Weil-Reziprozität für Blätterungen durch
Riemannsche Flächen
Masterarbeit
Betreuer: Prof. C. Deninger
Fachbereich 10 Mathematik und Informatik
Westfälische Wilhelms-Universität
vorgelegt von
Jonas Robin Stelzig
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung
1
1 Das Hilbert-Symbol
4
1.1
Die lokale Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Globale Theorie - Reziprozität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Weil-Reziprozität
10
2.1
Lokale Symbole und Reziprozität
. . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Verbindung zur Hilbert-Reziprozität . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3 Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche Flächen
3.1
3.2
Reziprozität für die Beträge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
15
Holomorphie des Weil-Produkts . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.1
Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.2
Das Beilinson-Funktional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.3
Beweis der Holomorphie
25
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Reziprozität für Blätterungen Ideen, Diskussion und Teilergebnisse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1
Grundlagen
4.2
Geblätterte dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3
Gründe für die Betrachtung geblätterter dynamischer Systeme .
36
4.4
GDS-Faserbündel über
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.5
Ein Vorschlag von Kapranov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.6
Reziprozität für Faserbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.7
Die Beträge der lokalen Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
R/λZ
5 Fazit und Ausblick
27
46
5.1
Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.2
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6 Anhang
48
6.1
Klassenkörper- und Kummertheorie . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.2
Algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Literatur
51
I
0
Einleitung
Die klassische Weil-Reziprozität ist eine Aussage über zwei meromorphe Funktionen
f
und
g
auf einer kompakten Riemannschen Fläche
X,
deren Null- und
Polstellenmengen sich nicht überschneiden. Sie wird üblicherweise in der folgenden Form gegeben:
0.0.1 Satz [Griths, Harris, S. 242 f.]
Für
supp div f ∩ supp div g = ∅ gilt
Y
Y
f ordx (g) (x) =
g ordx (f ) (x).
x∈X
1,
Die Faktoren sind gleich
und ansonsten ungleich
0
x∈X
x weder Null- noch Polstelle von f oder g ist
∞. Da X kompakt ist, sind also beide Produkte
falls
oder
endlich und wohldeniert.
Die Bedingung an die disjunkten Null- und Polstellenmengen kann durch Umformulierung der Aussage fallengelassen werden. Dazu wird das lokale Symbol
bei einem Punkt
x ∈ X,
f, g
x
ordx (g)
ordx (f ) ordx (g) f
= (−1)
(x)
g ordx (f )
betrachtet. Dieses liefert nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ein wohlde∗
niertes Element in
= \{0}, auch wenn x Null- oder Polstelle von beiden
C
C
Funktionen ist. Damit ist die obige Form der Weil-Reziprozität äquivalent zu
Y
f, g
x
=1
x∈X
und tatsächlich gilt diese Gleichung für beliebige meromorphe Funktionen
f, g .1
Es ist bekannt, dass Riemannsche Flächen als Spezialfall von algebraischen Kurven über einem, nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen, Körper
k
aufgefasst werden können. Auch in diesem allgemeineren Kontext gibt es den
Begri der lokalen Symbole und eine Produktformel.
Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist das Hilbert-Symbol, das als eine arithmetische Version der lokalen Symbole angesehen werden kann. In diesem Fall sind
f
und
g
Elemente eines globalen Körpers
enthält, wobei
n
n-ten
der die
n-ten
Einheitswurzeln
eine natürliche Zahl teilerfremd zur Charakteristik
von
Für jede Primstelle
in den
K,
p
von
K
gibt es ein Hilbert-Symbol
Einheitswurzeln annimmt und für festes
f, g
f,g
p
K
µn
ist.
, welches Werte
fast überall gleich
1
ist. Diese erfüllen ebenfalls ein Reziprozitätsgesetz
Y
p Primstelle von K
f, g
p
= 1,
1 Auch in dieser Form ist die Weil-Reziprozität wohlbekannt und es gibt viele verschiedene
Beweise, vergleiche z.B. [Khovanskii] für einen neueren Beweis, von dem auch Teile in dieser
Arbeit verwendet werden.
1
welches für globale Funktionenkörper mit der Weil-Reziprozität übereinstimmt.
In gewisser Weise ist die Theorie der Hilbert-Symbole jedoch reichhaltiger als die
der lokalen Symbole und viele arithmetische Phänomene haben keine Entsprechung in der rigiden, komplex-analytischen Welt der Riemannschen Flächen.
Die Hauptmotivation dieser Arbeit ist die Suche nach einem lokalen Symbol
im Kontext der arithmetischen Topologie, welche, grob gesagt, Parallelen zwischen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten und Ganzheitsringen globaler Körper, bzw. zwischen Knoten und Primidealen untersucht. Genauer wird der Fall
dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, welche mit einer Blätterung durch Riemannsche Flächen und einem die Blätterung respektierenden Fluss versehen
sind, untersucht.
Die vorliegende Arbeit ist wie folgt aufgebaut:
Die ersten beiden Kapitel sind algebraischer Natur und bestehen im Wesentlichen aus einer Sammlung und Rekapitulation bekannter Tatsachen.
Im ersten Kapitel wird die Theorie des Hilbert-Symbols skizziert. Dabei wird,
J. Neukirch folgend, zunächst das einzelne Symbol für lokale Körper deniert
und in einem zweiten Schritt ein globaler Körper zusammen mit allen Komplettierungen betrachtet. Zuletzt wird ein kleiner Einblick in die verschiedenen
Anwendungsbereiche der Theorie gegeben.
Thema des zweiten Kapitels sind die lokalen Symbole und die Weil-Reziprozität
auf algebraischen Kurven. Dazu wird eine leichte Verallgemeinerung eines Beweises von J.P. Serre skizziert und der Zusammenhang zur Hilbert-Reziprozität
erläutert.
Die folgendenden beiden Kapitel sind analytischer geprägt.
Erst im dritten Kapitel wird die Weil-Reziprozität für Riemannsche Flächen
wiederaufgegrien und ein neuer Beweis mit analytischen Methoden vorgestellt,
der einem Vorschlag von C. Deninger folgt. Dabei wird das von A. Khovanskii
beschriebene Beilinson-Funktional eingeführt und verwendet. Dieses Kapitel ist
inhaltlich unabhängig von den vorhergehenden und kann auch zuerst gelesen
werden.
Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit lokalen Symbolen für geblätterte dynamische Systeme. Nach einer Einführung der grundlegenden Begrie und einer
Motivation der Betrachtung dieser Kategorie werden gewisse Faserbündel, die
eine wichtige Klasse von Beispielen liefern, detailliert vorgestellt. Danach werden drei verschiedene Vorschläge für die Denition lokaler Symbole gegeben,
gezeigt wie diese zusammenhängen und in jedem Fall eine Reziprozitätsformel
bewiesen.
Das fünfte und letzte Kapitel besteht aus einem Fazit und einer kurzen Diskussion einiger oener Fragen und weiterer Ideen.
2
Um den Umfang der Arbeit nicht zu groÿ werden zu lassen, wurden Kenntnisse
der Zahlentheorie (insbesondere lokale Klassenkörpertheorie und Kummertheorie), der algebraischen Geometrie (Kurven und Funktionenkörper) und über
Riemannsche Flächen vorausgesetzt. Einige der verwendeten Resultate sind im
Anhang gesammelt.
Abschlieÿend sind im Folgenden die wichtigsten in dieser Arbeit betrachteten
Kategorien und ihre Zusammenhänge in einem Diagramm veranschaulicht. Dabei bedeutet
Analogie und

/
Unterkategorie.
{Zahlkörper}
globale
Funktionenkörper
_
algebraische Kurven
über einem Körper
O
geblätterte
dynamische Systeme
o
?_
GDS-Faserbündel
über
3
R/λZ
o
?
? _ {Riemannsche
k
Flächen}
1
Das Hilbert-Symbol
Im diesem Abschnitt wird eine Einführung in die Theorie des Hilbert-Symbols
für lokale und globale Körper gegeben. Kenntnisse der Hauptaussagen von
Kummer- und Klassenkörpertheorie werden vorausgesetzt, die benötigten Sätze
können bei Bedarf im Anhang nachgelesen werden. Die Darstellung orientiert
sich stark an [Neukirch05, V. Ÿ3., VI. Ÿ8].
1.1
Die lokale Theorie
F ein lokaler Körper, also eine endliche Erweiterung
n ∈ eine natürliche Zahl.
Im gesamten Abschnitt sei
von
Qp oder Fq ((t)), und
N
Wir verwenden folgende Notationen:
µn
F ∗n
v
O
p
π
κ = Ov /p
die Gruppe der
die Gruppe der
n-ten
n-ten
Einheitswurzeln von
∗
Potenzen von F
die diskrete Bewertung von
der Bewertungsring von
das maximale Ideal von
F,
F
normalisiert durch
F
O
v(F ∗ ) =
Z
ein uniformisierender Parameter
der Restklassenkörper
Falls wir Erweiterungen lokaler Körper betrachten und Verwechslungsgefahr besteht, nehmen wir den jeweiligen Körper als Index in die Notation mit auf (also
z.B.
vF ).
Im Folgenden treen wir die zusätzliche Annahmen, dass
wurzeln enthält und
∗
und µn ⊆ F ).
n
F
teilerfremd zur Charakteristik von
n-ten EinheitsF ist (char(F ) - n
die
1.1.1 Beispiele:
1.
2.
Qp und n = p − 1.2
F = Fq (t) und n = q − 1.
F =
char(F ) 6= 2, n = 2.
√
n
Sei jetzt E = F ( F ∗ ). Dank der Kummertheorie wissen wir, dass E die maximale abelsche Erweiterung von F vom Exponenten n ist und wir erhalten einen
3.
F
beliebig mit
Isomorphismus
F ∗ /F ∗ n −→ hom G(E|F ), µn
√ !
σ na
a 7−→ χa = σ 7→ √
.
n
a
2 Es gilt
µp−1 ⊆
Qp nach Hensels Lemma.
4
Auÿerdem verrät die Klassenkörpertheorie, dass
n
G(E|F ) ∼
= F ∗ /NE|F (E ∗ ) ∼
= F ∗ /F ∗
gilt.
3
4
Zusammen erhalten wir eine bilineare Abbildung
hom G(E|F ), µn × G(E|F ) −→ µn
(χ, σ) 7−→ χ(σ)
und damit eine nicht ausgeartete, bilineare Paarung:
F ∗ /F ∗ n × F ∗ /F ∗ n → µn
Diese wird
(a, b)
Hilbert-Symbol genannt und hier vorerst5 für a, b ∈ F ∗ einfach als
geschrieben,
6
wobei wir die Reduktion modulo
F ∗n
implizit vorschalten.
Um anzugeben, was genau das Hilbert-Symbol macht, muss man die einzelnen
Identikationen, die zu seiner Denition führen, durchgehen und gelangt zu
folgendem Ergebnis.
1.1.2 Proposition [Neukirch05, S. 350]
Für
a, b ∈ F ∗
ist das Hilbert-Symbol wie folgt gegeben:
√
√
b, F ( n a)|F n a
√
(a, b) =
n
a
√
n
Dabei bezeichnet ( · , F ( b)|F ) die lokale Artin-Abbildung (Normrestsymbol).
Beweis:
Nach Denition ist das Hilbert-Symbol gegeben durch
√
n
χa b, F ( F ∗ )|F
√
√
b, F ( n F ∗ )|F n a
√
=
.
n
a
Das Normrestsymbol ist aber verträglich mit Körpererweiterungen, in dem Sinne, dass
√
√
n
n
b, F ( F ∗ )|F F ( √
a)|F .
n a) = b, F (
2
3 Für den zweiten Isomorphismus stellt man erstmal fest, dass F
∗n
⊆ NE|F (E ∗ ) ist (d.h. wir
erhalten eine kanonische, surjektive Abbildung von rechts nach links). Andererseits sind aber
wegen des ersten Isomorphismus und der Kummertheorie die Quotienten von
beiden Gruppen gleichmächtig, also gilt sogar
F
∗n
∗
= NE|F (E ).
F∗
nach den
(Vgl. [Neukirch05, S. 338])
4 Die Reihenfolge der beiden Faktoren unterscheidet sich in unserer Darstellung von der
von [Neukirch05]. Dadurch erhalten wir strenggenommen das Inverse des Hilbersymbols (vgl.
auch Prop. 1.1.3). Der Vorteil ist, dass die explizite Formel aus Prop. 1.1.5 dadurch besser
mit den später betrachteten übereinstimmt.
5 Später interessieren wir uns für globale Körper und deren Komplettierungen bezüglich
unterschiedlicher Primstellen. Dann wird die jeweilige Stelle in die Notation mit aufgenommen.
6 Beachte, dass wir auch das
Falls
F
n
in der Notation unterdrücken, da wir
n
fest gewählt haben.
genügend Einheitswurzeln enthält wären aber prinzipiell verschiedene Hilbert-Symbole
möglich. Dabei entstehen jedoch nicht groÿartig verschiedene Phänomene: Für einen Teiler
m|n
ist das
m-te
Hilbert-Symbol gleich der
n
m -ten Potenz des
5
n-ten
Hilbert-Symbols.
Wir listen zunächst einige Eigenschaften des Hilbert-Symbols auf:
1.1.3 Proposition [Neukirch05, S. 351]
Seien
a, b, c ∈ F ∗ .
Dann gilt:
1.
(a, bc) = (a, b)(a, c)
2.
(a, b) = 1 ⇐⇒ b
3.
(a, b) = (b, a)−1 .
4.
(a, 1 − a) = 1
5. Ist
(a, b) = 1
und
(ab, c) = (a, c)(b, c).
ist eine Norm der Erweiterung
und
(a, −a) = 1
für alle
b ∈ F ∗,
für
√
F ( n a)|F .
a, 1 − a 6= 0.
dann ist
a ∈ F ∗n.
Beweis:
Aussage 1. ist die Bilinearität des Hilbert-Symbols und Aussage 5. die Tatsache,
dass das Hilbert-Symbol nicht ausgeartet ist. Aussage 2. folgt aus der vorigen
Prop. 1.1.2, denn der Kern des lokalen Normrestsymbols ist gerade die Normgruppe (vgl. Satz 6.1.3).
Ist
c ∈ F∗
x ∈ F , sodass xn − c 6= 0
n
und β = c, so gilt
und
Einheitswurzel
n
x −c=
n−1
Y
und
ζ ∈ µn
eine primitive
n-te
x − ζ iβ .
i=0
Sei
[F (β) : F ] =: m
d :=
und
n
. Die Galoisgruppe
m
G(F (β)|F )
ist zyklisch und
besteht aus den Elementen
σi : β 7−→ ζ di β
Wir können also
xn − c
xn − c =
d−1
Y
i ∈ 0, ..., m − 1
wie folgt als Norm darstellen:
NF (β)|F x − ζ i β = NF (β)|F
i=0
d−1
Y
x − ζ iβ
!
i=0
Daraus folgt mit Aussage 2., dass
(c, xn − c) = 1
gilt, woraus 4. mit
c=a
und
x=0
bzw.
x=1
folgt.
Es bleibt Aussage 3. zu zeigen. Es gilt mit 4.
(a, b)(b, a) = (a, −a)(a, b)(b, a)(b, −b) = (a, −ab)(b, −ab) = 1.
2
Das Hilbert-Symbol auszurechnen ist im Allgemeinen ziemlich kompliziert, da
man das Normrestsymbol nur falls
√
F ( n a)|F
unverzweigt ist unproblematisch
ausrechnen kann. Dafür wiederum gibt es ein einfaches Kriterium, falls die Charakteristik des Restklassenkörpers
spricht man vom
p = char κ
zahmen Hilbert-Symbol.
nicht
n
teilt. In letzterem Fall
Für dieses gibt es eine schöne
explizite Formel, die wir nach dem folgenden Lemma angeben:
6
1.1.4 Lemma [Neukirch05, S. 352]
Für
char(κ) = p - n
•
x ∈ F ∗ sind die folgenden Aussagen
√
E := F ( n x)|F ist unverzweigt.
und
Die Erweiterung
äquivalent:
• x ∈ UF F ∗ n .
Beweis:
Falls die Erweiterung unverzweigt ist, ist πF auch ein uniformisierender Parar
meter für OE und damit gilt für x = uπF mit u ∈ UF
vE
Also muss
r
Z
1
r
√
n
x = vE uπFr = ∈ .
n
n
ein Vielfaches von n sein.
√
x = uπ n , dann ist F ( n x)
√
= F ( n u) und wir brauchen nur den
Fall zu betrachten, dass x = u ∈ UF gilt. Dann ist E der Zerfällungskörper von
X n −u und auch der Restklassenkörper κE von E enthält die n-ten Wurzeln von
ū := u mod pE , da X n − u nach Voraussetzung separable Reduktion hat. Wir
zeigen, dass die Trägheitsgruppe I(E|F ) = {σ ∈ G(E|F ) | σ ≡ id mod pE } trivial ist. Sei σ ein F -Automorphismus von E , der auf κE die Identität induziert.
Wenden wir σ auf eine n-te Wurzel von u an, so stimmt das Bild modulo pE
Ist andererseits
mit dem Argument überein. Nach Hensels Lemma liftet aber jede Nullstelle von
X n − ū eindeutig nach E und folglich muss auch dort schon Gleichheit gelten.
2
1.1.5 Proposition [Neukirch05, S. 353]
Für
a, b ∈ F ∗
und
p = char(κ) - n
gilt
q−1
β
n
a
(a, b) = ω (−1)αβ α
.
b
Hierbei ist
β = v(b).
q
die Mächtigkeit des Restklassenkörpers
ω(x) der
(x mod p).
Darüber hinaus ist
der Teichmüllercharakter von
κ
und
Einheitswurzelanteil
α = v(a),
von x, d.h.
Beweis:
Sei
q−1
β
n
a
ha, bi := ω (−1)αβ α
.
b
Da sowohl
( · , · ) als auch h · , · i multiplikativ in beiden Argumenten sind und
bei Vertauschung der Argumente invertieren, reduziert sich die Behauptung auf
einen der folgenden zwei Fälle:
1.
a=b=π
2.
a = u, b = π ∈ UF
Für den ersten Fall bemerken wir, dass
für
hπ, πi)
und
(−π, π) = 1 = h−π, πi.
(π, π) = (−π, π)(−1, π) gilt (und ebenso
Tatsächlich genügt es also, die Behaup-
tung im zweiten Fall zu überprüfen.
7
√
F ( n u)|F unverzweigt und damit ist
√
√
√
n
n u)|F
√ q−1
u
FrobF ( √
π, F ( n u)|F n u
q−1
√
√
≡ ω(u) n
(a, b) =
=
= nu
n
n
u
u
In diesem Fall ist
Also gilt die Gleichheit auch ohne das mod
µn
p,
mod
p.
da der Teichmüllercharakter auf
2
ein Inverses zur Quotientenabbildung ist.
1.1.6 Bemerkung:
R und C lassen sich auf die gleiche Weise Hilbert-Symbole denieren.
Für C ist das Symbol, unabhängig von n, immer konstant 1. Für R ist notwenAuch für
digerweise
n=1
oder
n = 2.
Im ersten Fall ist das Symbol ebenfalls trivial, im
anderen Fall gilt
da
R
R
√
(b, ( a)| ) = 1
1.2
(a, b) = (−1)
falls
a>0
und
sign(a)−1 sign(b)−1
2
2
= (−1)sign(b)
,
falls
a < 1.
Globale Theorie - Reziprozität
Sei wieder
der die
n∈
n-ten
N eine natürliche Zahl und K ein globaler Körper mit char(K) - n,
Einheitswurzeln enthält. Dann gilt dasselbe auch für alle
Loka-
lisierungen und wir erhalten für jede Primstelle
p
ein Hilbert-Symbol
· , ·
p
.
Diese hängen über die folgende Produktformel zusammen:
1.2.1 Satz [Neukirch05, S. 435]
Hilbert-Reziprozität
Für
a, b ∈ K ∗
und sei
P
die Menge der Primstellen von
Y a, b p∈P
p
K,
dann gilt:
=1
Beweis:
Es ist
"
#
"
#
Y a, b √
Y
√
√
√
√
√
n
n
a=
a = b, K( n a)|K n a = n a.
b, Kp ( n a)|Kp
p
p∈P
p∈P
Dabei verwenden wir für die erste Gleichung die explizite Beschreibung des
Hilbert-Symbols Prop. 1.1.2 sowie die Tatsache, dass alle Normrestsymbole auf
√
n
a
durch Multiplikation mit Einheitswurzeln wirken. Die zweite Gleichung ist
die Verträglichkeit der lokalen Normrestsymbole mit dem globalen und die dritte
7
benutzt die Tatsache, dass das Normrestsymbol eines Hauptidels trivial ist.
1.2.2 Bemerkung:
Alle Produkte im obigen Beweis sind endlich, denn nur für
√
n
(b, Kp ( a)|Kp )
bzw.
a,b
p
p | nb∞
2
können
nichttrivial sein (und das ist nur für endlich viele
p
8
der Fall).
7 Die letzten beiden Aussagen sind in Satz 6.1.5 im Anhang zusammengefasst.
8 Das Teilbarkeitszeichen ist hier so zu verstehen, dass ein p repräsentierender Betrag entweder archimedisch ist oder eine Fortsetzung eines
p
von
nb.
8
p-adischen Betrags für irgendeinen Primteiler
1.3
Anwendungen
Bisher wurden einige formale Eigenschaften des Hilbert-Symbols gezeigt, zum
Abschluss des Kapitels stellen wir, ohne Anspruch auf Vollständigkeit, einige
Anwendungen des Hilbert-Symbols vor.
•
Das Hilbert-Symbol führt auf ein
Reziprozitätsgesetz der n-ten Po-
tenzreste. Mit den Notationen von Abschnitt 1 ist nach Prop. 1.1.5 für
u ∈ UF
und
char(κ) - n
das Symbol
u
:= (u, π)
p
unabhängig von der Wahl des uniformisierenden Parameters
π.
Es lässt
sich zeigen, dass
u
= 1 ⇐⇒ u ≡ αn
p
mod
p
für ein
α ∈ κ∗ ,
gilt. Das Reziprozitätsgesetz Satz 1.2.1 übersetzt sich dann in eine Formel
zur Berechnung dieser
K=
•
n-ten
Potenzrestsymbole und als Spezialfall für
Q und n = 2 ergibt sich die quadratische Reziprozität.9
Wieder mit der Notation von Abschnitt 1: Für
10
n=2
gibt es die folgende
konkrete Interpretation:
(a, b) = 1 ⇐⇒ ax2 + by 2 = z 2
hat eine Lösung
6= (0, 0, 0)
in
F × F × F.
Diese spielt in der Theorie der Quadratischen Formen, z.B. beim Beweis
des Satzes von Hasse-Minkowski eine Rolle.
•
11
Weiter ist das Hilbert-Symbol ein Beispiel für ein sogenanntes Steinbergsymbol. Ein Steinbergsymbol
h, i
eines Körpers
k
ist eine bimultiplika-
tive Abbildung
h , i : k ∗ × k ∗ −→ A
in eine abelsche Gruppe A, mit der Eigenschaft, dass hx, 1 − xi = 1 für alle
x ∈ k ∗ \{1}. Solche Symbole entsprechen gerade den Homomorphismen
K2 (k) −→ A,
wobei
K2 (k)
die zweite milnorsche
K -Gruppe
von
k
ist. Die Hilbert-
Symbole über den rationalen Zahlen können beispielsweise benutzt werden, um
•
Falls
K
Q
K2 ( )
explizit zu bestimmen (vgl. [Milnor, Ÿ 11, S. 96, S. 101]).
der Funktionenkörper einer Kurve über
Fq ist, entsprechen die
Hilbert-Symbole den sogenannten lokalen Symbolen und die Hilbert-Reziprozität ist unter dem Namen Weil-Reziprozität bekannt. Das wird im
nächsten Kapitel im Detail erläutert.
9 Vgl. [Neukirch05, S. 353 ., S. 435 .].
10 Vgl. [Serre95, Ch. III, S. 37.] für eine elementare Darstellung über
seiner Proposition 1 funktioniert auch für beliebiges
die Behauptung.
11 Vgl. [Serre95, Ch. IV, S. 73.].
9
F
Qp . Der Beweis
und liefert zusammen mit Prop. 1.1.3
2
Weil-Reziprozität
In diesem Kapitel wird die Weil-Reziprozität für algebraische Kurven erläutert
und im Fall einer Kurve über
Fq als Spezialfall der Hilbert-Reziprozität gedeu-
tet. Die benötigten Denitionen und Resultate aus der algebraischen Geometrie
sind im Anhang zusammengefasst.
2.1
Lokale Symbole und Reziprozität
Im Folgenden ist
k
X
immer eine normale, eigentliche Kurve über einem Körper
mit Funktionenkörper
X0
x ∈ X0
K := K(X).
Die abgeschlossenen Punkte von
zeichnen wir mit
und die normalisierte diskrete Bewertung von
einem Punkt
gehört, mit
K,
X
be-
die zu
ordx .
2.1.1 Denition [Serre88, S. 34]
Seien
f, g ∈ K ∗
und
x ∈ X0
ein abgeschlossener Punkt von
lokale Symbol von a und b deniert als:
f, g
Hierbei bezeichnet
x
k(x)
αβ f
= Nk(x)|k (−1)
β
gα
(x)
X . Dann ist das
∈ k∗
den Restklassenkörper bei
x
sowie
α = ordx (f ),
β = ordx (g).
•
modulo
•
0 im lokalen Ring bei x, d.h. Reduktion
k(x)∗ .
Der innere Ausdruck hat Ordnung
x
liefert ein Element aus
x
Interpretation: Setze den Punkt
in die Funktion
β
(−1)αβ fgα
ein, die an
diesem Punkt keine Null- und Polstellen hat. Heraus kommt ein Wert in
einer endlichen Erweiterung von
k.
Durch Anwenden der Norm werden
die Werte an verschiedenen Punkten vergleichbar.
•
Falls
k
algebraisch abgeschlossen ist, verschwindet die Norm in der De-
nition. Die Interpretation als Einsetzen eines Punktes in eine Funktion ist
dann unproblematischer.
•
Das Symbol ist multiplikativ in beiden Einträgen und vertauschen der
Argumente invertiert den Wert.
Der folgende Satz wird als
Weil-Reziprozität bezeichnet.
2.1.2 Satz [Serre88, S. 34f.]
Für eine glatte, eigentliche Kurve
f, g ∈ K(X)∗
X
über einem perfekten Körper
gilt
Y
f, g
x∈X0
10
x
= 1.
k
und
Beweis:
1. Schritt: Reduktion auf die Aussage für algebraisch abgeschlossene Körper.
Sei
Sei
X̄ := X ×k Spec k̄
ηX der generische
der Basiswechsel zum algebraischen Abschluss
Punkt von
X.
Es gilt
X0 = X\ηX
k̄
von
k.
und alle abgeschlos-
senen Punkte haben nach Hilberts Nullstellensatz endliche (also insbesondere
algebraische) Restklassenkörpererweiterungen. Für eine beliebige algebraische
Körpererweiterung
k̃|k
lassen sich die
k̃ -rationalen
Punkte von
X
also durch
X k̃ ∼
= (x, σ) | x ∈ X0 , σ : κ(x) → k̃
charakterisieren, wobei die σ k -Homomorphismen sein sollen. Es gilt insbesonk̄
k̄
dere X (k̄) = X0 . Betrachte nun das folgende Diagramm:
Spec k̄
X̄
Spec k̄
X
Spec k
Für den oberen Pfeil gibt es nur eine Möglichkeit, also erhalten wir nach der
X(k̄) ∼
= X̄(k̄). Für
einen festgewählten k̄ -wertigen Punkt von X , gegeben durch (x, σ), ist der Restklassenkörper k(x) separabel, da k perfekt ist, und es gilt
Y
k̄.
k(x) ⊗ k̄ ∼
=
universellen Eigenschaft des Faserproduktes eine Bijektion
τ :k(x)→k̄
Das obige Diagramm reduziert sich also auf:
k̄
Q
τ :k(x)→k̄
k̄
k̄
σ
k(x)
Dabei ist der vertikale Pfeil durch
σ -Komponente
σ
k
Verknüpfung mit der Einbettung in die
gegeben.
Insgesamt gilt also
X(k̄) ∼
= X̄0
Y
f, g
x
und damit
=
x∈X0
Y
(x,σ)∈X(k̄)
=
β
αβ f
σ (−1)
(x)
gα
Y
x∈X̄0 abgeschlossen
11
(−1)αβ
fβ
(x).
gα
2. Schritt: Der Grundkörper k ist algebraisch abgeschlossen.
Für diesen Fall steht der Beweis sehr ausführlich bei [Serre95, Prop. 6, S. 34 f.]
und wir skizzieren ihn hier nur.
g , konstant ist, reduziert sich die Formel
P ∈X0 ordx f = deg div f = 0. Ohne Einschränkung
g als nicht konstant angenommen werden.
Falls eines der beiden Argumente, z.B.
auf die bekannte
12
Aussage
P
der Allgemeinheit kann also
Es gilt
P1) ∼= k(t) für eine Unbestimmte t. Der Körperhomomorphismus
K(
k(t) −→ K(X)
t 7−→ g
erlaubt es uns mittels der Äquivalenz von Kategorien aus Anhang 6.2 g als
1
Morphismus von X →
aufzufassen. Dieser ist endlich, surjektiv und lokal
P
frei. Dieser Morphismus ermöglicht es, mithilfe der Norm N : K(X) → k(t), die
1
Aussage von einem beliebigen X auf X =
zu reduzieren, indem Punkte, die
P
in einer Faser liegen, zusammengruppiert werden. Dabei sind einige technische
1
Schwierigkeiten zu überwinden. Auf
kann die Formel explizit nachgerechnet
P
2
werden.
2.1.3 Bemerkung:
Der Satz und auch die Denition der lokalen Symbole werden bei Serre zunächst
nur für algebraisch abgeschlossene Grundkörper
für den Grundkörper
k=
k
13
gegeben, aber später
auch
Fq . Dies ist vermutlich dem Umstand geschuldet, dass
er noch nicht in der Sprache der Schemata schreibt.
2.2
Verbindung zur Hilbert-Reziprozität
Wir behalten die Notationen des vorigen Abschnittes bei und spezialisieren auf
den Fall, dass
k=
Fq ist. Dann ist K eine endliche Erweiterung von Fq (t), also
ein globaler Funktionenkörper, der die
q − 1-ten
Einheitswurzeln enthält und
es gibt sowohl die Hilbert-Symbole für jede Primstelle des Funktionenkörpers
und die lokalen Symbole an jedem abgeschlossenen Punkt der Kurve sowie für
beide eine Produktformel. Ziel dieses Abschnittes ist es zu zeigen, dass diese
Phänomene übereinstimmen. Dies liefert auch einen alternativen Beweis der
Weil-Reziprozität in diesem Spezialfall. Genauer gilt:
2.2.1 Satz
Sei
F
k = q und X eine eigentliche,
K = K(X). Dann gilt:
normale Kurve über
k
mit Funktionen-
körper
1. Die Abbildung
x 7→ ordx
induziert eine Bijektion zwischen
der Menge der Primstellen von
2. Das lokale Symbol am Punkt
bzgl. der zu
x
X0
und
K.
x ∈ X0
gehörigen Stelle.
12 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Th. 15.32, S. 498].
13 [Serre88, Ex. 2, S. 151 f.].
12
ist gleich dem Hilbert-Symbol
Insbesondere ist für
f, g ∈ K ∗ ,
wenn
P
die Menge der Primstellen auf
K
be-
zeichnet,
Y
f, g
x∈X0
Beweis:
Aussage 1.
x
=
Y f, g p∈P
p
= 1.
Die angegebene Abbildung gibt eine Bijektion zwischen
den Äquivalenzklassen diskreter Bewertungen auf
Bewertung auf
K
X0
und
(vgl. Anhang 6.2), da jede
Fq trivial ist. Durch Exponentieren werden die Äquivalenzklas-
sen diskreter Bewertungen mit den Äquivalenzklassen von nichtarchimedischen
Absolutbeträgen identiziert. Andererseits ist jeder Absolutbetrag auf
archimedisch, da
char(K) > 0.
14
K
nicht-
Aussage 2.15 Seien f, g ∈ K ∗ und sei x ∈ X0 mit zugehöriger Bewertung ordx .
d = [k(x) : k]. Wir schreiben ebenfalls x für die Primstelle auf K ,
x ∈ X0 gehört, und für das maximale Ideal des Bewertungsrings der Vervollständigung von K bezüglich ordx . Dann gilt mit α = ordx (f ),
β = ordx (g):
Sei ferner
die zum Punkt
f, g
x
d −1
qq−1
β
f
= (−1)αβ α (x)
g
qd−1 +···+1
β
αβ f
= (−1)
(x)
gα
β
αβ f
= Nk(x)|k (−1)
(x)
gα
= f, g x
2
14 Vgl. [Schikhof, S. 20].
15 Dieses Argument stammt aus dem MO-Post
http://mathoverflow.net/questions/
96290/weil-reciprocity-vs-artin-reciprocity.
13
3
Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche
Flächen
Thema dieses Kapitels ist die Weil-Reziprozität auf kompakten Riemannschen
Flächen. Nach dem G.A.G.A-Prinzip
für algebraische Kurven über
16
ist diese äquivalent zur Weil-Reziprozität
C. Wir geben hier eine unabhängige Einführung
und einen direkten Beweis mit analytischen Methoden.
X mit dem
∗
Körper M := M(X) der meromorphen Funktionen auf X und f1 , f2 ∈ M zwei
meromorphe Funktionen auf X , die nicht konstant gleich 0 sind. Ferner sei
Ci = x ∈ X | fi hat eine Null- oder Polstelle bei x
Im gesamten Kapitel xieren wir eine kompakte Riemannsche Fläche
der Träger des Divisors von
fi
und
C = C1 ∪ C2 .
Die klassische Weil-Reziprozität behandelt den Fall, dass die Null- und Polstellenmengen von
f1
und
f2
sich nicht überschneiden. Sie wird üblicherweise in der
folgenden Form gegeben:
3.0.1 Satz [Griths, Harris, S. 242 f.]
Für
C1 ∩ C2 = ∅
gilt
Y
ordx (f2 )
f1
(x) =
Y
ordx (f1 )
f2
(x).
x∈X
x∈X
Diese auftretenden Ausdrücke sind wohldeniert: Für ein x ∈
/ Ci ist der entordx (fi )
(x) (mit i 6= j ) gleich eins. Beide Produkte sind also
sprechende Faktor fj
eigentlich endlich, da die Null- und Polstellen einer meromorphen Funktion diskret liegen (also auf einer kompakten Riemannschen Fläche endlich sind). Da
die
Ci disjunkt
∞.
sind, enthält auch keines der beiden Produkte einen Faktor
0
oder
Indem wir die Gleichung durch die rechte Seite teilen, erhalten wir eine nach
den ersten Kapiteln vertrautere Form:
ordx (f2 )
Y
f1
x∈X
f2
ordx (f1 )
!
(x) = 1.
Der Ausdruck in einem einzelnen Faktor könnte aber auch für nicht disjunke
ausgewertet werden, da der Quotient nach Konstruktion Ordnung
0
bei
x
Ci
hat,
also höchstens eine hebbare Singularität besitzt. Um auch in diesem allgemeinen
Fall eine Reziprozitätsaussage zu erhalten, muss der Term durch ein Vorzeichen
ergänzt werden:
16 Vgl. [Griths, Harris, S. 164.].
14
3.0.2 Denition
Das lokale Symbol von f1 und f2 bei x ist
ord (f )
f1 , f2
x
=
f x 2
(−1)ordx (f1 ) ordx (f2 ) 1ordx (f1 )
f2
Mit dieser Notation gilt dann ohne Bedingung an die
Y
f1 , f2
x
!
Ci
(x).
die Gleichung
= 1.
x∈X
Auch in dieser Form ist die Reziprozität schon lange bekannt und bewiesen.
Für einen neueren Beweis siehe z.B. [Khovanskii]. Im Folgenden wird ein weiterer Beweis vorgestellt, der in seiner Strategie einem Vorschlag von C. Deninger
folgt. Dabei wird zunächst die Reziprozität zunächst für die Beträge der lokalen Symbole gezeigt. In einem zweiten Schritt deformieren wir eine der beiden
Funktionen mit Hilfe eines komplexen Parameters zu einer konstanten Funktion, für die das Ergebnis leicht zu zeigen ist, und zeigen, dass die Deformation
den Wert des Produktes nicht verändert.
3.1
Reziprozität für die Beträge
Ziel für diesen Abschnitt ist der folgende
3.1.1 Satz
Es gilt
Y
f1 , f2 = 1.
x
x∈X
Beweis:
17
Aus technischen Gründen zeigen wir die logarithmierte
X
Variante
log f1 , f2 x = 0.
x∈X
Dazu realisieren wir die einzelnen Summanden als Grenzwerte von Wegintegralen über eine geeignete global denierte, geschlossene Form und wenden den
Satz von Stokes an.
Wir verwenden die
Dolbeaut-Operatoren ∂ und ∂¯. Lokal sind diese für eine
¯ = ∂z̄ g dz̄ gegeben,
glatte komplexwertige Funktion g durch ∂g = ∂z g dz bzw. ∂g
∂
∂
und ∂z̄ =
holomorphe bzw. antiholomorphe Ableitung sind.
wobei ∂z =
∂z
∂ z̄
Schritt 1: Stokes
Sei
U = X\C
das Komplement der Null- und Polstellen der
fi . Betrachte hierauf
17 Es sei bemerkt, dass keine Probleme mit der Mehrdeutigkeit des Logarithmus entstehen,
da wir reellwerte Funktionen betrachten.
15
C ∞ -Funktionen i = log |fi |.
18
(auch auf U ):
die beiden
Form
Daraus denieren wir die folgende
1-
η : = 2 1 ∂2 − 2 ∂1
= log |f1 | dlog f2 − log |f2 | dlog f1 .
Die Gleichung benutzt dabei, dass lokal
1
∂z log |fi | dz = ∂z log fi fi dz
2
1
= ∂z log fi + ∂z log fi dz
2
1
= dlog fi
2
∂
einer antiholomorphen Funktion
∂z
19
verschwindet. Damit denieren wir , wieder auf U
gilt, da die holomorphe Ableitung
∂z :=
1 ∪ 2 : = pr(η)
= log |f1 | pr(dlog f2 ) − log |f2 | pr(dlog f1 ).
Hierbei ist
pr(z) := i Im z
die Projektion auf die imaginäre Achse.
Diese Form ist geschlossen, denn der folgende Ausdruck ist symmetrisch unter
Vertauschung von
f1
und
f2 .20
d log |f1 | pr(dlog f2 ) = dlog(|f1 |) ∧ pr(dlog f2 )
1
= ∂z log f1 dz + ∂z log f1 dz̄
2
1
∧ ∂z log f2 dz − ∂z log f2 dz̄
2
1
= − ∂z log f1 ∂z log f2 + ∂z log f1 ∂z log f2 dz ∧ dz̄.
4
Seien nun um alle
V = X\
S
Ux ,
x∈C
disjunkte oene Umgebungen
Ux
gelegt. Setzen wir
dann gilt nach dem Satz von Stokes:
Z
Z
d(1 ∪ 2 ) =
0=
V
1 ∪ 2 =
XZ
1 ∪ 2 .
(∗)
δUx
δV
Es genügt also, sich einen einzelnen Summanden der rechten Seite anzuschauen.
Schritt 2: Der einzelne Summand
x ∈ C fest gewählt. Wir wählen lokale Koordinaten um x, sodass
n ∗
in diesen Koordinaten fi (z) = z i fi (z) gilt, wobei ni ∈
eine ganze Zahl
∗
ist und fi keine Null- oder Polstellen bei x hat. Da Wegintegrale über eine
geschlossene Form nur von der Homologieklasse des Weges abhängen, können
Sei jetzt also
Z
wir ohne Einschränkung annehmen, dass
δUx
ganz im Kartengebiet liegt und
18 Auch hierbei gibt es keine Mehrdeutigkeiten, da diese nach Dierenzieren verschwinden.
19 Die Benutzung dieser Form wurde von C. Deninger vorgeschlagen. Sie stammt aus der
Theorie der Deligne-Beilinson Kohomologie.
20 Alternativ kann man sich auch
η
anschauen und feststellen, dass die äuÿere Ableitung
invariant unter der Konjugation ist, also rein reell.
16
nach Anwenden der Karte die Form
δBε (0)
für ein beliebig kleines
ε>0
hat.
Im Folgenden unterdrücken wir die Karten in der Notation und rechnen direkt
in
C. Wir werden zeigen, dass
∗ n2 f
1 ∪ 2 = lim
1 ∪ 2 = 2πi log 1∗ n1 (0)
ε→0 δB (0)
f2
δUx
ε
Z
Z
!
gilt, woraus Satz 3.1.3 zusammen mit der Gleichung (∗) folgt. Da das Integral
mit
pr
vertauscht und auf der rechten Seite der zu zeigenden Gleichung etwas
rein imaginäres steht, rechnen wir mit
η
anstelle von
1 ∪ 2 .
Es gilt:
log |fi | = ni log |z| + log |fi∗ |,
sowie
dlog fi =
Damit ergibt sich für
η
1
ni dlog z + dlog fi∗ .
2
durch Einsetzen, Ausmultiplizieren und Umsortieren:
η = n1 log |z| + log |f1∗ | n2 dlog z + dlog f2∗
− n2 log |z| + log |f2∗ | n1 dlog z + dlog f1∗
= n1 n2 log |z| dlog z + n1 log |z| dlog f2∗ + n2 log |f1∗ | dlog z + log |f1∗ | dlog f2∗
− n1 n2 log |z| dlog z + n2 log |z| dlog f1∗ + n1 log |f2∗ | dlog z + log |f2∗ | dlog f1∗
∗ n2 f f1∗ n2
= log |z| dlog ∗ n1 + log 1∗ n1 dlog z + log |f1∗ | dlog f2∗ − log |f2∗ | dlog f1∗
f
f2
|
{z 2 } |
{z
}
{z
} |
=A
=C
=B
Wir betrachten nun die Integrale über
A, B
und
C
separat (und zeigen in jedem
Fall die Existenz, was dieses Vorgehen nachträglich rechtfertig).
Für
A
verschwindet das Integral, denn wir erhalten ein Null- und Polstellen
zählendes Integral:
Z
∗ n2 f
1
A = log ε
dlog ∗ n1 = 0.
f2
δBε (0)
δBε (0)
|
{z
}
Z
=0
Für
B
γε : [0, 1] → δBε (0), t 7→ ε exp(2πit)
∗ n2
Z
Z 1
f1
B = 2πi
log ∗ n1 γε (t) dt.
f2
δBε (0)
0
wählen wir eine Parametrisierung
Betrachten wir den Grenzwert davon für
ε → 0, so ergibt sich nach dem Satz von
der majorisierten Konvergenz (wir können den Integranden abschätzen durch
das Maximum auf einer Kreisscheibe von xem Radius):
Z
lim
ε→0
Für
C
Z
1
B = 2πi
δBε (0)
0
∗ n2
∗ n2
f1
f1
lim log ∗ n1 γε (t) dt = 2πi log ∗ n1 0 .
ε→0
f2
f2
schlieÿlich sind alle beteiligten Funktionen auch in
über einen kleinen Kreis um
0
existiert also und geht für
17
0 stetig. Das Integral
ε → 0 gegen 0.
2
3.2
Holomorphie des Weil-Produkts
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Weil-Produkt, von dem wir
bereits wissen, dass es für alle holomorphen Funktionen den konstanten Betrag
1
hat, auch schon ohne Beträge immer
Da die Rollen von
f1
den schreiben wir ab
ergibt.
f2 in diesem Abschnitt
jetzt f := f1 und g := f2 .
und
Wir verfolgen den folgenden Plan: Da
formation
1
21
M
sehr unterschiedlich sein wer-
ein Körper ist, können wir die De-
fα = α + (1 − α)f,
betrachten, wobei
fα (z)
α∈
holomorph von
Holomorphie in
α
C ein komplexer Parameter ist. Für jedes z ∈ X hängt
α
ab und es gilt
f0 = f, f1 = 1.
Wenn wir auch die
des Weil-Produktes
Pα :=
Y
fα , g
x
x∈X
zeigen könnten, so würde aus dem beschränkten Betrag nach dem Satz von
Liouville folgen, dass die Funktion insgesamt konstant ist. Es würde also genügen, sie bei einem konkreten
oenbar
Pα = 1.22
α
auszurechnen, z.B. bei
α = 1.
Dort ist aber
So werden wir vorgehen. Der Hauptsatz dieses Abschnittes
ist also:
3.2.1 Satz
Q
Pα :=
x∈X (fα , g)x hängt holomorph von
α
ab.
3.2.1 Diskussion
Vor dem formalen Beweis diskutieren wir einige der Schwierigkeiten, die auftreten, und formulieren Vorüberlegungen zur Beweisstrategie. Diese werden für
den Fall, dass die Träger der Divisoren von
f
und
g
disjunkt sind, auch schon
einen Beweis liefern.
Verhalten der Nullstellen von fα
Man kann nicht im naiven Sinne zeigen, dass jeder der endlich vielen Faktoren,
die nicht konstant 1 sind, holomorph ist, denn diese Faktoren treten genau bei
den Null- und Polstellen von
auch die Nullstellen von
fα ,
fα , g
auf, aber bei Variation von
α
verändern sich
sodass die Beiträge zum Weil-Produkt von einem
Faktor zum anderen wandern. Die Berechtigung für den Begri Wandern (im
Gegensatz zu etwa Springen) kommt daher, dass sich die Nullstellen in einem
21 Die Idee, den holomorphen Parameter gerade so einzuführen stammt aus einen Gespräch
mit Konrad Stuhrmann.
22 Etwas allgemeiner gilt: Falls eine der zwei Funktionen
gleich
f, g konstant ist (nicht notwendig
1), reduziert sich die Reziprozität auf die Aussage, dass die Summe über Pol- und Null-
stellen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche verschwindet.
18
gewissen Sinne stetig verhalten: Da das Integral
1
2πi
stetig von
α
Z
d log fα
γ
abhängt, und für jede Kurve um genau eine Null-, bzw. Polstelle
die Ordnung angibt, ist diese konstant. Was aber a priori durchaus passieren
kann:
1. Zwei Null- bzw. Polstellen geringerer Ordnung können zu einer höherer
Ordnung verschmelzen.
2. Es können sich Null- und Polstellen mit sich aufhebener Ordnung auslöschen.
Daher untersuchen wir das Verhalten der Null- und Polstellen von
Variation von
α
fα
unter
genauer. Es gilt oenbar das
3.2.2 Lemma
Sei
α 6= 1
eine feste komplexe Zahl.
1. Die Polstellen von
fα
2. Die Nullstellen von
3. Für jedes
von
f α0
sind gerade die Polstellen von
fα
sind die Urbilder unter
von
α
.
α−1
ε > 0 gibt es ein δ > 0, sodass für α0 ∈ Bδ (1) alle Nullstellen
in
[
x
liegen.
f
f = f0 .
Bε (x)
Polstelle
von f
23
Die Polstellen von
fα verändern sich also, abgesehen von der Stelle α = 1, wo sie
verschwinden, nicht. Ganz anders bei den Nullstellen: Sie ändern ihre Position
permanent (ihre Anzahl (mit Vielfachheiten) für
unverändert bleiben). Für
α→1
α 6= 1
nicht, da die Polstellen
nähern sich die Nullstellen den Polstellen an
(vgl. Abbildung 1).
Mögliches Vorgehen für disjunkten Träger der Divisoren
α0 6= 1, für das fα0 und g keine gemeinsame Nulloder Polstellen haben. Sei Cg die Null- und Polstellenmenge von g und Cfα
0
analog. Wir legen um jeden Punkt x ∈ Cfα eine Kurve γx , die keine anderen
0
Punkte aus Xfα und Cg umschlieÿt und Rand einer oenen Menge Ux ist. Dann
0
gilt für α hinreichend nahe an α0 :
Betrachten wir zunächst ein
23 Diese letzte Aussage ist ein Spezialfall der Stetigkeit der Nullstellen. Das obige, Null- und
Polstellen zählende Integral ist gleich 0 bei
hier als Rand der
ε-Bälle
α=1
wählen).
19
für Wege um die Polstellen von
f
(die wir
Abbildung 1: Beispiel für X = CP1 = C ∪ {∞} und f (z) =
die Nullstelle von
fα
in
Bδ (0).
Bδ (0)
Im Bild:
für
δ ∈ {1,
Pα =
Y
fαordx g (x) 
x∈Cg
=
ist
g ordx fα (x)
x∈Cfα
−1

Y
α ∈ Bδ (1)
−1

Y
z+1
z . Für
3 1 1
4 , 2 , 4 }.
Y
fαordx g (x) 
g ordz fα (z)
z∈Ux , wobei x∈Cfα
x∈Cg
0
Dabei benutzen wir, dass die gesamte Ordnung von
kleinen Änderungen von
α
.
fα
bei Punkten in
Ux
unter
konstant bleibt.
Das erste Produkt ist holomorph in
α als endliches Produkt holomorpher Funk-
tionen. Für jeden Faktor des zweiten Produktes haben wir die folgende holomorphe Darstellung:
exp
wobei
log g
auf ganz
Ux
1
2πi
Z
log g dlog fα ,
γ
deniert ist (wähle einen beliebigen Zweig, die Mehr-
deutigkeit verschwindet nach Exponentieren), da dort
Dieser Ausdruck ist holomorph in
24
α
g
keine Nullstellen hat.
und liefert auch für andere Werte das ge-
wünschte Ergebnis.
α0 = 1 funktioniert die gleiche Argumentation mit einem kleinen Trick:
Cfα die Menge der Polstellen von f , da wir wissen, dass für
α ∈ B (1) die Nullstellen von fα in der Nähe der Polstellen liegen, also von
Im Fall
Wir wählen für
einem Integral wie in obiger Darstellung erfasst werden.
Damit haben wir das Resultat bewiesen, falls
f = f0
und
g
keine gemeinsamen
24 Dieses Integral wird auch im Beweis von [Griths, Harris, S. 242 f.] benutzt.
20
Null- oder Polstellen haben.
25
Davon kann im Allgemeinen aber nicht ausge-
gangen werden.
Beliebige Divisorenträger
Versuchen wir den Beweis abzuändern, so suchen wir eine ähnliche Darstellung
wie die oben, bei der wir z.B. mit einer Integraldarstellung verschiedene Faktoren in der Nähe eines Punktes aus dem Träger der Divisoren von
f
und
g
zusammenfassen können, um das Wandern der endlich vielen wichtigen Faktoren besser zu kontrollieren.
Nach dem vorigen Kapitel wäre ein naheliegender Kandidat dafür das Integral
über die Form:
ω=
1
log fα dlog g − log g dlog fα .
2
Hierbei haben wir kein Problem bei der Denition der Form: Für einen festen
Punkt
y
auf dem Bild von
γ
legen wir Verbindungslinien von
umschlossenen Null- und Polstellen von
davon sind
log f
und
log g
fα
y
zu den von
γ
g . Auf dem Komplement
α und nur eine Null- oder
innerhalb γ wählen wir eine lokale
und/oder
wohldeniert. Für festes
Polstelle (mit eventuellen Vielfachheiten)
n ∗
m ∗
Darstellung von fα = z fα , g = z g . Mit einer Rechnung ganz ähnlich der im
vorigen Kapitel zeigt sich



fα∗ m
fα∗ m
1

ω = log z dlog ∗ n + log ∗ n dlog z + log fα∗ dlog g ∗ − log g ∗ dlog fα∗ 
.
2
g
g
γ
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
Z
=A
Das Integral über
C
=B
=C
B liefert uns, was wir
A. Im Optimalfall wäre es gleich dem
verschwindet wieder und das über
wollen. Problematischer ist aber das über
B (ist es aber nicht ganz, wie wir weiter unten sehen werden), aber
mn
selbst dann würde am Ende die Information über das Vorzeichen (−1)
verlo-
Integral über
ren gehen. Bei genauerer Untersuchung (mit Ideen aus [Khovanskii]), stellt sich
heraus, dass man einen kürzeren Ausdruck verwenden kann. Bevor wir damit
den eigentlichen Beweis führen, werden wir der Übersicht halber diesen Ausdruck in einem eigenen Abschnitt untersuchen.
3.2.2 Das Beilinson-Funktional
Dieser Abschnitt orientiert sich stark an [Khovanskii], in dem dieser wiederum auf Ideen von Beilinson aufbaut. Insbesondere benutzen wir die Abschnitte
3 − 5.26
Genaue Referenzen werden bei den jeweiligen Aussagen gegeben.
25 Auf die isolierten Punkte (α
0
könnten wir
6= 0, 1), an denen fα0 gemeinsame Nullstellen mit g hat,
Pα , da wir schon wissen dass es betraglich beschränkt ist, mit dem Riemannschen
Hebbarkeitssatz fortsetzen, da wir nicht an ihrem genauen Wert interessiert sind.
26 Wir wählen einen leicht anderen Blickwinkel und benutzen Überlagerungstheorie bei der
Denition des Funktionals und betrachten am Ende die Abhängigkeit von einem Parameter.
Auÿerdem unterscheidet sich unsere Denition um ein Vorzeichen. Letzteres gibt eine schönere
21
3.2.3 Denition [Khovanskii, S. 7, 12]
a, b ∈ M∗ , U = X\{Null- und Polstellen von a, b} und einen stückwei1
se C geschlossenen Weg γ : [0, 1] → U , der nicht die Null- und Polstellen
von a, b trit, ist das Beilinson-Funktional der Ausdruck
Z
1
Bγ (a, b) := degγ (b) log a γ
e(0) −
log b dlog a ∈ /2πi ,
2πi γe
Für
C
wobei
γ
e
ein Lift von
γ
in die universelle Überlagerung von
Zweige der Logarithmen auf ganz
γ
e
e
U
Z
von
U
ist, wo
wählbar sind.
Dieser Ausdruck ist wohldeniert, d.h. unabhängig vom gewählten Lift
den Zweigen des Logarithmus, denn:
Die Wahl eines anderen Lifts von
γ
2πi.
und
und eines anderen Zweiges des Logarithmus
verändert den Logarithmus einer Funktion auf
ligen Vielfachen von
γ
e
γ
e durch Addition eines ganzzah-
Insbesondere ist der erste Term wohldeniert.
durch log b + 2πi, dann ändert sich der zweite
1
2πi dlog a, aber das ist ein Null- und Polstellen
Term durch Addition von
2πi γ
zählendes Integral, also ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi.
Ersetzen wir im Integral
log bR
3.2.4 Lemma [Khovanskii, S. 12, Bsp. 5.1]
1
0
0
Für geschlossene stückweise C Wege γ, γ : [0, 1] → X mit γ(0) = γ (0)
∗
0
und a, b, c ∈ M , deren Null- und Polstellen nicht auf γ bzw. γ liegen, gilt:
1.
Bγ (a, b) ≡ −Bγ (b, a),
2.
Bγ (a, a) ≡ πi deg(a),
3.
Bγ (ac, b) ≡ Bγ (a, b) + Bγ (c, b),
4.
Bγγ 0 (a, b) ≡ Bγ (a, b) + Bγ 0 (a, b),
5.
Bγ (a, b) ≡ 0
falls
γ
in
X\{Null-
und Polstellen von
a, b}
zusammen-
ziehbar ist.
Hierbei bezeichnet
γγ 0
den Weg, der durch das Hintereinanderdurchlaufen
der beiden Wege mit doppelter Geschwindigkeit entsteht.
Formel für den Zusammenhang mit dem lokalen Symbol und die Überlagerungstheorie wurde
in der Honung verwendet, dadurch für die mögliche Denition eines ähnlichen Funktionals
für Blätterungen klarer zu sehen. Beides ist nicht unbedingt nötig und wir könnten auch
degγ b log γ ∗ a(0) −
R1
0
log γ ∗ b dlog γ ∗ a betrachten, wobei die Zweige der Logarithmen auf [0, 1]
gewählt werden.
22
Beweis:
log a(e
γ (1)) − log a(e
γ (0)) = 2πi degγ a und genauso für b. Damit gilt:
Z
Z
Z
log a dlog b + log b dlog a =
d log a log b
γ
e
γ
e
γ
e
= log a γ
e(1) log b γ
e(1) − log a γ
e(0) log b γ
e(0)
= log a γ
e(0) + 2πi degγ a log b γ
e(0) + 2πi degγ b
− log a γ
e(0) log b γ
e(0)
= 2πi degγ a log b γ
e(0) + 2πi degγ b log a γ
e(0) − (2πi)2 degγ a degγ b.
Es gilt
Daraus folgt die erste Behauptung mit Division durch
Da
(degγ a)2 = degγ a
mod
2
folgt mit
a=b
2πi
und Umsortieren.
die zweite Behauptung aus dersel-
ben Gleichung.
Die dritte Behauptung gilt, da
log ac ≡ log a + log c
mod
Z gilt und das
2πi
Integral linear ist.
Für die vierte Behauptung stellen wir fest, dass wegen
auch log a(e
γ (0)) ≡ log a(e
γ 0 (0)) ≡ log a(f
γ γ 0 (0)) mod 2πi
γ(0) = γ 0 (0) = γγ 0 (0)
Z gilt und damit
degγγ 0 b log af
γ γ 0 (0) = (degγ b + degγ 0 b) log a γf
γ 0 (0)
≡ degγ b log a γ
e(0) + degγ 0 b log a γ
e0 (0)
mod
2πi.
Andererseits ist das Integral additiv auf Zykeln und wir können die Lifts so
wählen, dass γ
f
γ0 = γ
eγ
e0 gilt.
Unter den Voraussetzungen der fünften Behauptung ist auch jeder Lift
γ
e
zu-
sammenziehbar, also das Integral gleich null. Auÿerdem ist der Grad, da homotopieinvariant, gleich dem Grad einer konstanten Abbildung, d.h. gleich null.
2
3.2.5 Bemerkung:
Indem man bei
5.
etwas sorgfältiger argumentiert, kann man auch zeigen, dass
M ∗ (X) eine
das Beilinson-Funktional für zwei meromorphe Funktionen a, b ∈
1
wohldenierte Kohomologieklasse in H (U, / ) deniert, wobei
CZ
plement der Null- und Polstellen von
U das Koma, b ist. Zusammen mit dem folgenden Satz
ist dann schon ein anderer Beweis der Weil-Reziprozität möglich, indem man,
X ausnutzend, einen nullhomologen Weg um die Nulla, b legt und dann das Funktional anwendet. Diese Strategie
die Kompaktheit von
und Polstellen von
verfolgt A. Khovanskii in [Khovanskii].
23
3.2.6 Proposition [Khovanskii, S. 13, Lemma 5.2, 5.3]
γ der stückweise C 1 Rand einer einfach zusammenhängenden Menge
U ⊆ X ist und a, b ∈ M∗ und x ∈ U ein Punkt, sodass a, b auf U \{x}
Wenn
in
weder Null- noch Polstellen haben, dann gilt:
exp B(a, b) = a, b x
Beweis:
In einer Karte
a0 , b0 .
z
Dann sind
um
a0
x
schreiben wir
und
b0
auf ganz
a(z) = a0 z n
U fortsetzbar
2πi )
Z
Proposition (alle Rechnungen modulo
und
b(z) = b0 z m
mit
z -
und es gilt mit der vorigen
Bγ (a, b) ≡ Bγ (a0 , b0 ) + nBγ (z, b0 ) + mBγ (a0 , z) + nmBγ (z, z)
≡ nBγ (z, b0 ) − mBγ (z, a0 ) + nmπi.
Aber es gilt:
Bγ (z, b0 ) = degγ (b0 ) log z γ
e(0) −
Z
log b0 dlog z = − log b0 (x)
γ
e
Bγ (z, a0 ), also zusammen
n
exp Bγ (a, b) = exp log am
0 (x) − log b0 (x) + nmπi = a, b x .
und genauso für
2
Zuletzt untersuchen wir, wie sich das Beilinson-Funktional verhält, wenn eine
t0 ∈ C, sodass
C ist für eine einfach zusammenhängende, oene Umgebung V und
der beiden Funktionen von einem Parameter abhängt. Sei dazu
t0 ∈ V ⊆
sei
a : V × X −→
P1(C) = C ∪ ∞
(t, z) 7−→ at (z)
eine holomorphe Funktion in zwei Variablen (d.h. eine meromorphe Funktion
∗
auf X , die holomorph von einem Parameter abhängt) und b ∈ M . Sei ferner
U = X\{Null-
und Polstellen von b und at für alle t ∈ V } und γ : [0, 1] → U
C 1 Weg. Wir betrachten die Familie von Wegen
ein geschlossener stückweise
V × [0, 1] −→ V × U
(t, z) 7−→ γt (z) := t, γ(z) .
V, U . Da V einfach zusammenhäne = V . Auÿerdem ist o.E. V^
e . Wir erhalten eine
gend ist, gilt o.E. V
× U = V ×U
Seien
e
Ve , U
universelle Überlagerungen von
Familie von gelifteten Wegen
V × [0, 1] −→ V^
×U
(t, z) 7−→ γ
et (z) = t, γ
e(z) .
Wir betrachten darüber hinaus
b
als Funktion auf
V ×U
Mit diesen Vorbereitungen können wir Logarithmen für
24
durch
a(t, z)
b(t, z) := b(z).
b(t, z) auf
und
V^
× U wählen. Für jedes t ∈ V geben diese auch Logarithmen der auf {t} ×
U eingeschränkten Funktionen und wir können das Beilinson-Funktional als
Funktion
C
Z
BγT (aT , b) : V −→ /2πi
t 7−→ Bγt (at , b)
auassen. Wir schreiben dafür weiter
Bγ (aT , b),
da die
U -Komponente
von
γt
immer dieselbe ist.
3.2.7 Proposition
Mit obiger Notation gilt:
γt
Bγ (aT , b) eine wohldenierte holomorphe Funktion
1. Sind die Zweige der Logarithmen und die Familie von Lifts der
fest gewählt, so ist
nach
C.
2. Das Beilinson-Funktional
on
V −→
C/2πiZ
Bγ (aT , b) deniert eine holomorphe Funkti-
Beweis:
Sind die Lifts und die Zweige des Logarithmus fest gewählt, geht die Funktion
oenbar nach
C und es gilt:
∂T Bγ (aT , b) = ∂T
1
γ(0) −
2πi
degγeT (b) log aT
da der Grad konstant ist und
log aT (γT (0))
Z
log b dlog aT
= 0,
γ
eT
holomorph ist. Das Integral kann
nach der Regel für Parameterintegrale mit der Dierentiation vertauscht werden
und der Integrand ist holomorph in
T,
da keine Nullstellen auf dem Integrati-
onsweg liegen.
Die zweite Aussage folgt dann sofort, da die Projektion
C → C/2πiZ holomorph
2
ist.
3.2.3 Beweis der Holomorphie
Beweis:
Wir xieren wieder ein
efα
C
0
α0
und setzen
(
x ∈ X | fα0 hat eine Null- oder Polstelle bei x ,
:= x ∈ X | f = f0 hat eine Polstelle bei x ,
und analog
Cg := supp div g
falls
falls
α0 =
6 1
α0 = 1
eα0 = C
efα ∪ Cg . Um die x ∈ C
eα0
C
0
oene Umgebungen Ux mit stückweise
und schlieÿlich
wählen wir einfach zusammenhängende,
0
Rand und Ux ∩ Ux0 = ∅ für x 6= x , die klein genug sind, dass ihr jeweiliger
C1
Abschluss in einem Kartengebiet enthalten ist. Dann existiert wegen der stetigen
Abhängigkeit der Null- und Polstellen von Parametern ein
α ∈ Bε (α0 )
das Produkt
Pα
die folgende Form hat:
25
ε > 0,
sodass für
Y
Pα :=
fα , g z .
z∈Ux
eα
x∈C
0
Fixiere jetzt weiter ein
γ : [0, 1] −→ δUx .
eα0
x∈C
und wähle eine Parametrisierung des Randes
Wir zeigen, dass für alle
Y
fα , g
z
α ∈ Bε (α0 )
= exp Bγ (fα , g)
die Gleichung
z∈Ux
gilt. Die rechte Seite ist eine holomorphe Funktion. Damit ist auch das gesamte
Produkt auf
und, da
α0
Bε (α0 )
holomorph als endliches Produkt holomorpher Funktionen
beliebig war, holomorph auf ganz
Betrachte dazu für jedes
α ∈ Bε (α0 )
C.
die Menge
Cα := (supp div fα ∪ Cg ) ∩ Ux .
Cα leer oder einelementig ist, gilt die Gleichung. Ansonsten wählen wir
α
α
α
α
α
Wege γ1 , ...γn , n ∈ {1, ...#Cα }, sodass γ = γ1 ...γn und jedes γi um je einen
Punkt aus Cα genau einmal herumläuft (vgl. Abbildung 2). Dann gilt, da das
Wenn
Beilinson-Funktional additiv auf Zykeln ist:
Y
Yα
Y
#C
fα , g z .
exp Bγ (fα , g) =
exp Bγiα (fα , g) =
fα , g x =
i=1
x∈Cα
z∈Ux
2
Abbildung 2: Beispiel für #Cα = 2. Die γiα sind grün bzw. rot eingezeichnet und die
Kreuze markieren Null- oder Polstellen von
fα
bzw.
g.
Der Beweis ist insgesamt etwas länger als die beiden erwähnten Beweise von
[Khovanskii] und [Griths, Harris], was mit Sicherheit auch an der ausführlichen Diskussion liegt. Ein Vorteil ist, dass sich die Aussage für die Beträge,
wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, gut auf Blätterungen verallgemeinern lässt, da man für diese Teilaussage Probleme mit der Mehrdeutigkeit des
komplexen Logarithmus vermeiden kann. Bei [Griths, Harris] werden dafür
Fundamentalpolygone benutzt, die sehr spezisch für kompakte Riemannsche
Flächen sind. Darüber hinaus gibt es bei uns keine Einschränkung bezüglich der
Träger der Divisoren.
Im Vergleich zu [Khovanskii] erscheint unser Beweis etwas künstlich, da wir
letztendlich fast die volle Kraft des Beilinson-Funktionals, inklusive der Additivität auf Zykeln nutzen müssen, was nahelegt auch noch zu zeigen, dass dies
nur von der Homologieklasse abhängt.
26
4
Reziprozität für Blätterungen Ideen, Diskussion und Teilergebnisse
4.1
Grundlagen
In diesem Abschnitt werden die für das Verständnis der im Folgenden betrachteten Objekte grundlegenden Denitionen zusammengetragen. Alle Denitionen
und Resultate sind mehr oder weniger explizit bei [Ghys], [Candel, Conlon] oder
[Lee] zu nden.
Als erstes benötigen wir den Begri der Blätterung durch Riemannsche Flächen.
Anschaulich wollen wir
3-dimensionale
Mannigfaltigkeiten betrachten, die eine
lokal parallele Partitionierung in Riemannsche Flächen besitzen. Das wird wie
folgt formalisiert:
4.1.1 Denition [Ghys, S. 3]
Sei
I
M
ist eine Menge von Tupeln
eine Menge und
•
Die
•
Die
Ui
M
ein topologischer Raum. Ein Blätterungsatlas auf
(Ui , ϕi )i∈I
sind eine oene Überdeckung von
Mengen.
M.
Sie heiÿen
D
basisoene
D C die oene
ϕi sind Homöomorphismen Ui −→ ×Ti , wobei ⊆
Einheitskreisscheibe ist und Ti ⊆
ein oenes Intervall.
R
Karten.
•
mit den folgenden Eigenschaften:
Die
Kartenwechsel
ϕij : ϕj ◦ ϕ−1
i
Sie heiÿen
sind dort, wo sie deniert sind,
glatt und von der Form
ϕij (z, t) = fij (z, t), γij (t) ,
wobei
fij
holomorph von
Zwei Blätterungsatlanten auf
z
M
und
γij
nicht von
heiÿen äquivalent
z
27
abhängt.
, wenn ihre Vereinigung
wieder ein Blätterungsatlas ist.
Eine
Blätterung durch Riemannsche Flächen
Raum
M,
Äquivalenzklasse
F
von Blätterungsatlanten.
Eine Menge der Form
terung
ist ein topologischer
der zweitabzählbar und hausdorsch ist, zusammen mit einer
(M, F)
D × {t}) heiÿt Platte. Die Blätter einer Blät-
ϕ−1
i (
sind die kleinsten zusammenhängenden Mengen für die gilt,
dass eine Platte, die nichtleeren Schnitt mit ihnen hat, schon ganz darin
enthalten ist.
Insbesondere können wir eine Blätterung durch Riemannsche Flächen
immer als gewöhnliche
3-dimensionale
(M, F)
Mannigfaltigkeit auassen, indem wir
27 Das deniert tatsächlich eine eine Äquivalenzrelation, vgl z.B. [Candel, Conlon, Lemma 1.2.9, S. 25].
27
alle glatten Atlanten betrachten, die mit
träglich sind.
F
F
bis auf glatte Kartenwechsel ver-
entspricht dann einer Auswahl dieser Atlanten. Wir sprechen
daher auch häug von einer
3-Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Blätterung
durch Riemannsche Flächen.
Aus dieser Denition ist nicht sofort ersichtlich, was durch die Namensgebung
schon impliziert wird:
4.1.2 Proposition
Ein Blatt
B
einer Blätterung durch Riemannsche Flächen
(M, F)
besitzt
eine kanonische Struktur als Riemannsche Fläche und die Inklusion
M
B −→
wird damit zu einer (injektiven) Immersion.
Beweis:
Der Beweis orientiert sich an [Candel, Conlon, Lemma 1.2.16., S. 29].
Wir setzen für einen Punkt
x∈B
die Menge aller Platten, die
x
enthalten, als
Umgebungsbasis dieses Punktes (nach Denition eines Blattes sind diese Platten vollständig in
B
enthalten). Damit erhalten wir eine Topologie auf
28
im Allgemeinen echt feiner ist als die Teilraumtopologie.
Also ist
B
B,
die
mit dieser
Topologie automatisch hausdorsch. Die Platten liefern Kartenumgebungen für
jeden Punkt.
29
Etwas schwieriger ist die Zweitabzählbarkeit: Jeder Punkt in
zählbare Umgebungsbasis, da
dass
B
B
besitzt eine ab-
D zweitabzählbar ist. Es genügt also zu zeigen,
eine abzählbare Überdeckung durch Platten besitzt. Da
M
(als Mannig-
faltigkeit) parakompakt ist, können wir einen lokal endlichen Blätterungsatlas
wählen. Fixieren wir nun eine Platte
P0 ,
schneidet diese aufgrund der lokalen
Endlichkeit des gewählten Blätterungsatlas nur endlich viele andere Platten.
P0 startende Ketten von Plat6= ∅) unterhalb einer gegebenen
Per Induktion gibt es daher nur endlich viele bei
ten (d.h. Folgen von Platten
Länge. Andererseits ist
B,
Pi
sodass
Pi ∩ Pi+1
wie wir bereits wissen, lokal euklidisch und per De-
nition zusammenhängend, also wegzusammenhängend, d.h. jeder Punkt kann
aus
P0
durch einen Weg in
B
erreicht werden, der aber über eine endliche Folge
von Platten überdeckt werden kann.
Die Inklusion ist per Konstruktion eine Immersion und injektiv (aber nicht notwendigerweise eine Einbettung, da die Topologien nicht übereinstimmen müs-
2
sen).
Durch diese Immersionen der Blätter erhalten wir ein Unterbündel
Tangentialbündels an
M,
T (F)
des
indem für jeden Punkt die Tangentialebene an das
T (F) das Tangentialbündel oder Ebenenfeld der Blätterung. Die äuÿeren Ableitungen auf
Blatt durch diesen Punkt ausgezeichnet wird. Man nennt
28 Ein Beispiel dafür wird durch die sogenannten linearen Blätterungen auf dem Torus
gegeben: Man betrachtet eine Blätterung auf
R3
durch parallele Ebenen mit irrationalen
Steigungswinkeln und teilt die komponentenweise Wirkung von
Z3 auf R3 aus. Im Quotien-
tenraum sind die Blätter Ebenen, die dicht liegen. Wir werden dieses Beispiel nicht weiter
verwenden, für eine genauere Beschreibung vgl. [Candel, Conlon, S. 9 und Kommentar S. 10f.]
sowie [Ghys, S. 4].
29 Die Wahl der Topologie ist gerade so fein, dass die Einschränkung der Karten auf die
Platten ein Homöomorphismus ist, in diesem Sinne ist die Struktur kanonisch.
28
den Räumen der Dierentialformen der einzelnen Blätter induzieren einen Operator
dF , das Dierential entlang der Blätter. Es ist für eine komplexwertif lokal durch dF f (z, t) = ∂z f (z, t) dz + ∂z̄ f (z, t) dz̄ gegeben.
ge, glatte Funktion
Indem man jedes Blatt auf einen Punkt reduziert, erhält man (eine surjektive
Abbildung von
M
auf ) den sogenannten
Raum der Blätter M/F . Dieser ist
mit der Quotiententopologie ein topologischer Raum, im Allgemeinen jedoch
keine Mannigfaltigkeit (wenn ein Blatt im Abschluss eines anderen liegt, dann
gibt es nicht abgeschlossene Punkte).
4.1.3 Denition
Eine glatte Abbildung zwischen Blätterungen durch Riemannsche Flächen
(M, FM )
und
(N, FN )
f : M −→ N
respektiert die Blätterung,
FM zu
FN einschränkt oder äquiva× {t} → × {t0 } holomorph
falls sie sich auf jedem Blatt von
einer holomorphen Abbildung in ein Blatt aus
30
lent,
die in lokalen Koordinaten
f |D×{t} :
D
D
ist.
Blätterungen durch Riemannsche Flächen sind sehr eng verwandt mit anderen
Blätterungstheorien. Beispielsweise wird manchmal nicht gefordert, dass
Mannigfaltigkeit ist, und man erlaubt
men.
im
31
Ti
M
eine
in allgemeineren topologischen Räu-
Andererseits sind Blätterungen auf Mannigfaltigkeiten mit Koordinaten
Rq × Rp (ohne Holomorphiebedingung an die Kartenwechsel) ein übliches
Werkzeug in der Dierentialgeometrie.
32
Im Englischen (bzw. Französischen)
werden zur Unterscheidung erstere gelegentlich foliated spaces oder laminations
(auch auf Französisch laminations) und letztere foliations (bzw. feuilletages)
33
genannt.
Ein wichtiges Hilfsmittel im zweiten Fall ist der Satz von Frobe-
nius, der unter allen
q -dimensionalen
Ebenenfeldern diejenigen charakterisiert,
die als Tangentialbündel einer Blätterung auftauchen.
34
Eine reelle Blätterung
ist demnach das Gleiche wie die Vorgabe eines integrablen Ebenenfeldes. E.
Ghys erklärt in seinem Artikel [Ghys, S. 4f.] unter Ausnutzung eines Resultats
von Ahlfors und Bers, wie die zusätzliche Wahl einer Riemannschen Metrik
auf einem integrablen Hyperebenenfeld einer
3-Mannigfaltigkeit
die zugehöri-
ge Blätterung mit der Struktur einer Blätterung durch Riemannsche Flächen
35
versieht.
Dies wird hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt, uns wird die
30 Die Äquivalenz der beiden Bedingungen sieht man wie folgt: Die Notwendigkeit der zweiten ist klar, da komplexe Dierenzierbarkeit eine lokale Eigenschaft ist. Um zu sehen, dass
sie auch hinreichend ist, genügt zu zeigen, dass das Bild eines Blattes wieder in einem anderen Blatt enthalten ist. Dazu verbindet man zwei Platten im Startblatt wie im vorigen
Beweis durch eine endliche Kette von sich überlappenden Platten. Die Bilder von je zwei sich
überlappenden Platten treen das gleiche Blatt und sind also ganz darin enthalten.
31 Z.B. bei [Ghys].
32 Vgl. [Candel, Conlon],[Lee].
33 Vgl. [Ghys][Candel, Conlon, S. 32].
34 Vgl. [Candel, Conlon, S. 34.] für eine Übersicht bzw. [Lee, S. 498.] für einen Beweis.
35 Strenggenommen diskutiert er nur den Fall von stetiger (nicht notwendig glatter) Abhängigkeit von der transversen Koordinate, da er laminations betrachtet. In dem Originalartikel
wird aber auch der Fall dierenzierbarer Abhängigkeit betrachtet.
29
folgende Konstruktionsmethode genügen:
4.1.4 Proposition
(X, F) eine Blätterung durch Riemannsche Flächen und G eine diskrete
Gruppe, sodass G auf X eigentlich diskontinuierlich durch Dieomorphismen wirkt, die die Blätterung respektieren, dann besitzt der Quotient X/G
Ist
die Struktur einer Blätterung durch Riemannsche Flächen und die Projektion
π : X → X/G
ist eine Überlagerung, die die Blätterung respektiert.
Beweis:
Der Beweis verläuft genau wie im Fall von gewöhnliche Mannigfaltigkeiten, daher beschreiben wir nur den entscheidenen Punkt, nämlich dass der erhaltene
Atlas auf
X/G
wieder ein Blätterungsatlas ist.
Die Tatsache, dass ein Dieomorphismus die Blätterung respektiert, impliziert
schon, dass auch die Umkehrabbildung die Blätterung respektiert.
36
x̄ ∈ X/G und ein Urbild x ∈ X unter der Projektion π : X → X/G eine Umgebung x ∈ U ⊆ X , sodass gU ∪U = ∅
für alle g ∈ G\{eG } gilt. Nach eventuellem Verkleinern können wir U als Kartenumgebung bzgl. X wählen. Dann ist Ū = π(U ) eine Kartenumgebung für x̄,
indem wir eine Karte von X in einer beliebigen Komponente aus
[
gU
π −1 Ū =
Nach Voraussetzung gibt es für einen Punkt
g∈G
wählen. Da sowohl
g
als auch
g −1
die Blätterung respektieren, liefert dies einen
wohldenierten Blätterungsatlas.
2
Wir skizzieren zuletzt noch einige Beispiele für Blätterungen durch Riemannsche
Flächen.
Abbildung 3: Beispiel 1 mit einigen Blättern eingefärbt schematisch dargestellt.
4.1.5 Beispiele:
D × R besitzt eine oensichtliche Blätterung durch RieD × {t}. Durch Translation in der RKomponente operiert Z hierauf und diese Operation erfüllt die Bedin-
1. Der Zylinder
mannsche Flächen mit Blättern
gungen von Prop. 4.1.4. Wir erhalten eine induzierte Blätterung auf dem
oenen Volltorus
D × R/Z (siehe Abbildung 3).
36 Vgl.
http://mathoverflow.net/questions/67493/diffeomorphic-holomorphicbiholomorphic.
30
Abbildung 4: Die Funktionen f0 , f−1 , f−2 , f−3
aus Beispiel 2.
2. Eine weitere Blätterung auf dem oenen Volltorus ist die
Reeb-Blätte-
rung (vgl. [Kopei, S. 141f.]). Dazu schreiben wir D × R in zylindrischen
Koordinaten
(r, z, t)
wobei
r ∈ [0, 1), z ∈ S 1
R
t∈
ist. Diese Koor(0, z, t) für alle z ∈ S 1 und
Auÿerdem ist r dort nicht glatt,
und
dinaten sind im Ursprung nicht eindeutig, da
festes t den gleichen Punkt beschreibt.
r2 aber schon. Für c ∈ sind die Funktionen
R
fc :
D −→ R
(r, z) 7−→ exp
1
1 − r2
+c
daher glatt und wohldeniert, da sie nicht von
z
abhängen (siehe Abbil-
dung 4). Ihre Graphen können als eine Blätterung durch Riemannsche
Flächen auf dem Zylinder aufgefasst werden.
Graphen durch Addition von Elementen aus
37
Andererseits werden die
Z ineinander abgebildet, denn
die Funktionen unterscheiden sich gerade durch Translation. Wir erhalten
wieder eine Aktion von
Z, die die Bedingungen von Prop. 4.1.4 erfüllt und
damit eine wohldenierte Blätterung auf dem Quotienten.
3
3. Die Reeb-Blätterung kann auf die Sphäre S fortgesetzt werden. Dazu
3
4
schreiben wir S = {x = (x1 , ..., x4 ) ∈
| ||x|| = 1} = T+ ∪ T− als
R
37 Denn die Ebenen sind dieomorph zum
R2 ∼= C und indem wir immer denselben Dieo-
morphismus (bis auf Translation) wählen, erhalten wir verträgliche komplexe Strukturen auf
den Graphen durch Zurückziehen. Eine andere Möglichkeit wäre, die Methode von [Ghys] zu
verwenden, z.B. mit der Standardmetrik auf dem Zylinder.
31
38
Vereinigung zweier abgeschlossener Volltori
T+ = x ∈ S 3 | x21 + x22 ≥ x23 + x24
T− = x ∈ S 3 | x21 + x22 ≤ x23 + x24 .
Auf dem Inneren von jedem Torus haben wir die Reeb-Blätterung und
den Rand nehmen wir als Blatt hinzu. Es kann gezeigt werden, dass das
3
39
eine glatte Blätterung auf S liefert.
Wir werden auÿerdem Flüsse auf Mannigfaltigkeiten verwenden. Da diese ein
Standardwerkzeug sind, wiederholen wir nur die hier benötigten Aussagen. Für
Beweise und Hintergründe verweisen wir auf [Lee, Chapter 9].
4.1.6 Denition [Lee, S. 209]
Ein (globaler) Fluss
Operation auf
M,
Φ
auf einer Mannigfaltigkeit
M
ist eine glatte
R-
d.h. eine glatte Abbildung
Φ:
R × M −→ M
t, x 7−→ Φt (x),
sodass
Wegen
Φ0 = Id
und
Φt ◦ Φ−t = Id
Φt ◦ Φs = Φt+s
für alle
folgt direkt, dass alle
s, t ∈
Φt
R gilt.
Dieomorphismen sind. Es gibt
verschiedene Arten, sich Flüsse vorzustellen: Entweder als Familie von Dieo-
R
Orbits
Ox = {Φt (x) | t ∈ } betrachtet.
0
Diese partitionieren die Mannigfaltigkeit, d.h. falls Ox ∩ Ox0 6= ∅ für x, x ∈ M ,
dann ist schon Ox = Ox0 . Ferner ist nach Wahl von x der Orbit Ox parametrisiert durch die Flusslinie cx : t 7→ Φt (x). Diese Kurve kann als Bild nur
morphismen oder indem man die
einen Punkt haben, periodisch (mit positiver Periode) sein oder dieomorph zu
R. Im ersten Fall spricht man von einem Fixpunkt des Flusses und im zweiten
Fall von einem
periodischen Orbit und
l(Ox ) := mintper ∈R>0 cx (t + tper ) = cx (t)
für alle
t∈
R
x0 = Φs (x), dann gilt cx0 (t) = cx (t + s).40 Die
Tangentialvektoren an die Kurven cx bilden ein glattes Vektorfeld V (Φ). Hat
umgekehrt ein glattes Vektorfeld V Integralkurven, die für alle Zeiten deniert
V
sind, d.h. für jedes x ∈ M eine glatte Kurve cx :
→ M mit cVx (0) = x und
V
ċx (0) = V (x), so generiert es einen globalen Fluss ΦV durch ΦVt (x) = cVx (t).
heiÿt die Länge des Orbits. Falls
R
Solche Vektorfelder heiÿen vollständig. Jedes glatte Vektorfeld mit kompaktem
38 Alternativ könnten wir zwei abstrakte Tori
D̄ × S 1 betrachten und die Ränder mittels
f : S 1 × S 1 −→ S 1 × S 1
(x, y) 7−→ (y, x)
identizieren.
39 Vgl. [Kopei, S. 141f.] für genau diesen Fall und [Candel, Conlon, S. 93] für mehr Hinter-
grundinformationen zur Konstruktion.
40 Für festes
t∈
R kann man den Dieomorphismus Φt so verstehen: Die Punkte x ∈ M
ieÿen die Kurven
cx
bis zum Zeitpunkt
t
entlang, daher der Name Fluss.
32
Träger ist vollständig. Insbesondere sind alle glatten Vektorfelder auf kompakten Mannigfaltigkeiten vollständig. Wenn eine diskrete Gruppe
kontinuierlich auf
M
G eigentlich dis-
operiert und ein vollständiges Vektorfeld invariant lässt,
deniert das auch ein vollständiges Vektorfeld mit zugehörigem Fluss auf
S, S 0
Es sei daran erinnert, dass zwei Untermannigfaltigkeiten
faltigkeit
M
sich
Tangentialräume
transversal in einem Punkt x ∈ S ∩ S
Tx S
und
Tx S 0
Tangentialraum
F
Tx M
einer Mannig-
schneiden, falls die
(die wir über das Dierential der Einbettung
(oder der Immersion) als Teilräume von
Blätterung
0
M/G.
Tx M
auassen können) den ganzen
aufspannen. Wenn wir eine Mannigfaltigkeit mit einer
und einem Fluss
Φ
haben, sagen wir, der
Fluss liegt transver-
sal zur Blätterung, wenn in jedem Punkt V (Φ)(x) zusammen mit T (F)(x)
den Tangentialraum
Tx M
aufspannt oder äquivalent, wenn die Flusslinien die
Blätter transversal schneiden.
4.2
Geblätterte dynamische Systeme
Mit den Grundlagen des vorigen Abschnittes können wir das Setting beschreiben, in dem wir ein geometrisches Analogon für die Weil-, bzw. Hilbert-Symbole
suchen. Wir folgen [Kopei], der auf Ideen von C. Deninger aufbaut.
4.2.1 Denition [Kopei, S. 143]
Ein geblättertes dynamisches System
ist ein Tripel
(M, F, Φ)
beste-
hend aus
•
einer kompakten Blätterung durch Riemannsche Flächen
•
einem Fluss
Φ
auf
(M, F)
und
M,
die wie folgt kompatibel sind:
•
sodass der Fluss
Φ
0≤r<∞
an kompakten Blättern Ki ,
r
auf dem Komplement M \ ∪i=1 Ki transvers zu F
Es gibt eine endliche Anzahl
ist.
•
Es gilt
•
Für alle
Ein
0
Φt (Ki ) = Ki
t∈
für alle
i ∈ {1, ...r}
und
R respektiert Φt die Blätterung.
t∈
R
Morphismus geblätterter dynamischer Systeme
(M , F 0 , Φ0 )
(M, F, Φ)
und
ist eine glatte Abbildung
f : M −→ M 0 ,
sodass
f
die Blätterung respektiert und mit dem Fluss kommutiert. Auf
jedem Blatt schränkt sich
f
also zu einer Abbildung Riemannscher Flächen
ein und es wird zusätzlich gefordert, dass die Verzweigungspunkte dieser
41
Abbildungen in einer endlichen Anzahl periodischer Orbits liegen.
41 Diese letzte Bedingung werden wir in dieser Arbeit nicht verwenden.
33
Auch die Struktur geblätterter dynamischer Systeme steigt auf den Quotienten
nach einer eigentlich diskontinuierlichen Gruppenwirkung durch Morphismen
geblätterter dynamischer Systeme ab.
42
Dies gilt auch, wenn wir nichtkompakte
∂
) können
Räume betrachten. Durch Wahl eines geeigneten Vektorfeldes (z.B.
∂t
also die ersten beiden Beispiele von 4.1.5 für Blätterungen durch Riemannsche
Flächen auch als (nichtkompakte) geblätterte dynamische Systeme aufgefasst
43
werden.
4.2.2 Denition [Kopei, S. 144]
Sei
(M, F, Φ)
ein geblättertes dynamisches System und
K1 , ...Kr
die kom-
meromorphe Funktion auf einem geblätterten dynamischen System ist eine glatte Abpakten Blätter mit nichttransversalem Fluss. Eine
bildung
f : M\
r
[
Ki −→
CP1 = C ∪ {∞},
i=1
sodass
f
eingeschränkt auf jedes Blatt von
und die Null- und Polstellenmenge von
f
F
in
M \ ∪ri=1 Ki
holomorph ist
in der Vereinigung von endlich
vielen transversalen, periodischen Orbits von
Φ
enthalten ist.
Die meromorphen Funktionen bilden eine Gruppe bezüglich der Multiplikati∗
∗
on, die wir mit M := M(M ) bezeichnen.
Körper,
Sie bilden jedoch i.A. keinen
da es keinen Grund gibt, warum die Nullstellen der Summe zweier
meromorpher Funktionen wieder nur auf periodischen Orbits liegen sollten.
Wir schreiben im Folgenden häug kurz GDS bzw. GDS-meromorphe Funktion für geblättertes dynamisches System bzw. meromorphe Funktion auf einem
geblätterten dynamischen System und
4.2.3 Bemerkung:
Alle Blätter der Blätterung eines GDS
M
anstelle von
(M, F, Φ)
(M, F, Φ).
sind orientierbar (als komple-
xe Mannigfaltigkeiten). Wir können auÿerdem auf dem Komplement der kompakten Blätter
Ki ,
zu denen der Fluss nicht transversal liegt, die
betrachten, die durch
ω|T (F ) ≡ 0
und
44
ω(V (Φ)) ≡ 1
1-Form ω
deniert wird. Es kann
mit Hilfe dieser Form gezeigt werden,
dass auch die gesamte Mannigfaltigkeit
r
M \ ∪i=1 Ki orientierbar ist und eine Orientierung lokal durch i dz ∧ dz̄ ∧ ω gegeben ist. Im Folgenden werden wir immer diese Orientierung verwenden.
42 Vgl. Prop. 4.1.4 sowie die Tatsache, dass die analoge Aussage für Vektorfelder gilt und
Transversalität erhalten bleibt.
43 Dies ist auch für das dritte Beispiel möglich, es muss dazu ein komplizierteres Vektorfeld
für das zweite Beispiel verwendet werden, welches sich als konstant
0 auf den Rand des Torus
fortsetzt. Da wir diese Beispiele nicht weiter verwenden werden, gehen wir nicht näher darauf
ein. Vgl. [Kopei] und [Candel, Conlon, Fig. 5.1.1] für ein Bild.
44 Vgl. [Kopei, S. 146] bzw. [Candel, Conlon, S. 28].
34
4.2.4 Bemerkung:
Es kann gezeigt werden,
45
dass die Ordnung einer GDS-meromorphen Funktion,
obwohl sie zunächst nur blattweise deniert ist, entlang periodischer Orbits
konstant ist. Für einen periodischen Orbit
O,
ein Blatt
B
und einen beliebigen
x ∈ B ∩ O und eine GDS-meromorphe Funktion f können wir also
ordO f := ordx f |B denieren46 und dies liefert einen Gruppenhomomorphismus
Punkt
Z
ordO : M(M )∗ −→ .
F. Kopei hat für kompakte Blätter
K , bei denen der Fluss nicht transversal ist,
ebenfalls einen Gruppenhomomorphismus
log | · |K : M(M )∗ −→
C
deniert und gezeigt, dass für eine GDS-meromorphe Funktion
f ∈ M(M )∗
schon
X
O periodischer Orbit
gilt.
X
−l(O) ordO f +
log |f |K = 0
K kompaktes Blatt mit
nichttransversalem Fluss
47
Mit diesem Wissen ist die folgende Denition möglich:
4.2.5 Denition
Für ein GDS
(M, F, Φ) und f ∈ M(M )∗
ist der
Divisor von f die formale
Summe
X
div f =
X
ordO f [O] +
log |f |K [K].
K kompaktes Blatt mit
nichttransversalem Fluss
O periodischer Orbit
ordO f 6= 0 vereinigt mit der Menge
nichttransversalem Fluss und log |f |K [K] 6= 0
Die Menge der periodischen Orbits mit
der kompakten Blätter mit
heiÿt der
Träger des Divisors.
4.2.6 Bemerkung:
Die Formel in der vorangehenden Bemerkung kann als
deg div f = 0
aufgefasst
werden.
45 Vgl. [Kopei, S. 145], der Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass das Null- und Polstellen zählende Integral, angewendet auf jedem Blatt, stetig von der transversen Koordinate
abhängt. Vgl. auch die Argumente im vorigen Kapitel.
46 Ganz analog kann man den Verzweigungsindex eines Morphismus von GDS entlang eines
periodischen Orbits denieren.
47 Vgl. [Kopei, S. 146]. Im Beweis werden Tubenumgebungen um die kompakten Blätter
und die periodischen Orbits, auf denen
Form
dF log f ∧ ω
(mit
ω
f
Null- oder Polstellen hat, gelegt und dann die
wie in Bemerkung 4.2.3) über den Rand der Tubenumgebungen
integriert und Stokes angewendet. Die Beiträge der jeweiligen Tubenumgebung sind gerade
die Summanden in der angegebenen Summe. Wir werden in Abschnitt 4.7 die gleiche Strategie
verwenden.
35
4.3
Gründe für die Betrachtung geblätterter dynamischer
Systeme
Diese Darstellung folgt der Einleitung von [Deninger02] sowie [Morishita, Ch.
2, S. 24, Ch. 3]. Für eine umfassendere Darstellung von Deningers Theorie
verweisen wir auch auf [Deninger98].
Die Idee, dass Zahlkörper bzw. deren Ganzheitsringe in Analogie zu dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten und Primideale in Analogie zu Knoten stehen,
hat ihre Anfänge in der étalen Topologie. Sie beruht (unter anderem) auf den
folgenden Beobachtungen:
•
Die étale-kohomologische Dimension des Spektrums von Ganzheitsringen
globaler Zahlkörper ist 3.
48
•
Die étale-kohomologische Dimension endlicher Körper ist 1.
•
Es gilt
Ẑ
π1ét Fq = ,
wobei
Ẑ die proendliche Vervollständigung von Z ist.
Dies suggeriert, sich den Ganzheitsring
OK
eines Zahlkörpers
mensionale Mannigfaltigkeit und für ein Primideal
sene Immersion
Spec(OK /p) → Spec(OK )
p ⊆ OK
K
als dreidi-
die abgeschlosS 1 , d.h. als
als Einbettung einer
einen Knoten, vorzustellen. Dies wurde Mitte der 60er Jahre unabhängig von
49
D. Mumford und Y. Manin vorgeschlagen und von B. Mazur aufgegrien.
Die-
ser Blickwinkel wurde später unter anderem M. Kapranov und A. Reznikov und
M. Morishita weiterentwickelt.
50
Es gibt ein recht umfangreiches Wörterbuch,
welches arithmetische Objekte und ihre geometrischen Gegenstücke auistet.
Ein prominentes Beispiel ist das Legendresymbol und die Verschlingungszahl
zweier Knoten.
Ausgehend von dem Versuch, einen kohomologischen Zugang zur Riemannschen
ζ -Funktion
zu nden, hat C. Deninger, angefangen in den 90er Jahren, einen
andere Theorie entwickelt, die ebenfalls auf die Betrachtung von Primidealen als
Knoten führt. Dabei wird eine Zuordnung von Zahlringen zu gewissen Räumen
mit 1-kodimensionaler Blätterung und einem diese Blätterung respektierenden
Fluss postuliert und die vom Fluss induzierte Operation auf einer adäquaten
Kohomologie dieser Räume betrachtet. Wie diese Zuordnung ausehen könnte,
insbesondere welcher Natur diese Räume genau seien sollen, ist nicht vollständig geklärt. Die hier betrachteten geblätterten dynamischen Systeme können als
eine (zu optimistische) Approximation an die Zielkategorie verstanden werden.
48 modulo 2-Torsion. Dies ist Teil der Aussage von Artin-Verdier Dualität. Es werden modizierte étale Kohomologiegruppen betrachtet, die die unendlichen Primstellen berücksichtigen.
Vgl. [Morishita, S. 43 .] für einen Überblick und weitere Referenzen.
49 In vielen älteren Texten wird B. Mazur als Urheber genannt. In einem zwischenzeit-
lich verschollenen, unpublizierten Manuskript nennt er jedoch Mumford als Ideengeber. Vgl.
http://www.neverendingbooks.org/who-dreamed-up-the-primesknots-analogy für eine Spurensuche.
50 Vgl. [Morishita, S. 5] für Referenzen zu den Erstgenannten.
36
Schon hier gibt es jedoch erstaunliche formale Ähnlichkeiten zwischen Arithmetik und Geometrie und ein (nur teilweise mit dem zuvor erwähnten kompatibles) Wörterbuch. Im Folgenden geben wir den Auschschnitt daraus an, den
wir hauptsächlich benutzen werden (dabei sei
OK
K
ein globaler Zahlkörper und
der Ganzheitsring):
(M, F, Φ)
f ∈ M(M )∗
periodischer Orbit O
Länge l(O)
Spec OK
f ∈ K∗
Primideal
GDS
p
Mächtigkeit
#κ(p)
unendliche Primstelle
kompaktes Blatt
ordp
Inklusion
OK ⊆ OL
GDS-Überlagerung
ordO
M →M
0
Darüber hinaus werden wir die folgenden Objekte als analog betrachten.
F∗q
f
R
modulo
f |O
C (M/F, ∗ )
p
Einheitswurzeln in
4.4
Z C∗)
C ∞ ( / log q ,
Einschränkung
∞
K
C
R/λZ
GDS-Faserbündel über
Wir stellen eine spezielle Klasse von GDS zusammen mit einer Konstruktionsmethode für explizite Beispiele vor, die z.B. in [Deninger08] Erwähnung ndet.
Angenommen wir haben ein GDS dessen Raum der Blätter eine Mannigfaltig1
keit ist, dann muss diese schon dieomorph zur Kreislinie S sein (denn sie ist
1-dimensional, kompakt und unberandet). Wenn wir zusätzlich annehmen, dass
der Fluss überall transvers ist, muss die induzierte Wirkung auf dem Raum
der Blätter aus einem einzigen Orbit
Flusslinie durch
O
bestehen und eine Parametrisierung als
R/l(O)Z ist ein Dieomorphismus. Alle Blätter müssen (durch
den Fluss) biholomorph zueinander sein und das GDS erhält so die zusätzliche
Struktur eines Faserbündels über
R/l(O)Z. Wir nennen daher solche Systeme
sene Länge des Basisraumes. Mit
pr
GDS-Faserbündel über R/λZ und meinen mit λ die durch den Fluss gemesbezeichnen wir in diesem Fall immer die
Projektion auf den Raum der Blätter.
Eine Konstruktionsmethode51
Sei
λ∈
R eine feste reelle Zahl und (X, ϕ) ein diskretes holomorphes dynami-
sches System, d.h. eine kompakte Riemannsche Fläche zusammen mit einem Auals:
ϕ : X → X . Wir denieren das zugehörige GDS-Faserbündel
.
(X
×
)
M := M (X, ϕ) :=
λ .
Dabei operiere
λ
tomorphismus
R
Z
Z durch (λn, (m, r)) 7→ (ϕn(m), r−λn). Diese Gruppenwirkung
erfüllt die Voraussetzungen von Prop. 4.1.4, also erhalten wir eine Blätterung
durch Riemannsche Flächen. Auÿerdem gibt es eine glatte
R-Wirkung Φ per
t, (m, r) 7→ (m, r + t) ,
51 Dies ist ein Spezialfall der Einhängung, einer üblichen Konstruktionsmethode für Blätterungen. Vgl. z.B. [Ghys] oder [Candel, Conlon], und des Abbildungstorus aus der Topologie.
37
die die Blätterung respektiert und Flusslinien überall transvers zur Blätterung
hat. Die Projektion
pr : M −→
R/λZ
auf die zweite Komponente induziert eine Faserbündelstruktur über
Fasern biholomorph zu
R/λZ.
X.
R/λZ mit
Der Raum der Blätter ist dadurch isomorph zu
Es sei bemerkt, dass wir mit
ϕ = id
diesen Prozess insbesondere für eine belie-
bige Riemannsche Fläche durchführen können.
Es gibt eine Umkehrung dieser Operation: Für ein GDS-Faserbündel M̃ ist die
−1
Faser pr ([t]) über einem beliebigen Punkt zusammen mit Φ̃−λ −1
ein dispr ([t])
kretes holomorphes dynamisches System. Falls das Faserbündel schon von der
−1
Form M̃ = M (X, ϕ) war, ist (pr ([t]), Φ̃−λ −1
) isomorph zu (X, ϕ).
pr ([t])
Orbits
Z
x ∈ X bezeichnen wir mit Ox = {ϕn (x) | n ∈ } den Orbit von x
ϕ. Wir schreiben |Ox | := #Ox für die Mächtigkeit, falls diese endlich
Für ein
unter
ist und sprechen von einem
endlichen Orbit.
Bei der obigen Konstruktion
erhalten wir eine Bijektion:
endliche Orbits von
(X, ϕ) ←→ periodische
Ox 7−→ O[(x,0)]
Oφb λt c (x) ←−[ O[(x,t)] .
Dabei entsprechen endliche Orbits mit
l(O[(x,0)] ) = nλ,
O[(x,0)]
(M (X, ϕ), Φ)
periodischen Orbits der Länge
denn:
Für einen endlichen Orbit
also ist
|Ox | = n
Orbits von
Ox
mit
periodisch und da
die Länge. Ist umgekehrt
|Ox | = n ist [(x, nλ)] = [(ϕ−n , 0)] = [(x, 0)],
n minimal ist mit ϕn (x) = x, stimmt auch
O[(x,0)]
ein periodischer Orbit, dann ist die Länge das
0 0
Produkt von λ mit einer natürlichen Zahl, da [(x, t)] ∼ [(x , t )] genau dann
m 0
0
gilt, wenn ein m ∈
existiert mit x = φ (x ) und t − t = λm. Die beiden
Z
Abbildungen sind invers zueinander. Für die eine Richtung ist das oensichtlich,
für die andere kann man die folgende Zerlegung benutzen, die noch häuger
nützlich sein wird: Für
Ox = {x1 , ..., xn }
O[(x,0)]
gilt
n
[
=
(xi , t) | t ∈ [0, λ) .
i=1
Meromorphe Funktionen
Für eine meromorphe Funktion
∗
d.h. ϕ div(f ) = div(f ), gilt
f ∈ M(X)∗ , deren Divisor von ϕ xiert wird,52
f ◦ϕ
≡ b(f )
f
für eine komplexe Zahl
b(f ) ∈
C, da der Quotient eine holomorphe Funktion
auf einer kompakten Riemannschen Fläche, also konstant, ist.
52 Explizit bedeutet dies: Für eine Null- oder Polstelle
bzw. Polstelle derselben Ordnung.
38
x
von
f
ist
ϕ(x)
wieder eine Null-
a(f ) = log b(f ) erhalten wir
ta(f )
F (x, t) := exp
f (x)
λ
Nach Wahl eines Logarithmus
durch
M . Diese ist wohldeniert, da
ta(f )
F (ϕ(x), t − λ) = exp
exp − a(f ) f ϕ(x) = F (x, t)
λ
eine GDS-meromorphe Funktion auf
gilt und die Äquivalenzrelation von
[(x, t)] ∼ [(ϕ(x), t − λ]
O[(x,0)] für x ∈ div(f ).
erzeugt wird. Ihr
Divisor besteht genau aus den Orbits
Warnung: Da wir beim Logarithmus eine Wahl treen, erhalten wir zu gegebenem
f
eigentlich eine ganze Familie von Funktionen
F
(j)
(x, t) = exp
2πijt
λ
F
(F (j) )j∈Z
wobei
(x, t) .
f gehörigen GDS-meromorphen Funktion auf
M die Rede ist, ist irgendein Element dieser Familie gemeint und wir schreiben
a(f ) für die die Wahl des Logarithmus, die zu dieser Funktion führt.
Wenn im Folgenden von einer zu
4.4.1 Bemerkung:
Die Zuordung wird wohldeniert, wenn wir einen Quotienten des Zielraumes
betrachten:
f ∈ M(X)∗
mit
R Z C∗)
.
∗
ϕ∗ div(f ) = div(f ) −→ F ∈ M(M )
C ∞( / ,
Sie faktorisiert dann über eine injektive Abbildung:
f ∈ M(X)∗
mit
C∗ −→
ϕ∗ div(f ) = div(f ) /
F ∈ M(M )∗
.
R Z C∗)
C ∞( / ,
Auch hier gilt wieder eine Umkehrung: Für eine GDS-meromorphe Funktion
RZ
M = M (X, ϕ) und X[t] die Faser über [t] ∈ / ist F |X[t]
Funktion auf X[t] ∼
= X , deren Divisor invariant unter ϕ ist.
auf
F
eine meromorphe
Interpretation
Die hier betrachteten Mannigfaltigkeiten könnten als Analoga zu algebraischen
Kurven über nicht notwendig algebraisch abgeschlossenem Körper
k
(d.h. zum
Funktionenkörperfall) aufgefasst werden. Dabei treten auch Trägheitsphänomene auf, d.h. Orbits von
Φ, die nichttriviale Überlagerungen von
geben dazu noch ein konkretes Beispiel.
39
R/λZ sind. Wir
4.4.2 Beispiele:
X=
tive n-te
1. Sei
CP1 = C ∪ {∞}, n ∈ N eine natürliche Zahl, ζ ∈ µn eine primiEinheitswurzel und
ϕ(z) = ζz .
C
ϕ sind 0 und ∞, alle anderen Punkte (d.h. alle x ∈ ∗ )
sind n-periodisch. Die zugehörigen Orbits von M (X, ϕ) sind also n-fache
Überlagerungen des Basisraumes. Eine GDS-meromorphe Funktion F wird
n
beispielsweise durch f (z) = z − 1 induziert. Ihr Divisor ist
Die Fixpunkte von
div F = O[(1,0)] − nO[(∞,0)] .
2. Bei
X=
CP1 sind die Automorphismen die Möbiustransformationen und
durch die Bilder von drei Punkten bestimmt. Ein ϕ 6= id kann also nur
1
0, 1 oder 2 Fixpunkte haben, d.h. in M (
, ϕ) haben nur 0, 1, 2 oder alle
CP
Orbits die gleiche Länge wie der Basisraum.
4.4.3 Bemerkung:
Durch eine einfache Umparametrisierung könnten wir
λ
auf
1
normieren. Das
es hier dennoch in die Konstruktion mit aufgenommen wird, hat ideologische
Gründe: Für eine hypothetische Zuordnung von globalen Funktionenkörpern zu
den hier betrachteten Faserbündeln würde man erwarten, dass die zugehörigen
n
Basisräume Länge λ = log q für q = p mit einer Primzahl p hätten.
4.5
Ein Vorschlag von Kapranov
In diesem Abschnitt stellen wir einen Vorschlag zur Denition der lokalen Symbole von M. Kapranov, der C. Deninger von M. Morishita mitgeteilt wurde und
der der ursprüngliche Anlass zu dieser Arbeit war, vor und beweisen eine Reziprozitätsformel für induzierte GDS-meromorphe Funktionen auf zu diskreten
holomorphen dynamischen Systemen gehörigen GDS-Faserbündeln.
4.5.1 Denition
Sei
(M, F, Φ)
Φ.
Das
ein GDS,
F, G ∈ M(M )∗
und
O
ein periodischer Orbit von
Kapranov-lokale Symbol53 bei O ist deniert als:
Kap
F, G O := deg
F ordO G GordO F O
4.5.2 Bemerkung:
Da die Ordnungen auf einem geschlossenen Orbit konstant sind, hat die Funktion, deren Grad wir betrachten wollen, weder Null- noch Polstellen. Damit ist
∗
sie also eine Abbildung O →
und der Grad ist wohldeniert. Auÿerdem ist
es gleich
0,
falls
F
und
G
C
weder Null- noch Polstellen entlang
O
haben.
53 Dies ist eine leicht modizierte Version des ursprünglichen Vorschlags. Bei diesem
wurden f und g mit disjunkten Divisorenträgern betrachtet. Dann
P
ordO (g)
deniert, wobei O durch die geschlossenen Orbits
O deg(f |O )
visors von g ) läuft, und gefragt, ob f (div g) = g(div f ) gilt.
40
wurde
f (div g) =
(im Träger des Di-
4.5.3 Proposition
M = M (X, ϕ) das zu einem diskreten holomorphen dynamischen Sys∗
tem (X, ϕ) gehörige GDS-Faserbündel und sind f, g ∈ M(X) zwei mero∗
∗
morphe Funktionen mit ϕ div(f ) = div(f ) bzw. ϕ div(g) = div(g) sowie
F, G zwei zu f, g gehörige GDS-meromorphe Funktionen, dann gilt, mit
C = supp div(F ) ∪ supp div(G):
X
Kap
F, G O = 0
Ist
O∈C
Beweis:
λ = 1.
Cf = supp div(f ), Cg
Sei o.E.
Cf,g := Cf ∪ Cg := {x1 , ...xn } die Menge
der Null- und Polstellen von f und g . Die Ordnung von F bzw. G auf einem
m
Orbit O[(xi ,t)] ist dieselbe wie die von f bzw. g bei ϕ (xi ) für alle m ∈
und es gilt |Oxi | = l(O[(xi ,0)] ). Damit erhalten wir, da die Summe über die
Sei
analog und
N
Ordnungen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen
Fläche verschwindet:
2πi
X
O∈C
ordO G Z
Kap X
F
F, G O =
dlog
ord
F
O
G
O
O∈C O
Z
l(O)
X
=
a(f ) ordO G − a(g) ordO F dt
0
O∈C
=
X
l(O) a(f ) ordO G − a(g) ordO F
O∈C
=
X
X
a(f ) ordxi g − a(g) ordxi f
O∈C [(xi ,0)]∈O
=
X
a(f ) ordxi g − a(g) ordxi f
xi ∈Cf,g
= a(f )
X
ordxi g − a(g)
xi ∈Cg
X
ordxi f = 0
xi ∈Cf
2
Auch wenn das Ergebnis auf den ersten Blick dafür spricht, dass die lokalen Symbole nach Kapranov eine geeignete Verallgemeinerung der Weil- bzw. HilbertSymbole auf GDS darstellen, spricht der Beweis eher dagegen. Es wäre zu erwarten, dass sich eine hypothetische Reziprozität für lokale Symbole auf GDS
auf jenen, die von Riemannschen Flächen herkommen, auf die Weil-Reziprozität
reduziert. Für die gerade bewiesene Formel mussten wir aber nur benutzen, dass
die Summe über die Ordnungen einer meromorphen Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche verschwindet, was eine viel schwächere Aussage
ist.
4.6
Reziprozität für Faserbündel
In diesem Abschnitt stellen wir eine andere mögliche Denition für lokale Symbole auf GDS vor. Sie hat den Nachteil, nur auf GDS-Faserbündeln über
41
R/λZ
zu funktionieren, da steht sie aber dafür in sehr schöner Analogie zum Funktionenkörperfall.
4.6.1 Denition
R Z
(M, F, Φ) ein GDS-Faserbündel über /λ . Für einen periodischen
∗
Orbit O von Φ und zwei GDS-meromorphe Funktionen F, G ∈ M(M ) ist
Sei
das
lokale Symbol für GDS-Faserbündel deniert als:
F B
F, G O =
Y
R Z C∗)
ordO G ordO F ordO G F
σ (−1)
∈ C ∞ ( /λ ,
ord
F
O
G
O
∗
R Z
σ∈Deck(O, /λ )
Wir erklären diese Denition auf zwei Arten. Zunächst formal: Eigentlich ist
so eine Funktion auf
O
deniert. Da das Produkt über die Pullbacks mit allen
Decktransformationen läuft, ist das Ergebnis invariant unter eben diesen und
damit auch auf dem Quotienten (d.h. dem überlagerten Raum) wohldeniert.
beliebiges Urbild von
R Z
t ∈ /λ auszuwerten, nehme ein
t in O, werte darauf aus und das Ergebnis ist unabhängig
Explizit bedeutet das: Um die Funktion auf
von gewählten Urbild.
Konzeptuell ist die Formel die genaue Übersetzung von Def. 2.1.1, wobei die
Überlagerung des Basisraumes durch den Orbit der Restklassenkörpererweiterung entspricht, die Decktransformationsgruppe der Galoisgruppe und nichtverschwindene Funktionen der multiplikativen Gruppe des Restklassenkörpers
bzw. den Einheitswurzeln.
Für diese lokalen Symbole gilt jetzt eine leicht zu beweisende Produktformel
(vergleiche auch die Reduktion im Beweis von Satz 2.1.2):
4.6.2 Proposition
In der Situation von Def. 4.6.1 gilt:
Y
O periodischer Orbit in M
F B
F, G O ≡ 1.
Beweis:
Sei
C
die Vereinigung der Träger der Divisoren von
Aussage für das Produkt über alle
O ∈ C
F
und
G.
Es genügt die
zu zeigen, überall sonst sind die
Faktoren schon a priori konstant eins. Wir zeigen die Aussage faserweise. Sei
wieder ohne Einschränkung
RZ
λ = 1.
[t] ∈ / ein beliebiger Punkt und X die Faser über [t]. Die Funktionen
G schränken sich auf X zu meromorphen Funktionen f, g ein, deren
Null- und Polstellen genau die Punkte in Cf,g := ∪O∈C (O ∩ X) sind. Für festes O ∈ C ist die Decktransformationsgruppe Deck(O,
/ ) zyklisch und für
[(xi , t)] ∈ X ∩ O ist die Abbildung
Sei
F
und
RZ
RZ
Deck(O, / ) −→ O ∩ X
σ 7−→ σ (xi , t)
42
xi . Damit gilt
ordO G ordO F ordO G F
(−1)
(x
,
t)
i
GordO F O
bijektiv und unabhängig von der Wahl von
Y
F B Y
F, G O [t] =
O∈C
Y
O∈C [(xi ,t)]∈O∩X
Y
=
f, g
xi
xi ∈Cf,g
=1
2
aufgrund der Weil-Reziprozität für kompakte Riemannsche Flächen.
Mit dieser Denition ist die Reziprozität (für Faserbündel über
R/λZ) also
äquivalent zur gewöhnlichen Weil-Reziprozität. Darüber hinaus erhalten wir die
Kapranov-Symbole in diesem Fall wie folgt als Spezialisierung (die Rechnungen
wieder mit
λ = 1).54
Für einen geschlossenen Orbit O und einen Punkt x ∈ O zerlegen wir O als
l(O)−1
O = ∪i=0 Bi wobei Bi = {Φj (x) | j ∈ [i, i + 1)}. Für festes Bi lassen sich alle
anderen als Bild genau einer Decktransformation schreiben und alle
unter der Projektion bijektiv auf
Z
R/Z
F B X
dlog F, G O =
Bi
R/Z abgebildet. Daher gilt:
Bi
werden
ordO G ordO F ordO G F
dlog (−1)
ordO F G
Bi
O
Z
Z
F B
dlog F, G O
O
Kap
= 2πi F, G O .
=
4.7
Die Beträge der lokalen Symbole
In diesem Abschnitt modizieren wir den Beweis der Reziprozität der Beträge
der lokalen Symbole auf kompakten Riemannschen Flächen, um eine Formel für
die Beträge der (hypothetischen) lokalen Symbole auf beliebigen GDS zu erhalten, für die ebenfalls eine Reziprozitätsformel gilt. Der Beweis folgt der gleichen
Strategie wie [Kopei] beim Beweis seiner Produktformel.
(M, F, Φ) ein beliebiges GDS, K1 , ..., Km die kompakten Blät∗
ter, zu denen der Fluss nicht transvers liegt, und F, G ∈ M(M ) zwei GDSmeromorphe Funktionen, die nicht konstant gleich null sind, und O1 , ...On die
geschlossenen Orbits, auf denen F bzw. G Null- oder Polstellen haben.
Sei im Folgenden
Auf dem Komplement der
Oi
denieren wir die
1-Form
η = log |F | dF log G − log |G| dF log F,
wobei
dF
das zuvor erwähnte
Koordinaten
(z, t)
Dierential entlang der Blätter ist. In lokalen
ist es als
dF log F = ∂z F (z, t) dz
54 Dies gibt dann auch einen Beweis der Reziprozität für Kapranov-lokale Symbole auf
GDS-Faserbündeln ohne den Umweg über die diskreten dynamischen Systeme.
43
gegeben. Wir erhalten wie zuvor eine geschlossene Form durch
1 ∪ 2 := i Im(η).
Um fortzufahren wie im Beweis für Riemannsche Flächen, wäre es wünschenswert,
dη
über eine kompakte Teilmenge aus
M
Stokes anzuwenden. Dafür müsste allerdings
integrieren zu können, um dann
η
eine
2-Form
sein. Um diesen
Mangel zu beheben betrachten wir die bereits erwähnte, geschlossene
1-Form
ω , die deniert wird durch ω|T F ≡ 0 und ω|V (Φ) ≡ 1. Diese Forderungen bestimmen die Form überall dort eindeutig, wo der Fluss transversal zur Blätterung
liegt.
55
M ohne die
die Oi ist also
Auf dem
ist, und ohne
kompakten Blätter, bei denen dies nicht der Fall
(1 ∪ 2 ) ∧ ω
wohldeniert und geschlossen als Dachprodukt von geschlossenen Formen.
Wir wählen nun beliebige Tubenumgebungen TKi der Ki und schreiben für
m
die Vereinigung T := ∪i=1 TKi . Für die Oi wählen wir sogenannte
Ti , d.h. Einbettungen
geblätterte
Tubenumgebungen
ϕi :
D × R/l(Oi)Z −→ M \T,
D jeweils holomorph in ein Blatt abgebildet wird und die Einschränkung
von ϕi auf {0} × R/l(Oi )Z mit der durch den Fluss gegebenen Parametrisierung
sodass
von
Oi
übereinstimmt.
56
Damit gilt nach Stokes:
Z
d (1 ∪ 2 ) ∧ ω
0=
M \∪n
i=1 Ti ∪T
Z
(1 ∪ 2 ) ∧ ω
=
∪n
i=1 δTi ∪δT
Z
(1 ∪ 2 ) ∧ ω +
=
n Z
X
δT
i=1
(1 ∪ 2 ) ∧ ω.
δTi
In den einzelnen Summanden der hinteren Summe können wir das Integral
weiter auswerten. Dazu wenden wir den Satz von Fubini an:
Z
Z
ϕ∗ (1 ∪ 2 ) ∧ ω
(1 ∪ 2 ) ∧ ω =
ϕ−1 (δTi )
l(Oi ) Z
δTi
Z
∗
ϕti η dt
0
S1
ordO G
Z l(Oi )
F
= 2πi
log ord F O ϕi (0, [t]) dt.
G O
0
=
55 Diese Form wird auch bei [Kopei] benutzt. Dies ist ein Spezialfall eines allgemeineren
Konzepts: Wir können sogenannte
2-Formen
entlang der Blätter (dη bzw.
d(1 ∪ 2 )
sind
solche) integrieren, wenn ein transversales Maÿ existiert. Ein zur Blätterung transversaler
Fluss induziert ein solches durch die Form
ω.
Vgl. [Ghys, Ch. 3].
56 Vgl. [Candel, Conlon, S. 88.] für die Existenz solcher Tubenumgebungen.
44
Hierbei ist
ϕti
die Einschränkung von
ϕi
auf
D × {t} und die dritte Gleichung
folgt aus derselben Rechnung wie bei Satz 3.1.1 (Es wird wieder ausgenutzt,
dass das Integral nur von der Homologieklasse der Tubenumgebungen abhängt).
Indem wir alles durch
2πi
teilen und weil
log(|.|) = Re log(.)
gilt, erhalten wir:
4.7.1 Denition und Satz
F, G ∈ M(M )∗ ist der Betrag des lokalen
Symbols für einen periodischen Orbit O und einen beliebigen Punkt z ∈ O
Für ein GDS
(M, F, Φ)
und
als
F, G := exp Re
O
!
ordO G F
log (−1)ordO F ordO G ord F Φt (z) dt
G O O
l(O)
Z
0
und für ein kompaktes Blatt
K
mit hinreichend kleiner Tubenumgebung
als
F, G := exp
K
1
2πi
T
Z
(1 ∪ 2 ) ∧ ω
δT
deniert und es gilt
Y
F, G = 1,
D
D
wobei
D
die kompakten Blätter, zu denen der Fluss nicht transvers liegt,
und alle transversen periodischen Orbits von
Falls
M
ein GDS-Faserbündel über
zusammen: Es existiert ein
n−1
X
log F, G O = Re
i=0
Z
n∈
Z
λ
log
Z
=
R/λZ
N mit l(O) = nλ und damit
log (−1)
0
log durchläuft.
R/λZ ist, hängen die Denitionen wie folgt
ordO G GordO F ordO F ordO G F
0
λ
= Re
Φ
Φt−λi (z) dt
O
!
ordO G F
(−1)ordO F ordO G ord F Φt−λi (z) dt
G O O
i=0
F B F, G O dt.
n−1
Y
45
5
Fazit und Ausblick
5.1
Fazit
In dieser Arbeit haben wir einen neuen Beweis für die Weil-Reziprozität auf
Riemannschen Flächen gegeben und drei verschiedene, aber verwandte Denitionen für lokale Symbole auf geblätterten dynamischen Systemen diskutiert.
FB
Die zweite, ( · , · )
kann dabei als Analogon der lokalen Symbole auf algebraischen Kurven über nicht notwendigerweise algebraisch abgeschlossenen Körpern
aufgefasst werden. Die Frage nach der Konstruktion eines in einem geometrischen, geblätterten Kontext denierten Symbols, das näher am Hilbert-Symbol
ist, bleibt nach wie vor oen. Es ist nicht klar, ob sie im Rahmen der hier
betrachteten geblätterten dynamischen Systeme eine Antwort nden kann. Die
letzte Denition der Beträge der lokalen Symbole kann als erster Schritt in diese
Richtung gesehen werden, da hier auch die kompakten Blätter berücksichtigt
werden.
5.2
Ausblick
Zum Abschluss der Arbeit sammeln wir einige (spekulative) alternative Ansätze
für die hier betrachteten Probleme und Fragen, die sich aus der Arbeit ergeben.
Beispielsweise liegt es in Anbetracht des Beweises in Abschnitt 3.2 nahe zu
fragen:
•
Gibt es ein geeignetes Beilinson-Funktional für GDS?
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie bei der Suche nach einem Analogon für
das Hilbert-Symbol vorgegangen werden könnte:
•
K -theoretische
Interpretationen von
Hilbert- bzw. Weil-Symbolen klarer herausarbeiten
und dann nach einer
Man könnte kohomologische bzw.
57
geeigneten Version dieser Theorien für (Varianten von) GDS fahnden.
•
Es gibt explizite Formeln für die Hilbert-Symbole an beliebigen Stellen,
58
ohne Bedingung an die Restklassenkörpercharakteristik.
Durch genauere
Untersuchungen dieser Formeln könnten Ideen entstehen, wie die GDS
abgeändert werden müssten, um auch die hier auftretenden Phänomene
abbilden zu können.
•
Es wäre zu klären, wie der Zusammenhang des Hilbert-Symbols mit
n-ten
Potenzen modulo einem Primideal ins Bild passt. In diesem Zusammenhang könnte es interessant sein, zu prüfen, inwieweit es einen Zusammenhang zwischen den hier denierten lokalen Symbolen und der Verschlingungszahl zweier Knoten gibt, die nach Morishita als Analogon des
Legendre-Symbols betrachtet werden kann.
57 Vgl. z.B. [Neukirch, Schmidt, Wingberg, S. 356.].
58 Vgl. den ersten Teil von [Vostokov] sowie [Neukirch05, S. 355 f.].
46
Auch die hier betrachteten GDS-Faserbündel erlauben einige interessante Fragen
•
59
Da es eine Einbettung der Riemannschen Flächen in diese Kategorie gibt,
könnte man auch meromorphe Funktionen übersetzen als solche mit Ziel
1
× /λ . Wie verhalten sich diese im Bezug auf die von uns denier-
CP R Z
ten meromorphen Funktionen und gibt es auch für beliebige GDS einen
Basisraum gleicher Dimension, in dem die Funktionen landen könnten?
•
Gegeben ein diskretes holomorphes dynamisches System
Typen von periodischen Orbits treten bei
Weise sind diese verknotet?
60
M (X, ϕ)
(X, ϕ),
welche
auf und in welcher
59 Was in dieser Arbeit nur für die Objekte vorgeführt wurde.
60 Die erste Frage ist gleichbedeutend mit: Beschreibe die endlichen Orbits von ϕ. Vermutlich
gibt es schon viele Resultate in dieser Richtung. Vgl. auch Bsp. 4.4.2.
47
6
Anhang
6.1
Klassenkörper- und Kummertheorie
In diesem Abschnitt werden einige Sätze aus der algebraischen Zahlentheorie
wiederholt, die im weiteren Verlauf des Kapitels benutzt werden, allerdings ohne Anspruch auf eine umfassende Einführung in die angeschnittenen Themenbereiche.
Im Folgenden schreiben wir
G(L|K)
µn
n-ten Einheitswurzeln
Galoiserweiterung L|K .
für die Gruppe der
für die Galoigruppe einer
und
Kummertheorie
6.1.1 Satz [Neukirch86, S. 15]
Sei
n∈
N und F ein Körper mit char(F ) - n und µn ⊆ F .
Es gibt eine maximale abelsche Erweiterung von F vom Exponent
√
n
ist gegeben durch L = F ( F ∗ ) und es gibt einen Isomorphismus:
n.
Diese
F ∗ /F ∗ n −→ hom G(L|F ), µn
√ !
σ na
a 7−→ χa = σ 7→ √
n
a
6.1.2 Bemerkung:
hom(G(L|F ), µn ) als Gruppe der stetigen Homomorphismen zu verstehen, wobei G(L|F ) mit der sogenannten Krulltopologie [Neukirch86, S. 2]
versehen ist und µn mit der diskreten. Falls die Erweiterung endlich ist, stimmt
Hierbei ist
die Krulltopologie mit der diskreten überein und jeder Homomorphismus ist
stetig. Dies ist immer der Fall, wenn
F
ein lokaler Körper ist (vgl. [Neukirch86,
S. 41, Prop. 1.5]). Da wir nur an diesem Fall interessiert sind, gehen wir hier
nicht weiter darauf ein.
48
Klassenkörpertheorie
Wir übernehmen die Notation aus Kapitel 1.1. Die Referenzen sind die leichter
zugänglichen [Neukirch05] bzw. [Neukirch86]. Für vollständige Beweise auch im
Funktionenkörperfall verweisen wir auf [Neukirch, Schmidt, Wingberg].
6.1.3 Satz [Neukirch86, S. 42]
Sei
F
E|F
ein lokaler Körper. Für jede abelsche Erweiterung
Isomorphismus, genannt das
lokale Normrestsymbol
gibt es einen
( · , E|F ) : L∗ /NE|F M ∗ −→ G(M |L).
Ist die Erweiterung
E|F
unverzweigt, so hat diese Abbildung die Form
x = uπ n 7−→ FrobnE|F ,
wobei
π ∈ OL
FrobM |L
ein uniformisierender Parameter,
u ∈ OL∗
eine Einheit und
der eindeutige Lift des Frobeniusautomorphismus der Restklassen-
körper ist. (Vgl. [Neukirch86, S. 25. Th. 2.5])
6.1.4 Bemerkung:[Neukirch86, S. 43]
Man deniert auÿerdem:
CR
x, |
für
x∈
= σ sign(x) ∈ G
C|R
R∗/R∗>0, wobei σ die komplexe Konjugation ist, sowie der Vollständig-
keit halber
C C ≡ id ∈ G C|C ,
· , R|R ≡ id ∈ G R|R .
Damit gilt der vorige Satz auch für R und C.
·, |
D|E|F ineinander
x ∈ E , dann gilt:61
Falls
und
enthaltene abelsche Erweiterungen lokaler Körper sind
x, D|F = x, E|F .
6.1.5 Satz [Neukirch05, Kor. 5.7, S. 411]
Für eine abelsche Erweiterung globaler Körper
L|K
und ein Element
a∈K
gilt
Y
a, Lp |Kp = 1.
p∈P
Hierbei bezeichnet
Kp
P
die Menge der Primstellen von
die Komplettierung bzgl.
Primstelle
p sowie Lp
P|p.
61 Vgl. [Neukirch05, S. 318f., Satz 6.4].
49
K
und für
p∈P
ist
die Komplettierung bezüglich einer
6.2
Algebraische Geometrie
Für einen beliebigen Körper
X
vom endlichen Typ über
k ist
k der
eine
Kurve über
Dimension
1.
k
ein integres Schema
Ein solches Schema besitzt
ηX und der lokale Ring an diesem ist der
Funktionenkörper von X , K(X) = OηX . Ein nichtkonstanter Morphismus
zwischen zwei Kurven X und Y über k ist automatisch dominant, d.h. sie bildet
den generischen Punkt von X auf den generischen Punkt von Y ab. Daher induziert sie einen Homomorphismus auf den Funktionenkörpern K(Y ) → K(X).
einen eindeutigen generischen Punkt
Der dadurch denierte Funktor induziert die folgende Äquivalenz von Kategorien:
62
Objekte:






Normale, eigentliche
Kurven über
k
Morphismen:
















nichtkonstante Morphismen
←→
Objekte:





endlich









erzeugte Körpererweiterungen

von k vom Transzendenzgrad 1


Morphismen:



Körperhomomorphismen
Tatsächlich ist jede nichtkonstante Abbildung zwischen normalen, eigentlichen
Kurven sogar surjektiv, endlich und lokal frei.
63
Im Folgenden sei X eine glatte, eigentliche Kurve über einem Körper
k und K = K(X) ihr Funktionenkörper.
Mit
X0
X.
x ∈ X0 ist der lokale Ring OX,x ein diskreter Bewertungsring
Quotientenkörper K , auf dem wir also eine induzierte diskrete Bewertung
bezeichnen wir die Menge der abgeschlossenen Punkte von
Für jeden Punkt
mit
ordx
erhalten. Dies induziert bereits eine Bijektion:
abgeschlossene Punkte von
X ←→



64
Äquivalenzklassen diskreter
Bewertungen auf
K,
die auf
k
die
triviale Bewertung induzieren.



Die Umkehrabbildung wird dabei mit dem Bewertungskriterium für eigentliche
Abbildungen, angewandt auf den Strukturmorphismus
X −→ k,
konstruiert.
62 Vgl. [Görtz, Wedhorn, S. 495].
63 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Prop. 15.16, S. 492].
64 Vgl. [Görtz, Wedhorn, Bem. 15.24, S. 496].
50
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Programat® CS3 - Ivoclar Vivadent

SpringerLink 1. Rufen Sie die Webseite http://link.springer.com

Probeklausur — Analysis 1 (WS 2015/16)

Analytische Zahlentheorie – Blatt 2

(Abgabe 17.04. (bzw. 20.04. für Gruppen 26-31))

Datenblatt Sungrow Wechselrichter blue`Log

dsbpdf2

6. ¨Ubungsblatt zu Algorithmen I im SS 2015

Algorithm Engineering was hat das mit der Praxis zu tun?

Was ist Elektrosmog?