Skript Grundoperationen_März_ILT2015

Grundoperationen
Die vier Grundoperationen
Formen des Rechnens
- mündliches Rechnen
- halbschriftliche Strategien
- schriftliches Rechnen nach Normalverfahren
- schätzen, runden, überschlagen
- Rechnen mit Taschenrechner
Halbschriftliches Rechnen
Flexible Strategien, die den Besonderheiten der jeweiligen Aufgaben resp. Zahlen angepasst
werden können. Teilrechnungen, Zwischenschritte und Zwischenergebnisse werden notiert.
„Halbschriftliche Strategien (wie andere Rechenmethoden auch) sind … Werkzeuge der
Schülerinnen und Schüler zur Bewältigung von Rechenanforderungen“ (Krauthausen 2003, 89).
Sie tragen zum Aufbau von Zahlvorstellungen, zum Operationsverständnis sowie zur
Entdeckung elementarer Rechengesetze bei.
Beim halbschriftlichen Rechnen werden die Zahlen ganzheitlich als dezimale Einheiten
verwendet (Einer- Zehner-, Hunderterzahlen).
Schriftliches Rechnen nach Normalverfahren
Im Gegensatz zum halbschriftlichen Rechnen werden bei den schriftlichen Verfahren,
unabhängig vom Zahlenmaterial, immer die gleichen Schritte in der immer gleichen Reihenfolge
durchgeführt.
Zwar wird ebenfalls der dezimale Zahlaufbau verwendet, es wird aber ziffernweise
vorgegangen, d.h., alle Einheiten werden vorübergehend wie Einer verarbeitet, der dezimale
Stellenwert wird während des Rechenprozesses nicht berücksichtigt.
Kritische Überlegungen zur Gewichtung schriftlicher Operationsfertigkeiten im
Mathematikunterricht
- Die Bedeutung des schriftlichen Rechnens hat abgenommen. Einsicht in die Verfahren
ist demnach wichtiger als viel Übung und Drill.
- Kontroll- und Überschlagsrechnen ist wichtig – auch beim Rechnen mit dem
Taschenrechner,dieses erfordert aber Verstehen.
- Auch bei Normalverfahren kann der Akzent auf mathematisches Tätigsein gelegt
werden und die Schüler/innen können angeleitet werden zu Entdeckungen.
Leitlinien/ Prinzipien bei der Erarbeitung von Operationen
- an Vorkenntnissen anknüpfen
- von interessanten, passenden Sachsituationen ausgehen
- die Verfahren handelnd erarbeiten
- die einzelnen Schritte immer wieder sprachlich begleiten, durch den/die Schüler/in
erklären lassen
- Bei Schüler/innen mit mathematischen Lernstörungen ist individuell sorgfältig zu prüfen,
ob es Sinn macht, die schriftlichen Operationen einzuführen.
Entwicklung des mathematischen Verständnisses im lerntherapeutischen Settiing
Patricia Oehri-Wagner 2015
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Grundoperationen
Vom halbschriftlichen zum schriftlichen Rechnen
Addition und Subtraktion
Operationsverständnis
Jede Operation hat verschiedene Aspekte. Sie stellt immer eine Situation oder eine Handlung
dar. Die verschiedenen Aspekte sollen die Schüler/innen in Form einfacher Rechengeschichten
erarbeiten: Rechengeschichten spielen, zeichnen, legen, aufschreiben; Rechnungen den
Geschichten zuordnen und umgekehrt; anknüpfen an Vorerfahrungen, diese erweitern und
später systematisieren.
5+3
10 – 4
Halbschriftliche Addition bzw. Subtraktion
Drei unterschiedliche Strategien
schrittweise
-
Stellenwerte extra
- Vereinfachen
Förderhinweise:
handelnd erarbeiten (Dienes)
Rechenstrich als Veranschaulichung
Schriftliche Addition
Voraussetzungen
kleines 1 + 1, zumindest teilweise automatisiert (Kernaufgaben)
halbschriftliche Verfahren verstanden, v.a. Stellenwerte extra
Überschlagsrechnen
Dezimalsystem verstanden, v.a. Bündeln und Stellenwertschreibweise
Stolpersteine
von rechts nach links rechnen (bisher umgekehrt!)
Übertrag/ Schreibweise wird nicht verstanden
Förderhinweise
Überschlagsrechnung im Voraus
genügend Platz für Übertrag lassen
immer wieder Bedeutung von Übertrag thematisieren
ev. Null an leere Stellen setzen → Additionen mit Nullen repetieren
handeln, sprachlich begleiten, schrittweise protokollieren
zur Vorstellung/ zum mentalen Operieren auffordern
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Grundoperationen
Schriftliche Subtraktion
Voraussetzungen
- Subtraktion verstanden: Minuend (obere Zahl) muss grösser sein als Subtrahend
(untere Zahl)
- halbschriftliche Verfahren verstanden
- Dezimalsystem verstanden, v.a. Bündeln, Entbündeln, Stellenwertschreibweise
Subtrahieren durch Ergänzen oder Wegnehmen
Schriftliche Subtraktionsverfahren basieren grundsätzlich entweder auf dem Ergänzen (von
unten nach oben) oder auf dem Wegnehmen (von oben nach unten).
Es sollen von Anfang an Rechnungen mit und ohne Übertrag bearbeitet werden, damit der
Übertrag nicht als etwas besonders Schwieriges erscheint.
1. Ergänzen durch Erweitern
Wenn Ergänzen nicht direkt möglich ist, dann wird die betreffende Stelle des Minuenden um 10
erweitert. Zum Ausgleich wird beim Subtrahenden an der nächsten Stelle eine Einheit
hinzugefügt.
Schwierigkeiten
- Sowohl im Minuenden (erweitern) als auch im Subtrahenden (ausgleichen) werden
Veränderungen vorgenommen.
- Ergänzen im Zahlenraum bis 20 muss automatisiert sein, vor allem Rechnungen, bei
denen der Zehner überschritten wird, z.B. 8 + __ = 15.
2. Zählermodell (ZB4, S. 33)
Das Zählermodell ist eine spezielle Form des Ergänzens: Der Subtrahend wird sukzessive an
den Minuenden angeglichen, beginnend bei den Einern. Dabei wird nicht um dezimale
Einheiten oder auf dezimale Einheiten ergänzt! Aufgeschrieben wird die jeweils aufzufüllende
Differenz.
Schwierigkeiten
- Komplexer Vorgang, der schwierig in konkrete Handlung umzusetzen ist.
- Ergänzen ist für die meisten Schüler/innen schwieriger als wegnehmen.
3. Abziehmodell
Das Abziehmodell geht vom Wegnehmen aus. Wenn an einer Stelle des Minuenden die Anzahl
zu klein ist zum Abziehen, wird von der nächsten Stelle des Minuenden eine dezimale Einheit
entbündelt und der zu kleinen Stelle beigefügt.
Vorteile
- Abziehen entspricht den Vorerfahrungen der Schüler/innen beim Kopfrechnen und beim
halbschriftlichen Rechnen.
- Das Abziehverfahren ist über Handlung mit konkretem Material leicht einsehbar und
begründbar.
- Entbündeln bei der schriftlichen Subtraktion ist die Umkehr des Bündelns bei der
schriftlichen Addition.
- Umformungen werden ausschliesslich beim Minuenden vorgenommen, so können weniger
Verwechslungen mit dem Übertrag entstehen.
- Das Abziehverfahren kommt Schüler/innen aus anderen Kulturen oft entgegen, da fast nur
in deutschsprachigen Ländern das Ergänzungsverfahren gelehrt wird.
Nachteile
- Aufgaben mit mehreren Nullen im Minuenden können Probleme verursachen.
- Schwierigkeit bei der Notation
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Grundoperationen
Multiplikation
Aspekte der Multiplikation
Voraussetzungen Multiplikation
Verständnis Addition und Subtraktion, zumindest Kernaufgaben automatisiert
Kenntnis Hunderterraum (siehe Aspekte Dezimalsystem)
Drei Aspekte der Multiplikation:
a)
Zeitlich-sukzessiver Aspekt
Ein Vorgang wiederholt sich mehrmals  Handlungsketten entstehen
Beispiel: Eliane geht vier Mal in den Keller und bringt jedes Mal zwei Flaschen mit.
Für den zeitlich-sukzessiven Aspekt ergeben sich lineare Darstellungsmöglichkeiten.
Im zeitlich-sukzessiven Aspekt ist das Verständnis der Multiplikation als fortgesetzte Addition
enthalten (2+2+2+2 = 8).
b)
Räumlich-simultaner Aspekt
Das räumliche Nebeneinander von gleichartigen Mengen mit gleicher Mächtigkeit wird
beschreiben.
Beispiel: Auf dem Tisch stehen vier Teller, in jedem Teller hat es zehn Ravioli.
Die Darstellung erfolgt räumlich, oft als Felddarstellung.
c)
Kombinatorischer Aspekt
Mögliche Verbindungen zwischen den Elementen zweier Mengen.
Beispiel: Reto hat zwei Windjacken und drei Mützen. Wie viele Möglichkeiten zum Anziehen hat er?
Förderung
-
-
Multiplikatives Verständnis aufbauen.
Zu Beginn mit dem räumlich-simultanen Aspekt arbeiten.
Der zeitlich-sukzessive Aspekt kommt zum Verständnis des Aufbaus der Reihen (nicht
aber zum Reihenlernen!) zum Zuge.
Das Erlernen der einzelnen Zahlenfolgen und ein einseitiges Betonen der fortgesetzten
Addition ist für die SchülerInnen nicht hilfreich und kann Abzählstrategien fördern (hohe
Anforderungen an die Merkfähigkeit). Zudem besteht die fortgesetzte Addition aus einem
Aneinanderreihen von Summanden, das Malnehmen (im Sinn von "Faktor mal Faktor")
wird dadurch oft nicht erkannt.
Merkaufgaben via Verdoppeln und Halbieren erarbeiten.
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Grundoperationen
Vor- und Nachteile verschiedener Lösungsverfahren bei der Erarbeitung des Einmaleins
a) Fortgesetzte Addition (6 x 8 → 8 + 8 = 16, + 8 = 24, + 8 = 32, + 8 = ....)
+ Addition als Operation ist bekannt; die erste Addition fällt leicht – vorausgesetzt die
Verdoppelungen sind bekannt
- Eineradditionen im Hunderterraum müssen sicher im Kopf beherrscht werden
- Verfahren ist zeitaufwändig und fehleranfällig
- Kurzzeitgedächtnis wird überfordert; Fingerzählen muss zu Hilfe genommen werden, um die
Orientierung nicht zu verlieren
- Multiplikation wird nur als zeitlich-sukzessives Aneinanderreihen von gleichen Additionen
erlebt
b) Einmaleinsreihen aufsagen = Zählen in Schritten (6 x 8 → 8, 16, 24, 32, ....)
+ Wenn das Zählen in Schritten verinnerlicht ist, dann sind die Zweier- Zehner- und ev. Die
Fünferreihe bereits bekannt
- Alle Reihen müssen sicher auswendig beherrscht werden
- Bei schwierigeren Aufgaben müssen wieder die Finger mithelfen, um das Kurzzeitgedächtnis
zu entlasten
- Multiplikatives Verständnis wird erschwert
- Manche Schüler/innen automatisieren nicht, da sie sich aufs rasche Abzählen verlassen
c) Multiplikationsaufgaben ableiten von Merkaufgaben (6 x 8 → 5 x 8 + 1 x 8)
+ Verdoppeln/ halbieren – zerlegen/ zusammensetzen wurden in 1. Klasse intensiv geübt
+ Einsicht in operative Beziehungen/ Strategien wird aufgegriffen und geschult
+ Nützliche Strategien, die später beim grossen Einmaleins erforderlich sind, werden trainiert
- Setzt sichere Kenntnis der kurzen Reihen voraus (1x; 2x; 5x; 10x)
- Setzt sicheres Addieren und Subtrahieren von einstelligen Zahlen voraus
- Fordert Einsicht in operative Beziehungen
Automatisieren
Aus den Vor- und Nachteilen der verschiedenen Rechenarten ergibt sich:
Das Erlernen der einzelnen Zahlenfolgen und das einseitige Betonen der fortgesetzten Addition
sind für die Schüler/innen nicht unbedingt hilfreich und können Abzählstrategien fördern. Zudem
werden extrem hohe Anforderungen an die Merkfähigkeit gestellt. Wichtig sind vielmehr das
Wahrnehmen multiplikativer Strukturen und ein Konzentrieren auf die Merkaufgaben bzw. auf
die kurzen Reihen.
Die Übungszeit soll später in das effiziente Ableiten der übrigen Aufgaben investiert werden. So
werden zunehmend mehr 1x1-Aufgaben automatisiert.
Kleines Einmaleins
Wichtige Aspekte
- Wichtig ist das Erarbeiten der Multiplikation mit dem räumlich-simultanen Aspekt (Punktfeld
 konzeptuelles Verständnis der Multiplikation).
- Das Automatisieren des kleinen Einmaleins soll über die Merkaufgaben (2 • n, 5 • n,
10 • n) erfolgen und nicht über das Auswendiglernen der Reihen!
Voraussetzungen
- Sichere Orientierung im Hunderterraum (vor-, rückwärts, Mengenerfassung, 10ergänzungen)
- Verständnis Addition und Subtraktion
- halbieren/verdoppeln
- einstellige Additionen/Subtraktionen, 1+1 weitgehend automatisiert
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Grundoperationen
Mögliche Schwierigkeiten
- Kein Verständnis der Multiplikation (Addition anstatt Multiplikation)
- Automatisierungsschwierigkeiten
- Zählendes Rechnen
Förderhinweise
- Einführung der Multiplikation erst dann, wenn Voraussetzungen sicher beherrscht werden
- Bei der Einführung Schwergewicht auf räumlich-simultanen Aspekt bwz. das Erfassen
multiplikativer Figuren legen
- Zeitlich-sukzessiven Aspekt im Zusammenhang mit multiplikativer Handlung verwenden
- Das Ableiten von Kernaufgaben (1x; 2x; 5x; 10x) intensiv und immer wieder üben anstatt
„Reihen büffeln“
- Arbeit mit Malstreifen (zerschnittene Hunderterfelder) anstelle des Hunderterfeldes +
Malwinkels
Zehner-Einmaleins und Stelleneinmaleins
Verständnis gehört zum Basisstoff. Kleines Einmaleins ist Voraussetzung!
Beziehung zwischen Einmaleins und Zehner-Einmaleins muss im Zentrum stehen.
Regel „Null anhängen“ darf nicht auf der Ebene des Tricks vermittelt werden, sondern muss
verstanden sein. Dienes-Material eignet sich gut, um das Zehner- (und Hunderter-Einmaleins)
zu veranschaulichen und Strukturen selber entdecken zu lassen.
Grosses Einmaleins
Ist für Kinder mit Lernschwierigkeiten oft eine Überforderung.
Einzelne Aufgaben können unter Umständen handelnd mit dem Dienes-Material oder am
400-er Feld erarbeitet werden, ist jedoch nicht Basisstoff.
Halbschriftliche Multiplikation
Voraussetzungen
- Erkennen multiplikativer Strukturen
- Kleines Einmaleins, zumindest Kernaufgaben automatisiert
- Kenntnis Tausenderraum (siehe Dezimalsystem)
- Quadratzahlen
- Einsicht in Rechengesetze (vor allem Distributivgesetz)
Mögliche Schwierigkeiten
- Multiplikation nur als Reihe repräsentiert
- fehlende Automatisierung des kleinen Einmaleins
- Raumorientierung
- Übertragung ins Malkreuz
- Didaktogen:
fehlende Veranschaulichung/ Handlung
zu schnelle Einführung der schriftlichen Multiplikation
Kann mittels des 400-er Feldes oder dem Dienes-Material anschaulich erarbeitet werden.
Zum Ableiten schwieriger Aufgaben ist neben dem Erarbeiten der kurzen Reihen und dem
Erlernen der Quadratzahlen auch die Einsicht in bestimmte Rechengesetze wichtig. Wichtig ist
das Verständnis (nicht der Begriff!) der Gesetze.
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Grundoperationen
Kommutativgesetz (Vertauschgesetz):
a•b=b•a
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz):
(a • b) • c = a • (b • c)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz):
a • (b + c): a • b + a • c
Wird eine Summe mit einer Zahl
multipliziert, kann jeder Summand einzeln
mit der Zahl multipliziert werden, und
beide Produkte werden addiert.
a • (b + c) = a • b + a • c
Die Multiplikation von zwei 2-stelligen Zahlen
kann aufgeteilt werden in
(a+b) • (c+d) = a•c + a•d + b•c + b•d
wobei a und c den Zehnern,
b und d den Einern entsprechen.
Förderhinweise
Wichtig ist, dass die Schüler/innen Lösungsstrategien herausfinden und anwenden können, und
dass sie verstehen, dass jede Ziffer des Multiplikators mit jeder Ziffer des Multiplikanden
gemäss dem jeweiligen Stellenwert multipliziert werden muss.
-
Veranschaulichung: 400er-Feld
Die Linien des Malkreuzes gut sichtbar machen
Die Teilaufgaben auf Kärtchen schreiben
Mit Dienes-Material Aufgabe räumlich oder in der Stellentafel darstellen
Schriftliche Multiplikation
Die schriftliche Multiplikation ist ein komplexes Verfahren und es muss im Einzelfall entschieden
werden, ob es Sinn macht, diese zu erarbeiten oder ob es hilfreicher ist, das halbschriftliche
Verfahren handelnd zu erarbeiten und den Taschenrechner zu verwenden.
Wenn die Voraussetzungen zur schriftlichen Multiplikation vorhanden sind, kann nach dem
Vorgehen, wie es in Schulbüchern vorgeschlagen wird, vorgegangen werden.
Voraussetzungen
- Einmaleins verstanden
- Halbschriftliche Multiplikation verstanden
- Dezimalsystem verstanden
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Grundoperationen
13 • 135
Förderhinweise
- mit Dienes und Stellentafel Aufgabe darstellen
→
T
H
Z
E
- Stellentafel unter Aufgabe notieren
und Ergebnisse darin festhalten
13
•
1
3
5
T
H
Z
E
Division
Die Grundprinzipien der Division
1. Dividieren heisst, eine Menge gleichmässig - ‚gerecht’ - verteilen bzw. aufteilen.
2. Das Ergebnis einer Division ist immer das, was Einer erhält, bzw. sagt mir, wie oft ich
aufgeteilt habe.
Erarbeiten der Division
Die Division soll erst eingeführt werden, wenn die Multiplikation gründlich verstanden und
zumindest teilweise automatisiert ist. Sie soll vorerst handelnd erarbeitet und nicht zu früh auf
formaler Ebene als Umkehroperation der Multiplikation „erklärt“ werden. Wichtig ist, dass das
Kind das Prinzip des gerechten Teilens versteht.
Das Teilen mit Rest soll von Anfang an mit einbezogen und als Normalfall behandelt werden –
auch für Schüler/innen mit besonderem Förderbedarf. Das Prinzip des gerechten Verteilens
bzw. des gleichmässigen Aufteilens kommt durch das Übrigbleiben eines Rests deutlicher zum
Ausdruck.
Am Hunderterfeld kann analog zur Multiplikation das Schätzen/ Überschlagen geübt werden,
z.B.: Wie viele Vierergruppen kann ich ungefähr bilden?
Automatisieren
Wenn die Beziehung zwischen Division und Multiplikation verstanden ist, dann kann auf die
automatisierten Multiplikationen zurückgegriffen werden, um eine Division erfolgreich zu lösen.
Hilfreich kann auch das Abrufen innerer Bilder von multiplikativen Strukturen sein.
Bei der Division ist das Schätzen/Überschlagen wichtiger als das perfekte Automatisieren. Die
Umkehr-rechnung (Multiplikation) dient jeweils zur Kontrolle.
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Grundoperationen
Unterscheidung aufteilen/verteilen
Verteilen: Eine gegebene Grundmenge wird in eine vorgeschriebene Anzahl von Teilmengen
so geteilt, dass jede Teilmenge (Gruppe) die gleiche, grösst mögliche Anzahl von Elementen
enthält. Es kann ein nicht mehr verteilbarer Rest übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viele
Elemente sind in einer Teilmenge (Gruppe) bzw. wie viele hat ein Kind bekommen?
Beispiel:
Im Sack hat es 40 Täfeli. Die Lehrerin verteilt sie gerecht an
acht Kinder. Wie viele Täfeli erhält das einzelne Kind?
Das Verteilen kann als fortgesetzte Subtraktion (von der Menge) 40 - 1 - 1- 1- 1- ....
oder als fortgesetzten Addition (beim Empfänger) 1 + 1 + 1 + .... verstanden werden.
Aufteilen: Eine gegebene Grundmenge wird in die grösst mögliche Zahl von Teilmengen
(Gruppen) mit gleicher, vorgeschriebener Grösse aufgeteilt. Ein diese Grösse unterschreitender
Rest kann übrig bleiben. Die Frage lautet: Wie viel Mal ist die Teilmenge (der Divisor) in der
Grundmenge (dem Dividenden) enthalten?
Beispiel:
40 Leute wollen mit Booten auf den See. Pro Boot haben
nur 5 Personen Platz. Wie viele Boote werden benötigt?
Das Aufteilen kann als Ordnen in gleich grosse Gruppen dargestellt werden.
Division Kopfrechnen
Voraussetzungen
- Einmaleins weitgehend automatisiert
- Zusammenhang Division - Multiplikation verstanden
- Prinzip des gerechten Teilens (aufteilen bzw. verteilen) verstanden
- Bedeutung des Resultats (Anzahl Gruppen bzw. das, was eine/r bekommt) verstanden
Häufige Schwierigkeiten
Didaktogen: Division wird auf formaler Ebene als Umkehrung der Multiplikation
eingeführt und ist nicht verstanden.
Vermischen von Aufteil- und Verteilstrategien (z.B. auch durch Lehrperson).
Kinder verstehen nicht, warum das Resultat einer Division kleiner ist als der Dividend.
Es ist nicht klar, dass der Rest immer kleiner als der Divisor sein muss.
Halbschriftliche Division
Voraussetzungen
- Division (Ebene Kopfrechnen) verstanden
- Dezimalsystem verstanden, v.a. Entbündeln
- Zehner-Einmaleins anwenden können
- Überschlagsrechnen
Kann über Verteilhandlungen gut mit dem Dienes-Material veranschaulicht werden (allerdings
wird immer der grösstmögliche Quotient gesucht). Konkrete Hinweise siehe Moser
Opitz/Schmassmann (2004): Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 4, S. 102.
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Grundoperationen
Schriftliche Division
Voraussetzungen
- halbschriftliche Division
- Schriftliche Addition, Subtraktion verstanden und sicher anwenden können
- Einmaleins automatisiert
- Division (Ebene Kopfrechnen) verstanden
Schwierigkeiten
- Raumorientierung bei der Einhaltung bzw. den Wechseln der Rechenrichtung
- Vermischen der einzelnen Operationen
- Reihenfolge bei der Ausführung der diversen Schritte
Die schriftliche Division ist ein anspruchsvolles Verfahren, welches verschiedene
Rechenoperationen beinhaltet: Bestimmen des Teildividenden, Dividieren, Multiplizieren,
Subtrahieren.
Mit Kindern mit Lernschwächen ist es oft sinnvoller, das Prinzip des Dividierens anhand
halbschriftlicher Aufgaben zu erarbeiten und dann den Taschenrechner zu benutzen. Falls die
Schülerinnen und Schüler motiviert sind, die schriftliche Division zu lernen, kann diese sehr gut
mit dem Dienes-Material und entsprechenden Protokollierungsformen erarbeitet werden.
Stellenwerttafel für die schriftliche Division
ZT
T
H
Z
E
T
H
Z
E
: _____ =
Literatur
- Krauthausen, G.; Scherer, P. (2004): Einführung in die Mathematikdidaktik. Berlin/ Heidelberg
-
Moser Opitz, E.; Schmassmann, M. (2002- 2005): Heilpädagogischer Kommentare zu den ZB 2-6. Zug
-
Radatz, H. et al. (1996-1999): Handbücher für den Mathematikunterricht. 2./3. Schuljahr. Anregungen für die
Unterrichtspraxis. Hannover
-
Scherer, P (2003): Produktives Lernen für Kinder mit Lernschwächen. Fördern durch Fordern.
Band 2: Addition und Subtraktion im Hunderterraum. Persen
Band 3: Multiplikation und Division im Hunderterraum. Persen
-
Wittman, E.Ch./ Müller, G.N. (1993): Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 2: Vom halbschriftlichen zum
schriftlichen Rechnen.Leipzig/ Stuttgart/ Düsseldorf
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