Musterlösung: Partikelbewegung im Fluid 20. Januar 2016 Wiederholung Ein Ausschnitt notwendiger Grundlagen für die Berechnung stationärer Sinkgeschwindigkeiten von Partikeln im Fluid. Annahmen: • Partikel starr, glatt und kugelförmig • keine Wirkung anderer Partikel auf das betrachtete Partikel • umgebendes Fluid turbulenzfrei abgesehen von den Verwirbelungen durch das Partikel Das Kräftegleichgewicht auf das Partikel resultiert aus der Gewichtskraft FG , der Auftriebskraft FA und der Wiederstandskraft FW mit FG − FA − FW = 0 , (1) wie in Abbildung 1 dargestellt. Dabei resultieren die Gewichts- und die Auftriebskraft aus dem Partikelvolumen Vp , dem vorliegenden Beschleunigungsfeld a und der jeweiligen Dichte des Fluids ρf bzw. des Partikels ρs , so dass πd3p ρs a 6 πd3p ρf a FA = mp a = Vp ρf a = 6 FG = mp a = Vp ρs a = (2) (3) gilt. Die Widerstandskraft kann über FW = ρf 2 ρf 2 2 vs Apro cw = v πd cw 2 8 s p 1 (4) Wiederholung Partikelbewegung vs ↓ FA FG FW Abbildung 1: Kräftegleichgewicht am Partikel bei stationärer Umströmung beschrieben werden, mit der Anströmfläche des Partikels Apro , der stationären Sinkgeschwindkeit vs und dem von der Reynolds-Zahl abhängigen Widerstandsbeiwert cw . Das Einsetzen von Gl. (2), (3), (4) in Gl. (1) und Umstellen nach vs ergibt vs2 = 4dp (ρs − ρf ) a , 3cw ρf (5) eine Formel für die stationäre Sinkgeschwindigkeit, die für ein Partikel mit gegebenem Durchmesser dp , gegebener Dichte ρs und einem Fluid der Dichte ρf nur noch von dem Wiederstandsbeiwert cw abhängig ist. Dieser ist wiederum von der Art der Partikelumströmung und somit von der Partikel-Reynolds-Zahl Re = vdp ρf η (6) abhängig, mit der Dynamischen Viskosität η. Da die Reynolds-Zahl von der Sinkgeschwindigkeit und damit wiederum von sich selbst abhängig ist, empfiehlt es sich häufig die Umströmung über die Archimedes-Zahl zu charakterisieren. d3p a(ρs − ρf ) 3 Ar = Re 2 cw = 4 ν 2 ρf Die kinematische Viskosität lässt sich hierfür über η ν= ρf (7) (8) bestimmen. Der Wiederstandsbeiwert kann für verschiedene Reynolds-Zahl-Bereiche durch folgende Gleichungen angenähert werden: Für den Stokes-Bereich bei Re < 0,5 respektive Ar < 9 durch cw = 2 24 , Re (9) Wiederholung wodurch sich für die stationäre Sinkgeschwindigkeit nach Gl. (5) vs = d2p a (ρs − ρf ) 18η (10) ergibt. Für den Newton-Bereich 103 < Re < 2 · 105 bzw. 3 · 105 < Ar < 109 kann der cw -Wert mit cw ≈ 0,44 (11) angenähert werden. Damit resultiert für die Sinkgeschwindigkeit s vs ≈ 3dp g (ρs − ρf ) . ρf (12) Für Reynolds-Zahl-Bereich 0 < Re < 2 · 105 und somit auch für den Übergangsbereich 0,5 < Re ≤ 2 < 103 bzw. 9 < Ar < 3 · 105 kann der Wiederstandsbeiwert über cw = 24 4 +√ + 0,4 Re Re (13) nach Kaskas [1] zitiert nach [2, S.106] angenähert werden. Da durch Einsetzen von Gl. (13) in Gl. (5) keine algebraisch nach vs auflösbare Gleichung entsteht, werden nachfolgend drei Lösungswege empfohlen. Iteratives Vorgehen Die stationäre Sinkgeschwindigkeit wird abgeschätzt, z. B. über die stationäre Sinkgeschwindigkeit im Stokes-Bereich nach Gl. (10). Anschließend werden iterativ folgende Schritte ausgeführt, bis die gewünschte Genauigkeit für vs erreicht ist: 1. Berechne Re über Gl. (6) 2. Berechne cw für den Übergangsbereich über Gl. (13) 3. Berechne vs über Gl. (5) Sukzessive wird durch diese Iteration die Sinkgeschwindigkeit angenähert. Grafisches Vorgehen Bei Kenntnis der Archimedes-Zahl lässt sich die Ljaŝĉenko-Zahl aus Abbildung 2 ablesen. Aus der Ljaŝĉenko-Zahl Lj = 4 Re v 3 ρf = s 3 cw νa ρs − ρf (14) lässt sich durch Umstellen und Einsetzen von Gl. (8) die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmen. v u u ηLj(ρs − ρf )a 3 vs = t (15) ρ2f 3 Aufgabe 1 2 10-1 5 2 10-2 5 2 10-3 5 2 10-4 5 2 10-5 5 2 10-6 5 2 10-7 5 -8 2 10 104 103 102 10 Re Lj 106 5 2 105 5 2 104 5 2 103 5 2 102 5 2 10 5 2 1 5 1 10-1 10-2 10-3 2 5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 10-2 10-1 1 10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 Ar Abbildung 2: Kennlinie Ljaŝĉenko- über Archimedes-Zahl für kugelförmige Partikel im Fluid [3, Fol. 4.7] Wahl der richtigen Approximation Zur Berechnung der stat. Sinkgeschwindigkeit im Übergangsbereich bei höherer geforderter Genauigkeit existieren verschiedene Approximationen der Form cw = aRe α , mit denen die Sinkgeschwindigkeit für verschiedene Umströmungsarten leicht algebraisch bestimmt werden kann. Eine Auflistung solcher Funktionen mit zugehörigen Reynolds- und Archimes-Zahlbereichen befindet sich im Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik [2, S. 105, Tab. 3-1]. Aufgabe 1 Aufgabenstellung: Berechnen Sie die stationären Sink- bzw. Wandergeschwindigkeiten zweier kugelförmiger Kalksteinpartikel a) im Schwerefeld der Erde und b) im Zentrifugalfeld (z = 200g). Gegeben: d1 = 1 µm d2 = 40 µm ρs = 2,65 g/cm3 η = 1 mPa · s g = 9,81 m/s2 z = 200g ρf = 0,998 g/cm3 4 Gesucht: vs (d1 ,g) vs (d2 ,g) vs (d1 ,z) vs (d2 ,z) Aufgabe 2 Lösung: Für jede Partikel-Beschleunigungsfeld-Kombination wird die Archimedes-Zahl nach Gl. (7) ermittelt, um den Umströmungsbereich zu bestimmen. Anschließend wird mit der jeweiligen Vorgehensweise die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmt. 1a) Ar = 1,62 · 10−5 < 9 −→ Stokes-Bereich Berechnung von vs durch Gl. (10): vs = 9 · 10−7 ms = 3,2 mm h 1b) Ar = 3,23 · 10−3 < 9 vs = 1,8 · 10−4 ms = 0,65 m h −→ Stokes-Bereich 2a) Ar = 1,04 < 9 −→ Stokes-Bereich m −3 vs = 1,44 · 10 s = 5,2 m h 2b) Ar = 207 9 < 207 < 3 · 105 −→ Übergangsbereich Durch das Ablesen im Diagramm in Abb. 2, kann eine Ljaŝĉenko-Zahl Lj ≈ 1,4 ermittelt werden. Durch Gl. (15) erhält man die stationäre Sinkgeschwindigkeit mit vs ≈ 0,17 ms . Aufgabe 2 Aufgabenstellung: Berechnen Sie die stationäre Sinkgeschwindigkeit des d50|3 eines Quarzhaufwerks mit einer RRSB-Größenverteilung (d63|3 = 0,35 mm, n = 1,55). Gegeben: RRSB-Verteilung: n = 1,55 d63|3 = 0,35 mm ηf = 0,9 mPa · s Q3 (d) = 1 − exp − d d63|3 g ρs = 3,15 cm 3 g ρf = 0,998 cm 3 n Gesucht: vs (d50|3 ) Lösung: Durch Umstellen der Formel für die RRSB-Verteilung nach d und Einsetzen von Q3 (d50|3 ) = 0,5 lässt sich der d50|3 bestimmen. d = d63|3 q n − ln(1 − Q3 (d)). (16) Es ergibt sich d50|3 = 0,276 mm = 2,76·10−4 m. Anschließend lässt sich die Archimedes-Zahl sowie die stationäre Sinkgeschwindigkeit bestimmen. Ar = 547 9 < 547 < 3 · 105 −→ Übergangsbereich Lj ≈ 5,3 vs ≈ 0,047 ms 5 Literatur Literatur 1. Kaskas, A. A. Schwarmgeschwindigkeiten in Mehrkornsuspensionen am Beispeil der Sedimentation Diss. (TU Berlin, 1970). 2. Schubert, H. Handbuch der Mechanischen Verfahrenstechnik (John Wiley & Sons, 2012). 3. Tomas, J. Folien MVT 4 <http://www.mvt.ovgu.de/mvt_media/Vorlesungen/ VO_MVT/Folien_MVT_4.pdf> (2015). 6
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