Die HESSEsche Normalenform – Der Abstand eines Punktes von

Die HESSEsche Normalenform – Der Abstand eines Punktes von einer Ebene
Die Hessesche Normalenform benutzt zur Darstellung der Ebene E
– wenn der Ursprung O des Koordinatensystems nicht auf E liegt –
denjenigen der beiden Normaleneinheitsvektoren,
dessen an die Ebene gehefteter Repräsentant
 vom Ursprung O des Koordinatensystems weg zeigt, also
 in den Halbraum hinein, der den Ursprung nicht enthält.
r
r
Dieser „Hessevektor″ n schließt dann mit dem Ortsvektor a des
Aufpunkts A der Ebene einen Winkel zwischen 0° und 90° ein,
weshalb das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren positiv ist.
æn ö
r ç 1÷
Sei n = ç n2 ÷ ein Normalenvektor von E, über dessen Orientierung zum Ursprung O man zunächst nichts weiß.
çn ÷
è 3ø
r
ro

n
r r
n
=
n
r .
n
o
a
=
n
a
+
n
a
+
n
a
>
0
Falls
, zeigt
in den Halbraum, der den Ursprung O nicht enthält, und es ist H
1 1
2 2
3 3
n
n1 x1 + n2 x 2 + n3 x 3 - n1a1 + n2 a2 + n3 a3
ro r r
=0
Die Hessesche Normalenform HNF(E) lautet dann nH o (x - a) =
+ n12 + n22 + n32
r
ro
r r
n

Falls n o a = n1a1 + n2 a2 + n3 a3 < 0 , zeigt n in den Halbraum, der den Ursprung O enthält, und es ist nH = - r .
n
n1 x1 + n2 x 2 + n3 x 3 + n1a1 + n2 a2 + n3 a3
ro r r
=0
Die Hessesche Normalenform HNF(E) lautet dann nH o (x - a) =
- n12 + n22 + n32
Es ist üblich diese Fälle zusammenzufassen: HNF(E) :
r
r r
n x + n2 x 2 + n3 x 3 - (n1a1 + n2 a2 + n3 a3 )
nHo o (x - a) = 1 1
=0
± n12 + n22 + n32
Das Vorzeichen vor der Wurzel im Nenner ist so zu wählen, dass der Term
-(n1a1 + n2 a2 + n3 a3 )
± n12 + n22 + n32
negativ wird.
Mir der Hesseschen Normalenform einer Ebene E lässt sich sehr einfach der „orientierte Abstand″ d(P,E) eines
Punktes P von E bestimmen:
Man setzt dazu die Koordinaten ( p1, p2, p3 )
des Punktes P anstelle der Koordinaten ( x1, x2, x3 )
des allgemeinen Punktes X in die HNF(E) ein und
berechnet den Wert der linken Seite:
Der Betrag von d(P,E) gibt den (positiven) Abstand
des Punktes P von der Ebene an.
Das Vorzeichen von d(P,E) besagt:
 Falls d > 0, liegen Ursprung O und Punkt P
in verschiedenen Halbräumen bzgl. E
 Falls d = 0, liegt P in E
 Falls d < 0, liegen Ursprung O und Punkt P
im selben Halbraum bzgl. E
r
r r
n p + n2p2 + n3p3 - (n1a1 + n2 a2 + n3 a3 )
nHo o (p - a) = 1 1
= d(P,E)
± n12 + n22 + n32

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