Netzausgleichung mit Datumsdefekt

Behebung des Datumsdefektes bei geodätischen Netzen oder bei allgemeinen
singulären Ausgleichungsproblemen
Gegeben sei die Funktionalmatrix A n,u (Dimension n,u) der Ausgleichung nach
vermittelnden Beobachtungen mit
l=A$x−v
und
N = AT $ P $ A
n = AT $ P $ l
Ein Datums- oder Rangdefekt liegt allgemein vor, wenn gilt:
d = u − rg(A) > 0
rg(N) = rg(A)
mit
d: Datums- oder Rangdefekt
In diesem Falle existiert die Inverse der Normalgleichungsmatrix N nicht, und der
Lösungsvektor x ist nicht berechenbar:
N = A T $ P $ A sin gulär!
Q = N −1 nicht invertierbar!
Der Datums- oder Rangdefekt
Bedingungsgleichungen in der Form
wird
muss
hier
durch
zusätzliche
BT $ x = b
rg(B) = d
behoben werden. Für die Bedingungsmatrix B u,d (Dimension u,d) wird lediglich
gefordert, dass sie aus d linear unabhängigen Zeilen besteht und keine linearen
Funktionen von
A n,u beinhalten dürfen. Für diese orthonormale
(u,d)-Eigenvektormatrix B u,d gilt allgemein:
A$B= 0
BT $ B = E
1
Die Lösung dieses Ausgleichungsproblems erfolgt entsprechend der Formeln zum
Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung, wobei hier nur Bedingungen zwischen
den Unbekannten vorliegen. Hiernach ergibt sich:
N B
x
n
$
−
T
B 0
k
b
=0
Der Lösungsvektor mit den zusätzlichen Korrelaten k berechnet sich zu:
N B
BT 0
x
k
=
−1
=
Q 11 Q 12
Q 21 Q 22
Q 11 Q 12
Q 21 Q 22
$
n
b
Die Inversion dieser erweiterten Normalgleichungsmatrix und die Berechnung des
Lösungsvektors lassen sich unter Berücksichtigung der orthogonalen Eigenschaften
von A und B wie folgt durchführen:
−1
Q 11 = (N + B $ B T ) − B $ B T = N +
Q 12 = Q T21 = B $ (B T $ B )
−1
Q 22 = 0
x = Q 11 $ n + Q 12 $ b
Die Matrix N + wird auch als Pseudoinverse der Ausgleichung bezeichnet.
Wählt man weiterhin den Absolutgliedvektor b der Bedingungsgleichungen zu null,
Sonderfall: b = 0
so vereinfacht sich die Berechnung des Lösungsvektors und dessen Kofaktormatrix
zu:
x = N+ $ n
Q xx = N +
Es lässt sich zeigen, dass hierfür gilt:
Èx È = x T $ x = min
sp(Q xx ) = min
2
Für ein reines Lagenetz mit dem Datumsdefekt 4 (2 Translationen x, y, 1 Rotation
und ein Maßstab) sind insgesamt 4 Bedingungsgleichungen aufzustellen, die den
o.a. Anforderungen genügen müssen. Wenn die Normalgleichungsmatrix so
organisiert wird, dass die Koordinatenunbekannten in der Reihenfolge x1, y1, x2, y2,
... xk, yk, k = Anzahl der Punkte, zuerst im Unbekanntenvektor und anschließend die
anderen
Unbekannten
der
Ausgleichung
(Orientierungsunbekannte,
Additionskonstanten, etc.) abgelegt wurden, lassen sich hier folgende
Bedingungsgleichungen und Bedingungsmatrix aufstellen:
Bedingungsgleichungen:
k
xi = 0
S
i=1
k
yi = 0
S
i=1
k
(x i $ y 0i − y i $ x 0i ) = 0
S
i=1
k
(x i $ x 0i + y i $ y 0i ) = 0
S
i=1
Bedingungsmatrix:
1
0
BT = 0
y1
x 01
0
1
−x 01
y 01
1
0
y 02
x 02
0
1
−x 02
y 02
...
...
...
...
1
0
y 0k
x 0k
0
1
−x 0k
y 0k
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
0
0
0
0
Diese Form der Bedingungsgleichungen entspricht einer Auffelderung der
ausgeglichenen Koordinaten auf die vorgegebenen Näherungskoordinaten mittels
einer 2D-Helmerttransformation. Sollen einige Punkte nicht in den
Bedingungsgleichungen berücksichtigt werden, so müssen die entsprechenden
Spalten in der Bedingungsmatrix zu null gesetzt werden, z.B. wenn der Punkt 2
ausgeschlossen werden soll, erhält die Matrix B folgende Form:
1
0
BT = 0
y1
x 01
0
1
−x 01
y 01
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
1
0
y 0k
x 0k
0
1
−x 0k
y 0k
0
0
0
0
0
0
0
0
...
...
...
...
Dieses entspricht einer Teilspurminimierung.
3
0
0
0
0
4

Download Report