sEK| | UNTERRTCHT
WITTMANN
GERALD
experimentieren
Mit Bruchzahlen
entwickeln
wechseln- Grundvorstellungen
Darstellungen
Bruchzahl als relativer Anteil soBruchrechnen- wozu braucht man das
5.-7.Schuljahr
wie im Anschlussdaran,um diesen
überhaupt?DieseFragestellenSchüleAnteil absolut angebenzu können,
rinnen und Schüler immer wieder, da
MitAufgaben,
denen
unterschiedvon
licheDarstellungslormen
die Von-D eutung der M ultip likat ion
sich ihnen der Sinn einer endlosenBezugrunde
liegen,
bilden
Bruchzahlen
mit einer Bruchzahl
handlung des Themengebietesnicht erundSchüler
adäquate
Schülerinnen
Bruchzahl als Resultat einer Divisischließt. Die Frage sollte aber auch für
ausundlernen,
Grundvorstellungen
diese
flexibel
einzusetzen.
jede Lehrkraft am Beginn der entspreals ein Bindeglied
on, insbesondere
zwischen gewöhnlichenBrüchen
chendenUnterrichtsplanungstehen.
S.21
Bruchzahl
alsTeileinesGanzen,
und Dezimalbrüchen
wie
Alltagsbezüge
Vordergründige
der
ARBEITSBLATT
2: Verfeinern
undVergröbern
Kuchenbackenoder Einkaufen helfen . Bruchzahl als Quasikardinalzahl
Einteilung,
S.22
(werden Brüche als neue Einheit
bei der Suche nach einer Antwort nicht
vergleichen,
3: BrÜche
S. 22
ARBEITSBTATT
aufgefasst, wie in der Rechnung
weiter. Um drei Achtel Liter Milch
4: Teilen
vonBruchzahlen,
S.23
ARBEITSBLATT
..1 Fünftel + 3 Fünftel = 4 Fünftel"
oder ein halbesPfund Zucker abzumesliegen
dicht,S.24
die Fünftel, kann man mit gleichnaARBEITSBLATT
5: DieBruchzahlen
sen,benötigt man keinen vollständigen
migen Brüchen wie mit natürlichen
Lehrgang zur Bruchrechnung, und die
Zahlen rechnen)
Division zweier Bruchzahlen tritt im
.
Bruchzahl
als Vergleichsoperator gen an: zuerstro*r und gleich anschlietäglichen Leben kaum auf.
(,,...
ßend noch 1fu. Auf mehrmaligesNachi s t ma l so großw i e ..." )
Die Bedeutung der Bruchzahlen
f
fragen beschreibt Patrick anschaulichliegt woanders:Sie bilden in Klasse5
prozesshaft,warum
kleiner ist
bis 7 eine wichtige Basis für die Defr6
als f. Die Grundvorstellung Bruchzahl
Vorstellungen
zimalbruchrechnungsowie das VervonSchülerinnen
undSchülernals Teil eines Ganz.enwird dabei deutständnisunter anderemvon Prozentanlich; jedoch kommt nicht zumAusdruck,
gaben,Verhältnissen,relativen HäufigHäufig weichen die individuellenVor- dassdieseTeile alle identisch (oder zukeiten und Wahrscheinlichkeiten(s. die
stellungenvon Brüchenund Bruchzah- mindestgleich groß) sein sollen.
Diskussionbei Padberg2002, S.5ff.).
David (Kasten 1, Mitte) antworDie Schülerinnenund Schüler benöti- len von den fachlich korrekten und für
gen ein grundlegendesund flexibel an- den weiteren Lernprozess adäquaten tet spontan ,,ein Viertel". Doch nach
wendbaresVerständnisdes Bruchzahl- Grundvorstellungenab. Aufgaben,de- der Bitte um eine Begründungtritt eiren Bearbeitungnur auf der Basis adä- ne Wendungein und er kommt imZubegriffs und der Rechenoperationenfür
quaterGrundvorstellungen
möglich ist, ge einer längerenArgumentationzur
Bruchzahlen.Dies kann nur über AktigebenAufschlussüber die Vorstellun- korrekten Lösung *. Hierbei entsteht
vitäten ausgebildetwerden, welche die
auch die Skizze: David schraffiertim
Entwicklung adäquaterVorstellungen gen der Schülerinnenund Schülern.Im
mittleren Kreisdiagramm zwei Viertel
Interviews
wurden
LerRahmen
von
unterstützen.
bis
8
beund im rechtenzwei Achtel. SeineArnende der Jahrgangsstufen
6
(s.
gumentationfußt, in Übereinstimmung
fragt Wittmann 2006):
mit der Skizze, auf dem Vergleichen
zum
Grundvorstellungen
+ Gib einen Bruch an, der kleiner
von Brüchen: In ihrem Kern wird heBruchzahlbegriff
alst ist.
-)t,)l
rausgearbel tet.dass
ä= i und ro= ä
) Wie viele Bruchzahlen lie(en zwider Teilsatz..dasGanist. Insbesondere
Mit Bruchzahlen lassen sich die fol,
I
,?^
ze ist ein Viertel" lässtsich als Verweis
gendenGrundvorstellungenverbinden
schen1 und 1!
(vgl. Malle 2004):
auf die schraffierteFläche im mittle. Bruchzahl als Teil eines Ganzen so- Einige Antworten aus der Hauptschule, ren Diagrammdeuten.David bringt die
(Klasse8) sind aufden folgendenSeiten Grundvorstellung Bruchzahl als Teil
wie damit zusammenhängendEreines Ganzen sowohl verbal als auch
in Kasten1 und Kasten2 dokumentiert.
vveiternals Verfeinerungund KürPatrick (Kasten 1, oben) gibt zur ikonisch zum Ausdruck. Wenig später
z.enals Vergröberungder Einteiersten Frage auf Anhieb zwei Lösun- reflektiert David, wiederum angestolung
mathematiklehren 142| 2oo7
17
SCHÜLERVORSTELLUNGEN
Vorstellungen
zur Anordnungder Brüche
+ Gib einenBruchan, der kleinerats ist.
]
Patrick im Interview
Patrick:EinenBruch,... der kleinerals ein Achtel
ist,ein Tausendstel?
lnteruiewer:schreib mar hin. Du sagst, ein Tausendster
ist kreinerars ein
Achtel?
Patrick:Und ein Hunderlstel.Ja, ich schreib,
ein Tausendstel.
lnteruiewer:Ein Hundertstelwäre eine zweite
Lösung, sagst du. Ja, und
warum ist ein Tausendsteljetzt kleinerals ein Achtel?
Patrick:weir es tausend reire von einem Ganzen
ist, und ein Achtersino
bloßacht Teilevon einemGanzen.
lnteruiewer:Ja, aber tausendTeilesind doch
mehr als acht Teile.
Patrick:Ja, das ist schwer,aber das sind hart
kreinerestücke, das sind hart,
wre wenn man ein Brattzerreißt,das sind tausend
kreineTeire,wenn man
ein Blattzerreißt,und wenn man tausendhat,
dann sind sie so klein,und
bei acht sind die halt größer.
Davidim Interview
David:DasistdanneinViertel.
lnteruiewer:
Warumist ein Viertel
kleineralseinAchtel?
David:Weil
ein,nein,halt.
Interuiewer:
Du darfstauchwasschreiben
oderzeichnen.
Davld:Nein,einVierteristviergrößer,
weireinvierter,sagenwirjetzt,dasist
ja vierviertel,dannist einvierterdas und
einAchterist dannso, arsohier,
und desharb
ist einsechzehnter
nochkreiner,
das ist dann,sagenwir,oa
istso einvierter,einAchter,arsodas,dasGanzeist
einviertel,dasistdann
einAchter,
unddannjetzt,nocheinmar
so,ja,dannistdannso einKreines
einSechzehntel
[...]
David:rchhättejetzteigentrich
arserstesein viertergesagt,weirdas hört
sichja kleineran, aberdannmussmanja, dannhabe
ich überlegtund
überlegt,
unddannist mirkrargeworden,
weireinAchteristja kleinerwre
einvierter,
unddesharb
istdanneinsechzehnter,
weirdasistja,wiesoilich
dasjetztsagen,ja, kleinerhalt.
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Jasminim lnterview
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Jasmin:lch habejetztden Bruchin Dezimarbruch
umgewandert
undjetzt
schaueich,wercher
Bruchkreiner
ist.EinFünfter
istjetztnuilKommazwan-
z t g. . .
lnteruiewer: Ja.
Jasmin:Da müssteeigentlichein Neuntelkleiner
sein.
lnteruiewer:Ja, das stimmt auch. warum ist denn
ein Neunterkreinerars
ein Achtel?
Jasmin:Arso,warum?Arsobei dem Bruchist es
so: Einharbsind fünfzig,
ein Drittersind dreiunddreißig,
ein viertersind fünfundzwanzig,
ein Fünfter
sind "' Umso größerder zährer,Nennerwird, um
so kreinerwird die Dezimalzahl.
ßen durch den Interviewer,seinenLö_
sungsprozess:
Im Zuge der Aufgaben_
bearbeitunggelingt es ihm, eine typi_
scheFehlvorstellungzu überwinden.
Jasmin (Kasten l, unten) geht völ_
lig andersvor als ihre beidenMitschü_
ler. Sie wandelt zunächst und dann
{
nochweitereBrüchein Dez'imalbrüche
um. (Die nicht den Konventionenent_
sprechendeSchreibweiseder periode
soll hier ebensowenig betrachtetwer_
den wie die Sprechweiseder Nachkom_
mastellen.)Dies passiertin einigenFäl_
len.im Kopf, so bei unOj, mci!ficner_
I
weise auch aufgrundvon äutomatisier_
ten Beziehungen,in anderenFällen, so
bei j und schriftlich. Anschließend
f,
vergleichtsie dieseDezimalzahlen,be_
vor sie zu dem richtigen Resultat ge_
langt. JasminsAnsatz - das Umwan_
deln in Dezimalbrüche- wirkt auf den
erstenBlick sehraufwändig,sogarum_
ständlich.Jedoch:Jasminsteigt mittels
der GrundvorstellungBruchzahl als
Quotient in einen wirklichen Lösunss_
-eiproz,ess
ein. Sie schafftsich selbst
ne Reihe strukturierterpäckchenaufea_
ben, derenVergleich und Interpretati-on
nicht nur zum Ergebnisführen,sondern
sogareine weiter führendeEinsicht er_
möglichen,auch wenn sie diesenoch
sehrumgangssprachlich
formuliert.
Patrick, David und Jasmin gelin_
gen erfolgreicheLösungenauf der Ba_
sis adäquater- wenn auchunterschied_
licher - Grundvorstellungen.Darüber
hinaus sammeln sie wichtige Erfah_
rungen,wenn sie z.B. eine anfäneliche
Fehlvorstellungals solche identi-fizieren oder eine aufgabenübergreifende,
allgemeineErkenntnisformulieren.
Grundvorstellungenkönnenjedoch
auch an Grenzen stoßen.Dies zeist
eine weitere Episodeaus dem [nteiview mir David (Kasten2). Während
der BearbeitungskizziertDavid zwei
Kreismodelle: Im linken Modell ist
der j repräsentierendeSektor deut_
lich zu klein; dasrechtestellt dar und
I
gibt die richtigen Größenverüälrnisse
annäherndwieder. Das Abzählen der
Sektorenim Kreismodelldeutetdarauf
hin, dass David ] als unmittelbaren
Nachfolger von f versteht; er äußert
dies wenig später-nochmals
explizit.
In den Modellen kommt jeweils
die GrundvorstellungBruchzahl als
18
mathematik lehren 142| 2OO7
SCHULERVORSTELLUNGEN
Teil eines Ganzen zum Ausdruck und
in der verbalenBeschreibung,die beide Modelle verbindet,die Grundvorstellung Bruchzahl als Quasikardinalzalz/.Insbesondereletztere ist hierbei
hinderlich,weshalbDavid auch an seine Grenzenstößt- für ein erfolgreiches
Lösen derAufgabemüsstean ihre Stelle die GrundvorstellungErweitern als
Verfeinernder Einteilung treten. Jasmin kann dieseAufgabeebenfallsnicht
lösen.Sie kann die VorstellungBruchzahl als Quasikardinalzahl in Bezug
auf I und I auch im weiteren Verlauf
des Interviewsnicht überwinden.
David und Jasmin verfügen offenbar über adäquateGrundvorstellungen,solangesie sichaufeineneinzigen
Bruch beziehen,nicht jedoch, wenn
ein Bruch gekürztoder erweitertwerden soll - wenn es also um eine Bruchzahl geht.
Vorstellungen
zur Dichtevon Bruchzahlen
)
WievieleBruchzahlen
liegenzwischen
J unOfZ
David
Also das ist dann ein Drittel,das sind zwei Drittel,
und das sind drei Drittel.und ich weiß nicht.was
dazwischenkommen soll. Das check' ich irgendwie nicht,weil das ja dann ist, nach ein Drittelja genau zwei Drittel,kommt und das check' ich nicht,
was dazwischenkommt.
oo
Jasmin
lch meine,dass da keineZahl dazwischenliegt,weil ein Drittelund zwei
Drittel,das ist ja plus eins,das nimmtman ja plus eins,und dann hat man
zwei,also liegtglaubeich keinerdazwischen.[...]
Weil nach ein Drittelkommt ja zwei Drittel.
Wenn solche Aufgaben jedoch insgeKürzen
undErweitern
samt zu ,,sprachlastig"sind, d. h. wenn
die Informationen ausschließlichoder Die statischeGrundvorstellung Bruchüberwiegend verbal repräsentiert werzahl als Teil eines Ganzensteht meist
Grundvorstellungen
den und auch auf dieser Repräsenta- am Beginn des Arbeitens mit Brüchen
imUnterrichl
entwickeln
tionsebeneverarbeitetwerden sollen, (Arbeitsblattl).Sie sollte schon bald
kann dies rasch an Grenzen stoßendurch die dynamische GrundvorstelSchülerinnenund Schüler müssendie
insbesonderein Lerngruppen mit eilung Erweitern als Verfeinerung und
ve rschiedenenG r und v o rs te l l u n g e n nem hohenAnteil nicht-muttersprach- Kürzen als Vergröberungder Einteilung
flexibel und situationsgerechteinset- licher Schülerinnenund Schüler.
angereichertwerden - stundenlanges
zen können.Anders als bei LösungsIn den folgendenAufgabensequen- Schraffierenvon Bruchteilen bringt keischematabesteht bei Grundvorstel- zen wird daher der Erwerb von Grundnen Lernzuwachs,sondernkann rasch
lungen keine Eins-zu-eins-Zuordnung vorstellungenin erster Linie auf han- zur Routinetätigkeit ausarten.
zwischen einer konkreten Aufgabe delnde (enaktive) oder bildhafte (ikoWährend sich die erste Teilaufgaund einer bestimmtenGrundvorstel- nische) Repräsentationengestützt.So be in fast jedem Schulbuchfindet, ist
lung. Grundvorstellungen
lassensich können die Schülerinnenund Schüler dies bei den zwei weiteren nicht mehr
auch nicht einfach auswendig lernen. zunächstprobierend-experimentell
vor- der Fall. Die BezeichnungenErweitern
Sie erwachsennur aus einer individugehen und konkrete Erfahrungen sam- tnd Kürzen müssenanfangsnoch nicht
ellen und aktiven Auseinandersetzung meln, die sie dann schrittweise reflekeingeführt werden, da sie eine Ablömit den neuen Bruchzahlenund ihren tieren und verallgemeinernkönnen.
sung des syntaktischenArbeitens eher
Eigenschaften.Es gibt viele Anregunbegünstigen; später kann diese Aufgagen zu Aufgabenformaten,die eine solDarstellungen abstrakter Sachverhalte be auch andersformuliert werden:
che Auseinandersetzung
anstoßen(vgl.
erweiternunsereDenkmöglichkeiten.
z.B. Prediger2004 und 2006). Meist
Durch Skizzen,Diagramme,aberauch .) a Gib für den geftirbten Teil der
werdenSituationengeschildertmit der
durchsymbolische
Darstellungen
komFlöche jeweils einen Bruch an.
Aufforderung.zu erklären,wie etwas
men wir auf Ideen,tastenwir uns im
b Welcher der Brüche lcisstsich
gerechnetwurde,wie in dem folgenden
Problemlöseprozeß
voran.Wir müssen
kürzen?Begründedies anhand
Beispiel (ausPrediger2006, S. 1l):
nicht allesim Kopf behalten,ein Teil
der Zeichnung.
unseres
Denkvorganges
wird,,ausgelac Erweitere die Brüchejeweils mit
) In einer Pizzeria teilen sich 5 Kingert".(Fischer/Malle
1985,S. 227)
2 und stelle dies in einer Zeichder 3 Pizzen. Kevin sagt, dann benung dar
kommt jeder t fizz". Martin wunEnaktive oder ikonische Repräsentadert sich: ,Aber wir teilen doch tionen erleichtern darüber hinaus auch Im Kreismodell wird - ein anfänglidurch Fünf, wieso bekommt dann die unterrichtliche Kommunikation: cher Vorteil - das Ganzedeutlich sichtnichtjeder !?"
Ideen können an konkreten Darstellun- bar. Recht bald sollten das RechteckWer hat Recht? Was ist der Unter- gen aufgezeigtund müssennicht aus- modell und das Streckenmodell hinschiedin den Denkweisen?
schließlichverbalformuliert werden.
zugefügt werden, da das Kreismodell
mathematiklehren 142| 2oo7
19
L,/otL6,t
siE0/6
{Ifrft{;ft*n,
die GrundvorstellungBruchzahl als
Vergleichsoperator
aDS.Sie hängt wiederum eng mit der Von-Deutungder
Multiplikation mit einer Bruchzahl zusammen,die hinter der Multiplikation
ttl
r.i
= stehr.
ä
Prinzipielle
Erweiterbarkeit
- dieBruchzahlen
liegen
dicht
o
o
für den späterenLernprozessmit Blick
auf Grundvorstellungenwie die VonDeutung der Multiplikation ntit einer
Brttchzahleine Sackgasse
bildet.
Auch das Geobrettbietet sich zur
Darstellungvon Brüchenim Sinne des
Rechteckmodellsan. Für diesenZweck
eignetsich vor allem das5x5-Geobrett,
dasdurch die Nägel in l6 Felderunterteilt wird. Das Ganzesollte durch einen großen Gummiring deutlich gekennzeichnet werden. (Legen zwei
oder drei Schülerinnenund Schülerihre Geobretterzusammen,lassensich
auchunechteBrüchedarstellen.)
Beim
Arbeiten mit dem Geobrettmüssendie
Schülerinnenund Schülernicht zeichnen,sondernkönnenihre Ideeneinfach
d ur c hS pannenei n e sG u mmi ri n g sa u s probieren(zum Bau und Einsatz des
Geobrettsvgl. Wittmann 2003).
Die Aufgabensequenzzum Geobrett beginntwieder mit der GrundvorstellungBruchzahl als Teil eines Ganz,enund regt dann das Erweitern als
Vetfeinerungund Kürzen als Vergröberung der Einteilung an (Arbeitsblatt
2).
)
Betrachtedie Brüche
i,*,*,
il 7 I t27 5 9 13 13
2 s ' -10,1s' 250,8' t2s, 200,300.
a Welcher der Brüche lcisstsich
aufden Nenner 100 enueitern?
b Welcher cler Brüche lcisstsiclt
auf den Nenner 1000 erweitern?
c Sucheweitere Brüche, die sich
auf den Nenner 100 bzw. 1000
erweiternlassen.
Findestdu eine Repel?
D i e S c hül eri nnenund S chül er können anhandder Aufgabe erkennen:Es
ist nur relevant,ob der Nennerein Teiler von 100 bzw. 1000ist. Der Zähler
hat auf die gewünschteErweiterbarkeit
keinenEinfluss.
Vergleichen
vonBrüchen
Das Vergleichenvon Brüchen können
Schülerinnenund Schülerzunächstrein
qualitativ durchführen,im Sinne von
,,...i s t g rößeral s ..." , ,,...i st gl ei ch..."
o d e r,,...i st kl ei neral s ..." . Lassensi ch
jedoch konkrete,quantitativeAussagen
Erweitern
aufeineZehnerpotenz
treffen, so stößt dies die Grundvorstellung Brucltzahl al s Vergleichsope
rctDas gezielteErweitern eines Bruchs tor an. In Arbeitsblalt
3 geschiehtdies
ist späterauch für die Umwandlungeimit den klassischenTangram-Figuren,
nesgewöhnlichen
Bruchsin einenDe- die den Schülernauch ausgeschnitten
zimalbruchvon Bedeutung.
Ist dasRe- vorliegen.Alternativ kann das für das
sultat ein endlicheroder ein periodi- GanzestehendeQuadratauch in einfascher Dezimalbruch?Den Schülerin- chere(2.B. ausschließlichrechteckiee)
nen und Schülernhilft bei der Antwort, Figuren zerlegt werden.
wenn sie erkennen,ob sich ein Bruch
Im Falle der Tangram-Figurenwird
so erweiternlässt,dasssein Nennereider schrittweiseVergleichausgehend
ne Zehnerpotenzist, und wann dies nur
von den größerenFiguren hin zu den
möglich ist. Eine Vorbereitunghierzu kleinerendurchgeführt.Die Aussage
ist folgendeAufgabensequenz:
,,(7) ist halb so groß wie (1)" drückt
20
Die GrundvorstellungBruchzahl als
Quasikardinalzahlträgt zwar als Einstieg in die Bruchrechnung,da auf ihrer Basis einfacheOperationen(Addition gleichnamigerBruchzahlen,Multiplikation einer Bruchzahl mit einer
natürlichenZahl) erklärt werden können. Für den weiterenVerlauf gilt es
jedoch, dieseVorstellungzu überwinden und ihr andereGrundvorstellungen
zur Seitezu stellen.BesondereBedeutung besitztin diesemZusammenhang
das Erweitern als Verfeinerung der
Einteilung, das - anders als das Kürzen - prinzipiell immer vorgenommen
werden kann. Ein wesentlicherUnterschiedbestehtdabei.ob Schülerinnen
und Schüler das Erweitern durchführen, wenn es explizit gefordert wird
(durch eine Aufgabenstellungoder ein
Lösungsverfahren),
oder ob sie das Erweitern auseigenerErkenntniszur Lösung einesProblemsvornehmen.Auf
Letztereszielt die Aufgabensequenz
in
Arbeitsblatt
4.
Die Einkleidung in einen Sachkontext (Krug mit Orangensaft)ist hierbei von zentralerBedeutung:Sie zeigt,
dass es eine Lösung gibt. Diese Lösung kann sogar zeichnerischermittelt werden.Das Findeneiner passenden B ruchzahlzu ei nem neu eingezeichnetenTeilstrichder Skalaauf dem
Krug ist letztlich eine Vorstufe zum
Finden einer Bruchzahlzwischenzwei
bekanntenBruchzahlenauf dem Zahlenstrahl.Diese Überlegunggeht später auch in den Nachweisder Dichtheit
der Bruchzahlenein.
AhnlicheAktivitätenlassensich anschließendauch unmittelbaram Zahlenstrahl durchführen(Arbeitsblatt
5).
Zunächstwird versucht,in einem vorgegebenenIntervall möglichst viele
Bruchzahlenzu finden.Die umgekehrte Überlegungbestehtdarin, zu einer
mathematiklehren 142| 2oo7
SEKI I UNTERRICHT
ten Form. Diese Schematisierungkann
später in eine in der Mathematik übliche Darstellungenmünden.
3. Grundvorstellungenfür Brucherwerben zahlenmüssen sich jedoch nicht unbeGrundvorstellungen
dingt auf enaktive oder ikonische Repräsentationenbeziehen. Sie können
folgende
sich
Abschließend lassen
vielmehr auch eine Verbindung zu anPrinzipien für das Erlernen von Grundderen symbolischenDarstellungenhervorstellungenfesthalten:
l. Die Grundvorstellungen werden stellen. Dahinter steht der Gedankeeihäufig enaktiv oder ikonisch repräsen- ner,,verallgemeinertenAnschauung":
tiert, sie umfassenauch Handlungen. Als anschaulich können auch abstrakVielfach ist nicht (mehr) entscheidend, te, mathematischeObjekte empfunden
ob das Material konkret vorliegt oder werden, etwa schon bekannte Zahlen,
Handlungen real durchgeführt werden, wenn sie vertrauter sind als die neu zu
es genügt auch die Darstellung in einer lernenden,wenn die Schülerinnen und
Schüler mit diesen Objekten mental
skizzenhaften, schematisiertenForm
operierenkönnen.
oder die Vorstellung davon.
4. Wesentlichist stetsdieVerbalisie2. Der Sachkontextals solcher ist
häufig nicht von Bedeutung, oft so- rung: Sie dient der Aufmerksamkeitsgar banal. Der Realitätsbezugist der fokussierungund hebt die entscheidenBegriffsbildung untergeordnet.Güns- den Aspekte heraus. Ohne Verbalisierung bleiben die Darstellungenmeist
tig ist es, wenn der Sachkontextvon
den Schülerinnen und Schülern zeich- folgenlos. Eine enaktive oder ikonische Repräsentationunterstützt umgenerisch leicht erfasst werden kann,
eventuell auch in einer schematisier- kehrt die Verbalisierung, sie hilft ins-
\ orsegebenenBruchzahl ein möglichst
kleinesIntervall zu finden.
und Schülern,
Schülerinnen
besondere
Defizitebesitzen.
die sprachliche
Literatur
Günther:Menschund
Fischer,Roland/Malle,
Mathematik.Eine Einführungin didaktischesDenkenund Handeln.- B.l.-WissenMannheim1985.
schaftsverlag,
zu BruchMalle,Günther:Grundvorstellungen
lehren123'2004'
zahlen.- In: mathematik
s. 4-8.
Padberg,Friedhelm:Didaktikder Bruchrechnung. GemeineBrücheund Dezimalbrüche. - Spektrum,Heidelberg(3. Auflage)
2002.
Prediger,Susanne:Brüchebei den Brüchen
- In: matheoder umschiffen?
- aufgreifen
S. 10-13.
matiklehren123,2OO4,
zum OperieSusanne:Vorstellungen
Prediger,
ren mit Brüchenentwickelnund erheben
Zu- Vorschläge
tür vorstellungsorientierte
Aufgaben'- In:
gängezu diagnostischen
PM48(5),S.8-12, Köln2006.
Wittmann.Gerald:EbeneGeometriemit Geolehren
- In:mathematik
brettundTangram.
'I19. 2003.s. 8- 12.
Wittmann, Gerald: Grundvorstellungenzu
Bruchzahlen- auch für leistungsschwache Schüler?Eine mehrperspekivische
Interviewstudiezu Lösungsprozessen,
und Beliefsin der Hauptschule.
Emotionen
didactica29(2)' 2006'
- ln: mathematica
s.49-73.
PassendeBrüchefinden
6
@
E
ul
G
N
N
'
AUFGABE
Teilder FlächejeweilseinenBruchan.
a Gibfür den gefärbten
N
o
ln welchender Fällefindestdu auch noch eine andere Lösung?Begründedies.
o
J
6
E
o
Teiledie Flächejeweilsin doppeltso vieleStücke.Zeichnedies ein.
Gib nun wiederumeinen Bruchfür den gefärbtenTeilder Flächean.
o
41
o
F
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Brücheam Geobrett
o
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F
uJ
E
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()
I
6
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3
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E
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a
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a
a
o
A UFG A BE
Ein Teilder Gesamtflächeist auf dem Geobrettmit einem Gummiringabgegrenzt.
a Gib jeweilsden Anteilder umspanntenFlächeals Bruchteilan.
b
In welchender Fällefindestdu auch noch eineandereLösung?Begründedies.
c Stelle
folgende
Anteite
anderGesamtftäche
dar:rt, t, 3,#, 3%
d Kannst
dudenAnteilvonf derGesamtfläche
abgrenzen?
e
F
a
Überlegedir weitereAufgaben.welche Anteilekannstdu leichtdarstellen?
WelcheAnteilekannstdu nicht darstellen?
Brüchemit Tangram
o
o
L
IJJ
tr
A U FGA B E
a Sortieredie siebenTangram-Teile
der Größenach.
Vergleiche
sie durch übereinanderlegen.
Begründedeine Reihenfolge.
b WelchenAnteilan der Gesamtflächehat jedes
der siebenTangram-Teile?
Beginnemit dem rechtwinkligen
Dreieck(1).
c
d
Wie kannstdu überprüfen,
ob die gefundenenAnteile
stimmen?
Stelle-folgende
Anteilemit HilfedeinerTangram-Teile
r^-.3536715
vqr.
4,9, 16'8,6,
16.
e WelcheAnteilekannstdu darstellen?
Versuchemöglichstvielezu finden.
ts
N
N
o
;
6
E
o
6
E
o
WelcheAnteilekannstdu mitSicherheit
nichtdarstellen?
Begründe
deineAntwort.
ArbeitemitdeinemPartner
zusammen.
lhrhabtnun
insgesamt
14 Tangram-Teile.
StelltfolgendeAnteiledar:t, t, 1rq,
f, i€, ;, 3
WelchederAnteilekannstdu aufverschiedene
Arten
darstellen?
Brüchehalbierenund dritteln
J
o
@
F
IJJ
t
A UF GA BE 1
Wenn der Krug bis zum oberstenStrich gefülltwird, fasst er genau 1 Liter.
sind in jedem Krug?
a Wie viel LiterOrangensaft
jeweilsdie Hälftedes Orangensafts.
Wie viel Litersind das?
Michael
trinken
b Christinaund
-[
T
iT
T
T
r
N
N
o
o
v
A U F GA BE 2
Wennder Krug bis zum oberstenStrichgefülltwird,fasster genaut] t-iter.
a Wie viel LiterOrangensaftsind jeweils im Krug?
b Christinaund Michaeltrinkenjeweilsdie Hälftedes Orangensafts'
Wie viel Litersind das?
c Nun kommt Steffihinzu:Jedes der Kindererhältnun ein Dritteldes Orangensafts
Wie viel Litersind das ieweils?
'
6
E
o
6
o
Bruchzahlenzwischenzwei gegebenenBruchzahlenfinden
o
o
=
'
lrJ
E
AUFGABE
zwischen
a GibeineBruchzahl
I undI an.
zwischen
b GibeineBruchzahl
I und] an.
c
zwischen
GibvierBruchzahlen
I und] an.
d
zwischen
GibzehnBruchzahlen
I undJ an.
e
f
zwischen
GibeineBruchzahl
ft unO$ an.
zwischen
GibvierBruchzahlen
ft unOf, an.
g
zwischen
GibzehnBruchzahlen
fi unOf, an.
von Bruchzahlen
,,Einsperren"
'
r
N
A U F GA BE
an, zwischendenen$ liegt.
a Gib zwei Bruchzahlen
b
an, zwischendenen] liegt.
Gib zweiBruchzahlen
c
Gib einensehr kleinenBereichan, in dem I tiegt.
N
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