Begriffe Direkte Proportionalität

Grundwissen 8. Jahrgangsstufe
Funktion
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Begriffe
Eine eindeutige Zuordnung zwischen Zahlen heißt Funktion.
Begriff:
Funktionsvorschrift
Funktionsterm
Funktionsgleichung
Geordnetes Paar !
Definitionsmenge D
Wertemenge W
Graph Gf
Beispiel:
x"y
x " x2 + 1
f(x)
x2 + 1
y = f(x)
f ( x) = x 2 + 1
(x/y)
(2/5)
!
Menge aller Zahlen,
! die x D = Q
bei der Funktion f
annehmen darf. !
Menge aller
W = [1;![
Funktionswerte y
Jedes Zahlenpaar, das zur
Funktion f gehört,
bestimmt einen Punkt im
Koordinatensystem. Die
Menge aller dieser
Punkte wird als Graph Gf
bezeichnet.
Direkte Proportionalität
Eine Funktion f : x " y ist genau dann eine direkte Proportionalität, wenn sie
eine der folgenden Eigenschaften hat:
1.
Dem n-fachen von x entspricht das n-fache von y.
2.
Alle Wertepaare (x/y) sind quotientengleich.
!
3.
Alle Punkte des Graphen liegen auf einer geraden durch den Ursprung.
4.
Die Funktionsgleichung hat die Form y = m x
Beispiel aus der Physik: Das Hooksche Gesetz
Das Hooksche Gesetz gibt den Zusammenhang zwischen Zugkraft F und
Dehnung s bei einer Schraubenfeder wider.
Die Kraft F und die Dehnung s sind zueinander direkt Proportional: F ~ s .
Der Quotient aus Kraft F und Dehnung s ist also eine Konstante, die Federhärte
D. Im s-F-Diagramm ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung.
!
Gymnasium Königsbrunn
Ralph Henne
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s
cm
F
N
!
!
F
s
N
cm
Funktion
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0
3,0
6,0
9,0
12,0
15,0
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
nicht
definiert
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
!
Lineare Funktion
Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, heißt lineare Funktion.
Funktionsgleichung: y = m x + t
m heißt Steigung der Geraden:
vertikale Kathete
im Steigungsdreieck
m=
horizontale Kathete
!
Für m > 0 steigt die Gerade
Für m < 0 fällt die Gerade.
Je größer | m | ist, desto steiler verläuft
die Gerade.
t heißt y-Achsenabschnitt der Geraden:
Er bewirkt eine Verschiebung der Ursprungsgeraden um | t | Einheiten
in Richtung der positiven y-Achse für t > 0
in Richtung der negativen y-Achse für t < 0.
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Die explizite Gleichung y = m x + t kann auf die sogenannte implizite Form a x
+ b x +c = 0 gebracht werden und umgekehrt:
Beispiel:
"4
y = 3 x + 1,5
4
4 y = 3x + 6
#3x # 6
"3x + 4 y " 6 = 0
!
!
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