Werkstoffe und Fertigung I, HS 2015
Seminarübung 7 Musterlösung
Prof. Dr. K. Wegener
3
Elastizität, Plastizität
Wahr oder Falsch?
a) Eine Vergrösserung der Unordnung ist gleichbedeutend mit einer Minimierung der freien
Enthalpie.
Richtig: G = H − T · S, wenn S grösser wird, wird G kleiner.
b) Die Konzentration ist eine Gehaltsangabe bezogen auf ein Referenzvolumen, also besitzt sie
immer die Einheit kg/m3 .
Falsch: Konzentration kann auch andere Einheiten besitzen: kg/l, mol/m3 , mol/l, 1/m3 , 1/l,
l/m3 , l/l, beispielsweise wird die Fremdatomkonzentration (z. B. Kohlenstoff im Eisen) oft mit 1/m3
angegeben, es wäre aber auch möglich sie mit g/kg zu beschreiben.
c) Die Diffusion gleicht Konzentrationen unabhängig von anderen Einflüssen aus.
Falsch: Wenn dieser Satz stimmen würde, gäbe es zum Beispiel keine sekundären Ausscheidungen.
Die Diffusion wirkt immer (je nach Temperatur einfach unterschiedlich stark). Sie ist aber nicht immer
der dominante Effekt.
d) Die Fick’schen Gesetze sind stationäre Beschreibungen der Diffusion.
Falsch: Das zweite Fick’sche Gesetz ist zeitabhängig und beschreibt damit eine instationäre Lösung der
Diffusionsgleichung.
e) Die Aktivierungsenergie ist für Stoffe mit einer hohen Schmelztemperatur hoch.
Richtig: Die Aktivierungsenergie steigt mit der Stärke der atomaren Bindungen an. Starke atomare
Bindungen gehen mit hohen Schmelzpunkten einher.
f) Der Embryo ist ein instabiles Stadium im Keimwachstumsvorgang.
Richtig: Der Keim möchte sich in diesem Stadium wieder auflösen und freie Enthalpie abgeben.
g) Praktisch findet die Keimbildung sehr häufig an Verunreinigungen oder Behälterwänden
statt. Dieser Vorgang wird mit homogene Keimbildung bezeichnet.
Falsch: Die beschriebene Keimbildung heisst heterogene Keimbildung.
h) Mit Seigerung wird ein mikroskopischer Erstarrungsfehler bezeichnet.
Falsch: Seigerung kann mikroskopisch vorkommen (Kristallseigerung), aber auch makroskopisch
(Blockseigerung).
i) Wird zu schnell abgekühlt, haben die Atome zu wenig Zeit zu diffundieren. Somit gleichen
sich die Kristallgehalte der bereits entstandenen Kristalle nicht ständig den neu entstehenden
Kristallen an. Deshalb muss auf eine tiefere Temperatur abgekühlt werden (als im Gleichgewichtsfall), um die Erstarrung zu vollenden.
1
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Elastizität, Plastizität
Richtig: Es muss bis zu derjenigen Temperatur abgekühlt werden, die von der scheinbaren Soliduslinie
vorgegeben wird.
j) Die Schmelze wird “gekocht”, um eine möglichst homogene Durchmischung der Legierungselemente zu erreichen.
Falsch: Eisen kann im flüssigen Zustand grosse Mengen Sauerstoff aufnehmen. Dieser verbrennt
an der Erstarrungsfront zu CO. Blasen steigen auf und verursachen das “Kochen” der Schmelze.
Ein inhomogenes Gefüge resultiert, da Konvektionsströmungen entstehen, welche Verunreinigungen
transportieren, wodurch sich diese in den letzten Resten der Schmelze konzentrieren.
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Elastizität, Plastizität
Aufgaben für die Übungstunde
4.1
Zugstab, Querkontraktion
Ausgehend vom Hook’schen Gesetz
σ = E · ε xx
und dem Zusammenhang der Dehnungen
ε yy = ε zz = −ν · ε xx
lässt sich der folgendermassen berechnen:
∆D = D0 · ε yy = D − D0
D = D0 · (1 + ε yy ) = D0 · (1 − ν ·
4.2
σp
E)
= 10 mm · 1 − 0.3 ·
900 N/mm2
217 kN/mm2
= 9.9875 mm
Spannungstensor
a) Der Spannungstensor T für P ist in der Aufgabe bereits gegeben und muss nur noch hingeschrieben werden. Es gilt der Satz über die zugeordneten Schubspannungskomponenten τxy = τyx
σxx τxy τxy
100 N/mm2 −100 N/mm2
0 N/mm2
T= τyx σyy τyz = −100 N/mm2
0 N/mm2
0 N/mm2
τzx
τzy
σzz
0 N/mm2
0 N/mm2
−100 N/mm2
b) Die Spannung S berechnet sich als Skalarprodukt vom Spannungstensor und dem Normaleneinheitsvektor.
S = T•n
Der Normalenvektor
sich folgendermassen:
√n berechnet
√ n=
N
|N|
=
(1,0,1
√ )
2
=
2
2
2 , 0, 2
Daraus folgt:
Sx = σxx · n x + τxy · ny + τxz · nz = 100 · 0.707 + (−100) · 0 + 0 · 0.707 = 70.7 N/mm2
Sy = τyx · n x + σyy · ny + τyz · nz = (−100) · 0.707 + 0 · 0 + 0 · 0.707 = −70.7 N/mm2
Sz = τzx · n x + τzy · ny + σxz · nz = 0 · 0.707 + 0 · 0 + (−100) · 0.707 = −70.7 N/mm2
Daraus folgt: S = (70.7, −70.7, −70.7)N/mm2
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4.3
Elastizität, Plastizität
Bildungsenergie
Siehe Abb. 4.1.
U(R) ist das Potential der anziehenden und abstossenden Kräfte zwischen zwei Atomen, auf
Null normiert bei grossen Abstand. U0 ist das Potential beim Kräftegleichgewicht, der Abstand r0
entspricht der Gitterkonstanten.
• Je grösser die Bindungsenergie UB0 , desto grösser die Schmelztemperatur
• Das Potentialminimum liegt beim Gleichgewichtsabstand r0 zweier Atome.
Abbildung 4.1
4.4
Mehrachsiger Spannungszustand
Um diese Frage zu beantworten, müssen alle Gleitsysteme der Ebenenfamilie {110}<111> betrachtet werden. Man sieht, dass sich nur bei den Ebenen (101) bzw. (101) die Schubspannungen
gegenseitig unterstützen. Bei den anderen Ebenen (110),(110),(011),(011) wirkt entweder σ1 der σ2
nicht.
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Elastizität, Plastizität
Nachfolgend wird nur das System (101)[111] (4) betrachtet.
Zu Beurteilung, ob es bei einem einachsigen Spannungszustand die kritische Schubspannung in einem bestimmten Gleitsystem erreicht ist und das Material zu fliessen beginnt ist nur der Betrag aber
nicht die Richtung der Schubspannung entscheidend. Werden aber zwei Spannungszustände überlagert und mittels dem Schmid’schen Schubspannungsgesetz die resultierende Schubspannung τ
berechnet, müssen die Orientierungen der Komponenten beachtet werden.
Die beiden einachsigen Spannungszustände sind in Abb. 4.2 einzeln gezeichnet. Die Spannung
Si an der schiefen Fläche hält der Spannung σi am Flächenelement in der Koordinatenebene das
Gleichgewicht. Die Winkel λi und θi zwischen Si und g bzw Si und n können im Elementarzellen√ √
würfel gefunden werden. λ1 und λ20 in einem Dreieck mit den Seitenlängen a(1, 2, 3), θ1 und θ2
√
in einem Dreieck mit den Seitenlängen a(1, 1, 2). Siehe Abb. 4.2.
Es gelten folgende Relationen:
cos(θ1 ) =
√1
2
cos(θ2 ) =
√1
2
cos(λ1 ) =
√1
3
cos(λ2 ) =
−1
√
3
Eingesetzt in das Schmid’sche Schubspannungsgesetz ergibt sich:
τ = σ · cos(λ) · cos(θ ) = σ1 · cos(λ1 ) · cos(θ1 ) + σ2 · cos(λ2 ) · cos(θ2 )
1
1
1 −1
173
= 125 MPa · √ · √ + −48 MPa · √ · √ = √ MPa = 70.6 MPa
3
3
6
2
2
Mit τ > τkrit ist hier plastische Verformung zu erwarten.
5
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Elastizität, Plastizität
Abbildung 4.2
Untenstehend finden Sie eine Tabelle mit sämtlichen Werten für alle Ebenen und alle Gleitrichtungen.
n
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
F1
| F1 |
g
0
0
0
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos(λ1 )
cos(θ1 )
τ1
σ1
τ1 [ MPa]
0.577
0.577
0.577
0.577
0.577
-0.577
0.577
-0.577
0.577
0.577
0.577
0.577
0.707
0.707
0.707
0.707
0.000
0.000
0.000
0.000
0.707
0.707
0.707
0.707
0.408
0.408
0.408
0.408
0.000
0.000
0.000
0.000
0.408
0.408
0.408
0.408
51
51
51
51
0
0
0
0
51
51
51
51
F2
| F2 |
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
cos(λ2 )
cos(θ2 )
τ2
σ2
τ2 [ MPa]
τ [ MPa]
0.557
-0.577
.557
-.577
0.577
0.577
-0.577
-0.577
0.577
0.577
-0.577
-0.577
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.707
-0.707
0.707
0.707
-0.707
-0.707
0.707
0.707
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.408
-0.408
-0.408
-0.408
-0.408
-0.408
-0.408
-0.408
0
0
0
0
20
20
20
20
20
20
20
20
51
51
51
51
20
20
20
20
71
71
71
71
Alternativ kann die Folge auch folgendermassen gelöst werden:
125 MPa 0
0
T=
0
0
0
; n={110} ,normiert √1 · [110] T ; g=<111>, normiert
2
0
√1
3
· [111]T
0 −48 MPa
τ = ( T • n) • g Diesen Term soll maximiert werden.
max =
1
1
125
1
1
1
1
1
0
0
• √ 0 • √ 1 = √ 0 • √ 1 = 70.6 MPa
3
3
2
2
0 −48 MPa
1
1
−48
1
125 MPa 0
0
0
0
6
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Elastizität, Plastizität
Hausaufgaben
5.1
Schubspannung
In Abb. 5.1 sind die Winkel θ und λ eingetragen. Der Winkel θ liegt in einem Dreieck mit den Seiten√ √
√
längen a(1, 2, 3) und λ in einem Dreieck mit Seitenlängen a(1, 1, 2).
Abbildung 5.1
Es gelten also folgende Relationen: cos(θ ) =
√1
3
cos(λ) =
√1
2
Eingesetzt in das Schmid’sche Schubspannungsgesetz ergibt sich
τ = σ · cos(λ) · cos(θ ) = 200 MPa ·
5.2
√1
2
·
√1
3
= 81.6 MPa
Schubspannung
a) Schmid’sches Schubspannungsgesetz nach σ umgeformt : σ =
Winkel θ als Skalarprodukt aus n und S: cos(θ ) =
n•S
|n|·|S|
=
τ
cos(λ)·cos(θ )
√1 .
3
Analog den Winkel λ als Skalarprodukt aus g und S: cos(λ) =
g•S
| g|·|S|
=
√1 .
2
Bei der Schubspannung wird immer der Betrag angegeben. Deshalb macht es Sinn, beide Winkel
positiv anzugeben.
Eingesetzt in das Schmid’sche Schubspannungsgesetz ergibt sich
σ=
τ
cos(λ)·cos(θ )
=
76 Pa
√1 · √1
3
2
= 186 MPa
7
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Elastizität, Plastizität
b) Die Normalspannung in [100]-Richtung hat keinen Einfluss auf das Gleitsystem. Es gilt:
cos(λ) =
g•S
| g|·|S|
Mit g = [011] und S = [100] sieht man sofort cos(λ) = 0
5.3
Elastizität
a)
ezz =
exx = eyy = −ν · ezz
−100 N/mm2
σzz
=
= −0.0004762
E
210 kN/mm2
0.3 · −100 N/mm2
=−
= 0.0001429
210 kN/mm2
b)
eyy = 0 =
σyy
σzz
−ν·
←→ σy = ν · σz = 0.3 · −100 N/mm2 = −30 N/mm2
E
E
0
0
c) Spannungstensor T = 0 −30 N/mm2
0
0
0
0
d) Spannung S = T · n = 0 −30 N/mm2
0
0
0
0
−100 N/mm2
0
0
√1
0
· 3 · (1, 1, 1) = −17.3 MPa
−100 N/mm2
−57.7 MPa
e) Spannungskomponente in Richtung (1,-1,0)
0
1
1
τ = −17.3 MPa · √ · −1 = 12.23 MPa
2
−57.7 MPa
0
5.4
Dehnung und Scherung
a) und b) Siehe Abb. 5.2.
8
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Elastizität, Plastizität
y
b0
l0
Abbildung 5.2
c)
d(0.5 · x )
du x
=
= 0.5
dx
dx
duy
d(−0.15 · y)
eyy =
=
= −0.15
dy
dy
duz
d(−0.15 · z
ezz =
=
= −0.15
dz
dz
duy
du x
γxy = γyx =
+
=0
dy
dx
du x
duz
γxz = γzx =
+
=0
dz
dx
duy
duz
γyz = γzy =
+
=0
dz
dy
exx =
d)
ε yy = −ν · ε xx ←→ ν =
5.5
Dehnung und Scherung
a) Siehe Abb. 5.3 .
9
ε yy
= 0.3
ε xx
x
Werkstoffe und Fertigung I, HS 2015
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Elastizität, Plastizität
y
4
P0
3
2
P
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung 5.3
b) Ansatz: u x ( x, y) = a + b · x + c · y und uy = d + e · x + f · y
Eckpunkte einsetzen und man erhält:
u x = 3 + 0.5 · x
uy = 2
c)
du x
d(0.5 · x )
=
= 0.5
dx
dx
duy
d(−0.15 · y)
eyy =
=
=0
dy
dy
duy
du x
γxy = γyx =
+
=0
dy
dx
exx =
Die Dehnungen und Scherungen sind überall im Körper gleich gross.
10
x
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