Musterlösung - Universität der Bundeswehr München

Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
4. Übung
Lösung zur 1. Übung „Steuer- und Regelungstechnik“
Aufgabe 1.1: Mechanisches System
Aufgabe:
-
Bestimmen Sie die Differentialgleichung die die Dynamik des oben dargestellten Feder-Masse-Dämpfer Systems beschreibt.
2. Newton’sches Axiom:
lineares Dämpferelement:
lineare Feder:
𝑚 ∙ 𝑎 = ∑𝐹
𝐹𝐷 = −𝑑 ∙ 𝑥̇ (𝑡)
𝐹𝐶 = −𝑐 ∙ 𝑥(𝑡)
∑ 𝐹 = 𝐹(𝑡) + 𝐹𝐷 + 𝐹𝐶 = 𝐹(𝑡) − 𝑑 ∙ 𝑥̇ (𝑡) − 𝑐 ∙ 𝑥(𝑡)
Damit ergibt sich:
Mit
𝑎(𝑡) = 𝑥̈ (𝑡)
ergibt sich dann die folgende Differentialgleichung für das Feder-Masse-Dämpfer System:
𝑚 ∙ 𝑥̈ (𝑡) = 𝐹(𝑡) − 𝑑 ∙ 𝑥̇ (𝑡) − 𝑐 ∙ 𝑥(𝑡)
Umformen um Eingänge und Ausgänge zu trennen:
𝑚 ∙ 𝑥̈ (𝑡) + 𝑑 ∙ 𝑥̇ (𝑡) + 𝑐 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝐹(𝑡)
 lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung
Aufgabe 1.2: Elektrisches System
Aufgabe:
-
-
Bestimmen Sie die Differentialgleichung die das Verhalten den aufgeführten Schaltkreises beschreibt.
Es gilt 𝑖𝑅 = 𝑖𝐿 = 𝑖𝐶 = 𝑖
Bauteilgleichungen:
𝑢𝑅 = 𝑅 ∙ 𝑖
𝜕𝑖
-
𝑢𝐿 = 𝐿 ∙
-
𝑖𝐶 = 𝑖 = 𝐶 ∙
𝜕𝑡
𝜕𝑢𝐶
𝜕𝑡
Aufstellen der Maschengleichungen (2. Kirchhoff’sches Gesetz):
𝑢𝐸 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝐶 (1)
𝑢𝐴 = 𝑢𝐶 (2)
Aufgrund von (2) und der Bauteilgleichung der Kapazität gilt
𝑖=𝐶∙
𝜕𝑢𝐴
𝜕𝑡
(3)
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1. Lösung
Einsetzen der Bauteilgleichungen in (1):
𝜕𝑖
𝑢𝐸 = 𝑅 ∙ 𝑖 + 𝐿 ∙ 𝜕𝑡 + 𝑢𝐴 (4)
Aus (3) folgt weiterhin:
𝜕𝑖
𝐿 ∙ 𝜕𝑡 = 𝐿 ∙ 𝐶 ∙
𝜕 2 𝑢𝐴
𝜕𝑡 2
(5)
Einsetzen von (2) und (5) in (4):
𝑢𝐸 = 𝑅 ∙ 𝐶 ∙
𝜕𝑢𝐴
𝜕𝑡
+𝐿∙𝐶∙
𝜕 2 𝑢𝐴
𝜕𝑡 2
+ 𝑢𝐴
Daraus folgt unmittelbar:
𝐿 ∙ 𝐶 ∙ 𝑢̈ 𝐴 (𝑡) + 𝑅 ∙ 𝐶 ∙ 𝑢̇ 𝐴 (𝑡) + 𝑢𝐴 (𝑡) = 𝑢𝐸 (𝑡)
 lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung
Aufgabe 1.3: Äquivalenz von elektrischen und mechanischen Systemen
Aufgabe:
Vergleichen Sie die in Aufgabe 1.1 und 1.2 aufgestellten Differentialgleichungen. Arbeiten sie die Gemeinsamkeiten heraus und stellen so die Analogie zwischen beiden
Arten von Systemen her. Erarbeiten Sie außerdem die charakteristischen Kenngrößen
dieser Art von Differentialgleichungen.
Umformen der Differentialgleichung des elektrischen Systems:
1
1
𝐿 ∙ 𝑢̈ 𝐴 (𝑡) + 𝑅 ∙ 𝑢̇ 𝐴 (𝑡) + 𝐶 ∙ 𝑢𝐴 (𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑢𝐸 (𝑡)
Vergleich mit der Differentialgleichung aus der ersten Aufgabe:
𝑚 ∙ 𝑥̈ (𝑡) + 𝑑 ∙ 𝑥̇ (𝑡) + 𝑐 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝐹(𝑡)
-
Beide Differentialgleichungen vom selben Typ (linear, inhomogen, zweiter Ordnung)
Identischer Aufbau
Durch Koeffizientenvergleich lässt sich die Kraft-Spannungs-Analogie herleiten
Masse
- Induktivität 𝑚 − 𝐿
Dämpfungskoeff.
- ohm. Widerstand 𝑑 − 𝑅
1
Federnachgiebigkeit - Kapazität − 𝐶
(bzw. Reibung)
𝑐
Allgemeine Form der in Aufgabe 1.1 und 1.2 aufgestellten Differentialgleichungen:
𝑎2 ∙ 𝑦̈ (𝑡) + 𝑎1 ∙ 𝑦̇ (𝑡) + 𝑎0 ∙ 𝑦(𝑡) = 𝑏0 ∙ 𝑢(𝑡) (1)
Steuer- und Regelungstechnik
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-
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1. Lösung
Form tritt in der Regelungstechnik sehr oft auf
Wird auch als PT2-Verhalten bezeichnet
Zur Erarbeitung der allgemeinen Kenngrößen dieser Differentialgleichungen wird (1) in eine andere
Schreibweise überführt:
𝑦̈ (𝑡) + 2𝐷𝜔0 ∙ 𝑦̇ (𝑡) + 𝜔02 ∙ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝜔0 ∙ 𝑢(𝑡) (2)
Aus dieser Gleichung lassen sich die beiden elementaren Kenngrößen von Differentialgleichungen mit
PT2 –Verhalten direkt ermitteln.
-
Der Dämpfungsgrad 𝐷(dimensionslos)
Die Eigenfrequenz 𝜔0
Es gilt zu beachten, dass der Dämpfungsgrad 𝐷 nicht mit dem linearen Dämpfungskoeff. bei einem
mechanischen System gleichzusetzen ist, sondern eine allgemeine Systemeigenschaft darstellt. Diese
lässt sich für alle technischen Systeme, welche PT2-Verhalten aufweisen, bestimmen!
Bestimmung der Kennwerte für die beiden vorher bestimmten Differentialgleichungen, dafür werden
beide in die Form von (2) überführt:
𝑥̈ (𝑡) +
𝑑
𝑚
𝑢̈ 𝐴 (𝑡) +
∙ 𝑥̇ (𝑡) +
𝑐
𝑚
∙ 𝑥(𝑡) =
1
𝑚
∙ 𝐹(𝑡)
𝑅
1
1
∙ 𝑢̇ 𝐴 (𝑡) +
∙ 𝑢𝐴 (𝑡) =
∙ 𝑢 (𝑡)
𝐿
𝐶∙𝐿
𝐶∙𝐿 𝐸
(3)
(4)
Für das mechanische System ergibt durch sich Koeffizientenvergleich also:
-
𝜔0 = √
-
𝐷=
1
𝑐
𝑚
𝑑
2 √𝑐∙𝑚
Es zeigt sich hier also, dass der Dämpfungsgrad 𝐷 des Systems nicht dem Dämpfungskoeffizienten des
linearen Dämpfers entspricht!
Analog ergibt sich für das elektrische System:
1
-
𝜔0 = √
-
𝐷 = ∙𝑅∙√
𝐶∙𝐿
1
𝐶
2
𝐿
Bei Vergleich der Kennwerte lässt sich ebenfalls die oben hergeleitete Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Systemen erkennen, da durch das jeweilige Ersetzen der äquivalenten physikalischen Größen sich die Kenngrößen ineinander überführen lassen.
Mit Hilfe des Dämpfungsgrades lässt sich zusätzlich noch auf das Zeitverhalten des Ausgangs 𝑦(𝑡)
schließen. Für einen Dämpfungsgrad von 𝐷 > 1 zeigt 𝑦(𝑡) aperiodisches Verhalten, während bei einem 1 > 𝐷 > 0 𝑦(𝑡) in Form einer gedämpften Schwingung auftritt. Bei einem 𝐷 < 0 ist das System
ungedämpft und 𝑦(𝑡) stellt somit eine instabile ungedämpfte Schwingung dar. Diese Eigenschaften
lassen sich außerdem auf die Eigenwerte des Systems zurückführen. Da die Betrachtung der Eigenwerte des Systems in der Regelungstechnik eine elementare Rolle spielt, wird im Folgenden noch etwas
genauer darauf eingegangen.
Steuer- und Regelungstechnik
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1. Lösung
Das charakteristische Polynom von (1) lautet:
𝜆2 + 2𝐷𝜔0 ∙ 𝜆 + 𝜔02 = 0
Die Eigenwerte des Systems bestimmen sich also zu:
𝜆1,2 = −𝜔0 (𝐷 ± √𝐷 2 − 1)
Wendet man die oben aufgeführten Bereiche von 𝐷 auf die hier ermittelten Eigenwerte an, ergeben
sich folgende Schlussfolgerungen von der Art der Eigenwerte auf das Zeitverhalten von 𝑦(𝑡):
-
Sind beide Eigenwerte reell (𝐷 > 1) besitzt 𝑦(𝑡) aperiodisches Zeitverhalten
Bestehen die Eigenwerte aus einem komplex konjugierten Paar (1 > 𝐷 > 0), ist 𝑦(𝑡) eine
gedämpfte Schwingung
Ist der Realteil eines Eigenwertes positiv (𝐷 < 0), stellt 𝑦(𝑡) eine ungedämpfte instabile
Schwingung dar
Steuer- und Regelungstechnik

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