Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume
Roman Wienands
Sommersemester 2010
Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
Roman Wienands (Universität zu Köln)
Mathematik II für Studierende der Chemie
Sommersemester 2010
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Skalare und Vektoren
In der mathematischen Beschreibung der Naturwissenschaften
unterscheiden wir:
Größen, die durch eine Maßzahl (und zugehörige Maßeinheit)
vollständig bestimmt sind.
Derartige Größen bezeichnen wir als Skalare.
Beispiele hierfür sind Temperatur, Dichte und Energie.
Größen, zu deren vollständiger Darstellung die Angabe einer
Richtung im Raum gehört.
Derartige Größen bezeichnen wir als Vektoren.
Beispiele hierfür sind die Geschwindigkeit eines Massepunktes
oder die Kraft, die auf ihn wirkt.
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Outline
1
Vektoren im Raum
2
Komponenten und Koordinaten
3
Skalarprodukt
4
Vektorprodukt
5
Analytische Geometrie
6
Lineare Räume, Gruppentheorie
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Definition: Vektor
Eine Verschiebung im dreidimensionalen Raum ist eine Abbildung,
die jedem Punkt P des Raumes einen Punkt Q zuordnet, so dass die
Verschiebungsstrecken zwischen Urbild- und Bildpunkten parallel und
gleich lang sind.
Ein Vektor ~a ist eine Verschiebung des dreidimensionalen Raumes.
Ein Vektor ~a ist eindeutig bestimmt, wenn man den Bildpunkt Q für
nur einen Punkt P kennt.
−→
Die gerichtete Strecke PQ heißt Repräsentant von ~a.
Die Menge aller Vektoren des dreidimensionalen Raumes
bezeichnen wir mit V 3
Analog lassen sich Vektoren im zwei- bzw. höherdimensionalen Raum
definieren.
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Betrag, Einheitsvektoren, Nullvektor
Der Abstand zwischen P und Q heißt Betrag oder Länge des
−→
Vektors. Wir bezeichnen ihn mit |~a| oder |PQ|.
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn zwei ihrer
Repräsentanten in Betrag und Richtung übereinstimmen.
Vektoren vom Betrag 1 bezeichnet man als Einheitsvektoren.
Die Verschiebung, die jeden Punkt in sich selbst überführt heißt
Nullvektor ~0.
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Definitionen: Addition, skalare Multiplikation
Addition zweier Vektoren:
Unter der Summe ~a + ~b zweier Vektoren versteht man die
Verschiebung, die entsteht, wenn man die Verschiebungen ~a und ~b
hintereinander ausführt.
Skalare Multiplikation eines Vektors:
Unter dem Produkt λ ~a eines Vektors ~a 6= ~0 und einer Zahl λ 6= 0
versteht man den Vektor mit dem Betrag |λ| |~a|, der zu ~a
gleichgerichtet bzw. entgegengesetzt ist, je nachdem ob λ > 0 oder
λ < 0 ist. Für λ = 0 oder ~a = ~0 definieren wir λ ~a := ~0.
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Eigenschaften eines Vektorraumes
Offensichtlich gilt für Vektoren ~a, ~b, ~c ∈ V 3 und Skalare λ, µ ∈ IR:
(V1)
~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a
(neutrales Element)
(V2)
~a + (−1) · ~a = (−1) · ~a + ~a = ~0
(inverses Element)
(V3)
~a + (~b + ~c ) = (~a + ~b) + ~c
(Assosiativität)
(V4)
~a + ~b = ~b + ~a
(Kommutativität)
(V5)
Für ~a, ~b ∈ V 3 gilt ~a + ~b ∈ V 3 .
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Eigenschaften eines Vektorraumes
Weiterhin gilt:
(V6)
(V7)
(V8)
(V9)
1 · ~a = ~a
λ · µ · ~a = (λ · µ) · ~a
(neutrales Element)
(λ + µ) · ~a = λ · ~a + µ · ~a
λ · ~a + ~b = λ~a + λ~b
(Assosiativität)
(Distributivität)
(Distributivität)
Da V 3 gemeinsam mit der Addition und der skalaren Multiplikation die
Eigenschaften (V1)-(V9) aufweist, nennt man V 3 einen Vektorraum.
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1
Vektoren im Raum
2
Komponenten und Koordinaten
3
Skalarprodukt
4
Vektorprodukt
5
Analytische Geometrie
6
Lineare Räume, Gruppentheorie
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Einführung eines Koordinatensystems
Bisher: Geometrische Definition von Vektoren und Operationen.
Einführung eines rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystems
mit Einheitsvektoren ~ex , ~ey , ~ez in Richtung der Koordinatenachsen.
−
→
Repräsentant 0A des Vektors ~a mit Anfangspunkt im Ursprung läßt
sich als Summe von 3 Vektoren schreiben, die parallel zu den
Koordinatenachsen sind:
−
→
0A = ~a = ~ax + ~ay + ~az .
~ax , ~ay , ~az heißen die Komponenten des Vektors ~a. Für den Punkt A mit
den kartesischen Koordinaten (ax , ay , az ) ergeben sich die
−
→
Komponenten von 0A = ~a zu ~ai = ai ~ei (i = x, y , z) und es gilt:
~a = ax ~ex + ay ~ey + az ~ez .
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Vektoren im Raum
2
Komponenten und Koordinaten
3
Skalarprodukt
4
Vektorprodukt
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Analytische Geometrie
6
Lineare Räume, Gruppentheorie
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Definition: Skalarprodukt, Orthogonalität
Das Skalarprodukt ~a · ~b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren
~a und ~b ergibt die reelle Zahl
~a · ~b := |~a| |~b| cos ∠(~a, ~b) .
Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, dann definieren wir
~a · ~b := 0 .
Sind ~a, ~b 6= ~0, so gilt ~a · ~b = 0, genau dann, wenn cos ∠(~a, ~b) = 0, d.h.
wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Wir nennen zwei Vektoren ~a, ~b (inklusive des Nullvektors) orthogonal
zueinander, wenn ~a · ~b = 0 .
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Eigenschaften des Skalarprodukts
Aus der geometrischen Definition des Skalarprodukts ergibt sich für
~a, ~b, ~c ∈ V 3 und λ ∈ IR:
1
2
~a · ~b = ~b · ~a
~a · ~b + ~c = ~a · ~b + ~a · ~c
3
~a · λ ~b = λ ~a · ~b
4
~a2 = ~a · ~a = |~a|2
5
|~a · ~b| ≤ |~a| |~b|
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bzw.
(Kommutativität)
(Linearität)
(Linearität)
|~a| =
√
~a2
(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)
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Berechnung des Skalarprodukts
Den Vektoren ~a, ~b ∈ V 3 seien die Koordinatentripel (ax , ay , az ) bzw.
(bx , by , bz ) zugeordnet.
Dann lautet das Skalarprodukt in Koordinatendarstellung:
~a · ~b = ax bx + ay by + az bz .
Damit ergibt sich für den (kleineren) Winkel zwischen ~a und ~b:
cos ∠(~a, ~b) =
~a · ~b
ax bx + ay by + az bz
q
=q
.
|~a| |~b|
ax2 + ay2 + az2 + bx2 + by2 + bz2
Die Aussagen lassen sich ganz analog für zwei- bzw.
höherdimensionale Vektorräume formulieren.
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Komponenten und Koordinaten
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Skalarprodukt
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Vektorprodukt
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Analytische Geometrie
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Lineare Räume, Gruppentheorie
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Definition: Vektorprodukt
Das Vektorprodukt ~a × ~b zweier vom Nullvektor verschiedener
Vektoren ~a und ~b ist definiert als der Vektor
~a × ~b := |~a| |~b| sin ∠(~a, ~b) ~n .
Hierbei ist ~n ein Einheitsvektor, so dass {~a, ~b, ~n} ein Rechtssystem
bildet. Ist ~a oder ~b der Nullvektor, dann gelte ~a × ~b := ~0 .
Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem Flächeninhalt des
Parallelogramms, das von den Vektoren ~a und ~b aufgespannt wird.
Aus obiger Definition ergibt sich:
Für ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0 gilt ~a × ~b = 0 genau dann, wenn die Vektoren ~a
und ~b parallel oder antiparallel sind.
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