Weil-Reziprozität für Blätterungen durch Riemannsche Flächen Masterarbeit Betreuer: Prof. C. Deninger Fachbereich 10 Mathematik und Informatik Westfälische Wilhelms-Universität vorgelegt von Jonas Robin Stelzig Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 1 Das Hilbert-Symbol 4 1.1 Die lokale Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Globale Theorie - Reziprozität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Weil-Reziprozität 10 2.1 Lokale Symbole und Reziprozität . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Verbindung zur Hilbert-Reziprozität . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche Flächen 3.1 3.2 Reziprozität für die Beträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 Holomorphie des Weil-Produkts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Das Beilinson-Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.3 Beweis der Holomorphie 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Reziprozität für Blätterungen Ideen, Diskussion und Teilergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1 Grundlagen 4.2 Geblätterte dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Gründe für die Betrachtung geblätterter dynamischer Systeme . 36 4.4 GDS-Faserbündel über . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.5 Ein Vorschlag von Kapranov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.6 Reziprozität für Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.7 Die Beträge der lokalen Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 R/λZ 5 Fazit und Ausblick 27 46 5.1 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Anhang 48 6.1 Klassenkörper- und Kummertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2 Algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Literatur 51 I 0 Einleitung Die klassische Weil-Reziprozität ist eine Aussage über zwei meromorphe Funktionen f und g auf einer kompakten Riemannschen Fläche X, deren Null- und Polstellenmengen sich nicht überschneiden. Sie wird üblicherweise in der folgenden Form gegeben: 0.0.1 Satz [Griths, Harris, S. 242 f.] Für supp div f ∩ supp div g = ∅ gilt Y Y f ordx (g) (x) = g ordx (f ) (x). x∈X 1, Die Faktoren sind gleich und ansonsten ungleich 0 x∈X x weder Null- noch Polstelle von f oder g ist ∞. Da X kompakt ist, sind also beide Produkte falls oder endlich und wohldeniert. Die Bedingung an die disjunkten Null- und Polstellenmengen kann durch Umformulierung der Aussage fallengelassen werden. Dazu wird das lokale Symbol bei einem Punkt x ∈ X, f, g x ordx (g) ordx (f ) ordx (g) f = (−1) (x) g ordx (f ) betrachtet. Dieses liefert nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ein wohlde∗ niertes Element in = \{0}, auch wenn x Null- oder Polstelle von beiden C C Funktionen ist. Damit ist die obige Form der Weil-Reziprozität äquivalent zu Y f, g x =1 x∈X und tatsächlich gilt diese Gleichung für beliebige meromorphe Funktionen f, g .1 Es ist bekannt, dass Riemannsche Flächen als Spezialfall von algebraischen Kurven über einem, nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen, Körper k aufgefasst werden können. Auch in diesem allgemeineren Kontext gibt es den Begri der lokalen Symbole und eine Produktformel. Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist das Hilbert-Symbol, das als eine arithmetische Version der lokalen Symbole angesehen werden kann. In diesem Fall sind f und g Elemente eines globalen Körpers enthält, wobei n n-ten der die n-ten Einheitswurzeln eine natürliche Zahl teilerfremd zur Charakteristik von Für jede Primstelle in den K, p von K gibt es ein Hilbert-Symbol Einheitswurzeln annimmt und für festes f, g f,g p K µn ist. , welches Werte fast überall gleich 1 ist. Diese erfüllen ebenfalls ein Reziprozitätsgesetz Y p Primstelle von K f, g p = 1, 1 Auch in dieser Form ist die Weil-Reziprozität wohlbekannt und es gibt viele verschiedene Beweise, vergleiche z.B. [Khovanskii] für einen neueren Beweis, von dem auch Teile in dieser Arbeit verwendet werden. 1 welches für globale Funktionenkörper mit der Weil-Reziprozität übereinstimmt. In gewisser Weise ist die Theorie der Hilbert-Symbole jedoch reichhaltiger als die der lokalen Symbole und viele arithmetische Phänomene haben keine Entsprechung in der rigiden, komplex-analytischen Welt der Riemannschen Flächen. Die Hauptmotivation dieser Arbeit ist die Suche nach einem lokalen Symbol im Kontext der arithmetischen Topologie, welche, grob gesagt, Parallelen zwischen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten und Ganzheitsringen globaler Körper, bzw. zwischen Knoten und Primidealen untersucht. Genauer wird der Fall dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche mit einer Blätterung durch Riemannsche Flächen und einem die Blätterung respektierenden Fluss versehen sind, untersucht. Die vorliegende Arbeit ist wie folgt aufgebaut: Die ersten beiden Kapitel sind algebraischer Natur und bestehen im Wesentlichen aus einer Sammlung und Rekapitulation bekannter Tatsachen. Im ersten Kapitel wird die Theorie des Hilbert-Symbols skizziert. Dabei wird, J. Neukirch folgend, zunächst das einzelne Symbol für lokale Körper deniert und in einem zweiten Schritt ein globaler Körper zusammen mit allen Komplettierungen betrachtet. Zuletzt wird ein kleiner Einblick in die verschiedenen Anwendungsbereiche der Theorie gegeben. Thema des zweiten Kapitels sind die lokalen Symbole und die Weil-Reziprozität auf algebraischen Kurven. Dazu wird eine leichte Verallgemeinerung eines Beweises von J.P. Serre skizziert und der Zusammenhang zur Hilbert-Reziprozität erläutert. Die folgendenden beiden Kapitel sind analytischer geprägt. Erst im dritten Kapitel wird die Weil-Reziprozität für Riemannsche Flächen wiederaufgegrien und ein neuer Beweis mit analytischen Methoden vorgestellt, der einem Vorschlag von C. Deninger folgt. Dabei wird das von A. Khovanskii beschriebene Beilinson-Funktional eingeführt und verwendet. Dieses Kapitel ist inhaltlich unabhängig von den vorhergehenden und kann auch zuerst gelesen werden. Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit lokalen Symbolen für geblätterte dynamische Systeme. Nach einer Einführung der grundlegenden Begrie und einer Motivation der Betrachtung dieser Kategorie werden gewisse Faserbündel, die eine wichtige Klasse von Beispielen liefern, detailliert vorgestellt. Danach werden drei verschiedene Vorschläge für die Denition lokaler Symbole gegeben, gezeigt wie diese zusammenhängen und in jedem Fall eine Reziprozitätsformel bewiesen. Das fünfte und letzte Kapitel besteht aus einem Fazit und einer kurzen Diskussion einiger oener Fragen und weiterer Ideen. 2 Um den Umfang der Arbeit nicht zu groÿ werden zu lassen, wurden Kenntnisse der Zahlentheorie (insbesondere lokale Klassenkörpertheorie und Kummertheorie), der algebraischen Geometrie (Kurven und Funktionenkörper) und über Riemannsche Flächen vorausgesetzt. Einige der verwendeten Resultate sind im Anhang gesammelt. Abschlieÿend sind im Folgenden die wichtigsten in dieser Arbeit betrachteten Kategorien und ihre Zusammenhänge in einem Diagramm veranschaulicht. Dabei bedeutet Analogie und / Unterkategorie. {Zahlkörper} globale Funktionenkörper _ algebraische Kurven über einem Körper O geblätterte dynamische Systeme o ?_ GDS-Faserbündel über 3 R/λZ o ? ? _ {Riemannsche k Flächen} 1 Das Hilbert-Symbol Im diesem Abschnitt wird eine Einführung in die Theorie des Hilbert-Symbols für lokale und globale Körper gegeben. Kenntnisse der Hauptaussagen von Kummer- und Klassenkörpertheorie werden vorausgesetzt, die benötigten Sätze können bei Bedarf im Anhang nachgelesen werden. Die Darstellung orientiert sich stark an [Neukirch05, V. 3., VI. 8]. 1.1 Die lokale Theorie F ein lokaler Körper, also eine endliche Erweiterung n ∈ eine natürliche Zahl. Im gesamten Abschnitt sei von Qp oder Fq ((t)), und N Wir verwenden folgende Notationen: µn F ∗n v O p π κ = Ov /p die Gruppe der die Gruppe der n-ten n-ten Einheitswurzeln von ∗ Potenzen von F die diskrete Bewertung von der Bewertungsring von das maximale Ideal von F, F normalisiert durch F O v(F ∗ ) = Z ein uniformisierender Parameter der Restklassenkörper Falls wir Erweiterungen lokaler Körper betrachten und Verwechslungsgefahr besteht, nehmen wir den jeweiligen Körper als Index in die Notation mit auf (also z.B. vF ). Im Folgenden treen wir die zusätzliche Annahmen, dass wurzeln enthält und ∗ und µn ⊆ F ). n F teilerfremd zur Charakteristik von n-ten EinheitsF ist (char(F ) - n die 1.1.1 Beispiele: 1. 2. Qp und n = p − 1.2 F = Fq (t) und n = q − 1. F = char(F ) 6= 2, n = 2. √ n Sei jetzt E = F ( F ∗ ). Dank der Kummertheorie wissen wir, dass E die maximale abelsche Erweiterung von F vom Exponenten n ist und wir erhalten einen 3. F beliebig mit Isomorphismus F ∗ /F ∗ n −→ hom G(E|F ), µn √ ! σ na a 7−→ χa = σ 7→ √ . n a 2 Es gilt µp−1 ⊆ Qp nach Hensels Lemma. 4 Auÿerdem verrät die Klassenkörpertheorie, dass n G(E|F ) ∼ = F ∗ /NE|F (E ∗ ) ∼ = F ∗ /F ∗ gilt. 3 4 Zusammen erhalten wir eine bilineare Abbildung hom G(E|F ), µn × G(E|F ) −→ µn (χ, σ) 7−→ χ(σ) und damit eine nicht ausgeartete, bilineare Paarung: F ∗ /F ∗ n × F ∗ /F ∗ n → µn Diese wird (a, b) Hilbert-Symbol genannt und hier vorerst5 für a, b ∈ F ∗ einfach als geschrieben, 6 wobei wir die Reduktion modulo F ∗n implizit vorschalten. Um anzugeben, was genau das Hilbert-Symbol macht, muss man die einzelnen Identikationen, die zu seiner Denition führen, durchgehen und gelangt zu folgendem Ergebnis. 1.1.2 Proposition [Neukirch05, S. 350] Für a, b ∈ F ∗ ist das Hilbert-Symbol wie folgt gegeben: √ √ b, F ( n a)|F n a √ (a, b) = n a √ n Dabei bezeichnet ( · , F ( b)|F ) die lokale Artin-Abbildung (Normrestsymbol). Beweis: Nach Denition ist das Hilbert-Symbol gegeben durch √ n χa b, F ( F ∗ )|F √ √ b, F ( n F ∗ )|F n a √ = . n a Das Normrestsymbol ist aber verträglich mit Körpererweiterungen, in dem Sinne, dass √ √ n n b, F ( F ∗ )|F F ( √ a)|F . n a) = b, F ( 2 3 Für den zweiten Isomorphismus stellt man erstmal fest, dass F ∗n ⊆ NE|F (E ∗ ) ist (d.h. wir erhalten eine kanonische, surjektive Abbildung von rechts nach links). Andererseits sind aber wegen des ersten Isomorphismus und der Kummertheorie die Quotienten von beiden Gruppen gleichmächtig, also gilt sogar F ∗n ∗ = NE|F (E ). F∗ nach den (Vgl. [Neukirch05, S. 338]) 4 Die Reihenfolge der beiden Faktoren unterscheidet sich in unserer Darstellung von der von [Neukirch05]. Dadurch erhalten wir strenggenommen das Inverse des Hilbersymbols (vgl. auch Prop. 1.1.3). Der Vorteil ist, dass die explizite Formel aus Prop. 1.1.5 dadurch besser mit den später betrachteten übereinstimmt. 5 Später interessieren wir uns für globale Körper und deren Komplettierungen bezüglich unterschiedlicher Primstellen. Dann wird die jeweilige Stelle in die Notation mit aufgenommen. 6 Beachte, dass wir auch das Falls F n in der Notation unterdrücken, da wir n fest gewählt haben. genügend Einheitswurzeln enthält wären aber prinzipiell verschiedene Hilbert-Symbole möglich. Dabei entstehen jedoch nicht groÿartig verschiedene Phänomene: Für einen Teiler m|n ist das m-te Hilbert-Symbol gleich der n m -ten Potenz des 5 n-ten Hilbert-Symbols. Wir listen zunächst einige Eigenschaften des Hilbert-Symbols auf: 1.1.3 Proposition [Neukirch05, S. 351] Seien a, b, c ∈ F ∗ . Dann gilt: 1. (a, bc) = (a, b)(a, c) 2. (a, b) = 1 ⇐⇒ b 3. (a, b) = (b, a)−1 . 4. (a, 1 − a) = 1 5. Ist (a, b) = 1 und (ab, c) = (a, c)(b, c). ist eine Norm der Erweiterung und (a, −a) = 1 für alle b ∈ F ∗, für √ F ( n a)|F . a, 1 − a 6= 0. dann ist a ∈ F ∗n. Beweis: Aussage 1. ist die Bilinearität des Hilbert-Symbols und Aussage 5. die Tatsache, dass das Hilbert-Symbol nicht ausgeartet ist. Aussage 2. folgt aus der vorigen Prop. 1.1.2, denn der Kern des lokalen Normrestsymbols ist gerade die Normgruppe (vgl. Satz 6.1.3). Ist c ∈ F∗ x ∈ F , sodass xn − c 6= 0 n und β = c, so gilt und Einheitswurzel n x −c= n−1 Y und ζ ∈ µn eine primitive n-te x − ζ iβ . i=0 Sei [F (β) : F ] =: m d := und n . Die Galoisgruppe m G(F (β)|F ) ist zyklisch und besteht aus den Elementen σi : β 7−→ ζ di β Wir können also xn − c xn − c = d−1 Y i ∈ 0, ..., m − 1 wie folgt als Norm darstellen: NF (β)|F x − ζ i β = NF (β)|F i=0 d−1 Y x − ζ iβ ! i=0 Daraus folgt mit Aussage 2., dass (c, xn − c) = 1 gilt, woraus 4. mit c=a und x=0 bzw. x=1 folgt. Es bleibt Aussage 3. zu zeigen. Es gilt mit 4. (a, b)(b, a) = (a, −a)(a, b)(b, a)(b, −b) = (a, −ab)(b, −ab) = 1. 2 Das Hilbert-Symbol auszurechnen ist im Allgemeinen ziemlich kompliziert, da man das Normrestsymbol nur falls √ F ( n a)|F unverzweigt ist unproblematisch ausrechnen kann. Dafür wiederum gibt es ein einfaches Kriterium, falls die Charakteristik des Restklassenkörpers spricht man vom p = char κ zahmen Hilbert-Symbol. nicht n teilt. In letzterem Fall Für dieses gibt es eine schöne explizite Formel, die wir nach dem folgenden Lemma angeben: 6 1.1.4 Lemma [Neukirch05, S. 352] Für char(κ) = p - n • x ∈ F ∗ sind die folgenden Aussagen √ E := F ( n x)|F ist unverzweigt. und Die Erweiterung äquivalent: • x ∈ UF F ∗ n . Beweis: Falls die Erweiterung unverzweigt ist, ist πF auch ein uniformisierender Parar meter für OE und damit gilt für x = uπF mit u ∈ UF vE Also muss r Z 1 r √ n x = vE uπFr = ∈ . n n ein Vielfaches von n sein. √ x = uπ n , dann ist F ( n x) √ = F ( n u) und wir brauchen nur den Fall zu betrachten, dass x = u ∈ UF gilt. Dann ist E der Zerfällungskörper von X n −u und auch der Restklassenkörper κE von E enthält die n-ten Wurzeln von ū := u mod pE , da X n − u nach Voraussetzung separable Reduktion hat. Wir zeigen, dass die Trägheitsgruppe I(E|F ) = {σ ∈ G(E|F ) | σ ≡ id mod pE } trivial ist. Sei σ ein F -Automorphismus von E , der auf κE die Identität induziert. Wenden wir σ auf eine n-te Wurzel von u an, so stimmt das Bild modulo pE Ist andererseits mit dem Argument überein. Nach Hensels Lemma liftet aber jede Nullstelle von X n − ū eindeutig nach E und folglich muss auch dort schon Gleichheit gelten. 2 1.1.5 Proposition [Neukirch05, S. 353] Für a, b ∈ F ∗ und p = char(κ) - n gilt q−1 β n a (a, b) = ω (−1)αβ α . b Hierbei ist β = v(b). q die Mächtigkeit des Restklassenkörpers ω(x) der (x mod p). Darüber hinaus ist der Teichmüllercharakter von κ und Einheitswurzelanteil α = v(a), von x, d.h. Beweis: Sei q−1 β n a ha, bi := ω (−1)αβ α . b Da sowohl ( · , · ) als auch h · , · i multiplikativ in beiden Argumenten sind und bei Vertauschung der Argumente invertieren, reduziert sich die Behauptung auf einen der folgenden zwei Fälle: 1. a=b=π 2. a = u, b = π ∈ UF Für den ersten Fall bemerken wir, dass für hπ, πi) und (−π, π) = 1 = h−π, πi. (π, π) = (−π, π)(−1, π) gilt (und ebenso Tatsächlich genügt es also, die Behaup- tung im zweiten Fall zu überprüfen. 7 √ F ( n u)|F unverzweigt und damit ist √ √ √ n n u)|F √ q−1 u FrobF ( √ π, F ( n u)|F n u q−1 √ √ ≡ ω(u) n (a, b) = = = nu n n u u In diesem Fall ist Also gilt die Gleichheit auch ohne das mod µn p, mod p. da der Teichmüllercharakter auf 2 ein Inverses zur Quotientenabbildung ist. 1.1.6 Bemerkung: R und C lassen sich auf die gleiche Weise Hilbert-Symbole denieren. Für C ist das Symbol, unabhängig von n, immer konstant 1. Für R ist notwenAuch für digerweise n=1 oder n = 2. Im ersten Fall ist das Symbol ebenfalls trivial, im anderen Fall gilt da R R √ (b, ( a)| ) = 1 1.2 (a, b) = (−1) falls a>0 und sign(a)−1 sign(b)−1 2 2 = (−1)sign(b) , falls a < 1. Globale Theorie - Reziprozität Sei wieder der die n∈ n-ten N eine natürliche Zahl und K ein globaler Körper mit char(K) - n, Einheitswurzeln enthält. Dann gilt dasselbe auch für alle Loka- lisierungen und wir erhalten für jede Primstelle p ein Hilbert-Symbol · , · p . Diese hängen über die folgende Produktformel zusammen: 1.2.1 Satz [Neukirch05, S. 435] Hilbert-Reziprozität Für a, b ∈ K ∗ und sei P die Menge der Primstellen von Y a, b p∈P p K, dann gilt: =1 Beweis: Es ist " # " # Y a, b √ Y √ √ √ √ √ n n a= a = b, K( n a)|K n a = n a. b, Kp ( n a)|Kp p p∈P p∈P Dabei verwenden wir für die erste Gleichung die explizite Beschreibung des Hilbert-Symbols Prop. 1.1.2 sowie die Tatsache, dass alle Normrestsymbole auf √ n a durch Multiplikation mit Einheitswurzeln wirken. Die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit der lokalen Normrestsymbole mit dem globalen und die dritte 7 benutzt die Tatsache, dass das Normrestsymbol eines Hauptidels trivial ist. 1.2.2 Bemerkung: Alle Produkte im obigen Beweis sind endlich, denn nur für √ n (b, Kp ( a)|Kp ) bzw. a,b p p | nb∞ 2 können nichttrivial sein (und das ist nur für endlich viele p 8 der Fall). 7 Die letzten beiden Aussagen sind in Satz 6.1.5 im Anhang zusammengefasst. 8 Das Teilbarkeitszeichen ist hier so zu verstehen, dass ein p repräsentierender Betrag entweder archimedisch ist oder eine Fortsetzung eines p von nb. 8 p-adischen Betrags für irgendeinen Primteiler 1.3 Anwendungen Bisher wurden einige formale Eigenschaften des Hilbert-Symbols gezeigt, zum Abschluss des Kapitels stellen wir, ohne Anspruch auf Vollständigkeit, einige Anwendungen des Hilbert-Symbols vor. • Das Hilbert-Symbol führt auf ein Reziprozitätsgesetz der n-ten Po- tenzreste. Mit den Notationen von Abschnitt 1 ist nach Prop. 1.1.5 für u ∈ UF und char(κ) - n das Symbol u := (u, π) p unabhängig von der Wahl des uniformisierenden Parameters π. Es lässt sich zeigen, dass u = 1 ⇐⇒ u ≡ αn p mod p für ein α ∈ κ∗ , gilt. Das Reziprozitätsgesetz Satz 1.2.1 übersetzt sich dann in eine Formel zur Berechnung dieser K= • n-ten Potenzrestsymbole und als Spezialfall für Q und n = 2 ergibt sich die quadratische Reziprozität.9 Wieder mit der Notation von Abschnitt 1: Für 10 n=2 gibt es die folgende konkrete Interpretation: (a, b) = 1 ⇐⇒ ax2 + by 2 = z 2 hat eine Lösung 6= (0, 0, 0) in F × F × F. Diese spielt in der Theorie der Quadratischen Formen, z.B. beim Beweis des Satzes von Hasse-Minkowski eine Rolle. • 11 Weiter ist das Hilbert-Symbol ein Beispiel für ein sogenanntes Steinbergsymbol. Ein Steinbergsymbol h, i eines Körpers k ist eine bimultiplika- tive Abbildung h , i : k ∗ × k ∗ −→ A in eine abelsche Gruppe A, mit der Eigenschaft, dass hx, 1 − xi = 1 für alle x ∈ k ∗ \{1}. Solche Symbole entsprechen gerade den Homomorphismen K2 (k) −→ A, wobei K2 (k) die zweite milnorsche K -Gruppe von k ist. Die Hilbert- Symbole über den rationalen Zahlen können beispielsweise benutzt werden, um • Falls K Q K2 ( ) explizit zu bestimmen (vgl. [Milnor, 11, S. 96, S. 101]). der Funktionenkörper einer Kurve über Fq ist, entsprechen die Hilbert-Symbole den sogenannten lokalen Symbolen und die Hilbert-Reziprozität ist unter dem Namen Weil-Reziprozität bekannt. Das wird im nächsten Kapitel im Detail erläutert. 9 Vgl. [Neukirch05, S. 353 ., S. 435 .]. 10 Vgl. [Serre95, Ch. III, S. 37.] für eine elementare Darstellung über seiner Proposition 1 funktioniert auch für beliebiges die Behauptung. 11 Vgl. [Serre95, Ch. IV, S. 73.]. 9 F Qp . Der Beweis und liefert zusammen mit Prop. 1.1.3 2 Weil-Reziprozität In diesem Kapitel wird die Weil-Reziprozität für algebraische Kurven erläutert und im Fall einer Kurve über Fq als Spezialfall der Hilbert-Reziprozität gedeu- tet. Die benötigten Denitionen und Resultate aus der algebraischen Geometrie sind im Anhang zusammengefasst. 2.1 Lokale Symbole und Reziprozität Im Folgenden ist k X immer eine normale, eigentliche Kurve über einem Körper mit Funktionenkörper X0 x ∈ X0 K := K(X). Die abgeschlossenen Punkte von zeichnen wir mit und die normalisierte diskrete Bewertung von einem Punkt gehört, mit K, X be- die zu ordx . 2.1.1 Denition [Serre88, S. 34] Seien f, g ∈ K ∗ und x ∈ X0 ein abgeschlossener Punkt von lokale Symbol von a und b deniert als: f, g Hierbei bezeichnet x k(x) αβ f = Nk(x)|k (−1) β gα (x) X . Dann ist das ∈ k∗ den Restklassenkörper bei x sowie α = ordx (f ), β = ordx (g). • modulo • 0 im lokalen Ring bei x, d.h. Reduktion k(x)∗ . Der innere Ausdruck hat Ordnung x liefert ein Element aus x Interpretation: Setze den Punkt in die Funktion β (−1)αβ fgα ein, die an diesem Punkt keine Null- und Polstellen hat. Heraus kommt ein Wert in einer endlichen Erweiterung von k. Durch Anwenden der Norm werden die Werte an verschiedenen Punkten vergleichbar. • Falls k algebraisch abgeschlossen ist, verschwindet die Norm in der De- nition. Die Interpretation als Einsetzen eines Punktes in eine Funktion ist dann unproblematischer. • Das Symbol ist multiplikativ in beiden Einträgen und vertauschen der Argumente invertiert den Wert. Der folgende Satz wird als Weil-Reziprozität bezeichnet. 2.1.2 Satz [Serre88, S. 34f.] Für eine glatte, eigentliche Kurve f, g ∈ K(X)∗ X über einem perfekten Körper gilt Y f, g x∈X0 10 x = 1. k und Beweis: 1. Schritt: Reduktion auf die Aussage für algebraisch abgeschlossene Körper. Sei Sei X̄ := X ×k Spec k̄ ηX der generische der Basiswechsel zum algebraischen Abschluss Punkt von X. Es gilt X0 = X\ηX k̄ von k. und alle abgeschlos- senen Punkte haben nach Hilberts Nullstellensatz endliche (also insbesondere algebraische) Restklassenkörpererweiterungen. Für eine beliebige algebraische Körpererweiterung k̃|k lassen sich die k̃ -rationalen Punkte von X also durch X k̃ ∼ = (x, σ) | x ∈ X0 , σ : κ(x) → k̃ charakterisieren, wobei die σ k -Homomorphismen sein sollen. Es gilt insbesonk̄ k̄ dere X (k̄) = X0 . Betrachte nun das folgende Diagramm: Spec k̄ X̄ Spec k̄ X Spec k Für den oberen Pfeil gibt es nur eine Möglichkeit, also erhalten wir nach der X(k̄) ∼ = X̄(k̄). Für einen festgewählten k̄ -wertigen Punkt von X , gegeben durch (x, σ), ist der Restklassenkörper k(x) separabel, da k perfekt ist, und es gilt Y k̄. k(x) ⊗ k̄ ∼ = universellen Eigenschaft des Faserproduktes eine Bijektion τ :k(x)→k̄ Das obige Diagramm reduziert sich also auf: k̄ Q τ :k(x)→k̄ k̄ k̄ σ k(x) Dabei ist der vertikale Pfeil durch σ -Komponente σ k Verknüpfung mit der Einbettung in die gegeben. Insgesamt gilt also X(k̄) ∼ = X̄0 Y f, g x und damit = x∈X0 Y (x,σ)∈X(k̄) = β αβ f σ (−1) (x) gα Y x∈X̄0 abgeschlossen 11 (−1)αβ fβ (x). gα 2. Schritt: Der Grundkörper k ist algebraisch abgeschlossen. Für diesen Fall steht der Beweis sehr ausführlich bei [Serre95, Prop. 6, S. 34 f.] und wir skizzieren ihn hier nur. g , konstant ist, reduziert sich die Formel P ∈X0 ordx f = deg div f = 0. Ohne Einschränkung g als nicht konstant angenommen werden. Falls eines der beiden Argumente, z.B. auf die bekannte 12 Aussage P der Allgemeinheit kann also Es gilt P1) ∼= k(t) für eine Unbestimmte t. Der Körperhomomorphismus K( k(t) −→ K(X) t 7−→ g erlaubt es uns mittels der Äquivalenz von Kategorien aus Anhang 6.2 g als 1 Morphismus von X → aufzufassen. Dieser ist endlich, surjektiv und lokal P frei. Dieser Morphismus ermöglicht es, mithilfe der Norm N : K(X) → k(t), die 1 Aussage von einem beliebigen X auf X = zu reduzieren, indem Punkte, die P in einer Faser liegen, zusammengruppiert werden. Dabei sind einige technische 1 Schwierigkeiten zu überwinden. Auf kann die Formel explizit nachgerechnet P 2 werden. 2.1.3 Bemerkung: Der Satz und auch die Denition der lokalen Symbole werden bei Serre zunächst nur für algebraisch abgeschlossene Grundkörper für den Grundkörper k= k 13 gegeben, aber später auch Fq . Dies ist vermutlich dem Umstand geschuldet, dass er noch nicht in der Sprache der Schemata schreibt. 2.2 Verbindung zur Hilbert-Reziprozität Wir behalten die Notationen des vorigen Abschnittes bei und spezialisieren auf den Fall, dass k= Fq ist. Dann ist K eine endliche Erweiterung von Fq (t), also ein globaler Funktionenkörper, der die q − 1-ten Einheitswurzeln enthält und es gibt sowohl die Hilbert-Symbole für jede Primstelle des Funktionenkörpers und die lokalen Symbole an jedem abgeschlossenen Punkt der Kurve sowie für beide eine Produktformel. Ziel dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass diese Phänomene übereinstimmen. Dies liefert auch einen alternativen Beweis der Weil-Reziprozität in diesem Spezialfall. Genauer gilt: 2.2.1 Satz Sei F k = q und X eine eigentliche, K = K(X). Dann gilt: normale Kurve über k mit Funktionen- körper 1. Die Abbildung x 7→ ordx induziert eine Bijektion zwischen der Menge der Primstellen von 2. Das lokale Symbol am Punkt bzgl. der zu x X0 und K. x ∈ X0 gehörigen Stelle. 12 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Th. 15.32, S. 498]. 13 [Serre88, Ex. 2, S. 151 f.]. 12 ist gleich dem Hilbert-Symbol Insbesondere ist für f, g ∈ K ∗ , wenn P die Menge der Primstellen auf K be- zeichnet, Y f, g x∈X0 Beweis: Aussage 1. x = Y f, g p∈P p = 1. Die angegebene Abbildung gibt eine Bijektion zwischen den Äquivalenzklassen diskreter Bewertungen auf Bewertung auf K X0 und (vgl. Anhang 6.2), da jede Fq trivial ist. Durch Exponentieren werden die Äquivalenzklas- sen diskreter Bewertungen mit den Äquivalenzklassen von nichtarchimedischen Absolutbeträgen identiziert. Andererseits ist jeder Absolutbetrag auf archimedisch, da char(K) > 0. 14 K nicht- Aussage 2.15 Seien f, g ∈ K ∗ und sei x ∈ X0 mit zugehöriger Bewertung ordx . d = [k(x) : k]. Wir schreiben ebenfalls x für die Primstelle auf K , x ∈ X0 gehört, und für das maximale Ideal des Bewertungsrings der Vervollständigung von K bezüglich ordx . Dann gilt mit α = ordx (f ), β = ordx (g): Sei ferner die zum Punkt f, g x d −1 qq−1 β f = (−1)αβ α (x) g qd−1 +···+1 β αβ f = (−1) (x) gα β αβ f = Nk(x)|k (−1) (x) gα = f, g x 2 14 Vgl. [Schikhof, S. 20]. 15 Dieses Argument stammt aus dem MO-Post http://mathoverflow.net/questions/ 96290/weil-reciprocity-vs-artin-reciprocity. 13 3 Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche Flächen Thema dieses Kapitels ist die Weil-Reziprozität auf kompakten Riemannschen Flächen. Nach dem G.A.G.A-Prinzip für algebraische Kurven über 16 ist diese äquivalent zur Weil-Reziprozität C. Wir geben hier eine unabhängige Einführung und einen direkten Beweis mit analytischen Methoden. X mit dem ∗ Körper M := M(X) der meromorphen Funktionen auf X und f1 , f2 ∈ M zwei meromorphe Funktionen auf X , die nicht konstant gleich 0 sind. Ferner sei Ci = x ∈ X | fi hat eine Null- oder Polstelle bei x Im gesamten Kapitel xieren wir eine kompakte Riemannsche Fläche der Träger des Divisors von fi und C = C1 ∪ C2 . Die klassische Weil-Reziprozität behandelt den Fall, dass die Null- und Polstellenmengen von f1 und f2 sich nicht überschneiden. Sie wird üblicherweise in der folgenden Form gegeben: 3.0.1 Satz [Griths, Harris, S. 242 f.] Für C1 ∩ C2 = ∅ gilt Y ordx (f2 ) f1 (x) = Y ordx (f1 ) f2 (x). x∈X x∈X Diese auftretenden Ausdrücke sind wohldeniert: Für ein x ∈ / Ci ist der entordx (fi ) (x) (mit i 6= j ) gleich eins. Beide Produkte sind also sprechende Faktor fj eigentlich endlich, da die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion diskret liegen (also auf einer kompakten Riemannschen Fläche endlich sind). Da die Ci disjunkt ∞. sind, enthält auch keines der beiden Produkte einen Faktor 0 oder Indem wir die Gleichung durch die rechte Seite teilen, erhalten wir eine nach den ersten Kapiteln vertrautere Form: ordx (f2 ) Y f1 x∈X f2 ordx (f1 ) ! (x) = 1. Der Ausdruck in einem einzelnen Faktor könnte aber auch für nicht disjunke ausgewertet werden, da der Quotient nach Konstruktion Ordnung 0 bei x Ci hat, also höchstens eine hebbare Singularität besitzt. Um auch in diesem allgemeinen Fall eine Reziprozitätsaussage zu erhalten, muss der Term durch ein Vorzeichen ergänzt werden: 16 Vgl. [Griths, Harris, S. 164.]. 14 3.0.2 Denition Das lokale Symbol von f1 und f2 bei x ist ord (f ) f1 , f2 x = f x 2 (−1)ordx (f1 ) ordx (f2 ) 1ordx (f1 ) f2 Mit dieser Notation gilt dann ohne Bedingung an die Y f1 , f2 x ! Ci (x). die Gleichung = 1. x∈X Auch in dieser Form ist die Reziprozität schon lange bekannt und bewiesen. Für einen neueren Beweis siehe z.B. [Khovanskii]. Im Folgenden wird ein weiterer Beweis vorgestellt, der in seiner Strategie einem Vorschlag von C. Deninger folgt. Dabei wird zunächst die Reziprozität zunächst für die Beträge der lokalen Symbole gezeigt. In einem zweiten Schritt deformieren wir eine der beiden Funktionen mit Hilfe eines komplexen Parameters zu einer konstanten Funktion, für die das Ergebnis leicht zu zeigen ist, und zeigen, dass die Deformation den Wert des Produktes nicht verändert. 3.1 Reziprozität für die Beträge Ziel für diesen Abschnitt ist der folgende 3.1.1 Satz Es gilt Y f1 , f2 = 1. x x∈X Beweis: 17 Aus technischen Gründen zeigen wir die logarithmierte X Variante log f1 , f2 x = 0. x∈X Dazu realisieren wir die einzelnen Summanden als Grenzwerte von Wegintegralen über eine geeignete global denierte, geschlossene Form und wenden den Satz von Stokes an. Wir verwenden die Dolbeaut-Operatoren ∂ und ∂¯. Lokal sind diese für eine ¯ = ∂z̄ g dz̄ gegeben, glatte komplexwertige Funktion g durch ∂g = ∂z g dz bzw. ∂g ∂ ∂ und ∂z̄ = holomorphe bzw. antiholomorphe Ableitung sind. wobei ∂z = ∂z ∂ z̄ Schritt 1: Stokes Sei U = X\C das Komplement der Null- und Polstellen der fi . Betrachte hierauf 17 Es sei bemerkt, dass keine Probleme mit der Mehrdeutigkeit des Logarithmus entstehen, da wir reellwerte Funktionen betrachten. 15 C ∞ -Funktionen i = log |fi |. 18 (auch auf U ): die beiden Form Daraus denieren wir die folgende 1- η : = 2 1 ∂2 − 2 ∂1 = log |f1 | dlog f2 − log |f2 | dlog f1 . Die Gleichung benutzt dabei, dass lokal 1 ∂z log |fi | dz = ∂z log fi fi dz 2 1 = ∂z log fi + ∂z log fi dz 2 1 = dlog fi 2 ∂ einer antiholomorphen Funktion ∂z 19 verschwindet. Damit denieren wir , wieder auf U gilt, da die holomorphe Ableitung ∂z := 1 ∪ 2 : = pr(η) = log |f1 | pr(dlog f2 ) − log |f2 | pr(dlog f1 ). Hierbei ist pr(z) := i Im z die Projektion auf die imaginäre Achse. Diese Form ist geschlossen, denn der folgende Ausdruck ist symmetrisch unter Vertauschung von f1 und f2 .20 d log |f1 | pr(dlog f2 ) = dlog(|f1 |) ∧ pr(dlog f2 ) 1 = ∂z log f1 dz + ∂z log f1 dz̄ 2 1 ∧ ∂z log f2 dz − ∂z log f2 dz̄ 2 1 = − ∂z log f1 ∂z log f2 + ∂z log f1 ∂z log f2 dz ∧ dz̄. 4 Seien nun um alle V = X\ S Ux , x∈C disjunkte oene Umgebungen Ux gelegt. Setzen wir dann gilt nach dem Satz von Stokes: Z Z d(1 ∪ 2 ) = 0= V 1 ∪ 2 = XZ 1 ∪ 2 . (∗) δUx δV Es genügt also, sich einen einzelnen Summanden der rechten Seite anzuschauen. Schritt 2: Der einzelne Summand x ∈ C fest gewählt. Wir wählen lokale Koordinaten um x, sodass n ∗ in diesen Koordinaten fi (z) = z i fi (z) gilt, wobei ni ∈ eine ganze Zahl ∗ ist und fi keine Null- oder Polstellen bei x hat. Da Wegintegrale über eine geschlossene Form nur von der Homologieklasse des Weges abhängen, können Sei jetzt also Z wir ohne Einschränkung annehmen, dass δUx ganz im Kartengebiet liegt und 18 Auch hierbei gibt es keine Mehrdeutigkeiten, da diese nach Dierenzieren verschwinden. 19 Die Benutzung dieser Form wurde von C. Deninger vorgeschlagen. Sie stammt aus der Theorie der Deligne-Beilinson Kohomologie. 20 Alternativ kann man sich auch η anschauen und feststellen, dass die äuÿere Ableitung invariant unter der Konjugation ist, also rein reell. 16 nach Anwenden der Karte die Form δBε (0) für ein beliebig kleines ε>0 hat. Im Folgenden unterdrücken wir die Karten in der Notation und rechnen direkt in C. Wir werden zeigen, dass ∗ n2 f 1 ∪ 2 = lim 1 ∪ 2 = 2πi log 1∗ n1 (0) ε→0 δB (0) f2 δUx ε Z Z ! gilt, woraus Satz 3.1.3 zusammen mit der Gleichung (∗) folgt. Da das Integral mit pr vertauscht und auf der rechten Seite der zu zeigenden Gleichung etwas rein imaginäres steht, rechnen wir mit η anstelle von 1 ∪ 2 . Es gilt: log |fi | = ni log |z| + log |fi∗ |, sowie dlog fi = Damit ergibt sich für η 1 ni dlog z + dlog fi∗ . 2 durch Einsetzen, Ausmultiplizieren und Umsortieren: η = n1 log |z| + log |f1∗ | n2 dlog z + dlog f2∗ − n2 log |z| + log |f2∗ | n1 dlog z + dlog f1∗ = n1 n2 log |z| dlog z + n1 log |z| dlog f2∗ + n2 log |f1∗ | dlog z + log |f1∗ | dlog f2∗ − n1 n2 log |z| dlog z + n2 log |z| dlog f1∗ + n1 log |f2∗ | dlog z + log |f2∗ | dlog f1∗ ∗ n2 f f1∗ n2 = log |z| dlog ∗ n1 + log 1∗ n1 dlog z + log |f1∗ | dlog f2∗ − log |f2∗ | dlog f1∗ f f2 | {z 2 } | {z } {z } | =A =C =B Wir betrachten nun die Integrale über A, B und C separat (und zeigen in jedem Fall die Existenz, was dieses Vorgehen nachträglich rechtfertig). Für A verschwindet das Integral, denn wir erhalten ein Null- und Polstellen zählendes Integral: Z ∗ n2 f 1 A = log ε dlog ∗ n1 = 0. f2 δBε (0) δBε (0) | {z } Z =0 Für B γε : [0, 1] → δBε (0), t 7→ ε exp(2πit) ∗ n2 Z Z 1 f1 B = 2πi log ∗ n1 γε (t) dt. f2 δBε (0) 0 wählen wir eine Parametrisierung Betrachten wir den Grenzwert davon für ε → 0, so ergibt sich nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz (wir können den Integranden abschätzen durch das Maximum auf einer Kreisscheibe von xem Radius): Z lim ε→0 Für C Z 1 B = 2πi δBε (0) 0 ∗ n2 ∗ n2 f1 f1 lim log ∗ n1 γε (t) dt = 2πi log ∗ n1 0 . ε→0 f2 f2 schlieÿlich sind alle beteiligten Funktionen auch in über einen kleinen Kreis um 0 existiert also und geht für 17 0 stetig. Das Integral ε → 0 gegen 0. 2 3.2 Holomorphie des Weil-Produkts In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Weil-Produkt, von dem wir bereits wissen, dass es für alle holomorphen Funktionen den konstanten Betrag 1 hat, auch schon ohne Beträge immer Da die Rollen von f1 den schreiben wir ab ergibt. f2 in diesem Abschnitt jetzt f := f1 und g := f2 . und Wir verfolgen den folgenden Plan: Da formation 1 21 M sehr unterschiedlich sein wer- ein Körper ist, können wir die De- fα = α + (1 − α)f, betrachten, wobei fα (z) α∈ holomorph von Holomorphie in α C ein komplexer Parameter ist. Für jedes z ∈ X hängt α ab und es gilt f0 = f, f1 = 1. Wenn wir auch die des Weil-Produktes Pα := Y fα , g x x∈X zeigen könnten, so würde aus dem beschränkten Betrag nach dem Satz von Liouville folgen, dass die Funktion insgesamt konstant ist. Es würde also genügen, sie bei einem konkreten oenbar Pα = 1.22 α auszurechnen, z.B. bei α = 1. Dort ist aber So werden wir vorgehen. Der Hauptsatz dieses Abschnittes ist also: 3.2.1 Satz Q Pα := x∈X (fα , g)x hängt holomorph von α ab. 3.2.1 Diskussion Vor dem formalen Beweis diskutieren wir einige der Schwierigkeiten, die auftreten, und formulieren Vorüberlegungen zur Beweisstrategie. Diese werden für den Fall, dass die Träger der Divisoren von f und g disjunkt sind, auch schon einen Beweis liefern. Verhalten der Nullstellen von fα Man kann nicht im naiven Sinne zeigen, dass jeder der endlich vielen Faktoren, die nicht konstant 1 sind, holomorph ist, denn diese Faktoren treten genau bei den Null- und Polstellen von auch die Nullstellen von fα , fα , g auf, aber bei Variation von α verändern sich sodass die Beiträge zum Weil-Produkt von einem Faktor zum anderen wandern. Die Berechtigung für den Begri Wandern (im Gegensatz zu etwa Springen) kommt daher, dass sich die Nullstellen in einem 21 Die Idee, den holomorphen Parameter gerade so einzuführen stammt aus einen Gespräch mit Konrad Stuhrmann. 22 Etwas allgemeiner gilt: Falls eine der zwei Funktionen gleich f, g konstant ist (nicht notwendig 1), reduziert sich die Reziprozität auf die Aussage, dass die Summe über Pol- und Null- stellen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche verschwindet. 18 gewissen Sinne stetig verhalten: Da das Integral 1 2πi stetig von α Z d log fα γ abhängt, und für jede Kurve um genau eine Null-, bzw. Polstelle die Ordnung angibt, ist diese konstant. Was aber a priori durchaus passieren kann: 1. Zwei Null- bzw. Polstellen geringerer Ordnung können zu einer höherer Ordnung verschmelzen. 2. Es können sich Null- und Polstellen mit sich aufhebener Ordnung auslöschen. Daher untersuchen wir das Verhalten der Null- und Polstellen von Variation von α fα unter genauer. Es gilt oenbar das 3.2.2 Lemma Sei α 6= 1 eine feste komplexe Zahl. 1. Die Polstellen von fα 2. Die Nullstellen von 3. Für jedes von f α0 sind gerade die Polstellen von fα sind die Urbilder unter von α . α−1 ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für α0 ∈ Bδ (1) alle Nullstellen in [ x liegen. f f = f0 . Bε (x) Polstelle von f 23 Die Polstellen von fα verändern sich also, abgesehen von der Stelle α = 1, wo sie verschwinden, nicht. Ganz anders bei den Nullstellen: Sie ändern ihre Position permanent (ihre Anzahl (mit Vielfachheiten) für unverändert bleiben). Für α→1 α 6= 1 nicht, da die Polstellen nähern sich die Nullstellen den Polstellen an (vgl. Abbildung 1). Mögliches Vorgehen für disjunkten Träger der Divisoren α0 6= 1, für das fα0 und g keine gemeinsame Nulloder Polstellen haben. Sei Cg die Null- und Polstellenmenge von g und Cfα 0 analog. Wir legen um jeden Punkt x ∈ Cfα eine Kurve γx , die keine anderen 0 Punkte aus Xfα und Cg umschlieÿt und Rand einer oenen Menge Ux ist. Dann 0 gilt für α hinreichend nahe an α0 : Betrachten wir zunächst ein 23 Diese letzte Aussage ist ein Spezialfall der Stetigkeit der Nullstellen. Das obige, Null- und Polstellen zählende Integral ist gleich 0 bei hier als Rand der ε-Bälle α=1 wählen). 19 für Wege um die Polstellen von f (die wir Abbildung 1: Beispiel für X = CP1 = C ∪ {∞} und f (z) = die Nullstelle von fα in Bδ (0). Bδ (0) Im Bild: für δ ∈ {1, Pα = Y fαordx g (x) x∈Cg = ist g ordx fα (x) x∈Cfα −1 Y α ∈ Bδ (1) −1 Y z+1 z . Für 3 1 1 4 , 2 , 4 }. Y fαordx g (x) g ordz fα (z) z∈Ux , wobei x∈Cfα x∈Cg 0 Dabei benutzen wir, dass die gesamte Ordnung von kleinen Änderungen von α . fα bei Punkten in Ux unter konstant bleibt. Das erste Produkt ist holomorph in α als endliches Produkt holomorpher Funk- tionen. Für jeden Faktor des zweiten Produktes haben wir die folgende holomorphe Darstellung: exp wobei log g auf ganz Ux 1 2πi Z log g dlog fα , γ deniert ist (wähle einen beliebigen Zweig, die Mehr- deutigkeit verschwindet nach Exponentieren), da dort Dieser Ausdruck ist holomorph in 24 α g keine Nullstellen hat. und liefert auch für andere Werte das ge- wünschte Ergebnis. α0 = 1 funktioniert die gleiche Argumentation mit einem kleinen Trick: Cfα die Menge der Polstellen von f , da wir wissen, dass für α ∈ B (1) die Nullstellen von fα in der Nähe der Polstellen liegen, also von Im Fall Wir wählen für einem Integral wie in obiger Darstellung erfasst werden. Damit haben wir das Resultat bewiesen, falls f = f0 und g keine gemeinsamen 24 Dieses Integral wird auch im Beweis von [Griths, Harris, S. 242 f.] benutzt. 20 Null- oder Polstellen haben. 25 Davon kann im Allgemeinen aber nicht ausge- gangen werden. Beliebige Divisorenträger Versuchen wir den Beweis abzuändern, so suchen wir eine ähnliche Darstellung wie die oben, bei der wir z.B. mit einer Integraldarstellung verschiedene Faktoren in der Nähe eines Punktes aus dem Träger der Divisoren von f und g zusammenfassen können, um das Wandern der endlich vielen wichtigen Faktoren besser zu kontrollieren. Nach dem vorigen Kapitel wäre ein naheliegender Kandidat dafür das Integral über die Form: ω= 1 log fα dlog g − log g dlog fα . 2 Hierbei haben wir kein Problem bei der Denition der Form: Für einen festen Punkt y auf dem Bild von γ legen wir Verbindungslinien von umschlossenen Null- und Polstellen von davon sind log f und log g fα y zu den von γ g . Auf dem Komplement α und nur eine Null- oder innerhalb γ wählen wir eine lokale und/oder wohldeniert. Für festes Polstelle (mit eventuellen Vielfachheiten) n ∗ m ∗ Darstellung von fα = z fα , g = z g . Mit einer Rechnung ganz ähnlich der im vorigen Kapitel zeigt sich fα∗ m fα∗ m 1 ω = log z dlog ∗ n + log ∗ n dlog z + log fα∗ dlog g ∗ − log g ∗ dlog fα∗ . 2 g g γ | {z } | {z } | {z } Z =A Das Integral über C =B =C B liefert uns, was wir A. Im Optimalfall wäre es gleich dem verschwindet wieder und das über wollen. Problematischer ist aber das über B (ist es aber nicht ganz, wie wir weiter unten sehen werden), aber mn selbst dann würde am Ende die Information über das Vorzeichen (−1) verlo- Integral über ren gehen. Bei genauerer Untersuchung (mit Ideen aus [Khovanskii]), stellt sich heraus, dass man einen kürzeren Ausdruck verwenden kann. Bevor wir damit den eigentlichen Beweis führen, werden wir der Übersicht halber diesen Ausdruck in einem eigenen Abschnitt untersuchen. 3.2.2 Das Beilinson-Funktional Dieser Abschnitt orientiert sich stark an [Khovanskii], in dem dieser wiederum auf Ideen von Beilinson aufbaut. Insbesondere benutzen wir die Abschnitte 3 − 5.26 Genaue Referenzen werden bei den jeweiligen Aussagen gegeben. 25 Auf die isolierten Punkte (α 0 könnten wir 6= 0, 1), an denen fα0 gemeinsame Nullstellen mit g hat, Pα , da wir schon wissen dass es betraglich beschränkt ist, mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortsetzen, da wir nicht an ihrem genauen Wert interessiert sind. 26 Wir wählen einen leicht anderen Blickwinkel und benutzen Überlagerungstheorie bei der Denition des Funktionals und betrachten am Ende die Abhängigkeit von einem Parameter. Auÿerdem unterscheidet sich unsere Denition um ein Vorzeichen. Letzteres gibt eine schönere 21 3.2.3 Denition [Khovanskii, S. 7, 12] a, b ∈ M∗ , U = X\{Null- und Polstellen von a, b} und einen stückwei1 se C geschlossenen Weg γ : [0, 1] → U , der nicht die Null- und Polstellen von a, b trit, ist das Beilinson-Funktional der Ausdruck Z 1 Bγ (a, b) := degγ (b) log a γ e(0) − log b dlog a ∈ /2πi , 2πi γe Für C wobei γ e ein Lift von γ in die universelle Überlagerung von Zweige der Logarithmen auf ganz γ e e U Z von U ist, wo wählbar sind. Dieser Ausdruck ist wohldeniert, d.h. unabhängig vom gewählten Lift den Zweigen des Logarithmus, denn: Die Wahl eines anderen Lifts von γ 2πi. und und eines anderen Zweiges des Logarithmus verändert den Logarithmus einer Funktion auf ligen Vielfachen von γ e γ e durch Addition eines ganzzah- Insbesondere ist der erste Term wohldeniert. durch log b + 2πi, dann ändert sich der zweite 1 2πi dlog a, aber das ist ein Null- und Polstellen Term durch Addition von 2πi γ zählendes Integral, also ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Ersetzen wir im Integral log bR 3.2.4 Lemma [Khovanskii, S. 12, Bsp. 5.1] 1 0 0 Für geschlossene stückweise C Wege γ, γ : [0, 1] → X mit γ(0) = γ (0) ∗ 0 und a, b, c ∈ M , deren Null- und Polstellen nicht auf γ bzw. γ liegen, gilt: 1. Bγ (a, b) ≡ −Bγ (b, a), 2. Bγ (a, a) ≡ πi deg(a), 3. Bγ (ac, b) ≡ Bγ (a, b) + Bγ (c, b), 4. Bγγ 0 (a, b) ≡ Bγ (a, b) + Bγ 0 (a, b), 5. Bγ (a, b) ≡ 0 falls γ in X\{Null- und Polstellen von a, b} zusammen- ziehbar ist. Hierbei bezeichnet γγ 0 den Weg, der durch das Hintereinanderdurchlaufen der beiden Wege mit doppelter Geschwindigkeit entsteht. Formel für den Zusammenhang mit dem lokalen Symbol und die Überlagerungstheorie wurde in der Honung verwendet, dadurch für die mögliche Denition eines ähnlichen Funktionals für Blätterungen klarer zu sehen. Beides ist nicht unbedingt nötig und wir könnten auch degγ b log γ ∗ a(0) − R1 0 log γ ∗ b dlog γ ∗ a betrachten, wobei die Zweige der Logarithmen auf [0, 1] gewählt werden. 22 Beweis: log a(e γ (1)) − log a(e γ (0)) = 2πi degγ a und genauso für b. Damit gilt: Z Z Z log a dlog b + log b dlog a = d log a log b γ e γ e γ e = log a γ e(1) log b γ e(1) − log a γ e(0) log b γ e(0) = log a γ e(0) + 2πi degγ a log b γ e(0) + 2πi degγ b − log a γ e(0) log b γ e(0) = 2πi degγ a log b γ e(0) + 2πi degγ b log a γ e(0) − (2πi)2 degγ a degγ b. Es gilt Daraus folgt die erste Behauptung mit Division durch Da (degγ a)2 = degγ a mod 2 folgt mit a=b 2πi und Umsortieren. die zweite Behauptung aus dersel- ben Gleichung. Die dritte Behauptung gilt, da log ac ≡ log a + log c mod Z gilt und das 2πi Integral linear ist. Für die vierte Behauptung stellen wir fest, dass wegen auch log a(e γ (0)) ≡ log a(e γ 0 (0)) ≡ log a(f γ γ 0 (0)) mod 2πi γ(0) = γ 0 (0) = γγ 0 (0) Z gilt und damit degγγ 0 b log af γ γ 0 (0) = (degγ b + degγ 0 b) log a γf γ 0 (0) ≡ degγ b log a γ e(0) + degγ 0 b log a γ e0 (0) mod 2πi. Andererseits ist das Integral additiv auf Zykeln und wir können die Lifts so wählen, dass γ f γ0 = γ eγ e0 gilt. Unter den Voraussetzungen der fünften Behauptung ist auch jeder Lift γ e zu- sammenziehbar, also das Integral gleich null. Auÿerdem ist der Grad, da homotopieinvariant, gleich dem Grad einer konstanten Abbildung, d.h. gleich null. 2 3.2.5 Bemerkung: Indem man bei 5. etwas sorgfältiger argumentiert, kann man auch zeigen, dass M ∗ (X) eine das Beilinson-Funktional für zwei meromorphe Funktionen a, b ∈ 1 wohldenierte Kohomologieklasse in H (U, / ) deniert, wobei CZ plement der Null- und Polstellen von U das Koma, b ist. Zusammen mit dem folgenden Satz ist dann schon ein anderer Beweis der Weil-Reziprozität möglich, indem man, X ausnutzend, einen nullhomologen Weg um die Nulla, b legt und dann das Funktional anwendet. Diese Strategie die Kompaktheit von und Polstellen von verfolgt A. Khovanskii in [Khovanskii]. 23 3.2.6 Proposition [Khovanskii, S. 13, Lemma 5.2, 5.3] γ der stückweise C 1 Rand einer einfach zusammenhängenden Menge U ⊆ X ist und a, b ∈ M∗ und x ∈ U ein Punkt, sodass a, b auf U \{x} Wenn in weder Null- noch Polstellen haben, dann gilt: exp B(a, b) = a, b x Beweis: In einer Karte a0 , b0 . z Dann sind um a0 x schreiben wir und b0 auf ganz a(z) = a0 z n U fortsetzbar 2πi ) Z Proposition (alle Rechnungen modulo und b(z) = b0 z m mit z - und es gilt mit der vorigen Bγ (a, b) ≡ Bγ (a0 , b0 ) + nBγ (z, b0 ) + mBγ (a0 , z) + nmBγ (z, z) ≡ nBγ (z, b0 ) − mBγ (z, a0 ) + nmπi. Aber es gilt: Bγ (z, b0 ) = degγ (b0 ) log z γ e(0) − Z log b0 dlog z = − log b0 (x) γ e Bγ (z, a0 ), also zusammen n exp Bγ (a, b) = exp log am 0 (x) − log b0 (x) + nmπi = a, b x . und genauso für 2 Zuletzt untersuchen wir, wie sich das Beilinson-Funktional verhält, wenn eine t0 ∈ C, sodass C ist für eine einfach zusammenhängende, oene Umgebung V und der beiden Funktionen von einem Parameter abhängt. Sei dazu t0 ∈ V ⊆ sei a : V × X −→ P1(C) = C ∪ ∞ (t, z) 7−→ at (z) eine holomorphe Funktion in zwei Variablen (d.h. eine meromorphe Funktion ∗ auf X , die holomorph von einem Parameter abhängt) und b ∈ M . Sei ferner U = X\{Null- und Polstellen von b und at für alle t ∈ V } und γ : [0, 1] → U C 1 Weg. Wir betrachten die Familie von Wegen ein geschlossener stückweise V × [0, 1] −→ V × U (t, z) 7−→ γt (z) := t, γ(z) . V, U . Da V einfach zusammenhäne = V . Auÿerdem ist o.E. V^ e . Wir erhalten eine gend ist, gilt o.E. V × U = V ×U Seien e Ve , U universelle Überlagerungen von Familie von gelifteten Wegen V × [0, 1] −→ V^ ×U (t, z) 7−→ γ et (z) = t, γ e(z) . Wir betrachten darüber hinaus b als Funktion auf V ×U Mit diesen Vorbereitungen können wir Logarithmen für 24 durch a(t, z) b(t, z) := b(z). b(t, z) auf und V^ × U wählen. Für jedes t ∈ V geben diese auch Logarithmen der auf {t} × U eingeschränkten Funktionen und wir können das Beilinson-Funktional als Funktion C Z BγT (aT , b) : V −→ /2πi t 7−→ Bγt (at , b) auassen. Wir schreiben dafür weiter Bγ (aT , b), da die U -Komponente von γt immer dieselbe ist. 3.2.7 Proposition Mit obiger Notation gilt: γt Bγ (aT , b) eine wohldenierte holomorphe Funktion 1. Sind die Zweige der Logarithmen und die Familie von Lifts der fest gewählt, so ist nach C. 2. Das Beilinson-Funktional on V −→ C/2πiZ Bγ (aT , b) deniert eine holomorphe Funkti- Beweis: Sind die Lifts und die Zweige des Logarithmus fest gewählt, geht die Funktion oenbar nach C und es gilt: ∂T Bγ (aT , b) = ∂T 1 γ(0) − 2πi degγeT (b) log aT da der Grad konstant ist und log aT (γT (0)) Z log b dlog aT = 0, γ eT holomorph ist. Das Integral kann nach der Regel für Parameterintegrale mit der Dierentiation vertauscht werden und der Integrand ist holomorph in T, da keine Nullstellen auf dem Integrati- onsweg liegen. Die zweite Aussage folgt dann sofort, da die Projektion C → C/2πiZ holomorph 2 ist. 3.2.3 Beweis der Holomorphie Beweis: Wir xieren wieder ein efα C 0 α0 und setzen ( x ∈ X | fα0 hat eine Null- oder Polstelle bei x , := x ∈ X | f = f0 hat eine Polstelle bei x , und analog Cg := supp div g falls falls α0 = 6 1 α0 = 1 eα0 = C efα ∪ Cg . Um die x ∈ C eα0 C 0 oene Umgebungen Ux mit stückweise und schlieÿlich wählen wir einfach zusammenhängende, 0 Rand und Ux ∩ Ux0 = ∅ für x 6= x , die klein genug sind, dass ihr jeweiliger C1 Abschluss in einem Kartengebiet enthalten ist. Dann existiert wegen der stetigen Abhängigkeit der Null- und Polstellen von Parametern ein α ∈ Bε (α0 ) das Produkt Pα die folgende Form hat: 25 ε > 0, sodass für Y Pα := fα , g z . z∈Ux eα x∈C 0 Fixiere jetzt weiter ein γ : [0, 1] −→ δUx . eα0 x∈C und wähle eine Parametrisierung des Randes Wir zeigen, dass für alle Y fα , g z α ∈ Bε (α0 ) = exp Bγ (fα , g) die Gleichung z∈Ux gilt. Die rechte Seite ist eine holomorphe Funktion. Damit ist auch das gesamte Produkt auf und, da α0 Bε (α0 ) holomorph als endliches Produkt holomorpher Funktionen beliebig war, holomorph auf ganz Betrachte dazu für jedes α ∈ Bε (α0 ) C. die Menge Cα := (supp div fα ∪ Cg ) ∩ Ux . Cα leer oder einelementig ist, gilt die Gleichung. Ansonsten wählen wir α α α α α Wege γ1 , ...γn , n ∈ {1, ...#Cα }, sodass γ = γ1 ...γn und jedes γi um je einen Punkt aus Cα genau einmal herumläuft (vgl. Abbildung 2). Dann gilt, da das Wenn Beilinson-Funktional additiv auf Zykeln ist: Y Yα Y #C fα , g z . exp Bγ (fα , g) = exp Bγiα (fα , g) = fα , g x = i=1 x∈Cα z∈Ux 2 Abbildung 2: Beispiel für #Cα = 2. Die γiα sind grün bzw. rot eingezeichnet und die Kreuze markieren Null- oder Polstellen von fα bzw. g. Der Beweis ist insgesamt etwas länger als die beiden erwähnten Beweise von [Khovanskii] und [Griths, Harris], was mit Sicherheit auch an der ausführlichen Diskussion liegt. Ein Vorteil ist, dass sich die Aussage für die Beträge, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, gut auf Blätterungen verallgemeinern lässt, da man für diese Teilaussage Probleme mit der Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus vermeiden kann. Bei [Griths, Harris] werden dafür Fundamentalpolygone benutzt, die sehr spezisch für kompakte Riemannsche Flächen sind. Darüber hinaus gibt es bei uns keine Einschränkung bezüglich der Träger der Divisoren. Im Vergleich zu [Khovanskii] erscheint unser Beweis etwas künstlich, da wir letztendlich fast die volle Kraft des Beilinson-Funktionals, inklusive der Additivität auf Zykeln nutzen müssen, was nahelegt auch noch zu zeigen, dass dies nur von der Homologieklasse abhängt. 26 4 Reziprozität für Blätterungen Ideen, Diskussion und Teilergebnisse 4.1 Grundlagen In diesem Abschnitt werden die für das Verständnis der im Folgenden betrachteten Objekte grundlegenden Denitionen zusammengetragen. Alle Denitionen und Resultate sind mehr oder weniger explizit bei [Ghys], [Candel, Conlon] oder [Lee] zu nden. Als erstes benötigen wir den Begri der Blätterung durch Riemannsche Flächen. Anschaulich wollen wir 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten betrachten, die eine lokal parallele Partitionierung in Riemannsche Flächen besitzen. Das wird wie folgt formalisiert: 4.1.1 Denition [Ghys, S. 3] Sei I M ist eine Menge von Tupeln eine Menge und • Die • Die Ui M ein topologischer Raum. Ein Blätterungsatlas auf (Ui , ϕi )i∈I sind eine oene Überdeckung von Mengen. M. Sie heiÿen D basisoene D C die oene ϕi sind Homöomorphismen Ui −→ ×Ti , wobei ⊆ Einheitskreisscheibe ist und Ti ⊆ ein oenes Intervall. R Karten. • mit den folgenden Eigenschaften: Die Kartenwechsel ϕij : ϕj ◦ ϕ−1 i Sie heiÿen sind dort, wo sie deniert sind, glatt und von der Form ϕij (z, t) = fij (z, t), γij (t) , wobei fij holomorph von Zwei Blätterungsatlanten auf z M und γij nicht von heiÿen äquivalent z 27 abhängt. , wenn ihre Vereinigung wieder ein Blätterungsatlas ist. Eine Blätterung durch Riemannsche Flächen Raum M, Äquivalenzklasse F von Blätterungsatlanten. Eine Menge der Form terung ist ein topologischer der zweitabzählbar und hausdorsch ist, zusammen mit einer (M, F) D × {t}) heiÿt Platte. Die Blätter einer Blät- ϕ−1 i ( sind die kleinsten zusammenhängenden Mengen für die gilt, dass eine Platte, die nichtleeren Schnitt mit ihnen hat, schon ganz darin enthalten ist. Insbesondere können wir eine Blätterung durch Riemannsche Flächen immer als gewöhnliche 3-dimensionale (M, F) Mannigfaltigkeit auassen, indem wir 27 Das deniert tatsächlich eine eine Äquivalenzrelation, vgl z.B. [Candel, Conlon, Lemma 1.2.9, S. 25]. 27 alle glatten Atlanten betrachten, die mit träglich sind. F F bis auf glatte Kartenwechsel ver- entspricht dann einer Auswahl dieser Atlanten. Wir sprechen daher auch häug von einer 3-Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Blätterung durch Riemannsche Flächen. Aus dieser Denition ist nicht sofort ersichtlich, was durch die Namensgebung schon impliziert wird: 4.1.2 Proposition Ein Blatt B einer Blätterung durch Riemannsche Flächen (M, F) besitzt eine kanonische Struktur als Riemannsche Fläche und die Inklusion M B −→ wird damit zu einer (injektiven) Immersion. Beweis: Der Beweis orientiert sich an [Candel, Conlon, Lemma 1.2.16., S. 29]. Wir setzen für einen Punkt x∈B die Menge aller Platten, die x enthalten, als Umgebungsbasis dieses Punktes (nach Denition eines Blattes sind diese Platten vollständig in B enthalten). Damit erhalten wir eine Topologie auf 28 im Allgemeinen echt feiner ist als die Teilraumtopologie. Also ist B B, die mit dieser Topologie automatisch hausdorsch. Die Platten liefern Kartenumgebungen für jeden Punkt. 29 Etwas schwieriger ist die Zweitabzählbarkeit: Jeder Punkt in zählbare Umgebungsbasis, da dass B B besitzt eine ab- D zweitabzählbar ist. Es genügt also zu zeigen, eine abzählbare Überdeckung durch Platten besitzt. Da M (als Mannig- faltigkeit) parakompakt ist, können wir einen lokal endlichen Blätterungsatlas wählen. Fixieren wir nun eine Platte P0 , schneidet diese aufgrund der lokalen Endlichkeit des gewählten Blätterungsatlas nur endlich viele andere Platten. P0 startende Ketten von Plat6= ∅) unterhalb einer gegebenen Per Induktion gibt es daher nur endlich viele bei ten (d.h. Folgen von Platten Länge. Andererseits ist B, Pi sodass Pi ∩ Pi+1 wie wir bereits wissen, lokal euklidisch und per De- nition zusammenhängend, also wegzusammenhängend, d.h. jeder Punkt kann aus P0 durch einen Weg in B erreicht werden, der aber über eine endliche Folge von Platten überdeckt werden kann. Die Inklusion ist per Konstruktion eine Immersion und injektiv (aber nicht notwendigerweise eine Einbettung, da die Topologien nicht übereinstimmen müs- 2 sen). Durch diese Immersionen der Blätter erhalten wir ein Unterbündel Tangentialbündels an M, T (F) des indem für jeden Punkt die Tangentialebene an das T (F) das Tangentialbündel oder Ebenenfeld der Blätterung. Die äuÿeren Ableitungen auf Blatt durch diesen Punkt ausgezeichnet wird. Man nennt 28 Ein Beispiel dafür wird durch die sogenannten linearen Blätterungen auf dem Torus gegeben: Man betrachtet eine Blätterung auf R3 durch parallele Ebenen mit irrationalen Steigungswinkeln und teilt die komponentenweise Wirkung von Z3 auf R3 aus. Im Quotien- tenraum sind die Blätter Ebenen, die dicht liegen. Wir werden dieses Beispiel nicht weiter verwenden, für eine genauere Beschreibung vgl. [Candel, Conlon, S. 9 und Kommentar S. 10f.] sowie [Ghys, S. 4]. 29 Die Wahl der Topologie ist gerade so fein, dass die Einschränkung der Karten auf die Platten ein Homöomorphismus ist, in diesem Sinne ist die Struktur kanonisch. 28 den Räumen der Dierentialformen der einzelnen Blätter induzieren einen Operator dF , das Dierential entlang der Blätter. Es ist für eine komplexwertif lokal durch dF f (z, t) = ∂z f (z, t) dz + ∂z̄ f (z, t) dz̄ gegeben. ge, glatte Funktion Indem man jedes Blatt auf einen Punkt reduziert, erhält man (eine surjektive Abbildung von M auf ) den sogenannten Raum der Blätter M/F . Dieser ist mit der Quotiententopologie ein topologischer Raum, im Allgemeinen jedoch keine Mannigfaltigkeit (wenn ein Blatt im Abschluss eines anderen liegt, dann gibt es nicht abgeschlossene Punkte). 4.1.3 Denition Eine glatte Abbildung zwischen Blätterungen durch Riemannsche Flächen (M, FM ) und (N, FN ) f : M −→ N respektiert die Blätterung, FM zu FN einschränkt oder äquiva× {t} → × {t0 } holomorph falls sie sich auf jedem Blatt von einer holomorphen Abbildung in ein Blatt aus 30 lent, die in lokalen Koordinaten f |D×{t} : D D ist. Blätterungen durch Riemannsche Flächen sind sehr eng verwandt mit anderen Blätterungstheorien. Beispielsweise wird manchmal nicht gefordert, dass Mannigfaltigkeit ist, und man erlaubt men. im 31 Ti M eine in allgemeineren topologischen Räu- Andererseits sind Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten mit Koordinaten Rq × Rp (ohne Holomorphiebedingung an die Kartenwechsel) ein übliches Werkzeug in der Dierentialgeometrie. 32 Im Englischen (bzw. Französischen) werden zur Unterscheidung erstere gelegentlich foliated spaces oder laminations (auch auf Französisch laminations) und letztere foliations (bzw. feuilletages) 33 genannt. Ein wichtiges Hilfsmittel im zweiten Fall ist der Satz von Frobe- nius, der unter allen q -dimensionalen Ebenenfeldern diejenigen charakterisiert, die als Tangentialbündel einer Blätterung auftauchen. 34 Eine reelle Blätterung ist demnach das Gleiche wie die Vorgabe eines integrablen Ebenenfeldes. E. Ghys erklärt in seinem Artikel [Ghys, S. 4f.] unter Ausnutzung eines Resultats von Ahlfors und Bers, wie die zusätzliche Wahl einer Riemannschen Metrik auf einem integrablen Hyperebenenfeld einer 3-Mannigfaltigkeit die zugehöri- ge Blätterung mit der Struktur einer Blätterung durch Riemannsche Flächen 35 versieht. Dies wird hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt, uns wird die 30 Die Äquivalenz der beiden Bedingungen sieht man wie folgt: Die Notwendigkeit der zweiten ist klar, da komplexe Dierenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist. Um zu sehen, dass sie auch hinreichend ist, genügt zu zeigen, dass das Bild eines Blattes wieder in einem anderen Blatt enthalten ist. Dazu verbindet man zwei Platten im Startblatt wie im vorigen Beweis durch eine endliche Kette von sich überlappenden Platten. Die Bilder von je zwei sich überlappenden Platten treen das gleiche Blatt und sind also ganz darin enthalten. 31 Z.B. bei [Ghys]. 32 Vgl. [Candel, Conlon],[Lee]. 33 Vgl. [Ghys][Candel, Conlon, S. 32]. 34 Vgl. [Candel, Conlon, S. 34.] für eine Übersicht bzw. [Lee, S. 498.] für einen Beweis. 35 Strenggenommen diskutiert er nur den Fall von stetiger (nicht notwendig glatter) Abhängigkeit von der transversen Koordinate, da er laminations betrachtet. In dem Originalartikel wird aber auch der Fall dierenzierbarer Abhängigkeit betrachtet. 29 folgende Konstruktionsmethode genügen: 4.1.4 Proposition (X, F) eine Blätterung durch Riemannsche Flächen und G eine diskrete Gruppe, sodass G auf X eigentlich diskontinuierlich durch Dieomorphismen wirkt, die die Blätterung respektieren, dann besitzt der Quotient X/G Ist die Struktur einer Blätterung durch Riemannsche Flächen und die Projektion π : X → X/G ist eine Überlagerung, die die Blätterung respektiert. Beweis: Der Beweis verläuft genau wie im Fall von gewöhnliche Mannigfaltigkeiten, daher beschreiben wir nur den entscheidenen Punkt, nämlich dass der erhaltene Atlas auf X/G wieder ein Blätterungsatlas ist. Die Tatsache, dass ein Dieomorphismus die Blätterung respektiert, impliziert schon, dass auch die Umkehrabbildung die Blätterung respektiert. 36 x̄ ∈ X/G und ein Urbild x ∈ X unter der Projektion π : X → X/G eine Umgebung x ∈ U ⊆ X , sodass gU ∪U = ∅ für alle g ∈ G\{eG } gilt. Nach eventuellem Verkleinern können wir U als Kartenumgebung bzgl. X wählen. Dann ist Ū = π(U ) eine Kartenumgebung für x̄, indem wir eine Karte von X in einer beliebigen Komponente aus [ gU π −1 Ū = Nach Voraussetzung gibt es für einen Punkt g∈G wählen. Da sowohl g als auch g −1 die Blätterung respektieren, liefert dies einen wohldenierten Blätterungsatlas. 2 Wir skizzieren zuletzt noch einige Beispiele für Blätterungen durch Riemannsche Flächen. Abbildung 3: Beispiel 1 mit einigen Blättern eingefärbt schematisch dargestellt. 4.1.5 Beispiele: D × R besitzt eine oensichtliche Blätterung durch RieD × {t}. Durch Translation in der RKomponente operiert Z hierauf und diese Operation erfüllt die Bedin- 1. Der Zylinder mannsche Flächen mit Blättern gungen von Prop. 4.1.4. Wir erhalten eine induzierte Blätterung auf dem oenen Volltorus D × R/Z (siehe Abbildung 3). 36 Vgl. http://mathoverflow.net/questions/67493/diffeomorphic-holomorphicbiholomorphic. 30 Abbildung 4: Die Funktionen f0 , f−1 , f−2 , f−3 aus Beispiel 2. 2. Eine weitere Blätterung auf dem oenen Volltorus ist die Reeb-Blätte- rung (vgl. [Kopei, S. 141f.]). Dazu schreiben wir D × R in zylindrischen Koordinaten (r, z, t) wobei r ∈ [0, 1), z ∈ S 1 R t∈ ist. Diese Koor(0, z, t) für alle z ∈ S 1 und Auÿerdem ist r dort nicht glatt, und dinaten sind im Ursprung nicht eindeutig, da festes t den gleichen Punkt beschreibt. r2 aber schon. Für c ∈ sind die Funktionen R fc : D −→ R (r, z) 7−→ exp 1 1 − r2 +c daher glatt und wohldeniert, da sie nicht von z abhängen (siehe Abbil- dung 4). Ihre Graphen können als eine Blätterung durch Riemannsche Flächen auf dem Zylinder aufgefasst werden. Graphen durch Addition von Elementen aus 37 Andererseits werden die Z ineinander abgebildet, denn die Funktionen unterscheiden sich gerade durch Translation. Wir erhalten wieder eine Aktion von Z, die die Bedingungen von Prop. 4.1.4 erfüllt und damit eine wohldenierte Blätterung auf dem Quotienten. 3 3. Die Reeb-Blätterung kann auf die Sphäre S fortgesetzt werden. Dazu 3 4 schreiben wir S = {x = (x1 , ..., x4 ) ∈ | ||x|| = 1} = T+ ∪ T− als R 37 Denn die Ebenen sind dieomorph zum R2 ∼= C und indem wir immer denselben Dieo- morphismus (bis auf Translation) wählen, erhalten wir verträgliche komplexe Strukturen auf den Graphen durch Zurückziehen. Eine andere Möglichkeit wäre, die Methode von [Ghys] zu verwenden, z.B. mit der Standardmetrik auf dem Zylinder. 31 38 Vereinigung zweier abgeschlossener Volltori T+ = x ∈ S 3 | x21 + x22 ≥ x23 + x24 T− = x ∈ S 3 | x21 + x22 ≤ x23 + x24 . Auf dem Inneren von jedem Torus haben wir die Reeb-Blätterung und den Rand nehmen wir als Blatt hinzu. Es kann gezeigt werden, dass das 3 39 eine glatte Blätterung auf S liefert. Wir werden auÿerdem Flüsse auf Mannigfaltigkeiten verwenden. Da diese ein Standardwerkzeug sind, wiederholen wir nur die hier benötigten Aussagen. Für Beweise und Hintergründe verweisen wir auf [Lee, Chapter 9]. 4.1.6 Denition [Lee, S. 209] Ein (globaler) Fluss Operation auf M, Φ auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine glatte R- d.h. eine glatte Abbildung Φ: R × M −→ M t, x 7−→ Φt (x), sodass Wegen Φ0 = Id und Φt ◦ Φ−t = Id Φt ◦ Φs = Φt+s für alle folgt direkt, dass alle s, t ∈ Φt R gilt. Dieomorphismen sind. Es gibt verschiedene Arten, sich Flüsse vorzustellen: Entweder als Familie von Dieo- R Orbits Ox = {Φt (x) | t ∈ } betrachtet. 0 Diese partitionieren die Mannigfaltigkeit, d.h. falls Ox ∩ Ox0 6= ∅ für x, x ∈ M , dann ist schon Ox = Ox0 . Ferner ist nach Wahl von x der Orbit Ox parametrisiert durch die Flusslinie cx : t 7→ Φt (x). Diese Kurve kann als Bild nur morphismen oder indem man die einen Punkt haben, periodisch (mit positiver Periode) sein oder dieomorph zu R. Im ersten Fall spricht man von einem Fixpunkt des Flusses und im zweiten Fall von einem periodischen Orbit und l(Ox ) := mintper ∈R>0 cx (t + tper ) = cx (t) für alle t∈ R x0 = Φs (x), dann gilt cx0 (t) = cx (t + s).40 Die Tangentialvektoren an die Kurven cx bilden ein glattes Vektorfeld V (Φ). Hat umgekehrt ein glattes Vektorfeld V Integralkurven, die für alle Zeiten deniert V sind, d.h. für jedes x ∈ M eine glatte Kurve cx : → M mit cVx (0) = x und V ċx (0) = V (x), so generiert es einen globalen Fluss ΦV durch ΦVt (x) = cVx (t). heiÿt die Länge des Orbits. Falls R Solche Vektorfelder heiÿen vollständig. Jedes glatte Vektorfeld mit kompaktem 38 Alternativ könnten wir zwei abstrakte Tori D̄ × S 1 betrachten und die Ränder mittels f : S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1 (x, y) 7−→ (y, x) identizieren. 39 Vgl. [Kopei, S. 141f.] für genau diesen Fall und [Candel, Conlon, S. 93] für mehr Hinter- grundinformationen zur Konstruktion. 40 Für festes t∈ R kann man den Dieomorphismus Φt so verstehen: Die Punkte x ∈ M ieÿen die Kurven cx bis zum Zeitpunkt t entlang, daher der Name Fluss. 32 Träger ist vollständig. Insbesondere sind alle glatten Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten vollständig. Wenn eine diskrete Gruppe kontinuierlich auf M G eigentlich dis- operiert und ein vollständiges Vektorfeld invariant lässt, deniert das auch ein vollständiges Vektorfeld mit zugehörigem Fluss auf S, S 0 Es sei daran erinnert, dass zwei Untermannigfaltigkeiten faltigkeit M sich Tangentialräume transversal in einem Punkt x ∈ S ∩ S Tx S und Tx S 0 Tangentialraum F Tx M einer Mannig- schneiden, falls die (die wir über das Dierential der Einbettung (oder der Immersion) als Teilräume von Blätterung 0 M/G. Tx M auassen können) den ganzen aufspannen. Wenn wir eine Mannigfaltigkeit mit einer und einem Fluss Φ haben, sagen wir, der Fluss liegt transver- sal zur Blätterung, wenn in jedem Punkt V (Φ)(x) zusammen mit T (F)(x) den Tangentialraum Tx M aufspannt oder äquivalent, wenn die Flusslinien die Blätter transversal schneiden. 4.2 Geblätterte dynamische Systeme Mit den Grundlagen des vorigen Abschnittes können wir das Setting beschreiben, in dem wir ein geometrisches Analogon für die Weil-, bzw. Hilbert-Symbole suchen. Wir folgen [Kopei], der auf Ideen von C. Deninger aufbaut. 4.2.1 Denition [Kopei, S. 143] Ein geblättertes dynamisches System ist ein Tripel (M, F, Φ) beste- hend aus • einer kompakten Blätterung durch Riemannsche Flächen • einem Fluss Φ auf (M, F) und M, die wie folgt kompatibel sind: • sodass der Fluss Φ 0≤r<∞ an kompakten Blättern Ki , r auf dem Komplement M \ ∪i=1 Ki transvers zu F Es gibt eine endliche Anzahl ist. • Es gilt • Für alle Ein 0 Φt (Ki ) = Ki t∈ für alle i ∈ {1, ...r} und R respektiert Φt die Blätterung. t∈ R Morphismus geblätterter dynamischer Systeme (M , F 0 , Φ0 ) (M, F, Φ) und ist eine glatte Abbildung f : M −→ M 0 , sodass f die Blätterung respektiert und mit dem Fluss kommutiert. Auf jedem Blatt schränkt sich f also zu einer Abbildung Riemannscher Flächen ein und es wird zusätzlich gefordert, dass die Verzweigungspunkte dieser 41 Abbildungen in einer endlichen Anzahl periodischer Orbits liegen. 41 Diese letzte Bedingung werden wir in dieser Arbeit nicht verwenden. 33 Auch die Struktur geblätterter dynamischer Systeme steigt auf den Quotienten nach einer eigentlich diskontinuierlichen Gruppenwirkung durch Morphismen geblätterter dynamischer Systeme ab. 42 Dies gilt auch, wenn wir nichtkompakte ∂ ) können Räume betrachten. Durch Wahl eines geeigneten Vektorfeldes (z.B. ∂t also die ersten beiden Beispiele von 4.1.5 für Blätterungen durch Riemannsche Flächen auch als (nichtkompakte) geblätterte dynamische Systeme aufgefasst 43 werden. 4.2.2 Denition [Kopei, S. 144] Sei (M, F, Φ) ein geblättertes dynamisches System und K1 , ...Kr die kom- meromorphe Funktion auf einem geblätterten dynamischen System ist eine glatte Abpakten Blätter mit nichttransversalem Fluss. Eine bildung f : M\ r [ Ki −→ CP1 = C ∪ {∞}, i=1 sodass f eingeschränkt auf jedes Blatt von und die Null- und Polstellenmenge von f F in M \ ∪ri=1 Ki holomorph ist in der Vereinigung von endlich vielen transversalen, periodischen Orbits von Φ enthalten ist. Die meromorphen Funktionen bilden eine Gruppe bezüglich der Multiplikati∗ ∗ on, die wir mit M := M(M ) bezeichnen. Körper, Sie bilden jedoch i.A. keinen da es keinen Grund gibt, warum die Nullstellen der Summe zweier meromorpher Funktionen wieder nur auf periodischen Orbits liegen sollten. Wir schreiben im Folgenden häug kurz GDS bzw. GDS-meromorphe Funktion für geblättertes dynamisches System bzw. meromorphe Funktion auf einem geblätterten dynamischen System und 4.2.3 Bemerkung: Alle Blätter der Blätterung eines GDS M anstelle von (M, F, Φ) (M, F, Φ). sind orientierbar (als komple- xe Mannigfaltigkeiten). Wir können auÿerdem auf dem Komplement der kompakten Blätter Ki , zu denen der Fluss nicht transversal liegt, die betrachten, die durch ω|T (F ) ≡ 0 und 44 ω(V (Φ)) ≡ 1 1-Form ω deniert wird. Es kann mit Hilfe dieser Form gezeigt werden, dass auch die gesamte Mannigfaltigkeit r M \ ∪i=1 Ki orientierbar ist und eine Orientierung lokal durch i dz ∧ dz̄ ∧ ω gegeben ist. Im Folgenden werden wir immer diese Orientierung verwenden. 42 Vgl. Prop. 4.1.4 sowie die Tatsache, dass die analoge Aussage für Vektorfelder gilt und Transversalität erhalten bleibt. 43 Dies ist auch für das dritte Beispiel möglich, es muss dazu ein komplizierteres Vektorfeld für das zweite Beispiel verwendet werden, welches sich als konstant 0 auf den Rand des Torus fortsetzt. Da wir diese Beispiele nicht weiter verwenden werden, gehen wir nicht näher darauf ein. Vgl. [Kopei] und [Candel, Conlon, Fig. 5.1.1] für ein Bild. 44 Vgl. [Kopei, S. 146] bzw. [Candel, Conlon, S. 28]. 34 4.2.4 Bemerkung: Es kann gezeigt werden, 45 dass die Ordnung einer GDS-meromorphen Funktion, obwohl sie zunächst nur blattweise deniert ist, entlang periodischer Orbits konstant ist. Für einen periodischen Orbit O, ein Blatt B und einen beliebigen x ∈ B ∩ O und eine GDS-meromorphe Funktion f können wir also ordO f := ordx f |B denieren46 und dies liefert einen Gruppenhomomorphismus Punkt Z ordO : M(M )∗ −→ . F. Kopei hat für kompakte Blätter K , bei denen der Fluss nicht transversal ist, ebenfalls einen Gruppenhomomorphismus log | · |K : M(M )∗ −→ C deniert und gezeigt, dass für eine GDS-meromorphe Funktion f ∈ M(M )∗ schon X O periodischer Orbit gilt. X −l(O) ordO f + log |f |K = 0 K kompaktes Blatt mit nichttransversalem Fluss 47 Mit diesem Wissen ist die folgende Denition möglich: 4.2.5 Denition Für ein GDS (M, F, Φ) und f ∈ M(M )∗ ist der Divisor von f die formale Summe X div f = X ordO f [O] + log |f |K [K]. K kompaktes Blatt mit nichttransversalem Fluss O periodischer Orbit ordO f 6= 0 vereinigt mit der Menge nichttransversalem Fluss und log |f |K [K] 6= 0 Die Menge der periodischen Orbits mit der kompakten Blätter mit heiÿt der Träger des Divisors. 4.2.6 Bemerkung: Die Formel in der vorangehenden Bemerkung kann als deg div f = 0 aufgefasst werden. 45 Vgl. [Kopei, S. 145], der Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass das Null- und Polstellen zählende Integral, angewendet auf jedem Blatt, stetig von der transversen Koordinate abhängt. Vgl. auch die Argumente im vorigen Kapitel. 46 Ganz analog kann man den Verzweigungsindex eines Morphismus von GDS entlang eines periodischen Orbits denieren. 47 Vgl. [Kopei, S. 146]. Im Beweis werden Tubenumgebungen um die kompakten Blätter und die periodischen Orbits, auf denen Form dF log f ∧ ω (mit ω f Null- oder Polstellen hat, gelegt und dann die wie in Bemerkung 4.2.3) über den Rand der Tubenumgebungen integriert und Stokes angewendet. Die Beiträge der jeweiligen Tubenumgebung sind gerade die Summanden in der angegebenen Summe. Wir werden in Abschnitt 4.7 die gleiche Strategie verwenden. 35 4.3 Gründe für die Betrachtung geblätterter dynamischer Systeme Diese Darstellung folgt der Einleitung von [Deninger02] sowie [Morishita, Ch. 2, S. 24, Ch. 3]. Für eine umfassendere Darstellung von Deningers Theorie verweisen wir auch auf [Deninger98]. Die Idee, dass Zahlkörper bzw. deren Ganzheitsringe in Analogie zu dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten und Primideale in Analogie zu Knoten stehen, hat ihre Anfänge in der étalen Topologie. Sie beruht (unter anderem) auf den folgenden Beobachtungen: • Die étale-kohomologische Dimension des Spektrums von Ganzheitsringen globaler Zahlkörper ist 3. 48 • Die étale-kohomologische Dimension endlicher Körper ist 1. • Es gilt Ẑ π1ét Fq = , wobei Ẑ die proendliche Vervollständigung von Z ist. Dies suggeriert, sich den Ganzheitsring OK eines Zahlkörpers mensionale Mannigfaltigkeit und für ein Primideal sene Immersion Spec(OK /p) → Spec(OK ) p ⊆ OK K als dreidi- die abgeschlosS 1 , d.h. als als Einbettung einer einen Knoten, vorzustellen. Dies wurde Mitte der 60er Jahre unabhängig von 49 D. Mumford und Y. Manin vorgeschlagen und von B. Mazur aufgegrien. Die- ser Blickwinkel wurde später unter anderem M. Kapranov und A. Reznikov und M. Morishita weiterentwickelt. 50 Es gibt ein recht umfangreiches Wörterbuch, welches arithmetische Objekte und ihre geometrischen Gegenstücke auistet. Ein prominentes Beispiel ist das Legendresymbol und die Verschlingungszahl zweier Knoten. Ausgehend von dem Versuch, einen kohomologischen Zugang zur Riemannschen ζ -Funktion zu nden, hat C. Deninger, angefangen in den 90er Jahren, einen andere Theorie entwickelt, die ebenfalls auf die Betrachtung von Primidealen als Knoten führt. Dabei wird eine Zuordnung von Zahlringen zu gewissen Räumen mit 1-kodimensionaler Blätterung und einem diese Blätterung respektierenden Fluss postuliert und die vom Fluss induzierte Operation auf einer adäquaten Kohomologie dieser Räume betrachtet. Wie diese Zuordnung ausehen könnte, insbesondere welcher Natur diese Räume genau seien sollen, ist nicht vollständig geklärt. Die hier betrachteten geblätterten dynamischen Systeme können als eine (zu optimistische) Approximation an die Zielkategorie verstanden werden. 48 modulo 2-Torsion. Dies ist Teil der Aussage von Artin-Verdier Dualität. Es werden modizierte étale Kohomologiegruppen betrachtet, die die unendlichen Primstellen berücksichtigen. Vgl. [Morishita, S. 43 .] für einen Überblick und weitere Referenzen. 49 In vielen älteren Texten wird B. Mazur als Urheber genannt. In einem zwischenzeit- lich verschollenen, unpublizierten Manuskript nennt er jedoch Mumford als Ideengeber. Vgl. http://www.neverendingbooks.org/who-dreamed-up-the-primesknots-analogy für eine Spurensuche. 50 Vgl. [Morishita, S. 5] für Referenzen zu den Erstgenannten. 36 Schon hier gibt es jedoch erstaunliche formale Ähnlichkeiten zwischen Arithmetik und Geometrie und ein (nur teilweise mit dem zuvor erwähnten kompatibles) Wörterbuch. Im Folgenden geben wir den Auschschnitt daraus an, den wir hauptsächlich benutzen werden (dabei sei OK K ein globaler Zahlkörper und der Ganzheitsring): (M, F, Φ) f ∈ M(M )∗ periodischer Orbit O Länge l(O) Spec OK f ∈ K∗ Primideal GDS p Mächtigkeit #κ(p) unendliche Primstelle kompaktes Blatt ordp Inklusion OK ⊆ OL GDS-Überlagerung ordO M →M 0 Darüber hinaus werden wir die folgenden Objekte als analog betrachten. F∗q f R modulo f |O C (M/F, ∗ ) p Einheitswurzeln in 4.4 Z C∗) C ∞ ( / log q , Einschränkung ∞ K C R/λZ GDS-Faserbündel über Wir stellen eine spezielle Klasse von GDS zusammen mit einer Konstruktionsmethode für explizite Beispiele vor, die z.B. in [Deninger08] Erwähnung ndet. Angenommen wir haben ein GDS dessen Raum der Blätter eine Mannigfaltig1 keit ist, dann muss diese schon dieomorph zur Kreislinie S sein (denn sie ist 1-dimensional, kompakt und unberandet). Wenn wir zusätzlich annehmen, dass der Fluss überall transvers ist, muss die induzierte Wirkung auf dem Raum der Blätter aus einem einzigen Orbit Flusslinie durch O bestehen und eine Parametrisierung als R/l(O)Z ist ein Dieomorphismus. Alle Blätter müssen (durch den Fluss) biholomorph zueinander sein und das GDS erhält so die zusätzliche Struktur eines Faserbündels über R/l(O)Z. Wir nennen daher solche Systeme sene Länge des Basisraumes. Mit pr GDS-Faserbündel über R/λZ und meinen mit λ die durch den Fluss gemesbezeichnen wir in diesem Fall immer die Projektion auf den Raum der Blätter. Eine Konstruktionsmethode51 Sei λ∈ R eine feste reelle Zahl und (X, ϕ) ein diskretes holomorphes dynami- sches System, d.h. eine kompakte Riemannsche Fläche zusammen mit einem Auals: ϕ : X → X . Wir denieren das zugehörige GDS-Faserbündel . (X × ) M := M (X, ϕ) := λ . Dabei operiere λ tomorphismus R Z Z durch (λn, (m, r)) 7→ (ϕn(m), r−λn). Diese Gruppenwirkung erfüllt die Voraussetzungen von Prop. 4.1.4, also erhalten wir eine Blätterung durch Riemannsche Flächen. Auÿerdem gibt es eine glatte R-Wirkung Φ per t, (m, r) 7→ (m, r + t) , 51 Dies ist ein Spezialfall der Einhängung, einer üblichen Konstruktionsmethode für Blätterungen. Vgl. z.B. [Ghys] oder [Candel, Conlon], und des Abbildungstorus aus der Topologie. 37 die die Blätterung respektiert und Flusslinien überall transvers zur Blätterung hat. Die Projektion pr : M −→ R/λZ auf die zweite Komponente induziert eine Faserbündelstruktur über Fasern biholomorph zu R/λZ. X. R/λZ mit Der Raum der Blätter ist dadurch isomorph zu Es sei bemerkt, dass wir mit ϕ = id diesen Prozess insbesondere für eine belie- bige Riemannsche Fläche durchführen können. Es gibt eine Umkehrung dieser Operation: Für ein GDS-Faserbündel M̃ ist die −1 Faser pr ([t]) über einem beliebigen Punkt zusammen mit Φ̃−λ −1 ein dispr ([t]) kretes holomorphes dynamisches System. Falls das Faserbündel schon von der −1 Form M̃ = M (X, ϕ) war, ist (pr ([t]), Φ̃−λ −1 ) isomorph zu (X, ϕ). pr ([t]) Orbits Z x ∈ X bezeichnen wir mit Ox = {ϕn (x) | n ∈ } den Orbit von x ϕ. Wir schreiben |Ox | := #Ox für die Mächtigkeit, falls diese endlich Für ein unter ist und sprechen von einem endlichen Orbit. Bei der obigen Konstruktion erhalten wir eine Bijektion: endliche Orbits von (X, ϕ) ←→ periodische Ox 7−→ O[(x,0)] Oφb λt c (x) ←−[ O[(x,t)] . Dabei entsprechen endliche Orbits mit l(O[(x,0)] ) = nλ, O[(x,0)] (M (X, ϕ), Φ) periodischen Orbits der Länge denn: Für einen endlichen Orbit also ist |Ox | = n Orbits von Ox mit periodisch und da die Länge. Ist umgekehrt |Ox | = n ist [(x, nλ)] = [(ϕ−n , 0)] = [(x, 0)], n minimal ist mit ϕn (x) = x, stimmt auch O[(x,0)] ein periodischer Orbit, dann ist die Länge das 0 0 Produkt von λ mit einer natürlichen Zahl, da [(x, t)] ∼ [(x , t )] genau dann m 0 0 gilt, wenn ein m ∈ existiert mit x = φ (x ) und t − t = λm. Die beiden Z Abbildungen sind invers zueinander. Für die eine Richtung ist das oensichtlich, für die andere kann man die folgende Zerlegung benutzen, die noch häuger nützlich sein wird: Für Ox = {x1 , ..., xn } O[(x,0)] gilt n [ = (xi , t) | t ∈ [0, λ) . i=1 Meromorphe Funktionen Für eine meromorphe Funktion ∗ d.h. ϕ div(f ) = div(f ), gilt f ∈ M(X)∗ , deren Divisor von ϕ xiert wird,52 f ◦ϕ ≡ b(f ) f für eine komplexe Zahl b(f ) ∈ C, da der Quotient eine holomorphe Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche, also konstant, ist. 52 Explizit bedeutet dies: Für eine Null- oder Polstelle bzw. Polstelle derselben Ordnung. 38 x von f ist ϕ(x) wieder eine Null- a(f ) = log b(f ) erhalten wir ta(f ) F (x, t) := exp f (x) λ Nach Wahl eines Logarithmus durch M . Diese ist wohldeniert, da ta(f ) F (ϕ(x), t − λ) = exp exp − a(f ) f ϕ(x) = F (x, t) λ eine GDS-meromorphe Funktion auf gilt und die Äquivalenzrelation von [(x, t)] ∼ [(ϕ(x), t − λ] O[(x,0)] für x ∈ div(f ). erzeugt wird. Ihr Divisor besteht genau aus den Orbits Warnung: Da wir beim Logarithmus eine Wahl treen, erhalten wir zu gegebenem f eigentlich eine ganze Familie von Funktionen F (j) (x, t) = exp 2πijt λ F (F (j) )j∈Z wobei (x, t) . f gehörigen GDS-meromorphen Funktion auf M die Rede ist, ist irgendein Element dieser Familie gemeint und wir schreiben a(f ) für die die Wahl des Logarithmus, die zu dieser Funktion führt. Wenn im Folgenden von einer zu 4.4.1 Bemerkung: Die Zuordung wird wohldeniert, wenn wir einen Quotienten des Zielraumes betrachten: f ∈ M(X)∗ mit R Z C∗) . ∗ ϕ∗ div(f ) = div(f ) −→ F ∈ M(M ) C ∞( / , Sie faktorisiert dann über eine injektive Abbildung: f ∈ M(X)∗ mit C∗ −→ ϕ∗ div(f ) = div(f ) / F ∈ M(M )∗ . R Z C∗) C ∞( / , Auch hier gilt wieder eine Umkehrung: Für eine GDS-meromorphe Funktion RZ M = M (X, ϕ) und X[t] die Faser über [t] ∈ / ist F |X[t] Funktion auf X[t] ∼ = X , deren Divisor invariant unter ϕ ist. auf F eine meromorphe Interpretation Die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten könnten als Analoga zu algebraischen Kurven über nicht notwendig algebraisch abgeschlossenem Körper k (d.h. zum Funktionenkörperfall) aufgefasst werden. Dabei treten auch Trägheitsphänomene auf, d.h. Orbits von Φ, die nichttriviale Überlagerungen von geben dazu noch ein konkretes Beispiel. 39 R/λZ sind. Wir 4.4.2 Beispiele: X= tive n-te 1. Sei CP1 = C ∪ {∞}, n ∈ N eine natürliche Zahl, ζ ∈ µn eine primiEinheitswurzel und ϕ(z) = ζz . C ϕ sind 0 und ∞, alle anderen Punkte (d.h. alle x ∈ ∗ ) sind n-periodisch. Die zugehörigen Orbits von M (X, ϕ) sind also n-fache Überlagerungen des Basisraumes. Eine GDS-meromorphe Funktion F wird n beispielsweise durch f (z) = z − 1 induziert. Ihr Divisor ist Die Fixpunkte von div F = O[(1,0)] − nO[(∞,0)] . 2. Bei X= CP1 sind die Automorphismen die Möbiustransformationen und durch die Bilder von drei Punkten bestimmt. Ein ϕ 6= id kann also nur 1 0, 1 oder 2 Fixpunkte haben, d.h. in M ( , ϕ) haben nur 0, 1, 2 oder alle CP Orbits die gleiche Länge wie der Basisraum. 4.4.3 Bemerkung: Durch eine einfache Umparametrisierung könnten wir λ auf 1 normieren. Das es hier dennoch in die Konstruktion mit aufgenommen wird, hat ideologische Gründe: Für eine hypothetische Zuordnung von globalen Funktionenkörpern zu den hier betrachteten Faserbündeln würde man erwarten, dass die zugehörigen n Basisräume Länge λ = log q für q = p mit einer Primzahl p hätten. 4.5 Ein Vorschlag von Kapranov In diesem Abschnitt stellen wir einen Vorschlag zur Denition der lokalen Symbole von M. Kapranov, der C. Deninger von M. Morishita mitgeteilt wurde und der der ursprüngliche Anlass zu dieser Arbeit war, vor und beweisen eine Reziprozitätsformel für induzierte GDS-meromorphe Funktionen auf zu diskreten holomorphen dynamischen Systemen gehörigen GDS-Faserbündeln. 4.5.1 Denition Sei (M, F, Φ) Φ. Das ein GDS, F, G ∈ M(M )∗ und O ein periodischer Orbit von Kapranov-lokale Symbol53 bei O ist deniert als: Kap F, G O := deg F ordO G GordO F O 4.5.2 Bemerkung: Da die Ordnungen auf einem geschlossenen Orbit konstant sind, hat die Funktion, deren Grad wir betrachten wollen, weder Null- noch Polstellen. Damit ist ∗ sie also eine Abbildung O → und der Grad ist wohldeniert. Auÿerdem ist es gleich 0, falls F und G C weder Null- noch Polstellen entlang O haben. 53 Dies ist eine leicht modizierte Version des ursprünglichen Vorschlags. Bei diesem wurden f und g mit disjunkten Divisorenträgern betrachtet. Dann P ordO (g) deniert, wobei O durch die geschlossenen Orbits O deg(f |O ) visors von g ) läuft, und gefragt, ob f (div g) = g(div f ) gilt. 40 wurde f (div g) = (im Träger des Di- 4.5.3 Proposition M = M (X, ϕ) das zu einem diskreten holomorphen dynamischen Sys∗ tem (X, ϕ) gehörige GDS-Faserbündel und sind f, g ∈ M(X) zwei mero∗ ∗ morphe Funktionen mit ϕ div(f ) = div(f ) bzw. ϕ div(g) = div(g) sowie F, G zwei zu f, g gehörige GDS-meromorphe Funktionen, dann gilt, mit C = supp div(F ) ∪ supp div(G): X Kap F, G O = 0 Ist O∈C Beweis: λ = 1. Cf = supp div(f ), Cg Sei o.E. Cf,g := Cf ∪ Cg := {x1 , ...xn } die Menge der Null- und Polstellen von f und g . Die Ordnung von F bzw. G auf einem m Orbit O[(xi ,t)] ist dieselbe wie die von f bzw. g bei ϕ (xi ) für alle m ∈ und es gilt |Oxi | = l(O[(xi ,0)] ). Damit erhalten wir, da die Summe über die Sei analog und N Ordnungen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche verschwindet: 2πi X O∈C ordO G Z Kap X F F, G O = dlog ord F O G O O∈C O Z l(O) X = a(f ) ordO G − a(g) ordO F dt 0 O∈C = X l(O) a(f ) ordO G − a(g) ordO F O∈C = X X a(f ) ordxi g − a(g) ordxi f O∈C [(xi ,0)]∈O = X a(f ) ordxi g − a(g) ordxi f xi ∈Cf,g = a(f ) X ordxi g − a(g) xi ∈Cg X ordxi f = 0 xi ∈Cf 2 Auch wenn das Ergebnis auf den ersten Blick dafür spricht, dass die lokalen Symbole nach Kapranov eine geeignete Verallgemeinerung der Weil- bzw. HilbertSymbole auf GDS darstellen, spricht der Beweis eher dagegen. Es wäre zu erwarten, dass sich eine hypothetische Reziprozität für lokale Symbole auf GDS auf jenen, die von Riemannschen Flächen herkommen, auf die Weil-Reziprozität reduziert. Für die gerade bewiesene Formel mussten wir aber nur benutzen, dass die Summe über die Ordnungen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche verschwindet, was eine viel schwächere Aussage ist. 4.6 Reziprozität für Faserbündel In diesem Abschnitt stellen wir eine andere mögliche Denition für lokale Symbole auf GDS vor. Sie hat den Nachteil, nur auf GDS-Faserbündeln über 41 R/λZ zu funktionieren, da steht sie aber dafür in sehr schöner Analogie zum Funktionenkörperfall. 4.6.1 Denition R Z (M, F, Φ) ein GDS-Faserbündel über /λ . Für einen periodischen ∗ Orbit O von Φ und zwei GDS-meromorphe Funktionen F, G ∈ M(M ) ist Sei das lokale Symbol für GDS-Faserbündel deniert als: F B F, G O = Y R Z C∗) ordO G ordO F ordO G F σ (−1) ∈ C ∞ ( /λ , ord F O G O ∗ R Z σ∈Deck(O, /λ ) Wir erklären diese Denition auf zwei Arten. Zunächst formal: Eigentlich ist so eine Funktion auf O deniert. Da das Produkt über die Pullbacks mit allen Decktransformationen läuft, ist das Ergebnis invariant unter eben diesen und damit auch auf dem Quotienten (d.h. dem überlagerten Raum) wohldeniert. beliebiges Urbild von R Z t ∈ /λ auszuwerten, nehme ein t in O, werte darauf aus und das Ergebnis ist unabhängig Explizit bedeutet das: Um die Funktion auf von gewählten Urbild. Konzeptuell ist die Formel die genaue Übersetzung von Def. 2.1.1, wobei die Überlagerung des Basisraumes durch den Orbit der Restklassenkörpererweiterung entspricht, die Decktransformationsgruppe der Galoisgruppe und nichtverschwindene Funktionen der multiplikativen Gruppe des Restklassenkörpers bzw. den Einheitswurzeln. Für diese lokalen Symbole gilt jetzt eine leicht zu beweisende Produktformel (vergleiche auch die Reduktion im Beweis von Satz 2.1.2): 4.6.2 Proposition In der Situation von Def. 4.6.1 gilt: Y O periodischer Orbit in M F B F, G O ≡ 1. Beweis: Sei C die Vereinigung der Träger der Divisoren von Aussage für das Produkt über alle O ∈ C F und G. Es genügt die zu zeigen, überall sonst sind die Faktoren schon a priori konstant eins. Wir zeigen die Aussage faserweise. Sei wieder ohne Einschränkung RZ λ = 1. [t] ∈ / ein beliebiger Punkt und X die Faser über [t]. Die Funktionen G schränken sich auf X zu meromorphen Funktionen f, g ein, deren Null- und Polstellen genau die Punkte in Cf,g := ∪O∈C (O ∩ X) sind. Für festes O ∈ C ist die Decktransformationsgruppe Deck(O, / ) zyklisch und für [(xi , t)] ∈ X ∩ O ist die Abbildung Sei F und RZ RZ Deck(O, / ) −→ O ∩ X σ 7−→ σ (xi , t) 42 xi . Damit gilt ordO G ordO F ordO G F (−1) (x , t) i GordO F O bijektiv und unabhängig von der Wahl von Y F B Y F, G O [t] = O∈C Y O∈C [(xi ,t)]∈O∩X Y = f, g xi xi ∈Cf,g =1 2 aufgrund der Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche Flächen. Mit dieser Denition ist die Reziprozität (für Faserbündel über R/λZ) also äquivalent zur gewöhnlichen Weil-Reziprozität. Darüber hinaus erhalten wir die Kapranov-Symbole in diesem Fall wie folgt als Spezialisierung (die Rechnungen wieder mit λ = 1).54 Für einen geschlossenen Orbit O und einen Punkt x ∈ O zerlegen wir O als l(O)−1 O = ∪i=0 Bi wobei Bi = {Φj (x) | j ∈ [i, i + 1)}. Für festes Bi lassen sich alle anderen als Bild genau einer Decktransformation schreiben und alle unter der Projektion bijektiv auf Z R/Z F B X dlog F, G O = Bi R/Z abgebildet. Daher gilt: Bi werden ordO G ordO F ordO G F dlog (−1) ordO F G Bi O Z Z F B dlog F, G O O Kap = 2πi F, G O . = 4.7 Die Beträge der lokalen Symbole In diesem Abschnitt modizieren wir den Beweis der Reziprozität der Beträge der lokalen Symbole auf kompakten Riemannschen Flächen, um eine Formel für die Beträge der (hypothetischen) lokalen Symbole auf beliebigen GDS zu erhalten, für die ebenfalls eine Reziprozitätsformel gilt. Der Beweis folgt der gleichen Strategie wie [Kopei] beim Beweis seiner Produktformel. (M, F, Φ) ein beliebiges GDS, K1 , ..., Km die kompakten Blät∗ ter, zu denen der Fluss nicht transvers liegt, und F, G ∈ M(M ) zwei GDSmeromorphe Funktionen, die nicht konstant gleich null sind, und O1 , ...On die geschlossenen Orbits, auf denen F bzw. G Null- oder Polstellen haben. Sei im Folgenden Auf dem Komplement der Oi denieren wir die 1-Form η = log |F | dF log G − log |G| dF log F, wobei dF das zuvor erwähnte Koordinaten (z, t) Dierential entlang der Blätter ist. In lokalen ist es als dF log F = ∂z F (z, t) dz 54 Dies gibt dann auch einen Beweis der Reziprozität für Kapranov-lokale Symbole auf GDS-Faserbündeln ohne den Umweg über die diskreten dynamischen Systeme. 43 gegeben. Wir erhalten wie zuvor eine geschlossene Form durch 1 ∪ 2 := i Im(η). Um fortzufahren wie im Beweis für Riemannsche Flächen, wäre es wünschenswert, dη über eine kompakte Teilmenge aus M Stokes anzuwenden. Dafür müsste allerdings integrieren zu können, um dann η eine 2-Form sein. Um diesen Mangel zu beheben betrachten wir die bereits erwähnte, geschlossene 1-Form ω , die deniert wird durch ω|T F ≡ 0 und ω|V (Φ) ≡ 1. Diese Forderungen bestimmen die Form überall dort eindeutig, wo der Fluss transversal zur Blätterung liegt. 55 M ohne die die Oi ist also Auf dem ist, und ohne kompakten Blätter, bei denen dies nicht der Fall (1 ∪ 2 ) ∧ ω wohldeniert und geschlossen als Dachprodukt von geschlossenen Formen. Wir wählen nun beliebige Tubenumgebungen TKi der Ki und schreiben für m die Vereinigung T := ∪i=1 TKi . Für die Oi wählen wir sogenannte Ti , d.h. Einbettungen geblätterte Tubenumgebungen ϕi : D × R/l(Oi)Z −→ M \T, D jeweils holomorph in ein Blatt abgebildet wird und die Einschränkung von ϕi auf {0} × R/l(Oi )Z mit der durch den Fluss gegebenen Parametrisierung sodass von Oi übereinstimmt. 56 Damit gilt nach Stokes: Z d (1 ∪ 2 ) ∧ ω 0= M \∪n i=1 Ti ∪T Z (1 ∪ 2 ) ∧ ω = ∪n i=1 δTi ∪δT Z (1 ∪ 2 ) ∧ ω + = n Z X δT i=1 (1 ∪ 2 ) ∧ ω. δTi In den einzelnen Summanden der hinteren Summe können wir das Integral weiter auswerten. Dazu wenden wir den Satz von Fubini an: Z Z ϕ∗ (1 ∪ 2 ) ∧ ω (1 ∪ 2 ) ∧ ω = ϕ−1 (δTi ) l(Oi ) Z δTi Z ∗ ϕti η dt 0 S1 ordO G Z l(Oi ) F = 2πi log ord F O ϕi (0, [t]) dt. G O 0 = 55 Diese Form wird auch bei [Kopei] benutzt. Dies ist ein Spezialfall eines allgemeineren Konzepts: Wir können sogenannte 2-Formen entlang der Blätter (dη bzw. d(1 ∪ 2 ) sind solche) integrieren, wenn ein transversales Maÿ existiert. Ein zur Blätterung transversaler Fluss induziert ein solches durch die Form ω. Vgl. [Ghys, Ch. 3]. 56 Vgl. [Candel, Conlon, S. 88.] für die Existenz solcher Tubenumgebungen. 44 Hierbei ist ϕti die Einschränkung von ϕi auf D × {t} und die dritte Gleichung folgt aus derselben Rechnung wie bei Satz 3.1.1 (Es wird wieder ausgenutzt, dass das Integral nur von der Homologieklasse der Tubenumgebungen abhängt). Indem wir alles durch 2πi teilen und weil log(|.|) = Re log(.) gilt, erhalten wir: 4.7.1 Denition und Satz F, G ∈ M(M )∗ ist der Betrag des lokalen Symbols für einen periodischen Orbit O und einen beliebigen Punkt z ∈ O Für ein GDS (M, F, Φ) und als F, G := exp Re O ! ordO G F log (−1)ordO F ordO G ord F Φt (z) dt G O O l(O) Z 0 und für ein kompaktes Blatt K mit hinreichend kleiner Tubenumgebung als F, G := exp K 1 2πi T Z (1 ∪ 2 ) ∧ ω δT deniert und es gilt Y F, G = 1, D D wobei D die kompakten Blätter, zu denen der Fluss nicht transvers liegt, und alle transversen periodischen Orbits von Falls M ein GDS-Faserbündel über zusammen: Es existiert ein n−1 X log F, G O = Re i=0 Z n∈ Z λ log Z = R/λZ N mit l(O) = nλ und damit log (−1) 0 log durchläuft. R/λZ ist, hängen die Denitionen wie folgt ordO G GordO F ordO F ordO G F 0 λ = Re Φ Φt−λi (z) dt O ! ordO G F (−1)ordO F ordO G ord F Φt−λi (z) dt G O O i=0 F B F, G O dt. n−1 Y 45 5 Fazit und Ausblick 5.1 Fazit In dieser Arbeit haben wir einen neuen Beweis für die Weil-Reziprozität auf Riemannschen Flächen gegeben und drei verschiedene, aber verwandte Denitionen für lokale Symbole auf geblätterten dynamischen Systemen diskutiert. FB Die zweite, ( · , · ) kann dabei als Analogon der lokalen Symbole auf algebraischen Kurven über nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körpern aufgefasst werden. Die Frage nach der Konstruktion eines in einem geometrischen, geblätterten Kontext denierten Symbols, das näher am Hilbert-Symbol ist, bleibt nach wie vor oen. Es ist nicht klar, ob sie im Rahmen der hier betrachteten geblätterten dynamischen Systeme eine Antwort nden kann. Die letzte Denition der Beträge der lokalen Symbole kann als erster Schritt in diese Richtung gesehen werden, da hier auch die kompakten Blätter berücksichtigt werden. 5.2 Ausblick Zum Abschluss der Arbeit sammeln wir einige (spekulative) alternative Ansätze für die hier betrachteten Probleme und Fragen, die sich aus der Arbeit ergeben. Beispielsweise liegt es in Anbetracht des Beweises in Abschnitt 3.2 nahe zu fragen: • Gibt es ein geeignetes Beilinson-Funktional für GDS? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie bei der Suche nach einem Analogon für das Hilbert-Symbol vorgegangen werden könnte: • K -theoretische Interpretationen von Hilbert- bzw. Weil-Symbolen klarer herausarbeiten und dann nach einer Man könnte kohomologische bzw. 57 geeigneten Version dieser Theorien für (Varianten von) GDS fahnden. • Es gibt explizite Formeln für die Hilbert-Symbole an beliebigen Stellen, 58 ohne Bedingung an die Restklassenkörpercharakteristik. Durch genauere Untersuchungen dieser Formeln könnten Ideen entstehen, wie die GDS abgeändert werden müssten, um auch die hier auftretenden Phänomene abbilden zu können. • Es wäre zu klären, wie der Zusammenhang des Hilbert-Symbols mit n-ten Potenzen modulo einem Primideal ins Bild passt. In diesem Zusammenhang könnte es interessant sein, zu prüfen, inwieweit es einen Zusammenhang zwischen den hier denierten lokalen Symbolen und der Verschlingungszahl zweier Knoten gibt, die nach Morishita als Analogon des Legendre-Symbols betrachtet werden kann. 57 Vgl. z.B. [Neukirch, Schmidt, Wingberg, S. 356.]. 58 Vgl. den ersten Teil von [Vostokov] sowie [Neukirch05, S. 355 f.]. 46 Auch die hier betrachteten GDS-Faserbündel erlauben einige interessante Fragen • 59 Da es eine Einbettung der Riemannschen Flächen in diese Kategorie gibt, könnte man auch meromorphe Funktionen übersetzen als solche mit Ziel 1 × /λ . Wie verhalten sich diese im Bezug auf die von uns denier- CP R Z ten meromorphen Funktionen und gibt es auch für beliebige GDS einen Basisraum gleicher Dimension, in dem die Funktionen landen könnten? • Gegeben ein diskretes holomorphes dynamisches System Typen von periodischen Orbits treten bei Weise sind diese verknotet? 60 M (X, ϕ) (X, ϕ), welche auf und in welcher 59 Was in dieser Arbeit nur für die Objekte vorgeführt wurde. 60 Die erste Frage ist gleichbedeutend mit: Beschreibe die endlichen Orbits von ϕ. Vermutlich gibt es schon viele Resultate in dieser Richtung. Vgl. auch Bsp. 4.4.2. 47 6 Anhang 6.1 Klassenkörper- und Kummertheorie In diesem Abschnitt werden einige Sätze aus der algebraischen Zahlentheorie wiederholt, die im weiteren Verlauf des Kapitels benutzt werden, allerdings ohne Anspruch auf eine umfassende Einführung in die angeschnittenen Themenbereiche. Im Folgenden schreiben wir G(L|K) µn n-ten Einheitswurzeln Galoiserweiterung L|K . für die Gruppe der für die Galoigruppe einer und Kummertheorie 6.1.1 Satz [Neukirch86, S. 15] Sei n∈ N und F ein Körper mit char(F ) - n und µn ⊆ F . Es gibt eine maximale abelsche Erweiterung von F vom Exponent √ n ist gegeben durch L = F ( F ∗ ) und es gibt einen Isomorphismus: n. Diese F ∗ /F ∗ n −→ hom G(L|F ), µn √ ! σ na a 7−→ χa = σ 7→ √ n a 6.1.2 Bemerkung: hom(G(L|F ), µn ) als Gruppe der stetigen Homomorphismen zu verstehen, wobei G(L|F ) mit der sogenannten Krulltopologie [Neukirch86, S. 2] versehen ist und µn mit der diskreten. Falls die Erweiterung endlich ist, stimmt Hierbei ist die Krulltopologie mit der diskreten überein und jeder Homomorphismus ist stetig. Dies ist immer der Fall, wenn F ein lokaler Körper ist (vgl. [Neukirch86, S. 41, Prop. 1.5]). Da wir nur an diesem Fall interessiert sind, gehen wir hier nicht weiter darauf ein. 48 Klassenkörpertheorie Wir übernehmen die Notation aus Kapitel 1.1. Die Referenzen sind die leichter zugänglichen [Neukirch05] bzw. [Neukirch86]. Für vollständige Beweise auch im Funktionenkörperfall verweisen wir auf [Neukirch, Schmidt, Wingberg]. 6.1.3 Satz [Neukirch86, S. 42] Sei F E|F ein lokaler Körper. Für jede abelsche Erweiterung Isomorphismus, genannt das lokale Normrestsymbol gibt es einen ( · , E|F ) : L∗ /NE|F M ∗ −→ G(M |L). Ist die Erweiterung E|F unverzweigt, so hat diese Abbildung die Form x = uπ n 7−→ FrobnE|F , wobei π ∈ OL FrobM |L ein uniformisierender Parameter, u ∈ OL∗ eine Einheit und der eindeutige Lift des Frobeniusautomorphismus der Restklassen- körper ist. (Vgl. [Neukirch86, S. 25. Th. 2.5]) 6.1.4 Bemerkung:[Neukirch86, S. 43] Man deniert auÿerdem: CR x, | für x∈ = σ sign(x) ∈ G C|R R∗/R∗>0, wobei σ die komplexe Konjugation ist, sowie der Vollständig- keit halber C C ≡ id ∈ G C|C , · , R|R ≡ id ∈ G R|R . Damit gilt der vorige Satz auch für R und C. ·, | D|E|F ineinander x ∈ E , dann gilt:61 Falls und enthaltene abelsche Erweiterungen lokaler Körper sind x, D|F = x, E|F . 6.1.5 Satz [Neukirch05, Kor. 5.7, S. 411] Für eine abelsche Erweiterung globaler Körper L|K und ein Element a∈K gilt Y a, Lp |Kp = 1. p∈P Hierbei bezeichnet Kp P die Menge der Primstellen von die Komplettierung bzgl. Primstelle p sowie Lp P|p. 61 Vgl. [Neukirch05, S. 318f., Satz 6.4]. 49 K und für p∈P ist die Komplettierung bezüglich einer 6.2 Algebraische Geometrie Für einen beliebigen Körper X vom endlichen Typ über k ist k der eine Kurve über Dimension 1. k ein integres Schema Ein solches Schema besitzt ηX und der lokale Ring an diesem ist der Funktionenkörper von X , K(X) = OηX . Ein nichtkonstanter Morphismus zwischen zwei Kurven X und Y über k ist automatisch dominant, d.h. sie bildet den generischen Punkt von X auf den generischen Punkt von Y ab. Daher induziert sie einen Homomorphismus auf den Funktionenkörpern K(Y ) → K(X). einen eindeutigen generischen Punkt Der dadurch denierte Funktor induziert die folgende Äquivalenz von Kategorien: 62 Objekte: Normale, eigentliche Kurven über k Morphismen: nichtkonstante Morphismen ←→ Objekte: endlich erzeugte Körpererweiterungen von k vom Transzendenzgrad 1 Morphismen: Körperhomomorphismen Tatsächlich ist jede nichtkonstante Abbildung zwischen normalen, eigentlichen Kurven sogar surjektiv, endlich und lokal frei. 63 Im Folgenden sei X eine glatte, eigentliche Kurve über einem Körper k und K = K(X) ihr Funktionenkörper. Mit X0 X. x ∈ X0 ist der lokale Ring OX,x ein diskreter Bewertungsring Quotientenkörper K , auf dem wir also eine induzierte diskrete Bewertung bezeichnen wir die Menge der abgeschlossenen Punkte von Für jeden Punkt mit ordx erhalten. Dies induziert bereits eine Bijektion: abgeschlossene Punkte von X ←→ 64 Äquivalenzklassen diskreter Bewertungen auf K, die auf k die triviale Bewertung induzieren. Die Umkehrabbildung wird dabei mit dem Bewertungskriterium für eigentliche Abbildungen, angewandt auf den Strukturmorphismus X −→ k, konstruiert. 62 Vgl. [Görtz, Wedhorn, S. 495]. 63 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Prop. 15.16, S. 492]. 64 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Bem. 15.24, S. 496]. 50 Literatur [Candel, Conlon] A. Candel, L. Conlon Foliations I. American Mathematical Society, Rhode Island, 1999. [Deninger98] C. Deninger sis on Foliated Spaces. Some Analogies Between Number Theory and Analy- S. 163-186 in: Documenta Mathematica, Proceedings of the ICM, Vol 1, Berlin, 1998. [Deninger02] C. Deninger tems. 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Schmidt, Kay Wingberg Coho- mology of Number Fields (2nd Edition). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2008. [Schikhof ] W. H. Schikhof Ultrametric Calculus. Camridge University Press, Cambridge, New Yourk, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore, São Paulo, 2006. algebraic groups and class elds - a translation of the French edition. Springer-Verlag, New York, 1988. [Serre88] J. P. Serre [Serre95] J. P. Serre cours d'arithmétique. Presses Universitaires de France, Pa- ris, 1995. [Vostokov] S. Vostokov Explicit Formulas for the Hilbert Symbol. S. 81-89 in: Geometry and Topology Monographs, Volume 3: Invitations to Higher local elds, Part 1, section 8, o.O., o.J. 52
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