Pole und Asymptoten - gilligan

Aufgabe 1:
3
Es sei f t ( x ) =
mit x ∈ D ft , t ∈ ℜ 0+ gegeben. Bestimme maximalen Definitionsbereich
x + 3x + t
und alle möglichen Asymptoten (senkrechte und waagrechte). Für welche Werte von t
existieren keine, eine oder zwei senkrechte Asymptoten?
2
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus ℜ entfernt
werden.
x 2 + 3x + t = 0
x 1,2 = − 32 ±
1
2
{
9 − 4t ⇒ D ft = ℜ / − 32 ±
1
2
9 − 4t
}
Ist 9 − 4t > 0 , also t <
9
4
, so existieren zwei Pole mit Vorzeichenwechsel
Aufgabe 2:
x −1
mit x ∈ D ft .
x 2 − tx + t
Ihr Schaubild sei K t . Gib die größtmögliche Definitionsmenge D ft und damit die Anzahl der
Zu jedem t ∈ ℜ sei eine Funktion ft gegeben durch f t ( x ) = 10
Pole in Abhängigkeit von t an.
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus ℜ entfernt
werden.
x 2 − tx + t = 0
t 2 − 4t ⇒ D ft = ℜ / ⎧⎨ 2t ± 21 t 2 − 4t ⎫⎬
⎩
⎭
Untersuchung auf möglich Pole:
Ist t 2 − 4t < 0 , also 0 < t < 4 , so existieren keine Pole
Ist t 2 − 4t = 0 , also t = 0 ∨ t = 4 , so existiert ein Pol ohne Vorzeichenwechsel
Ist t 2 − 4t > 0 , also t < 0 ∨ t > 4 , so existieren zwei Pole mit Vorzeichenwechsel
x 1,2 =
t
2
±
1
2
1
© j. gilg 04
gilligan
Ist 9 − 4t = 0 , also t = 94 , so existiert ein Pol ohne Vorzeichenwechsel
© 2004 Jürgen Gilg · Alle Rechte vorbehalten · Nur zur privaten Nutzung · Öffentliche und kommerzielle Verwendung und Verbreitung sowie Vervielfältigung nur nach Rücksprache mit dem Autor
Untersuchung auf Asymptoten:
Da der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad ist die x-Achse waagrechte Asymptote.
Untersuchung auf möglich Pole:
Ist 9 − 4t < 0 , also t > 94 , so existieren keine Pole
Aufgabe 3:
Für jedes t ∈ ℜ + ist durch f t ( x ) =
x 2 − 4t 2
x2 − t2
mit x ∈ D ft eine Funktion ft gegeben. Ihr Schaubild
sei K t .
Bestimme den umfassendsten Definitionsbereich D ft von der Funktion ft . Untersuche K t auf
Asymptoten.
Lösung:
Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs: Nennernullstellen müssen aus ℜ entfernt
werden.
x 2 − t 2 = 0 ⇒ x 1,2 = ± t ⇒ D ft = ℜ /{± t}
Für jedes a ∈ ℜ + ist durch fa ( x ) =
a ⋅ ex
a + ex
; x ∈ ℜ eine Funktion fa gegeben. Ihr Schaubild sei
K a . Bestimme die Asymptoten.
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
lim fa (x) = lim
x →+∞
a⋅e
x
x →+∞ a + e x
= lim
x →+∞
e
x
ex
⋅
a
=a
a +1
ex
N
lim fa (x) = lim
x →−∞
→
P0
x
a⋅ e
x →−∞ a +
x
e
N
=0
→0
→0
Aufgabe 5:
Für jedes t ∈ ℜ + ist eine Funktion ft gegeben durch f t ( x ) =
ex
ex − t
; x ∈ ℜ /{ln t}.
Untersuche das Schaubild K t von ft auf Asymptoten.
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
lim f t ( x ) = lim
x →+∞
x →+∞
e
x
ex − t
= lim
x →+∞
e
x
⋅
1
ex 1−
t
x
e
N
→0
=1
lim f t ( x ) = lim
x →−∞
x →−∞
→
P0
x
e
x
e
N −t
=0
→0
2
© j. gilg 04
gilligan
Aufgabe 4:
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Diese Nennernullstellen sind nicht gleichzeitig auch Zählernullstellen und sie treten jeweils
einfach auf, darum sind an diesen Stellen Pole mit Vorzeichenwechsel.
Asymptoten:
Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad: y = 1 ist waagrechte Asymptote.
Aufgabe 6
1
Für jedes t ∈ ℜ + ist eine Funktion f t gegeben durch f t ( x ) = t 2 ( x + )e −tx ; x ∈ ℜ .
t
Untersuche das Schaubild K t von ft auf Asymptoten.
Lösung:
Für die Bestimmung der Asymptoten gilt:
1 − tx
lim f t ( x ) = lim tN2 ( x + )e
N =0
x → +∞
x → +∞ >0 Nt →0
1 − tx
lim f t ( x ) = lim tN2 ( x + )e
N → −∞
x → −∞
x → −∞ >0 Nt →+∞
→+∞
3
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gilligan
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