Lsöungen „Eigenschaften der Fourier

Lsöungen „Eigenschaften der Fourier-Transformation“
Mathematik 4 MST , Blatt 4
Prof. Dr. B. Grabowski
[email protected]
Zu Aufgabe 1
aus!
Füllen Sie die beigefügte Tabelle zur FR und zum FI vollständig zum FI
Siehe Anhang!
Zu Aufgabe 2
Ordnen Sie jeder der Funktionen in a) bis d) das zugehörige Spektrum zu!
Funktionen:
für
0< x ≤π
 1
a) f ( x) = 
, f(x) = f(x+k2p) für k œZ
für π < x ≤ 2π
− 1
b)
2
f ( x) = 
0
c)
d)
f ( x) = 1,5 + 2 cos(2ω 0 x)
f ( x) = Ax für 0 < x § 1
a)
b)
c)
d)
für
für
−π / 2 < x ≤ π / 2
π / 2 < x ≤ 3 / 2π
, f(x) = f(x+k2p) für k œZ
und f(x) = f(x+k) für k œZ
punktsymm. ohne Offset <-> C)
achsensymm. Offset = 1 --> ao=2 <-> B)
ist schon die FR, hat nur eine Spektrallinie für an-Koeffizienten : <-> A)
<->D)
Zu Aufgabe 3
Wir verwenden die Symbolik f(t)  • F(ω),
wenn F ( w) =
1
2π
∞
∫ f (t )e
− jwt
dt die zu f(t)
−∞
gehörende Spektralfunktion ist.
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Transformation f(t)  • F(ω) :
1
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a) Linearitätssatz
∀ a,b ∈R gilt: Wenn f1(t)  • F1(w) und f2(t)  • F2(w), so gilt:
f(t)=a f1(t) + bf2(t)  • F(w)= aF1(w) + bF2(w)
Beweis: Sei f(t)=a f1(t) + bf2(t). Dann gilt nach Definition der Spektralfunktion:
∞
∞
1
1
− j ωt
(af 1 (t ) + bf 2 (t ))e − jωt dt
F (ω ) =
f (t )e dt =
∫
∫
2π −∞
2π −∞
∞
∞
1
[a ∫ f 1 (t )e − jωt dt + b ∫ f 2 (t )e − jωt dt ]
Linearität 2π
−∞
−∞
des
=
Integrals
=
aF1(w)
+
bF2(w)
q.e.d
b) Dämpfungsatz (Dämpfung im Zeitbereich bewirkt Verschiebung im Frequenzbereich)
∀a ∈ R, a > 0 gilt: Wenn f(t)  • F(w), so gilt: f (t )е − at  • F ( w − ja )
Beweis:
Es gilt laut Definition der Spektralfunktion:
∞
∞
1
1
1 ∞
− jωt
− at
− jωt
−(a + jω)t
G(ω) =
(
)
=
(
(
)
)
=
dt
g
t
e
dt
f
t
e
e
dt
∫ f(t)e
∫
∫
2π −∞
2π −∞
2π − ∞
a
− j(ω + )t
∞
1 ∞
− j(ω − ja)t
j dt = 1
=
f
(
t
)
e
dt
∫
∫ f(t)e
2π − ∞
2π − ∞
=
F(ω − ja)
qed.
c) Verschiebungssatz im Zeitbereich (Verschiebung im Zeitbereich bewirkt Dämpfung im
Frequenzbereich)
∀a ∈ R, a > 0 gilt: f(t)  • F(w) ⇔ f (t − a )  • F (w)e − jwa
Beweis:
Es gilt laut Definition der Spektralfunktion:
∞
∞
1
1
− jωt
G(ω) =
g (t )e dt =
f (t − t 0 )e − jωt dt
2π −∫∞
2π −∫∞
Substitution: u=t-t0
dt=du
t: − ∞ → ∞ , demzufolge u: − ∞ → ∞ .
Mit dieser Substitution erhalten wir :
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G(ω) =
1
2π
∞
∫
f (t − t 0 )e − jωt dt =
−∞
∞
1
2π
∫
f (u )e − jω (u −t0 ) du = e −jωt0
−∞
1
2π
∞
∫ f (u)e
− jωu
du =
−∞
e −jωt0 F( ω)
qed.
Zu Aufgabe 4
t ≥ 0
1 falls
Die Funktion u (t ) = 
 bezeichnet man als Heaviside-Funktion.
t < 0
0 falls
Sie wird verwendet, um Einschaltvorgänge (Stärke und Dauer eines Signals) zu beschreiben.
u(t-a) ist die nach rechts um a verschobene Heaviside-Funktion:
1
u (t − a) = 
0
a)
b)
c)
d)
falls
falls
t ≥ a
.
t < a
Stellen Sie die Funktion f(t) = 2 u(t-2) grafisch dar!
Stellen Sie die Funktion f(t) = u(t) + u(t-1) – 2u(t-2) grafisch dar!
Wie lautet die Funktionsgleichung der in Abb. 1a dargestellten Funktion f1(t)?
Wie lautet die Funktionsgleichung der in Abb. 1b dargestellten Funktion f2(t)?
Abb1a.
falls 0 ≤ t < 1
1
 2 falls 1 ≤ t < 2

f 1 (t ) = 
− 1 falls 2 ≤ t < 4
 0 sonst
Abb1b.






2 a ≤ t < 2 a 
f 2 (t ) = 

sonst 
0
e) Berechnen Sie unter Verwendung des Linearitätssatzes die Fouriertransformierte der
beiden Funktionen f1(t) und f2(t) unter Verwendung der Fourier-Transformierten der
Heaviside-Funktion und der Eigenschaften der Fourier-Transformation!
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Zu a) und b)
Zu c) und d)
Darstellung:
f1(t) = u(t) + u(t-1) -3u(t-2) + u(t-4)
f2(t) = 2 u(t-a) –2u(t-2a)
Berechnen Sie die Fouriertransformierte dieser Funktion unter Verwendung der FourierTransformierten der Heaviside-Funktion und der Eigenschaften der Fourier-Transformation!
Zu e)
Lösung: Zu f1(t):
f1(t)=u(t)+u(t-1) –2u(t-2).
Daraus folgt wegen
(1) Linearitätssatz und
(2)
u(t-a)
dass gilt:
f1(t)
Zu f2(t):
f2(t) = 2 u(t-a) –2u(t-2a)
Daraus folgt wegen
(1) Linearitätssatz und
(2)
u(t-a)
dass gilt:
f2(t)
U (ω )e − jωa
F1(ω)
=
=
U (ω )e − jωa
F2(ω)
−j
1 + e − jω1 − 2e − jω 2
2πω
(
=
=
4
− j − jωa
e
2πω
)
− j − jωa
e
2πω
−j
2 + e − jωa − 2e − jω 2 a
2πω
(
)
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Zu Aufgabe 5
Es seien folgende Fourier-Transformationen bekannt (wer´s nicht glaubt,
muss es selbst nachprüfen):
f 1 (t ) =
sin(at )
1
 • F1 (ω ) = [u (ω + a) − u (ω − a)]
t
2
e −bt t ≥ 0
f 2 (t ) = 
0 sonst
•
F2 (ω ) =
(u(ω) ist die Heaviside-Funktion)
1
b
ω
( 2
−j 2
) (b>0)
2
2π b + ω
b +ω2
Geben Sie unter Verwendung der Sätze aus Aufgabe 3) die Fourier-Transformierte F(ω)
folgender Funktionen an:
e −( b + 2) t , t ≥ 0
b) 
0, sonst
a) 3f2(t)
c)
4 sin(at − 3a )
t −3
Lösung :
Zu a)
3 F2 (ω ) =
3f2(t)
3
b
ω
( 2
−j 2
)
2
2π b + ω
b +ω2
Linearitätssatz
Zu b)
e −( b + 2) t , t ≥ 0
= e −2t f 2 (t )

0, sonst
F2(
1
1
1
1
ω − 2 j) =
⋅
=
⋅
2π b + j (ω − 2 j ) 2π (b + 2) + jω
Dämpfungssatz
Zu c)
4 sin(at − 3a ) 4 sin(a (t − 3))
=
= f1(t − 3)
t −3
t −3
Verschiebungssatz
F1( ω )e − jω 3 = e − jω 3
Anhang : Tabelle zu Aufgabe 1
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1
(u (ω + a ) − u (ω − a ))
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Eigenschaften
Fourier-Reihe
Voraussetzungen für
2π
Existenz und Eindeutigkeit 1) f(t) ist periodisch, Periode T = ω ,
o
des Spektrums
ωo = Grundfrequenz, und
2) f(t) erfüllt die Dirichlet-Bedingungen
D1 und D2
Zerlegung von f(t) in
Schwingungen (komplex)
Fourier-Integral
1) f(t) ist nicht periodisch,
∞
2) f(t) ist absolut integrierbar: d.h. ∫ | f (t ) | dt < ∞
−∞
∞
f (t ) =
∞
f (t ) =
∑c e
jnω o t
n
,
∫ F (ω )e
jωt
dt
−∞
n = −∞
Die komplexen
Amplituden,
bzw. das komplexe
Spektrum
cn = komplexe Amplitude der Schwingung
mit der Frequenz nωo.
(D.h., in die Schwingungszerlegung
gehen nur ganzzahlige Vielfache der
Grundfrequenz ein).
F(ω) = komplexe Amplitude zur Schwingung mit
der Frequenz ω
Als Spektrum werden die komplexen
Amplituden cn bezeichnet.
Es ist:
F(ω) wird als Spektralfunktion bezeichnet.
cn =
1
f (t )e − jnωot dt
T (T∫)
für n∈Z
In NF ist: cn = Re(cn) + jIm(cn)
In EF ist: cn = |cn| e jϕ (n )
|cn| heißt Amplitudenspektrum
ϕ(n) heißt Phasenspektrum
6
(D.h. in die Schwingungszerlegung gehen alle
reellen Frequenzen ein!)
F(ω) =
1
2π
∞
∫ f (t )e
− j ωt
dt
−∞
In NF: F(ω)= Re(F(ω)) + j Im(F(ω))
In EF: F (ω ) =| F (ω ) | e jϕ (ω )
| F (ω ) | Amplitudenspektrum
ϕ (ω ) Phasenspektrum
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Die grafische Darstellung des
Amplitudenspektrums liefert ein
„Linienspektrum“:
Die grafische Darstellung des
Amplitudenspektrums (und Phasenspektrums)
liefert eine kontinuerliche Funktion:
Jeder Strich an der Stelle n stellt die (reelle)
Amplitude der Schwingung zur Frequenz
nωo dar.
Eigenschaften des
Spektrums
Es gilt:
Es gilt:
1) c n* = c − n und daraus folgt:
1) F*(ω)= F(-ω)
2) c n |=| c − n | (D.h. das Amplitudenspektrum ist 2) |F(ω)| = |F(-ω)| Ampl.Spektrum ist achsensym.
3) Re(F(ω)) =Re(F(-ω)) Realteil ist achsensymm.
achsensymmetrisch).
4) Im(F(ω)) = - Im(F(-ω)) Immag.teil punktsymm.
Reelle Form der FourierZerlegung,
f (t ) =
∞
ao
+ ∑ [a n cos(nω o t ) + bn sin( nω o t )]
2 n =1
wobei:
∞
f (t ) = ∫ A(ω ) cos(ω ) + B(ω ) sin(ω )dω
0
wobei:
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ao
1
= c o = ∫ f (t )dt (Offset oder
2
T (T )
Gleichspannungsanteil oder
„Schwerpunktlinie“
2
a n = 2 Re(c n ) = ∫ f (t ) cos(nω o t )dt
T (T )
bn = −2 Im(c n ) =
2
f (t ) sin(nω o t )dt
T (T∫)
A(ω ) = 2 Re( F (ω ))
B (ω ) = −2 Im( F (ω ))
die reellen Amplituden sind.
Wir erhalten das reelle Spektrum:
die reellen Amplituden sind.
Wir erhalten das reelle Linienspektrum:
A(w) = achsensymm., B(w) = punktsymm.
Auswirkung von
Symmetrieeigenschaften
von f(t)
f(t) achsensymmetrisch ---> bn = 0 ∀n ≥1
f(t) punktsymmetrisch ---> an = 0 ∀n ≥1
∞
f(t) achsensymm. --> f (t ) = ∫ A(ω ) cos(ω )dω
0
∞
f(t) punktsymmm.---> f (t ) = ∫ B(ω ) sin(ω )dω
0
8