¨Ubung gk ma 11 Tangenten einer Funktion - 1 Joliot

Übung
Tangenten einer Funktion - 1
gk ma 11
Joliot-Curie-Gymnasium Görlitz
Aufgabe 1 Ein Bestand werde im Intervall 0 ≤ x ≤ 5 durch die Funktion f mit f (x) = − 21 x · (x − 8)
angenähert.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion Gf im Koordinatensystem.
b) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall 0 ≤ x ≤ 5.
c) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x = 3 näherungsweise zeichnerisch.
d) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x = 3 rechnerisch.
e) Geben Sie an, an welcher Stelle x die momentane Änderungsrate gleich 2 beträgt.
f) Bestimmen Sie die Stelle der größten Änderungsrate. Geben Sie die Größe dieser Rate an.
Aufgabe 2 Ein Wachstumsprozess werde durch die Funktion f mit f (t) = 0, 5t2 − t + 1; t ≥ 0 beschrieben.
a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 5].
b) Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt t = 2.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt P (3|f (3)).
Aufgabe 3 Bestimmen Sie für die Funktion f mit f (x) = x2 − x, x ∈ R allgemein den Tangentenanstieg an
der Stelle x0 durch eine Grenzwertbetrachtung.
Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Tangentensteigung im Punkt P (1|f (1)) und im Punkt Q(−2|f (−2)) des
Graphen der Funktion f mit f (x) = 0, 25x.
Aufgabe 5 Zeigen Sie mithilfe der h-Methode allgemein: Die Tangentensteigung mt im Punkt P (x0 |f (x0 ))
des Graphen der Funktion f mit f (x) = 41 x berechnet sich mittels mt = 12 · x0 .
Aufgabe 6 Die Funktion f mit f (x) = x3 − 6x2 − 9x soll genauer untersucht werden.
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich Df der Funktion f .
b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f sowie deren Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs!
c) Bestimmen Sie den Anstieg der Tangenten an die Funktion f in den Punkten A(0| ) , B(1| ) , C(2| ) und
D(3| ).
d) Ermitteln Sie allgemein den Tangentenanstieg im Punkt P (x0 |f (x0 )) des Graphen von f .
e) Ermitteln Sie die Stellen, an denen der Graph der Funktion f eine waagrechte Tangente besitzt.
f) Treffen Sie Aussagen über das Monotonieverhalten der Funktion f mithilfe Ihrer Ergebnisses der vorherigen
Teilaufgaben.
Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und der Normalen im Punkt P (4|3) an den Graphen
4
der Funktion f mit f (x) = + 2.
x
Aufgabe 8 Die Funktion f mit f (x) = x3 + 23 x2 − 18x + 2 besitzt einen Hoch- und einen Tiefpunkt.
Bestimmen Sie den Abstand der Tangenten in diesen beiden Punkten.
Aufgabe 9 Durch den Punkt P (0|1) sollen Tangenten an die Funktion f mit f (x) = − 12 x2 + x verlaufen.
Bestimmen Sie die Berührungspunkte sowie die Gleichungen der Tangenten.
Aufgabe 10 Die Gerade t mit der Gleichung y = −3x + 13 ist Tangente an den Graphen der Funktion f
mit f (x) = x3 − 9x2 + 24x − 14.
a) Weisen Sie diese Behauptung rechnerisch nach.
b) Die Tangente t, die Normale an den Graphen von f im Berührungspunkt B von t und die x-Achse bilden
ein rechtwinkliges Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Aufgabe 11 Die Messung der Temperatur zwischen 7 und 18 Uhr kann durch die Funktion
f mit f (x) = −0, 04t3 + 1, 3t2 − 12, 3t + 38, 4 beschrieben werden. Hierbei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.
a) Bestimmen Sie die höchste und die niedrigste Temperatur im Verlauf der gesamten Messung.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Temperatur am stärksten ansteigt.
c)* Ermitteln Sie den Zeitpunkt der geringsten Temperatursteigerung.
Aufgabe 12 Die Funktion w mit w(x) = 0, 15x2 −1, 6x+3 beschreibt für die Zeit von 10 Tagen modellhaft den
Wasserzu- und -ablauf eines Stausees, wobei x die Zeit in Tagen und w(x) die ab- und zulaufende Wassermenge
in 1 Mio. m3 pro Tag ist.
a) Geben Sie an, zu welchen Zeiten Wasser in den Stausee zuläuft und wann Wasser aus dem Stausee abläuft.
b) Ermitteln Sie, wann sich der Wasserstand am stärksten verändert.
Aufgabe 13 Es hat geschneit. Die Schneehöhe beträgt zu Beginn des Wintertages bereits 10 cm. Die Schneefallrate i während dieses Tages wird näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit
i=
∆m
0, 5t2 − 15t + 212, 5
= f (t) =
,
∆t
t2 − 30t + 235
wobei t Zeit in Stunden seit Tagesbeginn und f (t) die gefallene Schneemenge in Zentimetern pro Stunde
angibt.
a) Skizzieren Sie den Graphen Gf in einem Koordinatensystem.
b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem es am stärksten schneit.
c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Schneefallrate am stärksten abnimmt.
LATEX
T.Müller
d) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem es aufhören würde zu schneien, bliebe die Abnahme der Schneefallrate
ab dem Zeitpunkt der stärksten Abnahme gleich.

Download Report