Tensoren - Motivation und Einführung

Tensoren
Dyadisches Produkt zwischen zwei Vektoren
Zusammenhang Drehimpuls  Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers:


 Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit  liegen nicht zwingend in gleicher Richtung.

  
    
L   r  (  r )dm   r 2    r  (r  ) dm






 Möchte man den üblichen Zusammenhang L  J   herstellen


 modifizierte Beziehung: L  J  

 Drehimpulsvektor L hat Komponente parallel zu  und Komponente parallel zu r .


 Fallen die beiden Vektoren L und  bezüglich ihrer Richtung nicht mehr zusammen, muss J
einen Zusammenhang sowohl zwischen den Beträgen der Größen, als auch ihren Richtungen herstellen.
Diese Aufgabe erfüllt ein Tensor.
 Trägheits-Tensor J

(doppelte Unterstreichung).
Tensoren sind mathematische Operatoren mit bestimmten Eigenschaften.
 Besonders interessieren Tensoren vom Rang 2.
(Tensoren vom Rang 0 sind Skalare, Tensoren vom Rang 1 sind Vektoren.)
 Ein wesentliches Merkmal der Tensoren ist die Invarianz gegenüber einem Wechsel des
Koordinatensystems (auch Invarianz gegenüber Koordinatentransformation genannt).
 Bei Benutzung eines Koordinatensystems lassen sich Tensoren durch Matrizen beschreiben;
Vektoren beschreibt man mit einzeiligen oder einspaltigen Matrizen,
Tensoren vom Rang 2 durch Matrizen mit 3 Zeilen und 3 Spalten (3 x 3 Matrizen).
 Ist jede quadratische Matrix ein Tensor?
NEIN.
- Eine Matrix kann mehrdeutig interpretiert werden: als lineare Abbildung, linearer
Operator, Koeffzientenmatrix eines Gleichungssystems, etc.
- nicht jede quadratische Matrix transformiert sich wie ein Tensor


Betrachten wir das Integral für L :

 Ausklammern von  ist im ersten Summanden unter dem Integral problemlos möglich.
 Schwieriger ist das im 2. Summanden.

 Der Summand hat die Richtung von r .

 Klammert man  aus, muss gewährleistet sein, dass die erneute Multiplikation des


verbleibenden Restes mit  wieder die Richtung von r ergibt.
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
 


zweier 3-komponentiger Vektoren a  ( a1 , a 2 , a3 ) und b  (b1 , b2 , b3 ) .
 
Diese Forderung erfüllt das dyadische Produkt (Dyade) r  r oder allgemein a  b
 führt auf einen Tensor 2. Stufe.
 9 Komponenten (geordnete Produkte a i mit bk ), dargestellt als Matrix
 Multiplikationszeichen:
Stern  oder zwei gegeneinander gestellte runde Klammern )(
 der Tensor A des dyadischen Produkts lautet also:
 a1b1 a1b2
    
A  a )(b  a  b   a2b1 a2b 2
a b a b
3 2
 31
a1b3 

a2b3 
a3b3 
Komponenten: Matrix mit den Elementen Aik  ai bk .
Summen, Differenzen und Produkte von Tensoren

Mit einem „Tensor 2. Stufe“ lässt sich rechnen wie mit Matrizen – aber nicht jede quadratische
Matrix ist ein Tensor (s.o.).
Gewisse Parallelen gibt es zum Rechnen mit Vektoren  diese werden oft „Tensor 1. Stufe“
genannt.

Summe bzw. Differenz zweier Tensoren
 wird analog zu den Vektoren definiert
 Bildung der Summen bzw. Differenzen gleichgestellter Komponenten:
 a11 a12 a13   b11 b12 b13 

 

C  A  B   a21 a22 a23    b21 b22 b23 
a
 

 31 a32 a33   b31 b32 b33 
 a11  b11 a12  b12 a13  b13 


C   a21  b21 â22  b22 a23  b23 
a b

 31 31 a32  b32 a33  b33 
oder kürzer:
C  A B
mit
cik

cik  aik  bik
(i, k  1,2,3)
den Elementen der Matrix des Tensors C .
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
Multiplikation eines Tensors mit einem Skalar 
 jedes Element wird mit diesem Faktor multipliziert.
C  B


cik    bik
(i, k  1,2,3)
Multiplikation zweier zweistufiger Tensoren miteinander
 ähnlich wie bei Multiplikation zwischen zwei Vektoren:
existieren verschiedene Möglichkeiten – je nach Verwendungszweck
 beispielsweise folgende:
 Tensor mal Tensor = Skalar
 auch hier existieren verschiedene Möglichkeiten - etwa:
1. Multiplikation aller gleichgestellten Komponenten
mit nachfolgender Addition aller Produkte.
3
A  B   aik  bik  Skalar
i , k 1
 
vergleichbar mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren a  b 
3
a
i 1
i
 bi  Skalar
2. Multiplikation der Elemente in den Zeilen des ersten Tensors mit den
entsprechenden Elementen in den Spalten des zweiten Tensors aufaddieren:
3
A  B   aik  bki  Skalar
i , k 1
- wird z. B. bei der Berechnung der Energiedichte  elast des elastischen Feldes
unter Verwendung des Spannungstensors

und des Dehnungstensors

in der Kontinuumsmechanik benutzt.
 Tensor mal Tensor = Tensor (alle von zweiter Stufe)
Hier wird die gewöhnliche Matrixmultiplikation genutzt
- aus zwei 3 x 3-Matrizen wird wieder eine 3 x 3-Matrix
- die Zeilen der ersten Matrix werden mit den Spalten der zweiten Matrix multipliziert
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 Tensor mal Tensor (jeweils 2. Stufe) = Tensor 4. Stufe
Dieses Produkt hat Ähnlichkeit mit dem dyadischen Produkt zwischen zwei Vektoren:
es werden sämtliche Produkte aller Elemente gebildet.
Man kommt im Falle der Tensoren (Matrizen) zu einem Gebilde mit 9 x 9 = 81 = 34
Komponenten - Tensor 4. Stufe.
Wenn a ik die Elemente des ersten Tensors A und blm diejenigen von B sind,
dann ergibt sich:
C  A B

ciklm  aik  blm
Eine Darstellung in einer Matrix ist hierbei nicht mehr möglich.
Das sei ein erster Eindruck, der vielleicht Kreiselbewegungen und Lagerbelastungen bei
Drehbewegungen verständlich macht.
Interessant sind dafür auch Produkte von Tensoren mit Vektoren.

Produkte von Tensoren mit Vektoren
Produkt Vektors mal Tensor ist Produkt zweier Matrizen.
 Tensor kann als 3 x 3 – Matrix aufgefasst werden;
 Vektor  einspaltige oder einzeilige Matrix.
Warum Unterscheidung einzeilig / einspaltig?
 Nach Gesetzen der Matrix-Multiplikation gilt:
Ist A  (aij ) eine (m, n) - Matrix und B  (b jk ) eine (n, r ) - Matrix,
so ist A  B  (cik ) - eine (m, r ) - Matrix mit cik 
n
a
j 1
ij
 b jk für i  1...m , k  1...r
cik ist das Skalarprodukt der i -ten Zeile von A mit der k -ten Spalte von B .
Es muss also die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen.
A und B müssen zueinander passen !
 Multipliziert man den Tensor von links mit einem Vektor, kann dieser nur in
Zeilenform geschrieben werden
(Spaltenzahl des Vektors: 3 = Zeilenzahl der Tensor-Matrix: 3)
 Multipliziert man dagegen den Tensor von rechts mit einem Vektor, kann dieser
nur in Spaltenform geschrieben werden
(Spaltenzahl der Tensor-Matrix:3 = Zeilenzahl des Vektors:3)
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Wichtigste Produktform: Tensors mal Vektor = Vektor


c  Ab

Tensor  Vektor  Vektor


 entspricht einer Abbildung des Vektors b auf den Vektor c mittels Abbildungs-Matrix A .

 ist Multiplikation einer 3 x 3-Matrix mit Spaltenvektor ( b ).
a
  11

c  A  b   a 21
a
 31


c  Ab

a12
a 22
a 32
a13   b1   a11b1  a12 b2  a13b3   c1 
   
  
a 23    b2    a 21b1  a 22 b2  a 23b3    c 2 
a 33   b3   a 31b1  a 32 b2  a 33b3   c3 
3
ci   aik  bk
k 1
 Ergebnis: Spaltenvektor.


 unmittelbare Parallele zur Rotation eines starren Körpers: L  J  
Tensor
J
mal
Spaltenvektor
mal
x 
 
   y 
 
 z

ist
Spaltenvektor
ist
 Lx 
  
L   Ly 
 Lz 
 
Das beschriebene Produkt ist nicht kommutativ !
 


d  b  A  c  Ab
 Konsequenz, dass sich eine Multiplikation des Tensors mit einem Vektor
von rechts oder links unterscheiden !



 Multiplikation d  b  A  b als Zeilenvektor.
 a11 a12 a13 
 


d  b  A  b1 , b2 , b3    a 21 a 22 a 23 
a

 31 a 32 a 33 
 a11b1  a 21b2  a 31b3 , a12 b1  a 22 b2  a 32 b3 , a13b1  a 23b2  a 33b3 
 
d b  A
3
d k   bi  a ik

k 1


 zu erkennen: c und d sind voneinander verschieden!
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physikalische Beispiele:

Berechnung des Drehimpulses bei der Rotation eines starren Körpers genannt.

Maxwell-Gleichung


D    0  E


Beziehung zwischen elektrischer Feldstärke E und dielektrischer Verschiebung D ,
wenn das polarisierbare Medium anisotrop ist und die „Dielektrizitätskonstante“ als Tensor
geschrieben werden muss.
Bemerkung:
Wir haben gesehen, dass die uns interessierenden Tensoren 2. Stufe
neun Komponenten haben.
In speziellen Fällen kann sich deren Zahl jedoch reduzieren:

Im Falle antisymmetrischer Tensoren existieren nur drei von Null verschiedene Komponenten.
Wegen der Antisymmetriebedingung aik   aki werden die Hauptdiagonalelemente alle Null,
und die Außerdiagonalelemente sind paarweise entgegengesetzt gleich.

Symmetrische Tensoren besitzen sechs von Null verschiedene Komponenten. Wegen der Symmetriebedingung aik  aki sind die 3 Elemente in der Hauptdiagonalen und 3 außerhalb der
Hauptdiagonalen ungleich Null.

Besonders interessant und eng mit den symmetrischen Tensoren verknüpft sind die diagonalen
Tensoren;
bei denen die drei Komponenten in der Hauptdiagonalen ungleich Null sind.
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