Werkstoffe der Elektrotechnik im Studiengang Elektrotechnik - Bändermodell der Elektronen im Kristall - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2008/2009 Orbitale für Elektronen im Kristall Kristall: regelmäßige Anordnung von Atomen Bindung: Valenzelektronen Orbitale H2 – Molekül: (1s1)I + (1s1)II σb2 + σ*0 N Atome (je n Orbitale) im Molekül: im Kristall: Pauliprinzip: 2 e-/Orbital N.n Orbitale auffüllen, bis N.n e- in Orbitalen sind max. Energie: Fermienergie ► Kristallorbitale: ► Atomorbitale: lokalisiert zwischen Atomen Energie kovalenter Kristall Größe (n), Gestalt (l), delokalisiert im Kristall Orientierung (m), Spin (s) Metallbindung Bändermodell 2 Orbitale delokalisierter Elektronen Energieaufspaltung Delokalisierung Molekül: Wechselwirkung Kristall: N gleiche Atome N gleiche Orbitale • N-fache Energieaufspaltung • Delokalisierung Abstand scharfe Energieniveaus typ. Gitterkonst. Bändermodell Energien der Bänder abhängig von: ursprünglichen Atomorbitalen Kristallstruktur Atomabstand 3 Quantenzahlen für Kristallorbitale Orbitalmodell Unschärferelation ∆p x ⋅ x ≥ h 4π Größe Atom: 5.10-11 m Größe Kristall: 10-3 m Impuls ist im Kristall genau bestimmbar Quantenzahlenfür fürKristallelektronen: Kristallelektronen:ppxx,,ppyy,,ppzz,,ss Quantenzahlen Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen klein: Energieband Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen groß: Bändermodell Energielü Energielücke 4 Bänder in Leitern Beispiel Li: 1s22s1 E 3 Energienivaus 3 Bä Bänder Ionisierung WA 2p0 2s1 EF jeweils N Orbitale 1s2 Atom Kristall (1s)- Band: N Orbitale, 2N Elektronen (2s)- Band: N Orbitale, N Elektronen Abstand voll besetztes Band halb besetztes Band EFermi in der Bandmitte e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale möglich Energiezufuhr Elektronenleitung,Leitungsband Leitungsband Elektronenleitung, Bändermodell 5 Bänder in Leitern Beispiel Be: 1s22s2 (1s)- Band: voll besetzt E Ionisierung 2p0 EF 2s2 (2s)- Band: voll besetzt Valenzband 1s2 Kristall Atom Abstand 2s und 2p Bänder überlappen e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale (2p-Band) möglich Elektronenleitung,Leitungsband Leitungsband Elektronenleitung, Leitfähigkeit durch Wechsel des Bandes Leiter 2. Art Bändermodell 6 Bänder in Leitern Beispiel Cu: … 3s2 3p6 3d10 4s1 E E=0 4s1 EF (1s), (2s), (2p), (3s), (3p), (3d)- Bänder: voll besetzt 3d10 3p6 3s2 Kristall (4s)- Band: N Orbitale, N Elektronen Atom Abstand halb besetztes Band EFermi in der Bandmitte Leiter 1. Art Bändermodell 7 Vorzeichenkonvention für Elektronenenergien Atomphysik: E = 0: e- ∞ weit vom Atom entfernt, Ekin = 0 E < 0: e- an den Atomkern gebunden Festkörperphysik: im Band: Energien von der Bandunterkante oder: E = 0: Ferminergie E > 0: angeregte Elektronen E > WA: Elektron verlässt den Kristall Bändermodell 8 Bänder in Nichtleitern Beispiel C (Diamant): 1s2 2s2 2p2 ► kovalenter Kristall: 4 bindende & 4 antibindende σ – Orbitale ► Bändermodell: 4N bindende Orbitale 4N antibindende Orb. Tetraederstruktur: 2sp3 – Hybrid E E=0 2sp3 ∆E ≈ 7eV 1s2 Kristall Atom Abstand (2sp3)b- Band: 4N Orbitale, voll besetztes Band Valenzband 4N Elektronen Leitungsband (2sp3)*- Band: 4N Orbitale leeres Band ∆E: Energielücke kann von e- nicht überwunden werden Bändermodell keine Leitung 9 Abhängigkeit der Energielücke von der Gitterkonstanten Bändermodell 10 Energieverteilung in den Bändern Modell: freies Elektronengas Die Geschwindigkeitsverteilung n(E, E+dE) von Molekülen im idealen Gas hängt ab von der: Wahrscheinlichkeit, dass eine Geschwindigkeit in [E, E+dE] vorkommt Verteilungsfunktion f(E) f(E) Anzahl der Zustände gleicher Energie in [E, E+dE] statistisches Gewicht g(E) g(E) n( E , E + dE ) = N ⋅ f ( E ) ⋅ g ( E ) ⋅ dE − 4⋅ E n ( E , E + dE ) = N ⋅ ⋅ e kT ⋅ dE π ⋅ (kT )³ E Maxwell: Bändermodell 11 Energieverteilung in den Bändern freies Elektronengas im teilweise besetzen Band: kinetische Energie Energie ab Unterkante des Bandes: außerhalb der Bänder: g ( E ) ≠ 0 im Band keine Elektronen g ( E ) = 0 außerhalb Pauliprinzip: keine thermische Anregung (T = 0 K) Pauliprinzip: T ≠ 0 f ( E ) = 1 für E < EF g ( E ) = 0 für E > EF Anregung nur in nicht besetzte Orbitale 1 f (E,T ) = e E − EF kT +1 FermiFermi-Dirac Verteilung Bändermodell 12 statistisches Gewicht im Band Unschärferelation: h h h ∆p x ⋅ ∆x = ∆p y ⋅ ∆y = ∆p z ⋅ ∆z = 4π 4π 4π jedes Orbital muss sich in p mindestens um ∆px, ∆py und ∆pz unterscheiden Pauliprinzip: r r r [| p |, | p + dp |] Anzahl der Zustände in r Zustände mit gleichem| p | Kugel im Impulsraum Minimalvolumen für jeden Zustand: ∆px.∆py.∆pz ⇒ g ( p) ⋅ dp = 2 Bändermodell 4πp ²dp ∆p x ∆p y ∆p z mit E= p² 2m (4π) 4 ⋅ (2m)³ g ( E ) ⋅ dE = VKrist . E ⋅ dE h³ 13 Energieverteilung in den Bändern g(E)f(E)/VK -- ( 4π) 4 ⋅ (2m)³ E n( E , E + dE ) = g ( E ) ⋅ f ( E ) ⋅ dE = VKrist . ⋅ dE ( E − EF ) / kT h³ e +1 Bändermodell 14 Einfluss der Impulsrichtung freies Elektronengas: Impulsraum: p2 r + E pot = E (| p |) E= 2m Orbitale gleicher Energie Kugeloberfläche pz py andere Metalle: Epot abhängig von der Richtung p andere Fermiflächen pz px Modell ok für einwertige Metalle Bändermodell px py 15 Bandstruktur Elektronen: Welle – Teilchen – Dualismus r h r r 2π p = k | k |= 2π λ Orbital Welle Impuls Wellenlä Wellenlänge freie Elektronen: p² E= 2me Kristallstruktur: räumlich periodisch alle Wellen: gleiche AusAuslenkung an Gitterplä Gitterplätzen k > => k > − kGitter = k< 1,5 Welle 1 Gitter Welle 2 Welle 3 1 Auslenkung Wellen Abtasttheorem gleich für alle Richtungen 0,5 0 -0,5 -1 -1,5 0 Bändermodell 0,25 0,5 0,75 Ort 1 1,25 16 Bandstruktur 10 Beschränkung auf k < kGitter : 8 reduziertes Zonenschema E→ 6 aber: E(k>) > E(k> – kGitter) 4 2 0 0 reale Bandstrukturen: Cu Bändermodell 0,2 0,4 0,6 0,8 1 k→ C, Si 2π g 1,2 Be 17 Kontaktspannung E EVak 2 Metalle ohne Kontakt: unterschiedliche WA WA,2 WA,1 freie e-: Ekin = 0 gemeinsame EVak Metall 1 E 2 Metalle in Kontakt: Elektronenfluss Metall 2 Metall 1 Aufladung: Metall 1: – E =E F,1 F,2 Metall 2: + eU K = WA,1 − WA, 2 Bändermodell ∫∫ Metall 2 x EVak eUKontakt WA,1 Metall 1 WA,2 Metall 2 x 18 Kontaktspannung WA/e [V] Metall Austrittsarbeit von Metallen: Voltasche Spannungsreihe Kontaktspannungen im geschlossenen Stromkreis: Pb Cu UCu-Pb ∑U Sn UFe-Cu USn-Fe Bändermodell =0 i UPb-Sn Fe K ,i U 19 Thermoelektrische Effekte T Seebeck - Effekt: Thermoelement T+∆T Kontaktstellen unterschiedlicher Leiter auf unterschiedlichen Temperaturen U Thermospannung E eUK E EF T 1 f(E) eUth E T+∆T 2 1 f(E) x Bändermodell T+∆T: mehr eoberhalb von EF e- fließen von 1 2 Aufladung: 1: + 2: – EF(1) ↓ Uth 20 Thermoelektrische Effekte Seebeck - Effekt: häufig gebraucht: Eisen-Konstantan 5,37 mV/100°C Bändermodell 21 Thermoelektrische Effekte Seebeck - Effekt: 1: NiCr-Konstantan 2: Cu-Konstantan 3: Fe-Konstantan 4: PtRh5-AuPd46Pt2 5: NiCr-Ni 6: PtRh13-Pt 7:PtRh10-Pt 8: PtRh30-PtRh6 Bändermodell 22 Peltiereffekt T+∆T T Stromkreis mit unterschiedlichen Leitern Kontaktstelle wärmer Kontaktstelle kälter Übergang Metall 1 Metall 2 E Gesamtenergie der e- konstant Erhöhung von Ekin Verkleinerung von Epot EF,l 1 eU Ekin,2 Ekin,1 EF,r 1 Ekin,2 Ekin,1 Gitterenergie Abkü Abkühlung 2 Übergang Metall 2 Metall 1 x Bändermodell Verkleinerung von Ekin Gitterenergie Erwä Erwärmung 23
© Copyright 2024 ExpyDoc
