Prof. Dr. Franz Kalhoff Marco Sobiech, M. Sc. WS 2015/2016 Abgabe: 17.12.2015 12:00 Uhr Algebra I Übungsblatt 8 Aufgabe 22. Beschreiben Sie alle Gruppen der Ordnung 39 bis auf Isomorphie. Nutzen Sie dazu die folgende Vorgehensweise: a) Zeigen Sie, dass es mindestens eine 3-Sylow-Untergruppe D und genau eine 13-Sylow-Untergruppe S gibt. Welche Gruppenstruktur besitzt D bzw. S? b) Gilt DS = SD? Wie viele Elemente besitzen S ∩ D bzw. SD ? Welche Gruppenstruktur ergibt sich für die Gruppe mit 39 Elementen? c) Zeigen Sie, dass D per Konjugation auf S operiert. Wie viele wesentlich verschiedene solche Operationen gibt es? d) Zeigen Sie dass der Typ der Operation die Gruppe bereits bis auf Isomorphie festlegt. Aufgabe 23. Konstruieren Sie als Untergruppe der symmetrischen Gruppe S13 eine Gruppe der Ordnung 39, die 13 SylowUntergruppen der Ordnung 3 besitzt. Aufgabe 24. Es sei p eine Primzahl. a) Zeigen Sie: Aut(Z p , +) ∼ = Z∗p . b) Bestimmen Sie alle Elemente der Ordnung 2 in Aut(Z p , +). c) Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle semidirekten Produkte Z p o Z2 . Aufgabe 25. Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung 2p, wobei p eine Primzahl ist. Man klassifiziere nun alle endlichen Gruppen der Ordnung kleiner als 12.
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