Beanspruchungsart Zug/Druck (Indizes z/d) HOOKEsches Gesetz

Beanspruchungsart
Zug/Druck (Indizes z/d)
Voraussetzungen: Gültigkeit des Prinzips von de Saint Venant
Keine Volumenkräfte
Maßgebliche Schnittgröße: Längskraft
FL= F= konst .
Definition Dehnungen:
ε zz= uz,z=
∆lz
lz
ε xx= u x,x=
∆lx
lx
ε yy= uy ,y=
∆ly
ly
HOOKEsches Gesetz:
ε zz=
ε xx
ε yy
1
σzz + α ∆T
E
ν
= − σzz + α ∆T
E
ν
= − σzz + α ∆T
E
Äquivalenz (bzw. Gleichgewicht ) :
σzz A =
FL
Verzerrungen (Dehnungen):
ε=
zz
ε xx
ε yy
FL
+ α ∆T
EA
F
= −ν L + α ∆T
EA
F
= −ν L + α ∆T
EA
Spannung:
σzz = σ =
FL
A
EA
Dehnsteifigkeit
Beanspruchungsart
Torsion (Index t)
Voraussetzungen: Reine Torsion
Kreis(ring)querschnitt
Maßgebliche Schnittgröße: Torsionsmoment
M=
M
= konst .
t
Geometrie:
γ ϕz dz =
r dϕ
Definition Drillung:
=
ϑ
dϕ ϕ
=
dz l
γ ϕz =
ϑr
HOOKEsches Gesetz:
τϕz
γ ϕz = =
ϑr
G
Äquivalenz (bzw. Gleichgewicht ) :
Mt =
G
∫ r τϕz dA =
∫ r G ϑ r dA =ϑ
( A)
( A)
∫r
2
dA
( A)
Definition Polares Flächenträgheitsmoment:
Ip =
∫r
2
dA
( A)
Verzerrung (Drillung):
ϑ=
Mt
G Ip
GIp
Torsionssteifigkeit
Spannung:
τϕz = τt = τ =
Mt
r
Ip
Mt
τ max =max
Wp
Wp =
Ip
ra
Wp Polares Widerstandsmoment:
Beanspruchungsart
Gerade Biegung (Index b)
Voraussetzungen: Reine Biegung
Gültigkeit der Bernoulli-Hypothese
Maßgebliche Schnittgröße: Biegemoment
Mbx= M
= konst .
Geometrie:
ds0
ds
=
ρ
ρ+y
ds ρ + y
y
=
= 1+
ρ
ρ
ds0
ϕ
d=
ρ – Krümmungsradius
Dehnung
ε zz=
ds − ds0 ds
y
=
−=
1
ds0
ds0
ρ
vor Beanspruchung
bei Beanspruchung
HOOKEsches Gesetz:
σzz = E ε zz = E
y
ρ
(lineare Spannungverteilung)
Äquivalenz (bzw. Gleichgewicht ) :
=
FL
∫
σ zz=
dA
( A)
Mbx =
∫
( A)
∫
( A)
y σ zz dA =
y
E
E =
dA
ρ
ρ
E
ρ
∫
∫
y 2 dA =
( A)

y=
dA 0
( A)
σzz
I xx
y
( erfüllt, da y Schwerpunktsachse )
I xx =
∫y
2
dA
( A)
I xx
Spannung:
σzz = σb = σ =
Mbx
y
I xx
Mbx
σ max = max
Wbx
Wbx =
I xx
y max
Wbx
Widerstandsmoment gegenüber Biegung
um x-Achse
Verzerrung: Durchbiegung
z
x
Durchbiegung v(z)
2. Ableitung der Durchbiegung:
d 2uy d 2v
v ''
= =
dz 2
dz 2
ϕ≈
y, v
dv
=v ' Neigung
dz
Biegelinie
(elastische Linie)
aus Mathematik (Differenzialgeometrie):
1
=
ρ
v ''
(
− 1 + v '2
)
3
2
kleine Verformungen:
v l
v' 1
Mbx =
⇒
v '2 ≈ 0
⇒
1
=
−v ''
ρ
E I xx
= −E I xx v ''
ρ
EIxx
Biegesteifigkeit
Damit:
Mb( x )
M
M
v '' ==
uy ,zz − bx =
−
=
− b
E I xx
E I( xx )
EI
Anschließend:
• Zweimalige unbestimmte Integration (Trennung der Veränderlichen) 
• Bestimmung der beiden Integrationskonstanten pro Bereich durch Aussagen zu v‘
und/oder v an den Rändern (Randbedingungen)
s. www.georgi-dd.de/files/f4.pdf
Hinweis:
Bei n-fach statisch unbestimmten Systemen lassen sich zusätzlich zu den 2 m
(m – Anzahl der Bereiche) Randbedingungen weitere n Randbedingungen
formulieren.  Statisch unbestimmte Aufgaben sind lösbar!

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