Die Zentripetalkraftformel bei Newton oder

Die Zentripetalkraftformel bei Newton oder „Die Zentripetalkraftformel richtig verstehen“ Josef Leisen Newton macht es uns vor. Er zeigt uns, wie man die Zentripetalkraftformel richtig verstehen kann und sogar ohne mathematische Herleitung angeben kann. In der Principia schreibt Newton: Die Überlegungen Newtons werden nachfolgend in eine moderne Sprache „übersetzt“. Eine harte Kugel wird beim Aufprall gegen eine harte Wand beim Stoßwinkel 45° um 90° umgelenkt. Es ändert sich nur die Richtung, nicht der Betrag. Während der Stoßzeit übt die Kugel eine Kraft auf die Wand aus. Die Reactio, also die Kraft der Wand auf die Kugel lenkt die Kugel um 90° um. Um die Kugel einmal ganz herumzuführen, lenkt man sie an 4 Stellen um 90° um. Indem man noch mehr Ablenkstellen einführt, durchläuft die Kugel ein Vieleck und die Bahn wir kreisähnlicher. Bei vielen Stößen ist die Kraft während des Einzelstoßes kleiner (Impulsänderung ist kleiner), aber in der Summe gleich. Fazit: Um eine Kreisbewegung durchzuführen, ist eine Kraft (Zentripetalkraft) zum Mittelpunkt notwendig. Mit den nachfolgenden Überlegungen wird die Formel „hergeleitet“, plausibel gemacht. Was passiert, wenn der Kreisradius halbiert wird? • Dann bewegt sich die Kugel in der halben Zeit einmal herum. Dann werden die Impulsänderungen in der halben Zeit vorgenommen, d.h. die notwendige Kraft ist doppelt so groß. • Mathematisch: Kraft ist umgekehrt proportional zum Radius. Was passiert, wenn die Kugel die doppelte Geschwindigkeit hat? • Dann läuft die Kugel in der halben Zeit herum, die Impulsänderungen werden in der halben Zeit vorgenommen, d.h. Kraftverdopplung. Die Impulsänderungen sind aber auch doppelt so groß, weil die Impulse doppelt so groß sind, d.h. nochmalige Kraftverdoppelung. Insgesamt eine Vervierfachung. • Mathematisch: Kraft ist proportional zu v2. Was passiert, wenn die Kugel die doppelte Masse hat? • Der Impuls und die Impulsänderung sind proportional zur Masse, d.h. die Kraft verdoppelt sich. • Mathematisch: Kraft ist proportional zu m. Herleitung der Zentripetalkraftformel Die Formel kann auch mit Schulmathematik formal hergeleitet werden. p1 = Impuls vor dem Stoß p2 = Impuls nach dem stoß Δp = Impulsänderung Nach Impulserhaltungssatz und Pythagoras gilt: (Δp)2 = 2*p12 oder Δp = 21/2*p1 Die Kraft bei einem Stoß ist F=Δp/t. Die Stoßzeit t ist sehr kurz und unbekannt. Die Berechnung ist damit nicht möglich. Wir fragen deshalb nach der mittleren Kraft auf einen Umlauf bezogen, d.h. nach der Umlenkkraft auf die ganze Umlaufzeit T bezogen und nicht auf die 4 kleinen Stoßzeiten. • mittlere Kraft F = 4*Δp/T • Umlaufzeit T = s/v = 4*21/2*r/v • Also F=4*Δp/T=4*21/2*m*v/4*21/2*r/v=m*v2/r Bei der Kreisbewegung ist die mittlere Kraft gleich der momentan wirkenden Kraft F= m*v2/r. Literatur: Isaac Newton: Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie.

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