Prof. Dr. M. Burger, Dr. H. Dirks
WS 15/16
Übungen zur Vorlesung Mathematische Modellierung
Übungsblatt 4, Abgabe bis Freitag, 27.11.2015, 10.00 Uhr
Lineare Stabilität für Reaktion-Diusion (4 Punkte)
Gegeben sei folgende partielle Dierentialgleichung
Aufgabe 1:
in Ω × (0, T ],
in ∂Ω × [0, T ].
ut = D∆u − f (u)
u = ū = const
Sei ū eine Nullstelle der Funktion f : R → R, dann ist u∞ = ū eine stationäre Lösung der
Gleichung.
In 1D kann man lineare Stabilitätsanalyse durch Sinus-Entwicklung der Form
u(x, t) = u∞ (x) = v(x, t) + O(2 ),
Ω = [0, 1], << 1,
mit
v(x, t) =
∞
X
αn (t) sin(nπx)
n=1
durchführen.
Leiten Sie gewöhnliche Dierentialgleichungen für die Koezienten αn her.
Das Problem ist linear stabil, wenn alle αn beschränkt sind. Zeigen Sie, dass für
f 0 (ū) ≥ 0 eine linear stabile Lösung vorliegt. Leiten Sie Bedingungen für lineare
Instabilität im Fall f 0 (ū) < 0 her.
Allen-Cahn Gleichung (4 Punkte)
Ein einfaches Modell für die Phasenseparation in Materialien ist die Allen-Cahn Gleichung
Aufgabe 2:
in Ω × (0, T ],
Γ = constauf ∂Ω × [0, T ],
ut = D∆u − u(1 − u)(1 − 2u)
Φ
wobei u ∈ [0, 1] den Anteil des ersten Materials in der Mischung bezeichnet.
(i) Führen Sie eine lineare Stabilitätsanalyse analog zur Aufgabe 1 durch.
(ii) Zeigen Sie, dass das Energiefunktional
D
E(u) =
2
Z
2
Z
Ω|∇u| +
F (u),
mit F'=f,
Ω
im Verlauf der Zeit abnimmt. Berechnen Sie F und interpretieren Sie die Ergebnisse
der Stabilitätsanalyse für kleines D bezüglich den Eigenschaften von F .
Überzeugungsarbeit auf dem Weihnachtsmarkt (4 Punkte)
Nach reichlichem Glühweingenuss haben sich auf dem Weihnachtsmarkt in Münster zwei
Spezies von Betrunkenen ausgebildet: die Verliebten und die Verzauberten. Angehörige
beider Spezies diundieren nun auf dem Weihnachtsmarkt. Treen zwei Verliebte zur
selben Zeit auf einen Verzauberten, so wird dieser auch ein Verliebter und umgekehrt.
Aufgabe 3:
(i) Stellen Sie das Reaktions-/Diusionsmodell auf.
(ii) Für die Anfangsverteilung beider Spezies gelte
u1 (x, 0) + u2 (x, 0) = 1, auf Ω × {0} .
Zeigen Sie, dass dies auf für jeden Zeitpunkt t > 0 zutrit.
(iii) Leiten Sie ein Modell für u1 − u2 her.
Aufgabe 4: (Programmieraufgabe, Abgabe: 27.11.2015, 4 Punkte )
Implementieren Sie im Intervall Ω = [0, 1] die Allen-Cahn Gleichung aus der Aufgabe 2
mit den folgenden Anfangs- und Randbedingungen
u = const + kleine Sinusstörung
u = const
in Ω × {t = 0} ,
auf ∂Ω × [0, T ],
wobei const eine Konstante ist. Vergleichen Sie die numerische Simulation mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätsanalyse in der Aufgabe 2 (i).
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