Leseprobe - Merkur Verlag Rinteln

Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
163
5 Beschreibende Statistik
5.1 Einführung
Inhalt und Aufgaben der Beschreibenden Statistik
Der Begriff Statistik wird häufig mit Schaubildern, Grafiken und Tabellen in Verbindung gebracht,
mit denen umfangreiche Datenmengen übersichtlich dargestellt werden.
Beispiele hierfür sind Statistiken über die
Entwicklung von Bevölkerungszahlen über
einen längeren Zeitraum, Wahlergebnisse,
Zusammensetzung
von
Benzinpreisen
(s. nebenstehende Graphik), Arbeitslosenstatistiken oder Beobachtungsreihen über
Wetterverhältnisse (Anzahl der Regentage,
Temperaturentwicklung).
Mehrwert-, Mineralöl- und Bevorratungssteuer
Ökosteuer
Wareneinstandspreis
Kosten/Invesonen/Gewinnanteil
4%
24%
59%
13%
Zusammensetzung des Benzinpreises
Die grafische Darstellung von Datenmengen ist aber nur eine Aufgabe der Beschreibenden
Statistik. Bevor solche Datenmengen grafisch dargestellt werden können, müssen sie vorher erst
durch Zählen, Befragen, Beobachten oder Messen erhoben werden. Um das erhobene
Datenmaterial besser beurteilen und vergleichen zu können, wird es oftmals noch durch
zusätzliche Kenngrößen zusammengefasst (verdichtet).
Merke:
Inhaltlich beschäftigt sich die Beschreibende Satistik mit umfangreichem Datenmaterial. Hierbei
fallen folgende Aufgaben an:
- Sammeln (erheben) der benötigten Daten durch Abzählen, Befragen, Beobachten oder
Messen;
- Ordnen und Zusammenfassen (klassifizieren) der erhobenen Daten;
- Darstellen der Daten mit geeigneten Hilfsmitteln (Tabellen oder Schaubilder);
- Beschreiben der Daten durch Kenngrößen.
Anhand eines einfachen Beispiels aus der Schulpraxis werden zunächst die Grundlagen zu den
Schritten eines statistischen Untersuchungsprozesses grob dargestellt.
In weiteren Abschnitten dieses Kapitels erfolgt eine eingehendere Darlegung der benötigten
Begriffe und Methoden, die die Arbeitsweisen der Beschreibenden Statistik verdeutlichen sollen.
164
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
Gesamtdarstellung einer statistischen Erhebung
Einführungsbeispiel:
Es ist eine Statistik zu den Fehlzeiten der Schülerinnen und Schüler einer Schulklasse
anzufertigen.
1. Schritt:
Formulierung einer Fragestellung
Jeder statistischen Erhebung
Fragestellung zugrunde.
liegt
eine
„Wie hoch sind die Fehlzeiten der einzelnen
Schülerinnen und Schüler innerhalb der Klasse
FOW 11a?“
2. Schritt:
Vorüberlegungen
a) Welche Schülerinnen und Schüler gehören
zur Klasse? Diese bilden die Grundgesamtheit der Untersuchung. Die Schülerinnen und Schüler sind die Elemente der
Grundgesamtheit.
Es gehören alle Schülerinnen und Schüler zur
Klasse, die zu einem bestimmten Zeitpunkt in
der Schülerkartei der Klasse FO W 11a geführt
werden.
b) Welche Eigenschaft soll untersucht werden?
Hier wird das zu untersuchende Merkmal
festgelegt.
Die Fehlzeiten werden an den Fehltagen und
Fehlstunden der Schülerinnen und Schüler
gemessen.
c) Wie kann die gewählte Eigenschaft erhoben
werden?
Dies geschieht durch Abzählen, Befragen,
Beobachten oder Messen.
Die Fehlzeiten werden entweder über die
Eintragungen im Klassenbuch oder über
Befragen der in der Klasse unterrichtenden
Lehrkräfte erhoben.
3. Schritt:
Erhebung der Daten
Die erhobenen Daten werden zunächst in
ungeordneter Form in der Reihenfolge ihrer
Erhebung gesammelt. Die daraus entstehende
Liste wird als Urliste bezeichnet. Bei den 30
Schüler/-innen der FOW 11a gab es im
vergangenen Halbjahr folgende Fehlzeite in
Tagen:
4. Schritt:
Urliste zu den Fehlzeiten in Tagen:
2 4 3 0 0 2 1 4 2 5 3 0 1 1 2 1
2 5 2 4 0 2 2 3 2 1 2 0 1 3
Aufbereitung und Darstellung der Daten
Die meist unübersichtliche Darstellung der
Urliste ist zunächst zu ordnen. Bei großen
Datenmengen geschieht dies über eine
Strichliste.
Danach werden den vorkommenden
Fehltagen ihre Häufigkeiten zugeordnet. So
entsteht eine Häufigkeitstabelle, die die
Häufigkeitsverteilung für das Merkmal
Fehltage in der Klasse FOW 11a angibt.
Strichliste und Häufigkeitstabelle:
Fehltage
0
1
2
3
4
5
Strichliste
|||||
||||||
||||||||||
||||
|||
||
Häufigkeit
5
6
10
4
3
2
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
165
Schließlich kann die Häufigkeitstabelle
durch ein Schaubild, zum Beispiel durch
ein Säulendiagramm, dargestellt und
veranschaulicht werden.
Häufigkeit
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
Anzahl der Fehltage
5. Schritt:
Beschreibung der Häufigkeitsverteilung durch Kenngrößen
Das Zahlenmaterial kann schließlich durch
Kenngrößen in knapper Form beschrieben
werden. Sie werden zu Vergleichszwecken
mit gleichartigen Grundgesamtheiten herangezogen, z. B. Vergleich der Fehlzeiten in den
Parallelklassen der FOW 11a.
Beispiele für Kenngrößen:
Niedrigster Wert
Höchster Wert
Häufigster Wert
Mittlerer Wert (Median)
Arithmetischer Mittelwert
Spannweite
0 Tage
5 Tage
2 Tage
2 Tage
2 Tage
5 Tage
Die Schrittfolge einer statistischen Erhebung kann wie folgt allgemein zusammengefasst werden:
Merke
Schritte einer statistischen Erhebung:
1. Formulierung einer Fragestellung
Mit der Fragestellung wird der Inhalt der Untersuchung herausgestellt.
2. Planung der Erhebung
Festlegung der Grundgesamtheit durch zeitliche, sachliche und örtliche Abgrenzung,
Vereinbarung des zu untersuchenden Merkmals,
Entscheidung, wie die Daten erhoben werden sollen.
3. Durchführung der Erhebung durch
Abzählen, Befragen, Beobachten, Messen.
4. Aufbereitung der Daten durch
Strichliste, Tabelle, Schaubild.
5. Kennzeichnung der Daten durch Kenngrößen.
Beispiele: niedrigster, höchster und häufigster Wert, Mittelwerte und Streuungsmaße.
• Aufgabe zur Festigung des erworbenen Wissens
Führen Sie dieselben Schritte einer statistischen Erhebung aus, mit der
a) die Alterszusammensetzung Ihrer Schulklasse,
b) der Durchgangsverkehr in einer Wohnstraße untersucht werden soll.
166
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
Grundgesamtheit, Merkmale und ihre Ausprägungen
Bei der Aufbereitung statistischer Daten sind zuvor bestimmte Grundbegriffe zu klären, damit
eindeutig festgelegt ist, was inhaltlich zu erarbeiten ist.
Grundgesamtheit
Die Grundgesamtheit gibt an, auf welchen Personenkreis oder welche Gegenstände (Objekte)
sich die statistische Untersuchung bezieht. Die einzelnen Objekte werden als Elemente der
Grundgesamtheit bezeichnet.
Beispiel:
Grundgesamtheit
Element der Grundgesamtheit
Schulklasse FOW 11a
Schüler der Schulklasse FOW 11a
Oftmals ist die Festlegung der Grundgesamtheit und ihrer Elemente noch zu ungenau. Deshalb
wird zusätzlich angegeben, in welchem Zeitraum bzw. zu welchem Zeitpunkt, an welchem Ort
und wodurch die Elemente untersucht werden. Dieses wird als zeitliche, örtliche und sachliche
Abgrenzung bezeichnet.
Beispiel:
Schulklasse FOW 11a
(= Grundgesamtheit)
zeitliche Abgrenzung:
sachliche Abgrenzung:
örtliche Abgrenzung:
z. B.: Stand 1. August 20..
z. B.: Schülerkartei der Klasse FOW 11a
z. B.: BBS der Stadt Fulda
Merkmal und Merkmalsausprägung
Mit dem Merkmal wird angegeben, welche Eigenschaft an den Elementen einer
Grundgesamtheit untersucht werden soll. Werden die Schülerinnen und Schüler einer
bestimmten Schulklasse zum Beispiel nach ihrem Alter (= Merkmal) befragt, so ergeben sich in
der Regel verschiedene Altersangaben (= Merkmalsausprägungen). Diese werden als
Ausprägungen des Merkmals „Alter“ bezeichnet. Es sind also die Antwortmöglichkeiten für ein
bestimmtes Merkmal. Wichtig ist, sich vor der Untersuchung Gedanken zu machen, welche
Merkmalsausprägungen infrage kommen können.
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
167
Beispiele:
Elemente der
Grundgesamtheit:
Untersuchtes Merkmal:
Merkmalsausprägungen:
Schüler der Schulklasse
Alter
17, 18, 19, … Jahre
Nationalität
Deutsch, türkisch, polnisch, …
Benutztes Verkehrsmittel
Zu Fuß, Fahrrad, Bus, Pkw, …
Familienstand
Ledig, verheiratet, geschieden, ...
Steuerklasse
I, II, III, IV, V, VI
Marke
VW, BMW, Fiat, Toyota, …
Farbe
Rot, schwarz, blau, …
Betriebsangehörige
Mietwagen
Merke
Vor jeder statistischen Erhebung sind neben der Grundgesamtheit und ihrer Elemente die zu
untersuchenden Merkmale und deren Ausprägungen festzulegen.
Merkmale sind Eigenschaften, die an den Elementen einer Grundgesamtheit untersucht werden.
Merkmalsausprägungen sind Werte, die ein bestimmtes Merkmal annehmen kann.
Arten von Merkmalen
Betrachtet man die Merkmalsausprägungen von Merkmalen, so lassen sich grob zwei Arten von
Merkmalen unterscheiden: Quantitative und qualitative Merkmale.
Quantitative Merkmale
Quantitative Merkmale liegen dann vor, wenn deren Ausprägungen durch Zählen, Messen,
Wiegen erfasst werden, wie zum Beispiel Gewicht, Längen, Alter. Neben der Festlegung einer
Rangordnung lassen sie noch Aussagen durch Differenz- und Verhältnisbildung ihrer
Ausprägungen zu.
Beispiel:
Grundgesamtheit:
Wohnungen in einem Mietshaus
Untersuchtes Merkmal: Wohnungsgröße in m2
Ergebnis:
Wohnung A ist 80 m2 groß; Wohnung B ist 120 m2 groß
Abgeleitete Aussagen über die Wohnungen A und B:
Rangordnung:
Wohnung A ist kleiner als Wohnung B.
Differenzbildung:
Wohnung B ist 40 m2 größer als Wohnung A.
Verhältnisbildung:
Wohnung B ist 1,5-mal so groß wie Wohnung A.
168
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
Innerhalb der quantitativen Merkmale werden noch diskrete und stetige Merkmale
unterschieden. Merkmalsausprägungen diskreter Merkmale können nur isolierte Zahlenwerte
annehmen, zum Beispiel Alter, Anzahl der Urlaubstage usw.
Ausprägungen stetiger Merkmale können auf einer Zahlenskala jeden beliebigen Zahlenwert
annehmen (Beispiele: Körpergewicht, Längenmaße, Säuregehalt einer Flüssigkeit). Somit weisen
stetige Merkmale theoretisch unendlich viele Ausprägungen auf.
Qualitative Merkmale
Qualitative Merkmale sind durch eine sie kennzeichnende Eigenschaft bestimmt, etwa Farben,
Religionszugehörigkeit, Berufsbezeichnungen. Eine Rangordnung ist in Ausnahmefällen durchaus
noch möglich (Beispiel: Schulnoten lassen sich noch in besser oder schlechter vergleichen), eine
Differenz- oder Verhältnisbildung ist jedoch meist nicht sinnvoll. So lassen zum Beispiel die
Merkmale Farben oder Religionszugehörigkeit keine Rangordnung zu.
Arten von Merkmalen
Quantitative Merkmale
Qualitative Merkmale
Durch Zählen, Messen, Wiegen erfassbar.
Nur über die Angabe kennzeichnender
Eigenschaften erfassbar.
diskret
stetig
= isoliert
= kontinuierlich
angeordnete
angeordnete
Zahlenwerte
Zahlenwerte
Anmerkung:
Für die symbolische Fassung von Merkmalsausprägungen wird in der Mathematik häufig ein
Platzhalter eingeführt, zum Beispiel x. Ordnet man die Ausprägungen der Reihe nach an, so
werden die Ausprägungen mit x1, x2, x3 … bezeichnet (z.B. bei Altersangaben x1=16, x2=17, x3=18, …
Eine beliebige Ausprägung i heißt dann xi.
Aufgaben zur Wiederholung
1. Geben Sie eine Schrittfolge für eine statistische Erhebung zum Freizeitverhalten (Hobbies) ihrer
Schulklasse an.
2. Gegenstand einer statistischen Untersuchung seien die
a) Wohnbevölkerung
b) Mitglieder eines Sportvereins
c) Wohnungen einer Stadt
d) verkaufte Zeitschriften eines Wochenendes
Geben Sie drei verschiedene Merkmale an, auf die sich die Untersuchung beziehen kann.
3. Geben Sie mögliche Ausprägungen der folgenden Merkmale an:
a) Geschlecht
d) Körpergewicht
g) Jahreszeit
b) Schulbildung
e) Wohnungsgröße
h) Lieblingssportart
c) Wochentag
f) Zahl der Kinder eines Haushalts
i) Augenzahl beim Würfel
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
169
4. Unterteilen Sie die folgenden Merkmale in quantitative bzw. in qualitative Merkmale.
Zahl der Verkehrsunfälle, Geschlecht, Jahreszeit, Studienwunsch, Durchschnittsnote, Dauer
eines Ferngesprächs, Alkoholgehalt im Blut, Jahresumsatz, Augenfarbe.
5. Geben Sie an, welche der folgenden quantitativen Merkmale diskret und welche stetig sind.
a) Zahl der Geschwindigkeitsübertretungen an einem Wochenende
b) Geschwindigkeit eines Aufschlags beim Tennis
c) Körpertemperatur
d) Anzahl der Spieler im Aufgebot einer Fußballmannschaft
5.2 Aufbereitung und Darstellung statistischer Daten
Ziel der Aufbereitung statistischer Daten ist es, das erhobene Zahlenmaterial zu ordnen, zusammenzufassen und tabellarisch oder grafisch darzustellen. Hierbei stellt sich zunächst die Frage,
wie häufig eine bestimmte Merkmalsausprägung in den Elementen der Grundgesamtheit
vorkommt. Dies führt auf die Begriffe der absoluten und relativen Häufigkeiten.
Absolute und relative Häufigkeiten
Werden die durch Auszählen ermittelten Häufigkeiten durch Zahlenwerte angegeben, so bezeichnet man diese als absolute Häufigkeiten h. Werden sie jeweils zur Gesamtheit aller Häufigkeiten
ins Verhältnis gesetzt, so erhält man die relativen Häufigkeiten r. Sie geben an, mit welchem
Anteil eine Ausprägung in der Grundgesamtheit enthalten ist. Oftmals werden sie auch in
Prozenten ausgedrückt. Die Zuordnung der absoluten und relativen Häufigkeiten zu den
Merkmalsausprägungen ergibt die Häufigkeitsverteilung des zu untersuchenden Merkmals.
Beispiel:
Die Zusammenstellung der Ergebnisse einer Klassenarbeit von den 25 Schülerinnen und Schülern
einer Schulklasse ergab folgende Urliste:
3
2
1
6
3
2
1
3
2
4
4
6
3
2
4
2
3
3
5
3
1
4
3
5
5
a) Fertigen Sie eine Strichliste an und ermitteln Sie die absoluten Häufigkeiten hi.
b) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten ri und stellen Sie das Ergebnis der Klassenarbeit in
einer Häufigkeitsverteilung tabellarisch dar.
Lösung:
a) Die vergebenen Noten (= Merkmalsausprägungen) werden untereinander
geschrieben. Die einzelnen Schülerergebnisse können dann in Form von
Strichen in einer Strichliste festgehalten werden. Aus der Anzahl der Striche erhält man die absoluten Häufigkeien h1, h2, …, h6. Die absolute Häufigkeit der Note xi wird mit hi bezeichnet.
Absolute Häufigkeiten
Note
xi
1
2
3
4
5
6
Summe
Strichliste
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
| | | | | |
| |
|
absolute
Häufigkeiten hi
3
5
8
4
3
2
25
170
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
b) Die relativen Häufigkeiten ri ergeben
sich aus der Formel
ri =
Relative Häufigkeiten:
Note
xi
1
2
3
4
5
6
Relative
Häufigkeiten ri
0,12
0,20
0,32
0,16
0,12
0,08
Summe
1.00
absolute Häufigekeit
Summe aller Häufigkeiten
in Kurzform:
ri = relative Häufigkeit der Note xi
r1 = 3 = 0,12; r2 = 5 = 0,20;
25
25
8
= 0,32; r4 = 4 = 0,16;
r3 =
25
25
3
= 0,12; r6 = 2 = 0,08
r5 =
25
25
Relative Häufigkeit
en (in %)
12
20
32
16
12
8
100
Summenhäufigkeiten
In der Häufigkeitsverteilung lässt sich nicht unmittelbar ablesen, wie viel Schüler eine Note besser
als 3 oder 4 geschrieben haben bzw. wie hoch die Durchfallquote der Arbeit ist. Hierfür sind die
Häufigkeiten der einzelnen Merkmalsausprägungen nacheinander aufzusummieren. So erhält
man die Tabelle der Summenhäufigkeiten.
Beispiel:
Die Ergebnisse der Abschlussklausur in Mathematik haben für eine Klasse der Fachoberschule das
folgende Ergebnis ergeben:
Note
Anzahl
1
3
2
4
3
6
4
5
5
2
6
0
a) Ermitteln Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten dieser Verteilung.
b) Beantworten Sie mithilfe der Tabelle der Summenhäufigkeiten die folgenden Fragen:
1. Wie viel Schüler haben eine Note besser als 3?
2. Wie viel Schüler haben die Klausur bestanden?
3. Wie hoch ist die Durchfallquote der Klausur?
Lösung:
a) Durch Aufsummieren ergeben sich die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten,
zum Beispiel so:
Note bis einschließlich 1: 3
Note bis einschließlich 2: 3 + 4 = 7
Note bis einschließlich 3: 3 + 4 + 6 = 13
usw. (siehe Tabelle 1).
Für die relativen Summenhäufigkeiten
werden zunächst die relativen Häufigkeiten
ermittelt, bevor diese aufsummiert werden
(siehe Tabelle 2).
Tabelle 1: Absolute Summenhäufigkeiten:
Note
Absolute
Absolute
Häufigkeit hi
Summenhäufigkeit
Hi
1
3
3
2
4
7
3
6
13
4
5
18
5
2
20
6
0
20
20
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
171
b) Zu 1.: Besser als 3 haben die Schüler mit
den Noten 1 und 2, das sind laut Tabelle 7
Schüler (relativer Anteil 0,35 oder 35 %).
Zu 2.: Alle Schüler bis einschließlich Note 4
haben bestanden, das sind 18 Schüler,
Anteil 0,9 oder 90 %.
Zu 3.: Die Durchfallquote ergibt sich aus
dem Ergebnis zu 2: 20 – 18 = 2 Schüler bzw.
10 %.
Tabelle 2: Relative Summenhäufigkeiten
Relative
Note
Relative
Summenhäufigkeit
Häufigkeit ri
Ri
1
0,15
0,15
2
0,20
0,35
3
0,30
0,65
4
0,25
0,90
5
0,10
1,00
6
0,00
1,00
1,00
Merke
Die absolute Häufigkeit h gibt an, wie viel Elemente einer Grundgesamtheit die Ausprägung eines
Merkmals aufweisen. Man erhält sie durch Abzählen; folglich ist sie immer eine natürliche Zahl.
Die relative Häufigkeit r ergibt sich aus dem Verhältnis aus absoluter Häufigkeit h und der
h
Gesamtzahl der Elemente n einer Grundgesamtheit, kurz: r = n .
Summenhäufigkeiten H ergeben sich durch Aufsummieren der absoluten bzw. relativen
Häufigkeiten, wobei die Merkmalsausprägungen zunächst noch in eine sinnvolle Reihenfolge
gebracht werden müssen.
• Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Der Altersaufbau einer Schulklasse soll statistisch erhoben werden. Hierzu liegt die folgende
Urliste vor. Ermitteln Sie zunächst mithilfe einer Strichliste die absoluten und dann die
relativen Häufigkeiten der vorkommenden Merkmalsausprägungen. Geben Sie die relativen
Häufigkeiten auch als Prozentanteile an.
16
20
17 16 20 18 19 18 19 17 17
17 18 16 18 16 17 18 19 17
2. a) Geben Sie die folgenden relativen Häufigkeiten in Prozent an:
0,03 0,4 0,23 0,56 0,001 0,72 0,435 0,75 0,98 0,187
b) Drücken Sie die folgenden in Prozent angegebenen relativen Häufigkeiten als Dezimalzahl
aus: 16 % 22,4 % 0,4 % 19,5 % 3 % 5,6 % 95 % 43,6% 3,2 % 7,5 %
3. Bestimmen Sie zu den folgenden Häufigkeitsverteilungen die absoluten und relativen
Summenhäufigkeiten.
a)
Ausprägungen xi
Absolute Häufigkeit hi
1
8
2
7
3
12
4
14
5
10
6
5
7
3
8
1
Ausprägungen xi
Absolute Häufigkeit hi
1
35
2
47
3
52
4
44
5
20
6
15
7
23
8
4
b)
172
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
Darstellung von Häufigkeitsverteilungen
Eine weitere Aufgabe bei der Aufbereitung statistischer Daten besteht in der grafischen
Darstellung von Häufigkeitsverteilungen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, von denen
drei hier vorgestellt werden. Welche Form der Darstellung gewählt wird, hängt von der Art der
vorliegenden Datenmenge ab.
Säulendiagramm
Säulendiagramme werden zur Darstellung von absoluten Häufigkeiten von Ausprägungen eines
bestimmten Merkmals eingesetzt. Meist lassen sich diese vorher größenmäßig anordnen.
Säulendiagramme werden auch als Histogramme bezeichnet.
Beispiel:
Die Zusammenstellung der Abschlussnoten eines Schuljahrgangs in Mathematik ergab folgendes
Ergebnis:
Note xi
Häufikgkeit hi
1
6
2
14
3
36
4
32
5
10
6
2
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung als Säulendiagramm dar.
Lösung:
Abbildung 1:
Häufigkeitstabelle
Abbildung 2:
Säulendiagramm
Eingabe in den TI-Nspire CAS:
Home – Lists & Spreadsheet – Eingabe der Spalten wie oben (Häufigkeitstabelle) – menu –
3: Daten – 5: Ergebnisdiagramm – x-Werte: Noten – Ergebnisliste: Häufigkeiten – Anzeige: neue
Seite.
• Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Zeichnen Sie für die folgenden Häufigkeitsverteilungen ein Säulendiagramm.
a)
xi
0
1
2
3
hi
800
410
750
150
4
100
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
173
b)
xi
hi
10
850
15
400
20
250
25
150
30
100
xi
ri
10
0,15
15
0,20
20
0,25
25
0,15
30
0,25
c)
2. Bei einer Qualitätskontrolle werden Verpackungsmengen von Drahtstiften kontrolliert. Hierzu
werden der Tagesproduktion 200 Packungen mit einer Sollstückzahl von je 50 Stück
entnommen und die tatsächliche Anzahl von Drahtstiften festgestellt. Erstellen Sie aus der
folgenden Häufigkeitsverteilung ein Säulendiagramm.
Anzahl Stifte xi
Häufigkeit hi
47
15
48
18
49
30
50
80
51
30
52
10
53
12
54
5
Streckendiagramm
Streckendiagramme (Streckenzüge) werden in der Regel zur Darstellung absoluter Häufigkeiten
herangezogen, die sich aus einer zeitlichen Entwicklung ergeben. Sie ermöglichen es aus dem
bisherigen Verlauf Aussagen über die zukünftige Entwicklung (Trend) der Daten abzuleiten.
Die aus der Häufigkeitstabelle erhaltenen Daten werden als Punkte in das Diagramm
übernommen. Werden die Punkte miteinander verbunden, so entsteht der zugehörige
Streckenzug.
Beispiel:
Ein Elektronikmarkt stellt die Umsatzentwicklung der DVD-Abteilung für die ersten 8 Jahre seit
der Betriebsgründung zusammen:
Jahr
Umsatz in Tsd. €
1
6
2
4,5
3
5
4
7,5
5
8
6
8
7
9,5
8
10
a) Stellen Sie die Umsatzentwicklung als Streckenzug dar.
b) Beurteilen Sie die Umsatzentwicklung anhand der Darstellung.
Lösung:
a)
b)
Im zweiten Jahr nach Geschäftsgründung
ging der Umsatz zurück. Danach entwickelte
er sich positiv weiter.
In den Jahren 5 und 6 blieb der Umsatz
konstant.
Umsatzentwicklung seit Betriebsgründung
174
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
• Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Der Kurs einer Aktie entwickelte sich in den letzten beiden Wochen an der Börse wie folgt:
Tag
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Kurs (€)
9,60 9,80 9,50 9,90 10,30 10,60
11,00 11,20 10,70 10,60
a) Stellen Sie die Kursentwicklung in Form eines Streckenzuges grafisch dar.
b) Nennen Sie Gründe für den Kursrückgang am Ende der zweiten Woche.
2. In der Medizin werden in Krankheitsfällen typische Verläufe von Fieberkurven unterschieden.
Die folgenden Tabellen zeigen zwei Verläufe, einmal bei undulierendem Fieber (Verlauf A), das
zum Beispiel bei Bakterieninfektionen auftritt, zum anderen das rezidivierende Fieber (Verlauf
B), dessen Temperaturverlauf zum Beispiel auf eine Malaria-Erkrankung schließen lässt.
Stellen Sie diese Verläufe grafisch dar und vergleichen Sie die erhaltenen Streckenzüge.
Messzeitpunkte
A: Temperatur (C0)
0
B: Temperatur (C )
0
37,0
37,0
1
37,4
37,5
2
39,9
39,0
3
36,6
40,0
4
37,0
39,5
5
37,1
40,0
6
37,0
37,0
7
37,6
37,0
8
40,0
36,6
9
37,0
37,0
10
36,0
40,0
3. Der Gasverbrauch eines Einfamilienhauses wird jeweils am 1. eines jeden Monats abgelesen
und tabellarisch festgehalten.
Monat Jan. Febr. März April
Verbrauch 500 420 340 230
in kwh
Mai Juni
170 80
Juli
40
Aug. Sept. Okt. Nov.
20
90 150 280
Dez.
440
a) Veranschaulichen Sie die Verbrauchsangaben anhand eines Streckenzuges.
b) Erstellen Sie die Tabelle der Summenhäufigkeiten und entwickeln Sie daraus ebenso einen
Streckenzug. Deuten Sie die unterschiedlichen Steigungen der einzelnen Teilabschnitte.
Kreisdiagramm
Kreisdiagramme werden zur Darstellung von Häufigkeiten qualitativer Merkmale herangezogen,
deren Ausprägungen nicht zahlenmäßig in eine Reihenfolge gebracht werden können. Meist
liegen die Daten in Form von relativen Häufigkeiten vor.
Beispiel:
Eine überregionale Befragung von Absolventen von Fachoberschulen nach dem angestrebten
Berufs- und Studienwunschverhalten ergab folgendes Ergebnis:
Anzahl xi
Häufikgkeit hi
(1)
Berufsausbildung
400
(2)
Studium
760
(3)
„etwas anderes“
440
a) Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten ri der Verteilung.
b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung als Kreisdiagramm dar.
(4) Keine
Angabe
150
(5)
„weiß nicht“
250
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
175
Lösung:
absolute Häufigkeit
Gesamtzahl der Befragten
150
250
r4 =
= 0,075; r5 =
= 0,125;
2000
2000
a) Berechnung der relativen Häufigkeiten nach der Formel ri =
r1 =
400
760
440
= 0,2; r2 =
= 0,38; r3 =
= 0,22;
2000
2000
2000
Tabelle der relativen Häufigkeiten:
Anzahl xi
Relative
Häufikgkeit ri
b)
(1)
Berufsausbildung
0,2
= 20 %
(2)
Studium
0,3
= 38 %
Abbildung 1:
(3)
„etwas anderes“
0,22
= 22 %
(4) Keine
Angabe
0,075
=7,5 %
(5)
„weiß nicht“
0,125
= 12,5 %
Abbildung 2:
Eingabe in den TI Nspire CAS:
Home – Lists & spreadsheets – Tabelle ausfüllen (s. Abb. 1) – home – data & statistics –
Achsenbeschriftung (Wunsch; Häufigkeit) – menu – 2: Plot Eigenschaften – C: kategorisches Y
erzwingen – menu – 1: Plot Typ – Tortendiagramm auswählen – mit rechter Maustaste 3: Alle
Bezeichnungen anzeigen wählen (s. Abb. 2).
Für die handschriftliche Berechnung der Kreisausschnitte sind die zugehörigen Winkel α nach der
Formel α = 3600 ⋅ relative Häufigkeit zu bestimmen. Es ergeben sich folgende Winkel:
Berufsausbildung:
Studium:
Etwas anderes:
Keine Angabe :
Weiß nicht:
Vollwinkel
3600 ⋅ 0,2 = 720
3600 ⋅ 0,38 = 136,80
3600 ⋅ 0,22 = 79,20
3600 ⋅ 0,075 = 270
3600 ⋅ 0,125 = 450
3600
176
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
• Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Der Neubau eines Eigenheimes im Gesamtwert von 360 000,00 € soll zu einem Drittel mit
Bauspargeldern, zur Hälfte mit einer Hypothek und der verbleibende Rest aus Eigenleistungen
finanziert werden. Welche Anteile am Bauwert entfallen auf die einzelnen Finanzierungsarten?
Stellen Sie das Finanzierungsmodell grafisch dar.
2. Für einen Wohnbezirk wurde eine statistische Erhebung über die Beschäftigungssituation der
Einwohnerinnen und Einwohner durchgeführt. Danach waren 30 % der Befragten Arbeiter,
35 % Angestellte, 15 % Beamte und 20 % Selbstständige. Stellen Sie die soziale Struktur dieses
Wohnbezirks in einem Kreisdiagramm dar.
3. Von den Gesamtkosten eines Pkw entfallen auf die einzelnen Kostenarten in einem Jahr:
Kraftstoffverbrauch 40 %; Wertverlust 25 %; Werkstatt 15 %; Steuern/Versicherungen 15 %
und Sonstiges 5 %. Stellen Sie die Aufteilung der Kosten als Kreisdiagramm dar.
4. Der Strompreis setzt sich aus den folgenden Kostenbestandteilen wie folgt zusammen:
Netzkosten 27 %; Konzessionsabgaben 6 %; KWK/EEG 5 %; Stromsteuer 8 %; Umsatzsteuer
16 %; Erzeugung/Vertrieb 38 %. Erstellen Sie ein Kreisdiagramm.
Darstellung von Klassenhäufigkeiten
Oftmals liegen Häufigkeiten in einer sehr großen Anzahl von Merkmalsausprägungen vor, z. B. bei
Geburtsgewichten von Babys, Wohnungsgrößen in m2-Angaben innerhalb eines Stadtbezirks usw.
Eine Darstellung in der Form von zum Beispiel Säulendiagrammen ist in solchen Fällen
unübersichtlich und praktisch nicht durchführbar.
Um eine anschauliche Darstellung zu erreichen, werden mehrere Merkmalsausprägungen zu
sogenannten Merkmalsklassen zusammengefasst. Diesen Klassen werden dann die
zusammengefassten Häufigkeiten zugeordnet. Sie werden als Klassenhäufigkeiten bezeichnet.
Beispiel:
Die Befragung von Betrieben innerhalb eines Landkreises nach der Anzahl der Beschäftigten
ergab folgendes Ergebnis:
Besch.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Anz.
2
4
4
5
4
3
4
4
6
Besch.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Anz.
8
4
7
5
4
2
3
6
3
Besch.
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Anz.
2
1
2
3
2
0
2
1
2
Besch.
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Anz.
2
0
3
1
0
0
3
2
1
Besch.
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Anz.
0
0
1
1
0
0
2
0
1
a) Fassen Sie die insgesamt 45 Merkmalsausprägungen (Anzahl der Beschäftigten) zu fünf Klassen mit
gleicher Klassenbreite zusammen und ermitteln Sie die in diese Klassen fallenden absoluten
Häufigkeiten.
b) Stellen Sie die Klassenhäufigkeiten in einem Säulendiagramm dar.
c) In welcher Klasse ergibt sich der häufigste Wert?
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
177
Lösung:
a) Tabelle der Klassenhäufigkeiten:
Beschäftigte
Anzahl
1-9
36
10 - 18
42
19 - 27
15
28 - 36
12
37 - 45
5
c) Es zeigt sich, dass Betriebe mit 10 bis 18 Beschäftigten am häufigsten vorkommen. Hier ist die
Säule am höchsten.
Die Klassenhäufigkeiten werden bei Verteilungen mit gleicher Klassenbreite durch die Höhe der
einzelnen Säulen wiedergegeben. Werden Klassen mit ungleicher Breite gewählt, so kann dies
optisch zu Verfälschungen führen, weil nicht mehr die Höhe, sondern die Fläche der betreffenden
Säule optisch im Vordergrund steht.
Dieses Problem wird gelöst, indem die Klassenhäufigkeiten durch die jeweiligen Klassenbreiten
geteilt werden (= normieren). Dadurch wird die Häufigkeit nicht mehr durch die Höhe, sondern
durch die Fläche der Säulen veranschaulicht.
Beispiel:
Für das obige Beispiel ist die folgende ungleiche Verteilung der Klassen gewählt.
Beschäftigte
1-6
7 - 10
11 - 15
16 - 23
24 - 45
a) Geben Sie die neuen Klassenhäufigkeiten an und zeigen Sie, dass sich dabei eine Gleichverteilung ergibt. Bestimmen Sie auch die Klassenbreiten.
b) Stellen Sie die Klassenhäufigkeiten in einem Säulendiagramm dar, das die unterschiedlichen
Klassenbreiten berücksichtigt. Normieren Sie dazu die Klassenhäufigkeiten.
Lösung:
a)
Beschäftigte
1-6
7 - 10
11 - 15
16 - 23
24 - 45
Häufigkeit
22
22
22
22
22
Klassenbreite
6
4
5
7
22
178
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
b) Normierte Häufigkeiten:
Klasse
1-6
Säulenhöhe
22
≈ 3,67
7 - 10
22
11 - 15
22
16 - 23
22
24 - 45
22
6
4
5
7
22
= 5,5
= 4,4
≈ 3,14
=1
Anmerkung: Aufgrund der gleichen Häufigkeiten in allen Klassen ergeben sich Rechtecke mit
gleich großem Flächeninhalt.
Merke:
Häufigkeitsverteilungen können dargestellt werden, zum Beispiel in Form von
Säulendiagrammen
Streckendiagrammen
Kreisdiagrammen.
Bearbeitung von Klassenhäufigkeiten:
Anwendung: Bei großer Anzahl von Merkmalsausprägungen
Darstellung: Säulendiagramme
Bei gleicher Klassenbreite wird die Klassenhäufigkeit durch die Säulenhöhe wiedergegeben.
Bei ungleicher Klassenbreite wird sie durch die Säulenfläche wiedergegeben.
Es gilt: Klassenhäufigkeit = Klassenbreite Rechteckhöhe.
• Aufgaben zur Festigung des erworbenen Wissens
1. Die folgende Tabelle gibt die Höhe der Monatsumsätze von Industriebetrieben in einer Region
wieder. Stellen Sie die Verteilung durch ein Säulendiagramm dar.
Monatsumsätze in €
Von … € bis unter … € (in Tsd. €)
0 – 200
200 – 500
500 – 1 000
1 000 – 2 000
2 000 – 5 000
Anzahl der Betriebe
5
12
30
50
30
2. In einer Schule werden alljährlich vom Zahnarzt Reihenuntersuchungen bei Schülerinnen und
Schülern durchgeführt und deren Zähne auf Erkrankungen (z. B. durch Karies) untersucht. Die
Anzahl der erkrankten Zähne wird jeweils in einer Strichliste festgehalten und anschließend in
eine Häufigkeitstabelle überführt. Diese brachte folgendes Ergebnis:
Zahl der erkrankten Zähne
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Absolute Häufigkeit
24
26
14
6
3
4
2
1
1
1
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
179
a) Fassen Sie diese Tabelle zu drei Klassen wie folgt zusammen:
Klasse A: ohne oder geringer Befall (0, 1 erkrankte Zähne)
Klasse B: mittlerer Befall (2-3 erkrankte Zähne)
Klasse C: starker Befall (4 und mehr erkrankte Zähne)
b) Berechnen Sie die relativen Klassenhäufigkeiten.
c) Stellen Sie die Verteilung grafisch dar.
Aufgaben zur Wiederholung
1. Eine Umfrage bei 240 Haushalten nach der Größe der Wohnungen ergab folgende Verteilung
der relativen Häufigkeiten:
Zahl der Zimmer
1
2
3
4
5
und
mehr
Anzahl der Haushalte
0,15
0,20
0,25
0,35
0,05
a) Geben Sie die absoluten Häufigkeiten dieser Verteilung an.
b) Fertigen Sie ein Säulendiagramm an.
2. Bei einer Umfrage über den durchschnittlichen Fernsehkonsum pro Tag ergaben sich unter den
insgesamt 700 befragten Haushalten die folgenden relativen Häufigkeiten:
Anzahl der Stunden
1
2
3
4
5
6 und mehr
Anzahl der Haushalte
0,09
0,14
0,25
0,22
?
0,10
a) Ermitteln Sie die absoluten Häufigkeiten und die absoluten Summenhäufigkeiten.
b) Wie viel Prozent der befragten Haushalte sehen mehr als 4 Stunden pro Tag?
c) Stellen Sie die absoluten Häufigkeiten als Streckendiagramm dar.
3. Erstellen Sie aus der Tabelle der relativen Summenhäufigkeiten die Häufigkeitsverteilung der
relativen Häufigkeiten:
Ausprägungen xi
Summenhäufigkeiten Hi
1
2
3
4
5
6
7
0,05 0,25 0,42 0,68 0,82 0,95 1,0
4. Begründen Sie, warum die folgende Aufstellung keine Tabelle von Summenhäufigkeiten sein
kann:
Ausprägung xi
Summenhäufigkeiten Hi
1
0,05
2
0,15
3
0,48
4
0,58
5
0,82
6
0,80
7
1,0
5. Für Fehlzeiten in der Schule wurden im vergangenen Halbjahr folgende Gründe angegeben:
Gründe
Relat. Häuf.
Krankheit
0,30
Verschlafen Busverspätung
0,25
0,30
Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung als Kreisdiagramm dar.
Unentschuldigt
0,10
Sonderurlaub
0,05
180
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
6. Anlässlich eines Bewerbungsverfahrens wurde ein Eignungstest durchgeführt. Seine Auswertung ergab folgende Häufigkeitsverteilung der Falschantworten:
Anzahl der Falschantworten xi
Absolute Häufigkeiten hi
0
6
1
8
2
10
3
14
4
6
5
2
6
3
7
1
a) Ermitteln Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten dieser Verteilung.
b) Wie viel Prozent der Bewerber hatten mehr als eine, aber weniger als 6 Falschantworten?
c) Stellen Sie die Verteilung in Form eines Säulendiagramms dar.
7. In einer Kleinstadt wurde die Größe von Mietwohnungen ermittelt (auf 10 m2 gerundet).
m2
Anzahl
50
300
60
200
70
500
80
300
90
400
100
100
120
200
a) Berechnen Sie die relativen Häufigkeiten der vorliegenden Verteilung.
b) Wie hoch sind die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten?
c) Wie viel Prozent der Wohnungen sind höchstens 70 m2 groß?
d) Stellen Sie die Verteilung anhand eines Säulendiagramms dar.
8. Dem Geschäftsbericht einer Textilgroßhandlung entnehmen wir die Umsatzzahlen der letzten
10 Jahre seit der Betriebsgründung. Diese sind mithilfe eines Streckendiagramms darzustellen.
Jahr
Umsatz in Tsd. €
1
95
2
120
3
135
4
155
5
140
6
150
7
132
8
148
9
162
10
170
9. Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung des Börsenkurses einer Automobil-Aktie in der
vergangenen Woche an. Stellen Sie diese mithilfe eines Streckendiagramms dar.
Tag
Kurs in €
Montag
23,60
Dienstag
24,20
Mittwoch
24,30
Donnerstag
25,20
Freitag
24,80
10. Der Umsatz eines Betriebes hat sich in den letzten 6 Jahren wie folgt entwickelt:
Jahr
Umsatz in Mio. €
1
5,1
2
7,2
3
8,3
4
12,4
5
19,8
6
38,6
Stellen Sie die Umsatzentwicklung durch ein Streckendiagramm dar. Wählen Sie dabei die
angegebenen Maßstäbe und beurteilen Sie die beiden Darstellungen.
a) x-Achse: 1 Jahr = 4 cm; y-Achse: 10 Mio. € = 1 cm
b) x-Achse: 1 Jahr = 1 cm; y-Achse: 5 Mio. € = 1 cm
11. Als Gründe für das Ausscheiden aus dem Berufsleben nannten die befragten Personen zu
45 % Erwerbsunfähigkeit,
14 % Arbeitslosigkeit,
28 % vorzeitigen Ruhestand und
8 % das Erreichen der regulären Altersgrenze.
Der Rest führte sonstige Gründe an. Fertigen Sie ein Kreisdiagramm an.
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
181
12. Bei einer Gemeinderatswahl ergab sich folgende Stimmenverteilung der angetretenen
Parteien: CDU 34 %, SPD 23 %, FDP 12,5 %, Grüne 10 %, Die Linke 8 %, Freie Wähler 6,5 %. Die
anderen Parteien (= Sonstige) erreichten nicht den Einzug in den Gemeinderat. Stellen Sie die
Stimmanteile in einem Kreisdiagramm dar.
13. Die Polizei hat in einer Wohnstraße Geschwindigkeitskontrollen bei insgesamt 500 Fahrzeugen
durchgeführt und dabei folgende Verteilung erhalten (vorgeschriebene Höchstgeschwindigkeit
30 km/h):
Geschwindigkeit
(in km/h)
von … km/h bis unter … km/h
30 – 35
35 – 40
40 – 45
45 – 50
50 – 55
55 – 60
60 und mehr
Absolute Häufigkeit
hi
42
68
75
102
32
5
0
a) Wie viel Fahrzeuge hielten die vorgeschriebene Geschwindigkeit ein?
b) Wie viel Prozent der Fahrzeuge blieben insgesamt ohne Beanstandung, wenn die Polizei erst
ab einer Geschwindigkeit von mehr als 35 km/h Bußgelder verhängte?
c) Erstellen Sie die Tabelle der relativen Summenhäufigkeiten und stellen Sie diese als
Streckendiagramm dar (Wählen Sie auf der x-Achse jeweils die Klassenmitte für die
Zuordnung der Häufigkeit Hi).
d) Lesen Sie anhand der Graphik ab, wie viel Prozent mit einem Fahrverbot rechnen müssen,
die ab einer Überschreitung von mehr als 20 km/h verhängt wird.
5.3 Beschreibung von Häufigkeitsverteilungen durch Kenngrößen
Häufigkeitsverteilungen in tabellarischer und grafischer Form sind oftmals sehr umfangreich und
daher unübersichtlich. Deshalb werden sie zusätzlich noch durch bestimmte Kenngrößen in
knapper Form gekennzeichnet. Auf diese Weise können sie leicht mit anderen Häufigkeitsverteilungen verglichen werden. In der Beschreibenden Statistik wird zwischen Lagemaßen und
Streuungsmaßen unterschieden.
Lagemaße
Mithilfe von Lagemaßen lassen sich Aussagen über das Zentrum einer Verteilung treffen. Sie
sollen die Häufigkeitsverteilung charakterisieren. In der Regel werden der häufigste Wert, der
Zentralwert (Median) und der Mittelwert (arithmetisches Mittel) unterschieden.
Häufigster Wert (Modus)
Der häufigste Wert (Modus) ist der Wert, der am häufigsten in der Verteilung vorkommt. Er gilt
als der „typische“ oder „normale“ Wert der Verteilung, zum Beispiel das typische Alter von
Schülern in einer Schulklasse oder die normale Körpergröße eines erwachsenen Mannes.
182
Kapitel 5: Beschreibende StaƟsƟk
Zentralwert (Median)
Die Berechnung des Zentralwertes (Median) setzt voraus, dass es sich um ein Merkmal handelt,
dessen Ausprägungen sich der Größe nach anordnen lassen (Alter, Gewicht, Körpergröße). Es ist
derjenige Wert x෤, der „in der Mitte“ der größenmäßig angeordneten Verteilung liegt. Er teilt die
Werte also so auf, dass möglichst genauso viele Werte kleiner bzw. größer als der Zentralwert
sind. Ist die Anzahl der Werte n ungerade, so ist der Zentralwert der mittlere Wert, ist die Anzahl
gerade, so ist der Zentralwert gewöhnlich der Mittelwert aus den beiden mittleren Werten.
Beispiel:
Fall 1: n ungerade: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13
Berechnung des Zentralwerts für n ungerade: 0,5 ⋅ (13+1) = 7
Fall 2: n gerade:
x෤= x7
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12
1
x෤= ሺx6 + x7)
2
Berechnung des Zentralwerts für n gerade: 0,5 ⋅ (6 + 7) = 6,5
Der Zentralwert (Median) ‫ܠ‬෤einer Häufigkeitsverteilung wird berechnet nach der Formel
1
x෤ = ⋅൅ͳ für ungerade n 2
1
x෤ = ⋅ሺͲǡͷ൅Ͳǡͷ൅ͳሻ für gerade n.
2
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel fasst alle vorliegenden Werte zu einem einzigen, dem Mittelwert,
zusammen. Er wird berechnet, indem man alle vorliegenden Werte addiert und anschließend
durch die Anzahl der Werte teilt. Da es von besonderer Bedeutung ist, wird die Formel noch
einmal angegeben.
Merke
Das arithmetische Mittel x wird nach folgenden Formeln berechnet:
bei absoluten Häufigkeiten:
bei relativen Häufigkeiten:
n
x ⋅ h + x ⋅ h + x ⋅ h +...+ xn ⋅ hn
x= 1 1 2 2 3 3
=
h1 + h2 + h3 +...+ hn
¦x ⋅ h
i
i =1
n
ത =
n
¦
i
hi
¦x ⋅r
i
i
i =1
i =1
x1, x2, x3,…, xn : Merkmalsausprägungen
absolute Häufigkeiten: h1, h2, h3,…, hn
relative Häufigkeiten: r1, r2, r3, …, rn
Alle drei Größen sollen anhand eines Beispiels vorgestellt werden.

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