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Offene Aufgaben im Mathematikunterricht auf drei
Niveaus – wiederholen, üben und vertiefen
Nach Ideen von Reinhard Sinterhauf, Köditz und Stephanie Schöning, Böblingen
Illustriert von Liliane Oser, Hamburg
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Die größte Buddha-Statue der Welt steht in der Mitte Thailands. Doch wie groß ist sie
wirklich? Und welche Fakten können Bildern noch entnommen werden?
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Klasse
9/10
Dauer
4–6 Stunden (am besten Doppelstunden)
Inhalt
mathematisierbare Probleme aus dem Alltag lösen; Bildern Informationen
entnehmen; Grundrechenarten; Dreisatz; Winkelberechnungen;
Volumenberechnungen; angemessener Umgang mit Längen, Strecken,
Gewichten sowie Dichten
Kompetenzen
mathematisch argumentieren (K1), Probleme mathematisch lösen (K2),
mathematisch modellieren (K3)
Ihr Plus
Aufgabenstellungen im Karteikartenformat für die Freiarbeit und
Vertretungsstunden
Foto: Thinkstock/iStock
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Didaktisch-methodische Hinweise
Offene Aufgaben lassen sich keinem bestimmten Lösungsschema zuordnen. Es gibt keine
vorgeschriebene Formel, die im Unterricht besprochen wird. Stattdessen müssen die Lernenden in
ihrem mathematischen „Werkzeugkasten“ nach der richtigen Vorgehensweise suchen. Der
Ausgangspunkt offener Aufgaben ist in der Regel eine problemhaltige Alltagssituation. Ergebnisse
werden nicht nur durch reines Rechnen, sondern auch durch sinnvolles Schätzen und sorgfältiges
Überschlagen ermittelt.
Herkömmliche Mathematikaufgaben bestehen normalerweise aus dem Automatisieren von
Rechentechniken und dem Einüben von Lösungsalgorithmen. Eine veränderte Aufgabenkultur auf
der Grundlage offener Aufgabenstellungen verdeutlicht die Alltagsrelevanz von Mathematik und
stärkt die Problemlösefähigkeit Ihrer Schülerinnen und Schüler.
Die verschiedenen Herangehensweisen an offene Aufgaben
Jede offene Aufgabe kann auf verschiedenen Wegen gelöst werden und hat selten eine allgemein
gültige Lösung. Daraus ergibt sich die Notwendigkeit von Begründungen. Zudem müssen die
Bearbeitung der Aufgabe und die Lösung dokumentiert und für andere verständlich präsentiert
werden. Auf diese Weise wird die Problemlösefähigkeit gezielt gefördert. Ihren Schülerinnen und
Schülern stehen dabei drei unterschiedliche Herangehensweisen zur Verfügung:
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Anzahlen schätzen – die Raster-Methode (M 3)
Bei dieser Aufgabe werden die Lernenden aufgefordert, eine Anzahl in einem Bild zu schätzen, ohne
alle Elemente einzeln abzuzählen. Dazu ist es hilfreich, das Bild in Abschnitte zu teilen und nur die
Anzahl der Elemente in einem Abschnitt zu zählen oder zu schätzen. Durch Multiplikation kann so
auf die Anzahl an Elementen in allen Bildteilen geschlossen werden.
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Größen schätzen – Gewichte, Strecken, Volumen und Winkel (M 5)
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Hier arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit einem Foto, einer Landkarte oder anderen realen
Gegenständen, deren Gewicht, Länge, Volumen usw. geschätzt werden soll. Dazu werden etwa
Strecken oder Körper direkt im Bild eingezeichnet und das eigene Alltagswissen zum Vergleichen
genutzt. Diese Aufgaben können handlungsorientiert gelöst werden.
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Das Unbekannte erforschen – Fermi-Aufgabe (M 7)
Es handelt sich um Aufgaben, bei denen keine Werte oder Bilder zum direkten Abschätzen
vorgegeben sind. Die Herausforderung besteht für die Lernenden darin, dass sie weder direkte
Erfahrungswerte aus einem ähnlichen Problem haben noch die nötigen Daten zur Verfügung stehen,
mit denen sie direkt eine Berechnung anstellen können. Andererseits kennen sie die
Zusammenhänge im Umfeld des Problems und nutzen diese zur Lösung der Aufgabe.
Das sollten Ihre Schüler bereits können
Grundsätzlich lässt sich keine allgemeine rechnerische Vorgehensweise bei der Bearbeitung offener
Aufgabenstellungen festlegen, da Vermutungen und Rechenwege stark vom Vorwissen der
Lerngruppe abhängig sind. Generell finden die folgenden mathematischen Inhalte Anwendung:
Grundrechenarten, Dreisatz, Strahlensätze, Winkelberechnungen, Volumenberechnungen und ein
angemessener Umgang mit Längen, Strecken, Gewichten sowie Dichten.
So funktioniert die Übungseinheit
Die gesamte Übungseinheit ist im Karteikartenformat angelegt und in drei Niveaus differenziert.
Dabei werden pro Aufgabe andere mathematische Inhalte vermittelt. Ab dem
-Niveau bereiten
sie auch auf den Mittleren Schulabschluss vor.
Die Schülerinnen und Schüler können die Aufgaben in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit mit
anschließender Diskussion im Plenum bearbeiten. Als sogenannte Aufgabe der Woche wird eine
bestimmte Aufgabe von der Lehrkraft am Montag ausgeteilt oder im Klassenzimmer platziert. Am
Freitag werden die einzelnen Lösungsvorschläge im Plenum vorgestellt und diskutiert. Die
Karteikarten eignen sich ebenso für den Einsatz im Rahmen einer Wochenplanarbeit, während der
Freiarbeitszeit oder in Vertretungsstunden.
In Material M 1 schreiben die Lernenden eine Anleitung für offene Aufgaben und bearbeiten
anschließend eine offene Aufgabe. Mit dieser testen, korrigieren und verinnerlichen sie ihre
Anleitung. Die allgemeinen Tippkarten M 2 geben Ratschläge zum Lösen der offenen Aufgaben.
Die Arbeitsaufträge in M 3 mit den Tippkarten M 4 fordern von den Lernenden eine ganz andere
Strategie: Sie müssen herausfinden, dass sie große Mengen mithilfe eines Rasters relativ schnell
und genau abschätzen können. In Material M 5 mit den Tippkarten M 6 schätzen die Jugendlichen
gezielt auf der Grundlage ihres individuellen Alltagswissens Längen, Winkel und Strecken aus
Bildern ab. In M 7 mit M 8 werden zwei Fermi-Aufgaben ohne Bildbezug gelöst.
Mit dem Zusatzmaterial M 10 auf CD 26 lernen Ihre Schülerinnen und Schüler, verschiedene
Strategien zum Lösen offener Aufgabenstellungen anzuwenden.
Diese Kompetenzen trainieren Ihre Schüler
Ein Schwerpunkt liegt auf dem Lösen mathematischer Probleme (K2) und dem mathematischen
Modellieren (K3), denn die Lernenden wählen geeignete Hilfsmittel, Strategien und Modelle, um die
Aufgaben zu lösen. Dabei argumentieren sie mathematisch (K1): Strategien und Lösungswege
werden in der Gruppe diskutiert, beschrieben und letztlich begründet.
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Auf einen Klick
Stunde 1
Die Herangehensweise an offene Aufgaben wiederholen
M1
So geht’s! – Mit offenen Aufgaben umgehen
(Ab)
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Stunde 3–6
Offene Aufgaben – ein Karteikasten für Freiarbeit und Vertretungsstunden
M2
(Tx)
Allgemeine Tippkarten zu offenen Aufgaben
M3
(Ab)
Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen ( –
M4
(Tx)
Tipps zu: Anzahlen schätzen
M5
(Ab)
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Offene Aufgaben: Größen schätzen ( –
M6
(Tx)
Tipps zu: Größen schätzen
M7
(Ab)
Offene Aufgaben: Die Fermi-Aufgabe ( ( ) und
M8
(Tx)
Tipps zu: Fermi-Aufgaben
M9
(Bv)
Bastelvorlage für den Tipp-Schieber
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)
)
( ))
Legende der Abkürzungen
Ab: Arbeitsblatt; Bv: Bastelvorlage; Tx: Text
M 10, M 11
Vermischte offene Aufgaben, Hinweise, Tippkarten und Beispiellösung
Minimalplan
Sie haben für eine ausführliche Behandlung des Themas keine Zeit? Dann nutzen Sie zur
Einführung oder Wiederholung offener Aufgaben M 1 und M 2. Oder verwenden Sie die Materialien
mit den Tippkarten einzeln, um immer wieder offene Aufgabenstellungen im Unterricht zu
bearbeiten. Durch die verschiedenen Themengebiete können die Materialien flexibel in Ihren
Unterricht einfließen und auch als einfaches Arbeitsblatt ausgeteilt werden.
Die Lösungen zu den Materialien finden Sie hier.
So geht’s! – Mit offenen Aufgaben umgehen
M1
Für manche Aufgaben gibt es keine Formel, die du im Mathematikbuch nachschlagen kannst.
Aufgaben, bei denen keine Werte vorgegeben und unterschiedliche
Lösungswege möglich sind, nennt man offene Aufgaben.
Mein Beispiel:
Stell dir vor, du willst den ganzen Boden des
Klassenzimmers mit Basketbällen auslegen.
Wie viele Bälle brauchst du?
Aufgabe 1
Überlegt euch eine Anleitung für offene Aufgaben. Beachtet den Text oben im Kasten. Teilt eure
Anleitung in fünf Schritte ein und beschreibt kurz, was ihr in jedem Schritt zu tun habt.
Aufgabe 2
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Löst die Beispiel-Aufgabe in der Sprechblase mithilfe eurer Anleitung für offene Aufgaben. Falls ihr
etwas in der Anleitung vergessen habt, korrigiert sie.
So könnten die Schlagwörter zu eurer Anleitung lauten. Schreibt zu jedem
Schritt, was damit gemeint ist.
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Anleitung für offene Aufgaben
1. Schritt: Frage
Tipp - Aufgabe 1
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2. Schritt: Ergebnis schätzen
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3. Schritt: Zusätzliches Wissen
4. Schritt: Rechnung
5. Schritt: Antwort
Zum 3. Schritt:
Tipps - Aufgabe 2
Wie groß ist euer Klassenraum? Messt den Raum aus oder schätzt ihn ab!
Wie groß ist ein Basketball?
Messt die Länge und Breite des Basketballs, indem ihr ihn zwischen zwei Bücher
klemmt. So könnt ihr die quadratische Bodenfläche messen, die ein Ball einnimmt.
Zum 4. Schritt:
Wie oft passt der Ball in den Raum?
Nähert den Ball mit einem Quadrat an. Wie oft passt das Quadrat auf den Boden des
Klassenzimmers?
Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen
M3
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Foto: Colourbox
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Hier siehst du die Sankt Paulus Bucht in Lindos. Dies ist eine Stadt auf der griechischen Insel
Rhodos.
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Ab in den Urlaub!
Kim und Simon stehen auf der Anhöhe vor ihrem Hotel. Von dort sehen sie die Paulus Bucht von
Rhodos ganz im Norden der Insel.
Kim:
Meinst du, wir bekommen
noch einen gemütlichen Platz
am Strand?
Simon:
Also ich würde schon gern auf
einer Liege liegen!
Kim:
Da finden wir sicher noch eine!
Das sind doch über 500
Liegen hier!
Ein gemeinsamer Urlaub auf Rhodos in Griechenland
Aufgabe 1:
Wie viele Liegen befinden sich unter den Schirmen am Strand?
Aufgabe 2:
Stimmt Kims Aussage?
Foto: Fotolia
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Foto: picture alliance/JOKER
Offene Aufgaben: Anzahlen schätzen
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In diesem Stadion, dem Maracanã Stadion in Brasilien, hat Deutschland 2014 die Weltmeisterschaft
gegen Argentinien gewonnen. Dazu wurde die Arena umgebaut und für Zuschauer überdacht.
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Eine Weltmeisterschaft erleben
Paul konnte live beim Finale der Fußball-WM dabei sein. Nach dem eigenen Fußballtraining
unterhält er sich mit Chuan, seinem besten Kumpel.
Beantworte Chuans Frage!
Stimmt Pauls Aussage?
Einmal bei der WM dabei sein. Ein Traum
wird wahr!
Paul:
Das war einfach gigantisch! Die
ganzen Leute haben gegrölt und
mitgefiebert!
Chuan: Wie viele Menschen waren denn
im Stadion?
Paul:
Ich hab nicht alle gezählt, aber es
waren bestimmt 150 000. Schau
doch mal, wie voll es ist!
In der Verlängerung schoss Mario Götze (links) das Siegtor
zum 1:0 gegen Argentinien.
Foto links: Colourbox, rechts: picture alliance/M.i.S.-Sportpressefoto
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Aufgabe:
Tipps zu: Größen schätzen
Eine Reise durch Mittelerde
Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von
Größen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!
Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von
Größen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!
Tipp
Aufgabe 1: Nähere den Weg mit geraden Linien
an. Achte auf den Maßstab!
Als Vergleichsgröße bietet sich ein
Baum oder eine Palme an.
Annahme: Eine mittelgroße Palme ist etwa
15 m hoch.
Aufgabe 2: Du benötigst eine Fähre, um das
Wasser zu überqueren.
Dies ist ein Beispiel für Hilfslinien:
Annahme 1: Die Fähre führt von Wellington
nach Picton.
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Annahme 2: Mit deinem Fahrrad fährst du im
Schnitt 15 km/h.
Tipp
Miss die Strecken und stelle eine
Verhältnisgleichung auf:
Baum Original : Baum gemessen = ???
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Die Tempelruine Chichén Itzá
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Dies ist eine Aufgabe zum Schätzen von
Größen. Lies dir die Tippkarte dazu durch!
Annahme: Ein Baum ist etwa 10 m hoch.
Tipp
Teile den Tag ein!
Zeichne direkt in das Foto und fertige dir
eine Extraskizze zur Pyramide an.
Welche Kanten darfst du im Foto messen?
Dies ist ein Beispiel für eine Hilfsskizze:
A, B und C sind
die Eckpunkte
der Seitenfläche
der Pyramide
auf dem Foto.
Nutze die Winkelsätze für den Winkel α.
Nutze den Satz des Pythagoras für die Strecken.
Zum Beispiel fährst du immer 4 h am Stück und
legst danach eine Pause ein.
Foto: Thinkstock/iStock
Der goldene Buddha
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