Formalisierungspropädeutikum
Prof. Dr. Th. Augustin, Dr. R. Poellinger, C. Jansen, J. Plaß, G. Schollmeyer
Übungsblatt 3
WiSe 2015/16
Aufgabe 1 (Exponentielles Wachstum, wird teilweise auch in Vorlesung besprochen, Teile a) bis c)
sind exakt die Aufgaben von Blatt 2, Aufgabe 3))
Im Jahr 2015 leben auf der Erde ca. 7.32 Milliarden Menschen. Im Jahr 1990 waren es 5,32 Milliarden.
a) Diskutieren Sie, ob Sie die Annahme eines exponentiellen Bevölkerungswachstums für ein sinnvolles/realistisches Modell der Realität halten.
b) Unterstellen Sie nun einen Zusammenhang der Form f (x) := a · bx . Bestimmen Sie die Parameter a
und b derart, dass Ihr Modell für die vorhandenen Daten perfekt passt.
c) Welche Bevölkerungsstärke prognostiziert Ihr Modell für das Jahr 2020? In welchem Jahr wäre,
Ihrem Modell zufolge, eine Bevölkerungsstärke von 20 Milliarden Menschen erreicht? Diskutieren
Sie die Grenzen des Modells.
d) Folgende Tabelle zeigt nun weitere Weltbevölkerungszahlen von 1950 bis 2015:
Jahr
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
2010
2015
Weltbevölkerung in Milliarden
2.53
2.76
3.03
3.33
3.69
4.07
4.45
4.86
5.32
5.74
6.13
6.51
6.92
7.32
Weiterhin sind die Weltbevölkerungszahlen in Abhängigkeit des Erhebungsjahres in einem Streudiagramm dargestellt und die unter c) berechnete exponentielle Funktion ist ebenfalls eingezeichnet.
Besprechung: 9./12. November 2015
Seite 1
8,
y = 5E-11e0,0128x
7,
6,
5,
Datenreihen1
Datenreihen2
4,
3,
2,
1,
0,
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
Die berechnete Exponentialfunktion passt perfekt zu den zwei Datenpunkten, aus denen sie berechnet wurde, jedoch weniger gut zu den restlichen Datenpunkten. Diskutieren Sie, wie man unter
Zuhilfenahme aller Datenpunkte des Streudiagramms eine etwas besser passende Exponentialfunktion finden kann.
e) Bei genauerer Analyse zeigt sich, dass keine Exponentialfunktion perfekt zu diesen Daten passt. Das
’Beste’, was man in etwa erreichen kann, ist in untenstehender Graphik dargestellt:
Besprechung: 9./12. November 2015
Seite 2
9,
y = 2E-14e0,0168x
8,
7,
6,
5,
Datenreihen1
Expon. (Datenreihen1)
4,
3,
2,
1,
0,
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
Diskutieren Sie Gründe, warum ein exponentielles Wachstum in diesem Zusammenhang nur approximativ das wahre beobachtete Wachstum beschreiben kann.
Aufgabe 2 (Lineare Regression)
Folgende Tabelle und folgendes Streudiagramm zeigen das durchschnittliche verfügbare Einkommen und
die durchschnittlichen privaten Konsumausgaben (jeweils in 1000 Euro pro Einwohner) in Deutschland
für die Jahre von 2001 bis 2010.
Jahr
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Einkommen
16.516
16.576
16.984
17.291
17.604
17.998
18.316
18.768
18.625
19.101
Konsum
15.185
15. 234
15. 522
15. 794
16. 111
16. 546
16. 835
17. 252
17. 259
17. 690
Besprechung: 9./12. November 2015
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20 000
18 000
16 000
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
0
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
a) Wie würden Sie den Zusammenhang zwischen Einkommen und Konsum, bei alleiniger Betrachtung
des Streudiagramms, beschreiben?
b) Erscheint Ihnen dieser Zusammenhang aus inhaltlicher Betrachtung plausibel?
c) Versuchen Sie, mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Regressionsgerade, die durch den
Koordinatenursprung verläuft, zu bestimmen.
Hinweis: Sie können die Werte
10
X
xi · yi = 2912.928
und
i=1
10
X
x2i = 3168.258
i=1
verwenden, wobei x1 , . . . , x10 das Einkommen und y1 , . . . , y10 den Konsum in den 10 betrachteten
Jahren sind.
Aufgabe 3 (Mathematischer Hintergrund zum logistischen Wachstum, nur wenn die Zeit reicht)
Gegeben sei die logistische Differentialgleichung
f 0 (x) = c · (K − f (x)) ·f (x).
{z
}
|
(1)
=:R(f (x))
mit den Konstanten c > 0 und K > 0. Dabei beschreibe f (x) die Größe einer Population zum Zeitpunkt
x.
a) Wie kann man f 0 (x) inhaltlich interpretieren?
b) Welche Rolle spielt der Term R(f (x)) inhaltlich?
Besprechung: 9./12. November 2015
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c) Betrachten Sie die logistische Funktion
f (x) =
K
.
[1 + (K/f0 − 1) e−rx ]
Versuchen Sie, den Verlauf dieser Funktion zu skizzieren.
Hinweis: Die Größen K, x0 und r sind hier feste Konstanten mit einer einfachen Interpretation: f0
ist die Größe der Population zum Zeitpunkt x = 0, K ist die Grösse der Population, wenn die Zeit
gegen Unendlich geht und r ist ein Maß dafür, wie schnell die Population wächst.
d) Zeigen Sie, dass die logistische Funktion
f (x) =
K
[1 + (K/f0 − 1) e−rx ]
die Differentialgleichung (1) erfüllt, falls c = Kr gewählt wird. Berechnen Sie dazu f 0 (x) und klammern Sie aus dem erhaltenen Ergebnis den Term f (x) aus. Berechnen Sie dann anschließend den
Term c · (K − f (x)) und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem vorher bei der Ausklammerung von
f (x) aus der Berechnung von f 0 (x) übgriggebliebenen Teil.
Besprechung: 9./12. November 2015
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