Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Lineare Algebra
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
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Die Grundform der linearen Gleichung
g mit einer Unbekannten x lautet
Ax=a
Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen
Zahlen anzugeben,
g
, die für x eingesetzt
g
die Gleichheitsbedingung
g g erfüllen.
Man kann beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren,
ohne die Gleichheit zu verletzen
Da die Division durch A ≠ 0 der Multiplikation mit 1/A äquivalent ist
ist, ist
die einzige mögliche Lösung von A x = a.
a
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Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
•
Ist dagegen
g g A = 0,, so sind zwei Fälle zu unterscheiden
–
–
•
a ≠ 0, dann lautet die Gleichung 0 · x = a, was einen Widerspruch an sich darstellt. Es
existiert in diesem Fall keine reelle Zahl x, die diese Gleichung erfüllt
a = 0, dann lautet die Gleichung 0 · x = 0. Diese Gleichung ist für alle reellen c erfüllt. Man
schreibt auch x = bel.
bel (beliebig)
Es gilt also:
Die Gleichung A x = a hat für A ≠ 0 die eindeutig bestimmte Lösung.
Für A=0 und a ≠ 0 existiert keine Lösung.
Für A=0
A 0 und a = 0 ist jede reelle Zahl x Lösung.
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Lineare Algebra
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
•
•
Liegt
g eine lineare Gleichung
g ((eine Gleichung,
g, die auf beiden Seiten nur
Summen linearer Terme enthält) nicht von vorneherein in der Normalform
vor, so führt man sie durch zielgerichtete Addition (bzw. Subtraktion) von
linearen Termen auf beiden Seiten darauf zurück.
Ist zum Beispiel eine Gleichung in der Form
gegeben, so kann man auf beiden Seiten b2 x + d1 addieren und a2 x + c1
subtrahieren, so dass man erhält
Hier stehen die x enthaltenen Glieder auf der linken Seite und die
konstanten Glieder auf der rechten Seite der Gleichung
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Lineare Algebra
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
•
Setzt man
so ist die Gleichung identisch mit der Grundform
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Lineare Algebra
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
•
Ist eine Gleichung
g in der Form
gegeben (sie hat nur einen Sinn, wenn a2 ≠ 0, b2 ≠ 0 gilt), so kann man die
Gleichung nach x auflösen, indem man sie mit a2 multipliziert und im Fall a1
≠ 0 durch a1 dividiert:
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Lineare Algebra
Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
•
Eine solche Gleichung
g kann dargestellt
g
werden durch
•
Hierin können die unbekannten Größen x und y beliebige reelle Zahlen
sein,, die in der angegeben
g g
Weise miteinander verknüpft
p sind. Mit andern
Worten: x und y sind Variablen. Die Gleichung stellt eine lineare Funktionsgleichung dar, deren Bild eine gerade im x,y-Koordinatensystem ist
Die Sonderfälle a=0
a 0 oder b=0
b 0 beschreiben insbesondere Geraden, die
parallel zur y- bzw. x-Achse verlaufen
Fasst man die Gleichung als Bestimmungsgleichung für die beiden
Unbekannten x und y auf so erhebt sich die Frage
Frage, was man unter der
Lösung dieser Gleichung versteht.
Die Lösung ist offenbar die Menge aller Wertepaare (x,y), die die Gleichung
erfüllen
•
•
•
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Lineare Algebra
Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
•
Betrachten man den Hauptfall
p
a,, b ≠ 0,, so kann man die Gleichung
g nach y
auflösen:
•
Man kann x völlig beliebig wählen und hat dann y nach der Formel zu
ermitteln. Man erhält also unendlich viele Lösungen, nämlich die
Lösungsmenge
Man schreibt dafür auch kurz:
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Lineare Algebra
Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
•
Selbstverständlich kann man auch nach x auflösen und y beliebig
g wählen,,
also Lösung der Gleichung
•
Anstatt die Variablen mit x, y, z, … zu benennen ist es zweckmäßig bei
mehren Variablen diese mit x1, x2, x3 zu benennen:
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Lineare Algebra
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
•
Ein System
y
von zwei Gleichungen
g mit zwei Unbekannten hat die allgemeine
g
Gestalt
•
Diese Bestimmungsgleichungen können als Funktionsgleichung mit den
Veränderlichen x1 und x2 aufgefasst und im x1,x2-Koordinatensystem als
geraden dargestellt werden
werden. Schneiden sich die geraden in einem Punkt
Punkt, so
sind die Koordinaten dieses Schnittpunktes die einzige Lösung des
Gleichungssystems
Fallen die beiden Geraden zusammen
zusammen, so bedeutet dies
dies, dass die
Gleichung II die gleiche Gerade darstellt wie die Gleichung I. Es existiert
dann wiederum nur eine Gleichung mit einer unbekannten und somit ∞1
Lösungen
Lösungen.
•
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Lineare Algebra
Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten
•
•
•
Es können formal aber auch ∞2 Lösungen
g auftreten,, wenn alle aik und alle ai
gleich null sind.
Der Fall, dass keine Lösung existiert, tritt dann ein, wenn die durch I und II
dargestellten
g
Geraden p
parallel verlaufen,, aber nicht zusammenfallen
Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können also folgende vier
Fälle auftreten:
–
–
–
–
Es existiert eine eindeutig bestimmte Lösung (Hauptfall)
Es existiert keine Lösung (das System enthält Widersprüche)
Es existieren ∞1 Lösungen
g ((die II. Gleichung
g ist g
gleich der I. bzw. ein Vielfaches davon))
Es existieren ∞2 Lösungen („ausgearteter“ Fall: alle aik =0 und alle ai =0)
∞i (i=1,2,…) bedeutet, dass für i Unbekannte beliebige Werte eingesetzt werden können.
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Lineare Algebra
Das Gleichsetzungsverfahren
•
Man löst beide Gleichungen
g nach der g
gleichen Unbekannten ((z.B. x2) auf,,
setzt sie gleich und erhält dabei eine Gleichung mit einer Unbekannten (z.B.
x1)
•
Beispiel 1
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Lineare Algebra
Das Gleichsetzungsverfahren
•
Beispiel
p 2
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Lineare Algebra
Das Gleichsetzungsverfahren
•
Beispiel
p 3
Das ist ein Widerspruch, denn keine reelle Zahl x2 kann diese Gleichung
erfüllen. Demnach gibt es keine Lösung.
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Lineare Algebra
Das Einsetzungsverfahren
•
Man löst eine Gleichung
g nach einer Unbekannten ((z.B. x2) auf und setzt
dass Ergebnis in die andere Gleichung ein. Dann erhält man eine Gleichung
mit der anderen Unbekannten (z.B. x1).
•
Beispiel 1
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Lineare Algebra
Das Einsetzungsverfahren
•
Beispiel
p 2
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Lineare Algebra
Das Einsetzungsverfahren
•
Beispiel
p 3
D iistt ein
Das
i Wid
Widerspruch,
h es gibt
ibt kkeine
i Lö
Lösung.
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Lineare Algebra
Das Additionsverfahren
•
Man addiert ein bestimmtes ((evtl. auch negatives)
g
) Vielfaches der II.
Gleichung zu einem bestimmten Vielfachen der I. Gleichung derart, dass
eine Unbekannte nicht mehr auftritt. Mit dem Ergebnis ermittelt man dann
die andere Unbekannte. Dies kann man für beide Unbekannte machen.
•
Beispiel 1
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Lineare Algebra
Das Additionsverfahren
•
Beispiel
p 2
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Lineare Algebra
Das Additionsverfahren
•
Beispiel
p 3
Das ist ein Widerspruch, es gibt keine Lösung.
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Lineare Algebra
Nichtlineare Gleichungen
•
Alle Gleichungen,
g , die nicht zu Normalform der linearen Gleichung
g
äquivalent sind heißen nichtlineare Gleichungen. Ihre allgemeine Form
lautet
wobei F(x) ein nichtlinearer Ausdruck in x ist. Die Gleichung lösen heißt, alle
Werte x zu bestimmen, für die die Gleichung gilt. Dabei ist es wichtig
festzulegen, ob man nur reelle Lösungen x sucht oder ob man auch
k
komplexe
l
W
Werte
t für
fü die
di Lösung
Lö
zulässt.
lä t
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Lineare Algebra
Nichtlineare Gleichungen
•
So hat zum Beispiel
p die nichtlineare Gleichung
g
die beiden reellen Lösungen
•
Dagegen
g g hat die Gleichung
g
keine Reelle Lösung, sondern die imaginäre Lösungen
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Lineare Algebra
Nichtlineare Gleichungen
•
•
•
Bei Funktionen nennt man die Beziehung
g y = F(x)
( ) Funktionsgleichung
g
g und x
dabei (unabhängige) Variable. Eine nichtlineare Gleichung ist allerdings
eine Bestimmungsgleichung und x dort eine Unbekannte.
Die Lösung
g einer Gleichung
g nennt man auch Nullstelle von F(x)
( ) oder
Wurzel der Gleichung F(x) = 0.
Gleichungen, die nicht in der Form F(x) = 0 gegeben sind, können durch
Umformen auf diese Form gebracht werden. So erhält man zum Beispiel für
die Gleichungen
die Normalform in folgender Weise
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Lineare Algebra
Quadratische Gleichungen
•
•
Die einfachste nichtlineare algebraische
g
Gleichung
g ist die q
quadratische
Gleichung
Sie hat die allgemeine Form
•
Die Division durch b2 liefert die äquivalente Normalform
•
Zu ihrer Lösung
g macht man von der q
quadratischen Ergänzung
g
g Gebrauch,,
die auf den biomischen Formeln beruht:
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Lineare Algebra
Quadratische Gleichungen
•
Damit kann die Ausgangsgleichung
g g g
g
in folgender Weise umgeformt werden:
bzw.
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Lineare Algebra
Quadratische Gleichungen
•
Gilt
so hat man zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu erfüllen. Es gilt
oder
denn durch quadrieren beider Seiten erhält man bei beiden Gleichungen die
ursprüngliche
ü li h Gl
Gleichung
i h
zurück.
ü k
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Lineare Algebra
Quadratische Gleichungen
•
Aus den Gleichungen
g erhält man zwei reelle Lösungen:
g
Dafür schreibt man auch vereinfacht:
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