Modul: Stochastik
• Ablauf
• Vorstellung der
Themen
• Lernen
• Spielen
• Wiederholen
• Zusammenfassen
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• Zufallsexperimente
oder
Wahrscheinlichkeit
• relative Häufigkeit
• Variation
• Permutation
• Kombinationen
• Binomialverteilung
1
Stochastik
• Der Begriff Stochastik stammt aus
dem Griechischen und heißt soviel wie
„Kunst des Mutmaßens“.
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2
Einsatzgebiete der Stochastik
• Mit Hilfe der Stochastik kann man etwa die
Wahrscheinlichkeit für Lottogewinne
berechnen oder die Größe des möglichen
Fehlers bei Meinungsumfragen bestimmen.
Die Stochastik ist auch für die
Finanzmathematik von Bedeutung und hilft
mit ihrer Methodik beispielsweise bei der
Preisfindung für Optionen.
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3
Zufall oder Wahrscheinlichkeit
• In der
• Man nennt diese
WahrscheinlichkeitsVersuche auch
rechnung beschäftigt
Zufallsexperimente
man sich mit
Experimenten,
Welche
dessen Ergebnisse
Zufallsexperimente
nicht genau
kennen Sie?
vorhersagbar sind.
Brainstorming
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4
Zufallsexperimente
• Beispiele
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•
•
•
•
•
•
•
5
Werfen einer Münze
Würfelspiele
Roulette
Lotto
Fussballwetten
Poker
___________
Woher kommen die Daten?
•
•
•
•
Messen
Wiegen
Zählen
Befragen
• Wie schwer ist der
Mond?
(Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff)
• Schätzen
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Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeit
als Grad persönlicher Überzeugung
(engl. "degree of belief").
Er unterscheidet sich damit von den
• objektivistischen Wahrscheinlichkeitsauffassungen
• wie dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff,
der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit
interpretiert.
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Wichtige Begriffe: Prognose
• Die Prognose ist
dabei
• ein Maß für die
Unsicherheit
zukünftiger
Ereignisse,
• ein Maß für den
Grad an persönlicher
Überzeugung
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• Wettervorhersage
• Wahlergebnisse
•
•
•
Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes
• Er fordert die Gültigkeit der folgenden
Prinzipien:
• Transitivität: Wenn Wahrscheinlichkeit A
größer ist als Wahrscheinlichkeit B, und
Wahrscheinlichkeit B größer als
Wahrscheinlichkeit C, dann muss
Wahrscheinlichkeit A auch größer als
Wahrscheinlichkeit C sein: A>B>C
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Paradoxieproblem:
Ein Mann, der die Transitivität der Wahrscheinlichkeit
nicht versteht, hat in einem Rennen auf Pferd A
gesetzt. Er glaubt jetzt aber, Pferd B sei besser, und
tauscht seine Karte um. Er muss etwas dazuzahlen,
aber das macht ihm nichts aus, weil er jetzt eine
bessere Karte hat. Dann glaubt er, Pferd C sei besser
als Pferd B. Wieder tauscht er um und muss etwas
dazuzahlen. Jetzt glaubt er aber, Pferd A sei besser
als Pferd C. Wieder tauscht er um und muss etwas
dazuzahlen. Immer glaubt er, er bekäme eine
bessere Karte, aber jetzt ist alles wieder wie vorher,
nur ist er ärmer geworden.
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Negation
• Negation: Wenn wir
über die Wahrheit
von etwas eine
Erwartung haben,
dann haben wir
implizit auch eine
Erwartung über
dessen Unwahrheit.
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Konditionierung
• Konditionierung: Wenn wir eine
Erwartung haben über die Wahrheit
von G, und auch eine Erwartung über
die Wahrheit von F im Falle, dass G
wahr wäre, dann haben wir implizit
(genauso) auch eine Erwartung über
die gleichzeitige Wahrheit von G und
F.
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12
Schlüssigkeit
Schlüssigkeit (soundness):
Wenn es mehrere Methoden gibt,
bestimmte Informationen zu
benutzen, dann muss die
Schlussfolgerung immer dieselbe
sein.
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13
A-priori-Wahrscheinlichkeit
• Die A-priori-Wahrscheinlichkeit ist in den
Naturwissenschaften ein Wahrscheinlichkeitswert, der aufgrund
von Vorwissen (zum Beispiel symmetrische Eigenschaften eines
Würfels) gewonnen wird. A-priori-Wahrscheinlichkeiten spielen
insbesondere beim Bayesschen Wahrscheinlichkeitsbegriff eine
wichtige Rolle.
• Die älteste Methode für die Bestimmung von A-prioriWahrscheinlichkeiten stammt von Laplace: Sofern es keinen
expliziten Grund gibt, etwas anderes anzunehmen, wird allen
elementaren Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit
zugeordnet. Zum Beispiel sind bei einem Münzwurf die
elementaren Ereignisse "Kopf" und "Zahl". Solange man keinen
Grund hat, anzunehmen, die Münze sei manipuliert, wird man
also beiden Ereignissen dieselbe Wahrscheinlichkeit ½
zuordnen.
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Beispiel : Werfen einer Münze
• Man weiß nicht
welche Seite oben
liegen wird
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• Ergebnismenge:
S= {Z, W}
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1. Aufgabe: Münzwurfspiel
Wahrscheinlichkeiten
1. Bilden Sie dreier
• Schreibweise:
Ergebnismenge:
Gruppen und notieren
Sie alle möglichen
Wurfergebnisse, wenn
Sie mit drei Münzen
werfen
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_)}
S={(z,z,z),(w,w,w),(z,w,w),(z,z,w), (w,z,z)}
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2.Wurfspiel in Dreier Gruppen
• Jeder Spieler wirft
abwechselnd einmal
eine Münze, bis alle
Spieler pro Runde
nacheinander als
Ergebnis Zahl
erhalten
• Schreibweise:
Ergebnismenge:
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_), (_,_,_)
(_,_,_),(_,_,_)}
Fertig: Vergleichen Sie die
Anzahl der Versuche mit
den anderen Kleingruppen
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17
Würfelspiele
• Beim Würfelspiel
gibt es nun mehr
mögliche
Ergebnismengen als
bei einer Münze
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18
• Schreibweise:
Ergebnismenge:
S={(_,_,_,_,_,_),
(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_), (_,_,_)
(_,_,_),(_,_,_)}
Würfelspiele
Wahrscheinlichkeiten
1. Bilden Sie dreier Gruppen
und notieren Sie alle
möglichen
Würfelergebnisse (S) bei
zwei Würfeln
2. Das Ereignis (E) Pasch
kann dabei wie oft
vorkommen?
3. Wie viele Möglichkeiten
gibt es mit drei Würfeln?
Warum?
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6x6x6=216
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S={(_,_),(_,_),(_,_),
(_,_),(_,_),(_,_),(_,_),
(_,_),(_,_),...., (_,_)
(_,_),(_,_)}
36 Möglichkeiten
E={(_,_),(_,_),(_,_),
(_,_),(_,_),(_,_)}
2. Aufgabe: Würfelspiele
Wahrscheinlichkeiten
• Schreibweise:
Ergebnismenge:
1. Bilden Sie dreier Gruppen
und notieren Sie alle
möglichen Wurfergebnisse
S={(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_),(_,_,_),(_,_,_),
(_,_,_), (_,_,_)
(_,_,_),(_,_,_)}
Fertig: Vergleichen Sie die
2. Jeder Spieler wirft
abwechselnd einmal
den Würfel, bis alle
Spieler pro Runde
nacheinander als
Ergebnis die Zahl 6
erhalten (Zeit ca. 1o
Anzahl der Gewinner mit
den anderen Kleingruppen
Minuten)
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Auswertung:
Gesamtwürfe
• Wie ist die
Verteilung?
• Entspricht die
Verteilung E den
Anzahl Gesamtwürfe
E1
=
E2
=
E3
=
E4
=
E5
=
E6
=
Gesamt ∑
=
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Wahrscheinlichkeiten
von P?
P1={1/6 von den
Gesamtwürfen}
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Relative Häufigkeiten
• Die Relative
Häufigkeit, oder
bedingte Häufigkeit
ist die absolute
(tatsächliche) Häufigkeit
dividiert durch die
Anzahl der
Ereignisse.
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• Berechnen Sie die
prozentualen
(relativen)
Häufigkeiten der
Würfelereignisse mit
der
Grundgesamtheit.
Permutation
• Unter einer Permutation
(von lat. permutare
„(ver)tauschen“)
versteht man die
Veränderung der
Anordnung einer Menge
durch Vertauschen ihrer
Elemente.
Beispiel:
• Wieviel Möglichkeiten
der Anordnung von:
A,B,C gibt es?
3x2x1=6
Wieviel Möglichkeiten der
Anordnung der Zahlen
(1,2,3,4,5,6) gibt es?
6x5x4x3x2x1
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Permutation
Beispiel:
Man hat die Buchstaben
A,B,C,D,E,F,G
Wie viele Möglichkeiten
gibt es, diese
Buchstaben
hintereinander
anzuordnen?
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• Es gibt 7 verschiedene
Buchstaben (Stellen)
• Für die erste Stelle gibt
es 7 Möglichkeiten
• Für die zweite Stelle 6
• Und so weiter
• Also:
7*6*5*4*3*2*1=5040
Möglichkeiten
• 7! Fakultät=5040
Permutation
• Fakultät !
allgemein: n!
Beispiel:
A,B,D,E,G,N,S,T,U
9 Stellen= 9!
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• 2 Möglichkeiten sind
z.B. BUNDESTAG
oder
ANGSTBUDE
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Permutation
• Neues Beispiel:
• Die doppelten
Buchstaben sind nicht
zu unterscheiden.
• 18! wäre bei 18
Buchstaben die
Gesamtmenge an
Möglichkeiten, enthält
aber auch die doppelten
Buchstaben.
• Idee: „Abziehen“ dieser
Möglichkeiten
A,B,E,E,E,G,G,H,H,I,L,
N,N,O,R,S,T,U
Hier treten Buchstaben
mehrfach auf:
E,E,E;G,G;H,H;N,N
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Permutation- Abziehen doppelter
18! : Gesamtmenge an
Möglichkeiten
18!
3!
E,E,E
G,G
H,H
N,N
18!
3!⋅2!
: 3! Mehrfache:
: 2! Mehrfache:
: 2! Mehrfache:
: 2! Mehrfache
18!
3!⋅2!⋅2!
18!
3!⋅2!⋅2!⋅2!
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Permutation
• Es gibt also
2 sind z.B.
18!
3!⋅2!⋅2!⋅2!
•
• Möglichkeiten die 18
Buchstaben
anzuordnen.
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NAHERHOLUNGSGEBIET
und
HUNGERLOHNABSTEIGE
Permutation
• Berechnen Sie die
unterschiedliche
Möglichkeiten ihren
Vornamen
umzustellen.
• Beispiel: Rainer
• R,a,i,n,e,r,
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• 6 Stellen
• R ist doppelt
6! : 2!=
6*5*4*3*2*1=720
Geteilt durch 2!=2
720/2=360
Möglichkeiten
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Vorlage: Berechnung Permutation
• Dein Name:
___________
• Anzahl der Stellen=_
_
• Doppelte Stellen:
• _ _ , _ _, _ _,
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• Berechnung:
Variation
=18x17
Aufgabe:
! Man kann nicht mit sich selber
• 18 Auszubildende eines
Stahlbetriebes sollen in
zweier Gruppen in
verschiedene Abteilungen
eingeteilt werden
• Jeder Azubi erhält eine
andere Aufgabe
• Wieviel Möglichkeiten gibt
es diese zweier Gruppen zu
bilden?
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eine Gruppe bilden!
Kombinationen
Es gibt also 1817
(=306) mögliche
Kombinationen
Allgemeine Formel für
die Bildung von k-er
Gruppen aus n Elementen:
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n!
(n − k )!
Die Formel
Diese Formel sagt
genau das gleiche
aus, da man
18x17x16 x[…]x1
durch 18x17x16
x[...] x1 teilt und
somit nur noch
2019 übrig bleibt
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n!
(n − k )!
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Der Ausbilder
• Der Ausbilder war so begeistert von den
Resultaten der Zwischenprüfungen, dass er
unter seinen 20 Schülern 4 Preise verlosen
möchte. Dafür schreibt er jeden Namen der
Kursteilnehmer auf jeweils eine Kugel und
tut sie in einen Beutel.
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Die Verlosung
Er zieht nun für den ersten Preis einen Kugeln
aus dem Beutel, notiert sich den gezogenen
Namen und legt die Kugel wieder zurück. Es
ist also möglich, dass z.B. Juli alle 5 Preise
gewinnen könnte.
Wie viele mögliche Variationen gibt es nun für
den Gewinn der Preise, wenn der Ausbilder
die Kugeln zurücklegt?
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Variation Gewinnspiel
Man hat 5 Stellen zu
besetzen:
_____
Für jede Stelle gibt es
20 Möglichkeiten.
Also 20 2020 2020
=
Allgemein also:
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n
k
• 205=3.200.000
36
Lotto
Herr Glücklich hat schon
wieder vergessen, wie
viele mögliche
Kombinationen es beim
normalen Zahlenlotto
gibt. Dabei will er
genau das morgen mit
seinem Kurs
besprechen.
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49!
(49 − 6)!
Das Lottoglück
Beim Zahlenlotto spielt die Reihenfolge der
gezogenen Zahlen keine Rolle.
Es werden aus 49 Zahlen 6 gezogen.
Im Prinzip hätte man wie viele Möglichkeiten?
Diese enthalten aber noch gleichwertige
Kombinationen, da die Reihenfolge ja keine
Rolle spielt.
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Lottokombinationen
Diese enthalten aber noch gleichwertige
Kombinationen, da die Reihenfolge ja
keine Rolle spielt.
z.B. 8-40-17-33-21-49
und 17-21-49-33-8-40
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Der Lottogewinn
Diese mehrfachen Möglichkeiten müssen also
noch eliminiert werden.
Die Anzahl dieser „Mehrfachen“ ist in diesem
Fall 6!, da wir 6 Stellen zu besetzen haben.
Die Rechnung muss also lauten:
49 !
6 ! ⋅ ( 49 − 6 )!
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= 13 . 983
40
. 816
Kombination
Oder allgemein:
n!
k!⋅(n − k )!
Auch darstellbar als:
n
k
(n über k)
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41
n
k
N über k
Um sich Tipparbeit mit
dem Taschenrechner
zu ersparen, hat
dieser die „nCr“
Taste.
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42
n
k
tippt man als „n nCr k“
in den
Taschenrechner
Zusammenfassung:
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43
Vielen Dank
• Bemerkungen zum Unterrichtsverlauf
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