Aufgabe 9 - WiSo

Aufgabe 9: Dynamisches Arbeitsangebot
Ein repräsentativer
Haushalt lebt unendlich lange und maximiert den LebenP∞ t
snutzen t=0 β u (Ct , Lt ) wobei Ct den Konsum, Lt die Freizeit und β ∈ (0, 1)
einen Diskontfaktor bezeichnen. Die Periodennutzenfunktion ist gegeben durch
u(Ct , Lt ) = ln Ct + γ ln Lt ,
wobei γ > 0 ein Parameter ist. Haushalte akkumulieren physisches Kapital Kt ,
wobei sich Kapital mit der konstanten Rate δ ∈ (0, 1) abschreibt. Haushalte arbeiten zum realen Lohnsatz wt und vermieten physisches Kapital zur Rate rt an
die Unternehmen. Außerdem erhalten die Haushalte die Unternehmensgewinne
πt . Ein Haushalt hat pro Periode ein Zeitbudget von 1, das für Arbeit Nt
und Freizeit Lt verwendet werden kann. Es herrscht vollkommener Wettbewerb
auf allen Güter- und Faktormärkten. Der Staat erhebt Kopfsteuern Tt zur Finanzierung der Staatsausgaben gt .
(a) Leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung des Haushaltsproblems her.
Wir nehmen die Nutzenfunktion
u(Ct , Lt ) = ln Ct + γ ln Lt ,
(1)
die Einnahmen
wt ∗ Nt + rt ∗ Kt + Πt
und Ausgaben
Ct + Kt + 1 − (1 − δ)Kt + Tt
ergeben die Budgetrestriktion:
Ct + Kt + 1 − (1 − δ)Kt + Tt = wt ∗ Nt + rt ∗ Kt + Πt
(2)
Umgestellt ergibt sich aus (1) und (2) das Lagrange-Maximierungsproblem der
Haushalte:
∞
∞
X
X
t
β t (wt ∗Nt +rt ∗Kt +Πt −Ct −Kt + 1+(1−δ)Kt −Tt )
L=
β ln Ct +γ ln Lt −
t=0
t=0
Die FOC lauten dann:
1
∂L
= β t + β t λt = 0
∂Ct
Ct
1
λt =
Ct
∂L
= β t (−λt + βλt+1 (1 − δ + rt+1 )) = 0
∂Kt+1
λt = βλt+1 ((1 − δ + rt+1 )
∂L
= β t (−γ(1 − N t )−1 + λt wt ) = 0
∂Nt
γ(1 − N t )−1 = λt wt
λt =
γ(1 − N t )−1
wt
1
(3)
(4)
(5)
b) Leiten Sie aus den Bedingungen aus a) eine Bedingung für die intertemporale
Wahl des Arbeitsangebots her. Geben Sie eine ökonomische Intuition, warum die
Bedingung die hergeleitete Form hat.
Aus (4) und (5) ergibt sich
γ(1 − N t )−1
= βλt+1 ((1 − δ + rt+1 )
wt
(6)
wenn (5) gilt, gilt auch
λt+1 =
γ(1 − N t+1 )−1
wt+1
also wird aus (6):
γ(1 − N t )−1
γ(1 − N t+1 )−1
=β
(1 − δ + rt+1 )
wt
wt+1
daraus ergibt sich dann eine intertemporale Wahl des Arbeitsangebots:
wt
(1 − N t+1 )
(1 − δ + rt+1 )
=β
t
1−N
wt+1
(7)
c) Verwenden Sie die hergeleitete Bedingung für die intertemporale Wahl des Arbeitsangebots und betrachten Sie eine Situation mit konstantem Zinssatz
r = β −1 − 1 + δ. Der Lohn sei konstant auf dem Niveau w. Wie reagiert das
Arbeitsangebot, wenn in Periode t der Reallohn wt einmalig um X% steigt und
anschließend wieder das Niveau w annimmt? Vergleichen Sie Nt mit Nt+1 und
erklären Sie das Ergebnis.
Aus (7) und dem vorgegebenen Zinssatz r ziehen wir
wt
(1 − N t+1 )
=β
(1 − δ + β −1 − 1 + δ)
t
1−N
wt+1
(1 − N t+1 )
wt
=
t
1−N
wt+1
(8)
In der Ausgangssituation gilt ein intertemporales Angebot von 1, da die Löhne
gleich bleiben, w = wt = wt+1 .
Wenn wt 6= wt+1 wird
wt +X%
wt+1
>1
Damit (8) weiterhin gilt, wird Nt größer, das Arbeitsangebot heute steigt, der
Nenner wird kleiner und der gesamte Bruch größer.
Der Substitutionseffekt überwiegt den Einkommenseffekt (intertemporal).
Intuition: Die Freizeit in der Zukunft ist aufgrund der niedrigeren Löhne billiger
als heute, also weite ich mein Arbeitsangebot heute aus und konsumiere Freizeit
in der Zukunft!
2
d) Betrachten Sie dasselbe Szenario wie in c), aber unterstellen Sie nun, dass sich
alle Löhne dauerhaft um X% erhöhen. Wie reagiert das Arbeitsangebot? Geben
Sie eine ökonomische Intuition für die Unterschiede zwischen den Szenarien c)
und d).
– wenn sich sowohl wt als auch wt+1 um den gleichen Faktor X erhöhen, ändert
t
Nichts und damit auch Nichts am intertemsich an dessen Verhältnis wwt+1
poralen Arbeitsangebot (8).
– Eine dauerhafte Lohnerhöhung hat keinen Einfluss auf mein intertemporales
Arbeitsangebot.
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