Die Eulersche Zahl_e

Die Zahl e
Im Jahr 2004 kündigten die Betreiber von Google die Absicht an, Mittel für die zukünftige Expansion
einzuwerben. Anstelle einer sonst üblichen „runden“ Zahl wie 1 Milliarde oder 1,5 Milliarden Dollar
gab das Unternehmen bekannt, das Ziel seien 2,718 281 828 Milliarden Dollar.
Warum gerade diese Zahl? Es war ein mathematischer Witz – denn diese Zahl ist in der Mathematik
bekannt als e.
Google steckte auch hinter einem weiteren Einsatz von e: Das Unternehmen plakatierte eine
mysteriöse Botschaft auf Reklametafeln quer durch die Vereinigten Staaten. Sie lautete:
{erste 10-stellige Primzahl in aufeinanderfolgenden Ziffern von e}.com
Wer das Problem lösen könnte und die angegebene Internetseite besuchte, fand dort eine noch
schwierigere mathematische Herausforderung. Dessen Lösung war dann eine Internetadresse mit
einer Stellenanzeige, in der Google Mitarbeiter suchte.
GOOGLE stellt Bewerbern für eine Stelle als Software-Entwickler nicht nur Fragen, die Aufschluss
darüber geben, wie schnell jemand denken, mathematisch beweisen und rechnen kann, sondern
auch Fragen wie „Was ist die schönste Gleichung, die Sie je gesehen haben? Erklären Sie Ihre
Antwort!
Antworten wie 𝑒 𝑖∙𝜋 = −1 (Euler´sche Identität) oder das Gauß´sche Integral oder Einsteins
wichtigste Gleichung G = 8T waren gewünscht.
(Anmerkung: Es werden aber auch Fragen gestellt, die das laterale Denken fördern. ZB:
Sie sehen drei Frauen in Badeanzügen. Zwei sind traurig, eine ist froh. Die traurigen Frauen lächeln,
die Glückliche weint. Erklären Sie das Gesehene!)
Zurück zur Zahl e:
Drückt man auf dem Taschenrechner auf „e“ = „e hoch 1“, so erscheint die Zahl 2,718 281 828 459
045 …
Wie die Zahl  ist auch diese Zahl irrational, das heißt, sie ist nicht als Bruch darstellbar.
Jakob Bernoulli entdeckte diese Zahl eher zufällig, denn eigentlich wollte er herausfinden, wohin
verschiedene Zahlenfolgen konvergieren. Er untersuchte das Konzept des Zinseszinses. Im 17.
Jahrhundert war die Vorstellung von Zinsen schon lange bekannt, denn dies war eine wichtige frühe
Anwendung der Mathematik. Jakob Bernoulli fragte sich, wie man den Zins genau berechnen könnte.
Er wusste, dass ein Kapital schneller wächst, wenn man den Zins dem Kapital häufiger gutschreibt
(etwa monatlich statt jährlich). Aber was würde geschehen, wenn man den Zins jede Woche
hinzurechnet oder jeden Tag oder sogar jede Sekunde?
Wie er schnell herausfand, ergibt sich aus 1 € Kapitaleinsatz zu p = 100 % Zins bei jährlicher
Gutschrift: 2,00 €
Wenn jemand sein Geld (das ursprünglich den Wert 1 GE hatte) nach einem halben Jahr abhebt,
erhält er nur noch einen Zinssatz von 50 % und damit 1 
50
1
= 1  GE ausbezahlt.
100
2
 1  1
Er legt es sofort wieder ein, um nach einem weiteren halben Jahr  1     1   =
 2  2
2.25 GE zu kassieren - das sind definitiv mehr als 2 GE.
2
1

 1   , also
 2
Wird eine Einlage nach einem Vierteljahr abgehoben, so wird sie mit 25 % verzinst.
Wird das Geld jedes Vierteljahr abgehoben und sogleich wieder eingelegt, so ergibt sich am
4
 1
Jahresende ein Kapital im Wert von  1   GE, und ganz allgemein ist bei einer Zerlegung des
 4
Jahres in n Abschnitte, nach denen jeweils abgehoben und wieder eingelegt wird, der ausbezahlte


Endbetrag  1 
n
1
 . Da er mit zunehmendem n wächst, ist die Strategie umso besser, je größer n
n
ist. Allerdings kann der Wert des Kapitals eine gewisse Zahl nie übersteigen.
n
 1
Setze für n der Reihe nach die Zahlen 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 in den Term  1   ein!
 n
Für n = 10 ergibt sich der Wert _____________________
Für n = 100 ergibt sich der Wert _____________________
Für n = 1 000 ergibt sich der Wert ____________________
Für n = 10 000 ergibt sich der Wert ____________________
Für n = 100 000 ergibt sich der Wert ____________________
Für n = 1 000 000 ergibt sich der Wert _____________________
n
 1
Allgemein nennt man lim  1   die „Eulersche Zahl e“.
n
 n
Die Schreibweise bedeutet: Je größer n wird, umso mehr nähert sich der Wert des Ausdrucks
dem Wert von e.
Ist n unendlich groß, dann erreicht
der Ausdruck genau den Wert e.
Bernoulli war u. a. so fasziniert von e,
weil man mit dieser Zahl
logarithmische Spiralen, die
überall zu sein schienen
(in Muscheln, in Blütenblättern,
in Hörnern von Tieren etc)
konstruieren konnte. Bernoulli war
so von dieser Spirale fasziniert,
dass er ihr magische
Eigenschaften zuschrieb. Er starb
mit 51 Jahren und wünschte sich
ein Grabmal mit einer
logarithmischen Spirale.
Um zu verstehen, warum Bernoulli von dieser Entdeckung so fasziniert war, muss man eine
Aussage von Galileo Galilei kennen: Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das
Universum beschrieben hat.
Wenn man sein Grabmal besucht, dann ist man etwas enttäuscht, weil man eine
archimedische und keine logarithmische Spirale sieht.
e ist deshalb auch so wichtig, weil f(x) = ex einzige Funktion ist, bei der Ableitung,
Stammfunktion und Ausgangsfunktion identisch sind. (Lehrstoff 3. Jahrgang)

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