Mathematik für WiWi Quiz 4 Lösungen

Mathematik für WiWi
Quiz 4
Lösungen
17. Dezember 2015 • Bearbeitungszeit: 60 min • Hilfsmittel: keine • Viel Erfolg !
• Matrikel–Nr. :
Name:
Aufgabe 1 (2 Punkte) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : (−3, 3) −→ R , x 7−→ ln(20 − 12x + x3 )
im Intervall (−3, 3), und geben Sie jeweils an, welcher Typ von Extremum vorliegt.
Bei (x, y) =
(−2, 2 ln 6)
liegt ein lokales
Maximum
vor.
Bei (x, y) =
(2, 2 ln 2)
liegt ein lokales
Minimum
vor.
Aufgabe 2 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Schnittpunkte (x, y) der Graphen von
f (x) = 5x2 + 6x − 4
g(x) = 8 − x2
und
sowie den Inhalt A der zwischen den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.
(x1 , y1 ) =
(−2, 4)
,
(x2 , y2 ) =
,
(1, 7)
A =
27
Aufgabe 3 (2 Punkte) Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass die Funktion
f (x) = −2e x + ax + b,
x ∈ R,
bei (x, y) = (0, 3) ein lokales Extremum hat.
Z
Berechnen Sie für diese Werte a, b das Integral
1
f 0 (x) dx.
0
Z
a =
2
,
b =
5
1
,
f 0 (x) dx =
4 − 2e
0
Aufgabe 4 (2 Punkte) Bestimmen Sie für f (x) =
a) die waagrechte Asymptote von f :
b) den Wendepunkt von f :
y =
(x, y) =
3x3 − 2x − 1
, x ∈ R \ {0},
(2x)3
3
8
−1, 41
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Quiz 4
Lösungen
17. Dezember 2015 • Bearbeitungszeit: 60 min • Hilfsmittel: keine • Viel Erfolg !
• Matrikel–Nr. :
Name:
3x3 − 2x − 1
, x ∈ R \ {0},
(2x)3
Aufgabe 1 (2 Punkte) Bestimmen Sie für f (x) =
a) den Wendepunkt von f :
−1, 41
(x, y) =
b) die waagrechte Asymptote von f :
3
8
y =
Aufgabe 2 (2 Punkte) Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass die Funktion
f (x) = −3e x + ax + b,
x ∈ R,
bei (x, y) = (0, 2) ein lokales Extremum hat.
Z
Berechnen Sie für diese Werte a, b das Integral
1
f 0 (x) dx.
0
1
Z
a =
3
,
b =
5
f 0 (x) dx =
,
6 − 3e
0
Aufgabe 3 (2 Punkte) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : (−3, 3) −→ R , x 7−→ ln(20 + 12x − x3 )
im Intervall (−3, 3), und geben Sie jeweils an, welcher Typ von Extremum vorliegt.
Bei (x, y) =
(−2, 2 ln 2)
liegt ein lokales
Minimum
vor.
Bei (x, y) =
(2, 2 ln 6)
liegt ein lokales
Maximum
vor.
Aufgabe 4 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Schnittpunkte (x, y) der Graphen von
f (x) = 5x2 − 6x − 4
und
g(x) = 8 − x2
sowie den Inhalt A der zwischen den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.
(x1 , y1 ) =
(−1, 7)
,
(x2 , y2 ) =
(2, 4)
,
A =
27
Mathematik für WiWi
Quiz 4
Lösungen
17. Dezember 2015 • Bearbeitungszeit: 60 min • Hilfsmittel: keine • Viel Erfolg !
• Matrikel–Nr. :
Name:
Aufgabe 1 (2 Punkte) Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass die Funktion
f (x) = 3e x + ax + b,
x ∈ R,
bei (x, y) = (0, −2) ein lokales Extremum hat. Z
Berechnen Sie für diese Werte a, b das Integral
1
f 0 (x) dx.
0
1
Z
a =
−3
,
b =
f 0 (x) dx =
,
−5
3e − 6
0
Aufgabe 2 (2 Punkte) Bestimmen Sie für f (x) =
a) die waagrechte Asymptote von f :
b) den Wendepunkt von f :
5x3 + 2x − 1
, x ∈ R \ {0},
(2x)3
5
8
y =
1, 34
(x, y) =
Aufgabe 3 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Schnittpunkte (x, y) der Graphen von
f (x) = 2x2 − 6x − 3
und
g(x) = 6 − x2
sowie den Inhalt A der zwischen den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.
(x1 , y1 ) =
(−1, 5)
,
(x2 , y2 ) =
(3, −3)
,
A =
32
Aufgabe 4 (2 Punkte) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : (−2, 2) −→ R , x 7−→ ln(10 + 9x − 3x3 )
im Intervall (−2, 2), und geben Sie jeweils an, welcher Typ von Extremum vorliegt.
Bei (x, y) =
(−1, 2 ln 2)
liegt ein lokales
Minimum
vor.
Bei (x, y) =
(1, 4 ln 2)
liegt ein lokales
Maximum
vor.
Mathematik für WiWi
Quiz 4
Lösungen
17. Dezember 2015 • Bearbeitungszeit: 60 min • Hilfsmittel: keine • Viel Erfolg !
• Matrikel–Nr. :
Name:
Aufgabe 1 (2 Punkte) Berechnen Sie alle Schnittpunkte (x, y) der Graphen von
f (x) = 2x2 + 6x − 3
g(x) = 6 − x2
und
sowie den Inhalt A der zwischen den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche.
(−3, −3)
(x1 , y1 ) =
,
(x2 , y2 ) =
,
(1, 5)
A =
32
Aufgabe 2 (2 Punkte) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
f : (−2, 2) −→ R , x 7−→ ln(10 − 9x + 3x3 )
im Intervall (−2, 2), und geben Sie jeweils an, welcher Typ von Extremum vorliegt.
Bei (x, y) =
(−1, 4 ln 2)
liegt ein lokales
Maximum
vor.
Bei (x, y) =
(1, 2 ln 2)
liegt ein lokales
Minimum
vor.
Aufgabe 3 (2 Punkte) Bestimmen Sie für f (x) =
a) den Wendepunkt von f :
5x3 + 2x − 1
, x ∈ R \ {0},
(2x)3
1, 34
(x, y) =
b) die waagrechte Asymptote von f :
5
8
y =
Aufgabe 4 (2 Punkte) Bestimmen Sie a, b ∈ R so, dass die Funktion
f (x) = 2e x + ax + b,
x ∈ R,
bei (x, y) = (0, −3) ein lokales Extremum hat. Z
Berechnen Sie für diese Werte a, b das Integral
1
f 0 (x) dx.
0
Z
a =
−2
,
b =
−5
,
0
1
f 0 (x) dx =
2e − 4

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