bragg- und Laue-Bedingungen sind äquivalent;
jeder Ebenenschar im Kristall entspricht genau ein Punkt im reziproken Gitter
Elektronen im Festkörper
• Bänder-Modell
– Im Festkörper spalten die diskreten atomaren Niveaus in N Niveaus auf, die Bänder von erlaubten Energieniveaus bilden (vgl. bindender und antibindender Zustand im zweiatomigen Molekül)
∗ Metalle: keine Energielücke zwischen höchstem besetzten Zustand und nächstem freien Zustand
∗ Isolatoren: Energielücke gross im Vergleich zu kB · T , d.h. keine thermische Anregung von Elektronen
aus dem Valenzband ins Leitungsband.
∗ Halbleiter: Energielücke is klein (einige eV), thermische Anregung ins Leitungsband möglich
Charakteristikum: exponentieller Anstieg der Leitfähigkeit mit der Temperatur (Heißleiter)
• Modell des Fermi-Gas zur näherungsweisen Beschreibung von Elektronen im Festkörper; die Verteilungsdichte
der Elektronenergien ist gegeben durch
3
1
4π(2m) 2 √
n(E) =
E·
.
h3
exp ((E − EF )/(kB T )) − 1
Nur Elektronen an der Fermi-Kante können Energie aus thermischen Stößen oder angelegten
p elektrischen Feldern
aufnehmen. Elektronen an der Fermi-Kante bewegen sich mit der Geschwindigkeit vF = 2EF /m
• Bewegung von Elektronen im Festkörper
Durch Bragg-Reflexion an den Grenzen der Brillouin-Zonen wird die Dispersionsrelation, d. h. der Zusammenhang zwischen Energie E(k) und Wellenzahl k, im Vergleich zum freien Teilchen modifiziert:
16
Die Elektronenmasse me wird im Gitter ersetzt durch die effektive Masse m∗ (k) =
~2
d2 E
dk2
.
2
~ = ne τ E
~
– Elektrische Leitfähigkeit σ von Metallen: ~j = σ · E
m∗
~ elektrische Feldstärke, n: Elektronendichte, τ : mittlere Zeit bis zum nächsten Stoß, m∗ :
~j: Stromdichte, E:
effektive Elektron-Masse
∗ Wegen Pauli-Prinzip: nur Elektronen nahe der Fermi-Energie können im elektrischen Feld Energie
gewinnen, wenn freie Zustände bei E ≥ EF vorhanden sind
∗ ρ = 1/σ steigt für große Temperaturen proportional zu T
– Elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern (d.h. Bandlücke Eg ≈ kB T )
∗ Elektronen-Leitung im Leitungsband
∗ Löcherleitung im Valenzband
∗ Leitfähigkeit im Halbleiter: σ =
ne2 τn
+
m∗n
| {z }
e− im LB
pe2 τp
m∗p
| {z }
Löcher im VB
· n, p: Dichte der Elektronen / Löcher
– Dotierte Halbleiter:
∗ Zahl der Elektronen / Löcher beeinflussen durch Zugabe von Donatoren (Gruppe V im Periodensystem)
bzw. Akzeptoren (Gruppe III)
∗ ⇒ n- oder p-leitende Halbleiter
∗ Wichtig: Anregung von e− ins LB erfolgt thermisch: n ∼ e−∆E/kB T
· ∆E: Energielücke zwischen aufnehmenden und abgebenden Niveau
– Gitter bildet System von gekoppelten (harmonischen) Oszillatoren
– Energieaufnahme in Quanten („Phononen“), EP honon = ~ω, pP honon =
h
= ~k
λ
– Dispersion: ω(k) ≈ vSchall · k (für kleine k)
∗ für k ≈
π
a
bilden sich stehende Wellen,
∂ω
∂k
=0
– Beitrag von Gitterschwingungen zur molaren Wärmekapazität:
∗ Cm =
1 dk
∝ Rm · T 3 für kleine T
mm dT
1 dk
= 3Rm für große T
mm dT
= NA · kB : molare Gaskonstante
∗ Cm =
∗ Rm
Kernphysik
P
me
≈ 5 · 10−4 )
• Atomkern hat 10−15 des Volumens, aber fast die gesamte Masse des Atoms ( MKern
• Kern besteht aus Z Protonen und N Neutronen
17
– Proton: Ladung +e, Spin
– Neutron: Ladung 0, Spin
• Bezeichnung:
1
2
1
2
A
ZX
– A=Z +N
– A ∝ R3 (Masse ∝ Radius3 ∝ Volumen) ⇒ Kernmaterie hat konstante Dichte
t
• Nicht alle Kerne sind stabil, Zerfall folgt „exponentiellem Zerfallsgesetz“ N (t) = N0 · e− τ
– N0 : Zahl der Kerne bei t = 0
– τ : Lebensdauer
– Halbwertszeit: N (t 12 ) =
– Zerfallsrate: r(t) =
1
N0 ⇒ t 12 = τ · ln 2
2
−dN
1 t
= N0 · e− τ
dt
τ
h
i
• Massendefekt: Bindungsenergie Eb = N · mn + Z · mp − mA
· c2
ZX
– Bindungsenergie / Nukleon ist maximal bei
56
Fe
– Energiegewinn durch:
∗ Verschmelzen leichter Kerne
∗ Spaltung schwerer Kerne
• Kernfusion in der Sonne: 4p →4 He + 2e+ + 2r + 26M eV
235
• Kernspaltung, z.B.:
U + n →236 U → K1 + K2 + kn + ∆E
• Radioaktive Zerfälle
– starke Kernkraft: α-Zerfall:
A
ZX
0
4
→A−4
Z−2 X + He
∗ 4 He: α-Teilchen
– Schwache Kernkraft:
∗ β-Zerfall:
A
ZX
0
−
→A
Z+1 X + e + ν̄
∗ Elektron-Einfang aus Hülle:
∗ β + -Zerfall:
A
ZX
A
ZX
0
+ e− →A
Z−1 X + ν
0
+
→A
Z−1 X + e + ν
– Elektromagnetische Kraft:
γ-Zerfall eines angeregten Kerns:
A ∗
ZX
→A
Z X +γ
• Wirkungquerschnitt:
– σ=
r
mj
r: Rate der gestreuten Teilchen, j: Strom der einfallenden Teilchen, m: Zahl der Targetteilchen
dσ
: Zahl der pro Zeiteinheit in den Raumwinkel dΩ gestreuten Teilchen
– differentieller Wirkungsquerschnitt dΩ
normiert auf den Fluss der einfallenden Teilchen und die Zahl der Targetteilchen.
– Elastische Streuung an ausgedehnter Ladungsverteilung ρ(~r), wobei der Streuwinkel mit der Impulsände~
∆~
p
k
rung wie folgt zusammen hängt, sin(θ/2) = ∆
2k = 2p :
Z
2
dσ
dσ
~ · ~r) dV
=
·
ρ(~r) exp(i∆k
; dabei ist [. . .]2 der sog. Formfakor, das Quadrat der
dΩ
dΩ Rutherford
Fourier-transformierten Ladungsverteilung, und der Rutherford-Wirkungquerschnitt ist gegeben durch:
2
dσ
Z1 Z2 e2
1
=
dΩ Rutherford
8π0 E
sin4 (θ/2)
18
• Kernmodelle
– Tröpfchenmodell: Bindungsenergie eines Kerns mit Massenzahl A, Neutronenzahl N und Protonenzahl Z
parametriesiert durch fünf Terme,
1
2
1
Eb = aVolumen · A + aOberflche · A 3 + aCoulomb · Z 2 A− 3 + aSymmetrie · (N − Z)2 A−1 ± aPaarung A− 2
– (einfaches) Schalenmodell: effektive Potentiale für Neutronen und Protonen, Lösung der Schrödingergleichung unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung -> Schalen analog Atomphysik
erklärt Zahl der Neutronen bzw. Protonen, die zu besonders stabilen Kernen führen („magische Zahlen“).
Teilchenphysik
– Protonen und Neutronen bestehen aus noch kleineren Teilchen: up- und down-Quarks
∗
∗
∗
∗
p=u u d
n=u d d
Spin der Quarks: 12
Ladung: qu = + 23 e, qd = − 13 e, drittel-zahlige Ladungen!
• Fundamentale Teilchen im Standardmodell der Teilchenphysik
1. Generation
2. Generation
Name
q
m
Name
q
Leptonen
Quarks
νe
e
u (up)
d (down)
0
-1e
2
3e
1
−3e
< 2eV
0,511 MeV
2 MeV
4 MeV
νµ
µ
c (charm)
s (strange)
0
-1e
2
3e
− 13 e
m
< 2 eV
105,7 MeV
1, 3 GeV
100 MeV
Name
3. Generation
q
ντ
τ
t (top)
b (bottom)
0
-1e
2
3e
− 13 e
m
< 2eV
1777 MeV
171, 2 GeV
4, 2 GeV
Zusätzlich gibt es zu jedem Teilchen ein Anti-Teilchen
alle Teilchen in der Tabelle sind Fermionen mit Spin 21
• Wechselwirkungen:
– schwache Wechselwirkung: alle Leptonen und Quarks
Austauschteilchen: W± - und Z-Bosonen
Besonderheit: Austauschteilchen sind massiv (80 bzw. 90 GeV/c2 ) ⇒ kurze Reichweite und schwach bei
kleinen Impulsüberträgen
– elektromagnetische Wechselwirkung: geladene Leptonen und Quarks
Austauschteilchen: Photon
– starke Wechselwirkung: nur Quarks
Austauschteilchen: (8) Gluon(en)
Die starke Wechselwirkung koppelt an die sog. Farbladung, von denen es drei Arten gibt („rot“, „grün“
„blau“, sowie die entsprechenden Anti-Farbladungen).
Besonderheit: Austauschteilchen tragen selbst Farbladung, d .h. koppeln aneinander ⇒ kurze Reichweite
und mit dem Abstand steigende Stärke der Wechselwirkung farbgeladener Objekte, d. h. freie Teilchen sind
farbneutral!
• Quarks und Hadronen
Quarks sind nicht als freie Teilchen beobachtbar, sondern bilden sogenannte „Hadronen“, die aus drei Quarks
oder aus einem Quark und einem Anti-Quark bestehen.
Ursache dafür ist die starke Wechselwirkung und das Pauli-Prinzip: (d. h. die Gesamtwellenfunktion eines
gebundenen Zustands muss bzgl. der Vertauschung von Teilchen antisymmetrisch sein). Aus Quarks mit drei
möglichen Ladungen lassen sich daher nur drei-Quark-Zustände (bzw. Zustände mit drei Anti-Quarks), die sog.
„Baryonen“ oder Zustände mit einem Quark und einem Antiquark (d.h. Farbe - Anti-Farbe), die sog. „Mesonen“
bilden.
• Feynman-Diagramme
Wechselwirkungen in der Quantenfeldtheorie beschreiben durch Wechselwirkung(en) einzelner Teilchen
Äußere Linien laufen in die Wechselwirkungspunkte („Vertizes“) ein und entsprechen ebenen Wellen; an den
Wechselwirkungspunkten findet die Kopplung an eine innere Linie statt, die ein “virtuelles Austauschteilchen”
darstellt (sog. „Propagatoren“). Geladene Teilchen kennzeichnet man durch Pfeile, die den Ladungsfluss des
Teilchens angeben (bei Anti-Teilchen also entgegen der Flugrichtung!); neutrale Teilchen habe keine Pfeile.
In der Quantenelektrodynamik gibt es nur die Kopplung einer Fermion-Linie an ein Photon:
19
Aus diesem Grundelement werden alle komplexeren Diagramme mit mehreren virtuellen Photonen oder Fermionen aufgebaut:
Aus den Feynman-Diagrammen lasssen sich über die Feynmanregeln die Formeln zur Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten ableiten.
20
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