2.3.3. Simultanes Lösen von Gleichungssystemen Das

2.3.3. Simultanes Lösen von Gleichungssystemen
Das Gleichungssystem
I x1 +
x2 +
x3 +
x4 =
0
II x1 + 2 x 2 + 3 x3 + 4 x 4 = − 11
III x1 −
x2 +
x3 −
x4 =
14
IV x1 + 2 x 2 + 4 x3 + 8 x 4 = − 25
kann man auch als Matrizenmultiplikation schreiben:
1 1

1 2
1 −1

1 2
1   x1   0 
   

3 4   x2   −11 
⋅
=
.
1 −1  x3   14 
   

4 8   x4   −25 
1
Oft schreibt man auch die ERWEITERTE KOEFFIZIENTENMATRIX.
1 1

1 2
1 −1

1 2
1 0 

4 −11 
1 −1 14 

4 8 −25 
1
3
Diese Schreibweise nutzen wir, um Gleichungssysteme, die sich nur in der rechten Seite
unterscheiden, SIMULTAN zu lösen.
Beispiel:
Zu lösen sind die Gleichungssysteme
I
II
III
IV
x1
x1
x1
x1
x2
+
+ 2 x2
x2
−
+ 2 x2
x3
+
+ 3 x3
x3
+
+ 4 x3
x4
+
+ 4 x4
x4
−
+ 8x4
0
=
= − 11
14
=
= − 25
I
II
III
IV
x1
x1
x1
x1
x2
+
+ 2 x2
x2
−
+ 2 x2
x3
+
+ 3x3
x3
+
+ 4 x3
x4
+
+ 4 x4
x4
−
+ 8 x4
1
=
= −5
= 4
= −3
I
II
III
IV
x1
x1
x1
x1
x2
+
+ 2 x2
x2
−
+ 2 x2
x3
+
+ 3x3
x3
+
+ 4 x3
x4
+
+ 4 x4
x4
−
+ 8 x4
= 4
1
=
= 0
= −2
x1
1
1
1
1
x2
1
2
-1
2
x3
1
3
1
4
x4
1
4
-1
8
b1
0
-11
14
-25
b2
1
-5
4
-3
b3
4
1
0
-2
x1
1
0
0
0
x2
1
1
-2
1
x3
1
2
0
3
x4
1
3
-2
7
b1
0
-11
14
-25
b2
1
-6
3
-4
b3
4
-3
-4
-6
x1
1
0
0
0
x2
0
1
0
0
x3
-1
2
4
1
x4
-2
3
4
4
b1
11
-11
-8
-14
b2
7
-6
-9
2
b3
7
-3
-10
-3
x1
4
0
0
0
x2
0
-2
0
0
x3
0
0
4
0
x4
-4
-2
4
-12
b1
36
14
-8
48
b2
19
3
-9
-17
b3
18
-4
-10
2
x1
-12
0
0
0
x2
0
12
0
0
x3
0
0
12
0
x4
0
0
0
-12
b1
-60
-36
24
48
b2
-74
-35
-44
-17
b3
-52
26
-28
2
x1
1
x2
0
x3
0
x4
0
b1
5
b2
b3
37
6
13
3
0
1
0
0
-3
35
− 12
13
6
0
0
1
0
2
− 113
− 73
0
0
0
1
-4
17
12
− 16
· (–1)
Umformungen
· (–1)
+ · (–1)
+
+
Umformungen
·2
+
· (–1)
· (–1)
+
Umformungen
·4
+ · (–2)
· (–4)
+
+
+
Umformungen
· (–3)
· (–6)
·3
+
+
+
Umformungen
: (–12)
: 12
: 12
: (–12)
Umformungen
 37 35 11 17 
Wir erhalten die Lösungen ( 5; −3; 2; −4 ) für das erste,  ; − ; − ;  für das zweite und
3 12 
 6 12
 13 13 7 1 
 ; ; − ; −  für das dritte Gleichungssystem.
3 6
3 6

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