Geometrie: Ähnlichkeit

Geometrie
Ähnlichkeit
Auf Java und Bali in Indonesien hat das Schattenspiel, das Wayang kulit (wayang = Theater, kulit = Haut)
eine jahrhundertealte Tradition. Im Wayang kulit wird in hinduistischen Epen der Kampf des Guten gegen
das Böse dargestellt. Gespielt wird mit reich bemalten Figuren vor einer Lampe. Das Publikum sieht die
Schatten der Figuren auf einer Leinwand. Schatten und Figur sind sich im mathematischen Sinn ähnlich.
1. Ähnlichkeit
Wenn wir das Wort „ähnlich“ brauchen, so meinen wir „fast gleich“, „irgendwie verwandt“. In der
Mathematik hat der Begriff Ähnlichkeit eine genauere Bedeutung.
Definition: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie genau dieselbe Form haben. Sie müssen aber nicht
unbedingt dieselbe Grösse haben.
f
I
A
A
A
A
II
A
A
A
A
A
A
A
A
III
A
e
A
A
A
d
A
c
A
b
A
a
A
Aufgabe 1: Diese Figuren sind umgangssprachlich in einem gewissen Sinn alle ähnlich. Sonst
würden wir sie nicht alle als Buchstaben „A“ erkennen. Im mathematischen Sinn sind nur
einige davon ähnlich. Welche?
A
g
Aufgabe 2: Welche der Figuren sind zueinander ähnlich?
Aufgabe 3: Wähle aus den Buchstaben in der Aufgabe 1, eine Gruppe von ähnlichen „A“. Was ist
bei diesen gleich? In was unterscheiden sie sich?
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Satz: Ähnliche Figuren stimmen in allen ………………………………………… und den
……………………………………………… der Strecken überein.
Aufgabe 4: Stimmen diese Behauptungen? Begründe deine Antwort mit dem obenstehenden Satz!
a) Alle Quadrate sind zueinander ähnlich.
b) Alle Rechtecke sind zueinander ähnlich.
c) Alle Rhomben sind zueinander ähnlich.
d) Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
e) Alle gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
f) Alle rechtwinkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
g) Alle rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
h) Alle Kreise sind zueinander ähnlich.
i) Alle Kreisringe sind zueinander ähnlich.
2. Die zentrische Streckung
Aufgabe 5: Beim Wayang kulit wird mit einer Lampe der Schatten einer Figur auf die Leinwand
projiziert.
Lampe
Figur
Leinwand
a) Konstruiere den Schatten der Figur auf der Leinwand.
b) Um welchen Faktor wurde die Figur vergrössert?
c) Miss auch die Strecken von Lampe zur Figur und von der Lampe zur Leinwand.
Um welchen Faktor wurden diese Strecken vergrössert?
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Aufgabe 6: Diese beiden Dreiecke sind ähnlich. Verbinde die Punkte A’ mit A, B’ mit B und C’ mit
C. Verlängere die Linien weiter nach links. Was stellst du fest?
Definition: Bei einer ………………………………………… mit dem …………………………… Z
und dem ……………………………………………………… k:
Liegt das Streckzentrum Z, der Punkt P und der Bildpunkt P’ auf einer ……………………
Der ………………… des Punktes P’ von Z ist das k-fache des Abstandes des Punktes P von Z.
Aufgabe 7: Zeichne bei Aufgabe 5 und 6 das Streckzentrum Z ein und gib den Streckfaktor k an.
Aufgabe 8: Führe diese Streckungen mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k = 2 mit Zirkel und
Lineal aus. Beschrifte die Ecken von Original und Bild.
Z
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Aufgabe 9: Auch bei einer Lochkamera entsteht ein Bild auf einer Bildebene.
Gegenstand
Loch (Blende)
Bildebene
a) Konstruiere das Bild des Gegenstands bei dieser Lochkamera.
b) Wo kommt die Pfeilspitze zu liegen?
c) Zeichne das Streckzentrum Z ein.
d) Wie gross ist die Vergrösserung (der Streckfaktor)?
Aufgabe 10: Stellen wir uns ein paar Fragen zum Streckfaktor:
a) Wenn das Bild grösser als das Original ist, so ist der Streckfaktor k
…………………………………………………………………… .
b) Wenn das Bild kleiner als das Original ist, so ist der Streckfaktor k
…………………………………………………………………… .
c) Wenn der Streckfaktor positiv ist, so liegen Bild und Original auf ……………………………
Seite von Z, ist er negativ auf ……………………………………… Seiten.
Aufgabe 11: Bleiben bei der zentrischen Streckung
a) die Länge der Strecken erhalten (streckentreu)?
b) die Verhältnisse von Strecken zueinander erhalten (verhältnistreu)?
c) die Winkel in der Figur erhalten (winkeltreu)?
d) der Drehsinn der Figur erhalten (orientierungstreu)?
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Aufgabe 12: Führe diese Streckungen mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k mit Zirkel und
Lineal aus. Beschrifte die Ecken von Original und Bild.
a) k = 0.5
Z
b) k = – 1
Z
Aufgabe 13: Sind sich bei einer Abbildung mit einem Diaprojektor Dia und Bild ähnlich?
Aufgabe 14: Auf einer Folie ist ein Rechteck gezeichnet. Man legt sie auf den Hellraumprojektor
und auf der Leinwand erscheint ein Trapez? Woran liegt das? Handelt es sich hier um eine
Ähnlichkeitsabbildung?
Aufgabe 15: Bei einem Fotokopierer wird im Menu „Vergrösserung“ ein Wert 75% eingestellt. Sind
Original und Kopie ähnlich? Was bedeuten die 75%?
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3. Verhältnisse bei der Streckung
Verkleinerung
Wenn auf der Landkarte zum Beispiel der Massstab 1 : 100'000 angegeben ist, so bedeutet dies,
das 1 cm auf der Karte 100'000 cm = 1000 m = 1 km in der Natur entsprechen.
Vergrösserung
Wird bei der Mikroskopie zum Beispiel ein Massstab von 1000 : 1 angegeben, so bedeutet dies,
das 1 mm auf dem Bild 0.001 mm = 1 μm in der Natur entspricht.
In beiden Fällen ist das Original (Natur) in guter Näherung ähnlich zum Bild.
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Aufgabe 16: Von Biel nach Mörigen misst die Luftlinie 5.96 km. Wie lange ist sie auf einer Karte
im Massstab 1:25'000?
Aufgabe 17: Wie weit ist es von Christchurch nach Dunedin? Mit welchem Massstab wurde die
Karte abgebildet (siehe Karte oben)?
Aufgabe 18: Findest du mit Hilfe der Karte oben heraus, wie gross der Umfang der Erde ist?
Aufgabe 19: Wenn die Karte dreidimensional abgebildet wäre, d.h. die Berge erhöben sich aus
dem Papier, wie hoch wäre Mount Cook auf der Karte?
Aufgabe 20: Die Fliege auf dem letzen Bild (Bild rechts unten) ist mit einem Massstab von 1'350:1
abgebildet. Wie gross ist die Seitenlänge einer der Facetten des Auges?
Merke: Bei der Streckung verändern sich die
Längen der Strecken. Wird eine Strecke a um
den Streckfaktor k gestreckt, so hat die
Bildstrecke a’ die Länge k·a. Das Verhältnis
einer Bild- zu ihrer Originalstrecke ist der
Streckfaktor k.
a'=
k·a
b'=
k·
b
c'=k·c
a
b
c
Aufgabe 21: Sind diese zwei Dreiecke zueinander ähnlich? Original: a = 5.2 cm, b = 7.4 cm und
c = 2.3 cm. Bild: a’ = 11.44 cm, b’ = 16.28 cm und c’ = 5.06 cm.
Aufgabe 22: Der Schatten eines Baumes ist 24 m lang. Eine 3 m lange Bohnenstange wirft
gleichzeitig einen 5 m langen Schatten. Wie hoch ist der Baum?
Aufgabe 23: Ein Quadrat mit der Seitenlänge s = 12 cm wird mit dem Streckverhältnis k = 3
gestreckt. Welche Fläche A hat das Originalquadrat und welche Fläche A’ hat das
Bildquadrat. Um welchen Faktor vergrössert sich die Fläche des Quadrats?
Satz: Bei der Streckung verändert sich die Fläche der Figur. Wird eine Figur um den Streckfaktor k
gestreckt, so wird die Fläche um den Faktor …………. grösser.
Aufgabe 24: Ein Rechteck wurde gestreckt und dabei hat sich die Fläche verdoppelt. Um welches
Streckverhältnis wurde das Rechteck gestreckt?
Aufgabe 25: Ein Kreis mit Radius r = 6 cm wird zentrisch gestreckt. Der Bildkreis hat den
Flächeninhalt A’ = 108·π cm2. Wie gross ist das Streckungsverhältnis?
Aufgabe 26: Zwei ähnliche Dreiecke haben einen Flächeninhalt A = 48 cm2 und A’ = 75 cm2.
Wie gross ist die Seitenlänge c, wenn c’ = 18 cm misst?
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Aufgabe 27: Ein Würfel mit der Seitenlänge s = 8 cm wird um den Faktor 2 gestreckt. Welches
Volumen V hat der Originalwürfel und welches Volumen V’ hat der Bildwürfel? Um welchen
Faktor wurde das Volumen vergrössert?
Satz: Bei der Streckung verändert sich das Volumen eines Körpers. Wird ein Körper um den
Streckfaktor k gestreckt, so wir das Volumen um den Faktor …………. grösser.
Aufgabe 28: Ein Würfel wird um den Faktor 5 gestreckt. Um welchen Faktor vergrössert sich sein
Volumen?
Aufgabe 29: Der Erddurchmesser ist 3.67-mal so gross wie der Durchmesser des Mondes. Wie viel
grösser ist das Volumen der Erde, als das Volumen des Mondes?
Aufgabe 30: Ein grosser ausgewachsener afrikanischer Elefantenbulle hat eine Höhe von 4 m und
wiegt etwa 4'000 kg. Ein Brachiosaurus hat eine Höhe von etwa 10 m und wiegt wesentlich
mehr als ein Elefant.
a) Wie viel hat ein Brachiosaurus wohl gewogen? Um welchen Faktor ist er schwerer als ein
Elefant. Die beiden Tiere sind zwar geometrisch nicht ähnlich, aber für eine Abschätzung
können wir jedoch gut annehmen, dass sie es in etwa sind sind.
b) Ein typischer Knochen eines Elefanten hat einen Durchmesser von 5 cm. Nehmen wir an,
das beim Brachiosaurus auch die Knochen um denselben Faktor gestreckt sind. Um welchen Faktor haben sie die grössere Querschnittsfläche, als die Knochen des Elefanten?
c) Die Belastung eines Knochens können wir abschätzen indem wir berechnen wieviel
Kilogramm auf einem Knochenquerschnitt von einem Quadratzentimeter lastet. Wie viel
stärker ist der Knochen des Sauriers also belastet?
Aufgabe 31: Eine Ameise ist sehr klein. Im Vergleich zu ihrer Körpergrösse kann sie sehr grosse
Objekte tragen. Kannst du erklären weshalb?
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4. Strahlensätze
Aufgabe 32: Diese Figuren kennst du bereits. Zeichen noch einmal die Strahlen und das Bild ein.
Schattenprojektion
Lochkamera
A
A
B
B
a) In beiden Figuren kannst du zwei ähnliche Dreiecke finden. Zeichne sie mit Farbe ein.
b) Zeichne das Streckzentrum S ein.
c) Beschrifte die Bildpunkte A’ und B’.
d) Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke lassen sich in dieser Figur einige Verhältnisse finden,
die gleich bleiben. Suche einige.
Aufgabe 33: In den Figuren sind zwei sich schneidende Geraden (Strahlen) gezeichnet. Die beiden
Strahlen werden von zwei Parallelen geschnitten.
A'
B'
A
S
B
A
S
A'
B'
B
a) Auch hier findest Du je zwei ähnliche Dreiecke. Zeichne sie ein!
b) Formuliere auch hier einige Verhältnisgleichungen. Es ist eine Hilfe bereist vorgegeben.
Bei den gefundenen Verhältnisgleichungen handelt es sich um die Strahlensätze:
SA ' ........ ........
=
=
SA ........ ........
AA ' ........
=
SA ........
Bemerkung: Die Strahlensätze sind von grosser historischer Bedeutung. Ich empfehle jedoch beim
Lösen von Problem, immer an eine Streckung von Dreieck zu denken. So ist es wesentlich
einfach sich an die Verhältnisgleichungen zu erinnern, da einfach der Streckfaktor für alle
Strecken gleich ist.
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Aufgabe 34: Berechne die gefragten Strecken!
a) SA = 8.4cm, SB = 12.0 cm
SC 14.0 cm, SD = ?
b) SA = 7.5cm, SD = 13.6cm
CD = 5.1 cm, AB = ?
c) SB = 14cm, SD = 13 cm
CD = 5.2 cm, AB = ?
Aufgabe 35: Berechne die in der Tabelle
fehlenden Streckenlängen.
x
a
b
a)
4.5 cm
b)
6 cm
c
d
x
3 cm
2 cm
3 cm
1.6 cm
5 cm
c)
4.1 cm
6.8cm
d)
5.2cm
2.8cm
e)
2 cm
f)
1.5 z
7
3
3
2
cm
y
5.1 cm
z
6
5
2.5 z
7 cm
6.4 cm
4.2cm
cm
y
8.1 cm
cm
1 cm
Aufgabe 36: Berechne die in der Tabelle fehlenden Streckenlängen.
a)
a
b
5.0 cm
4.0 cm
b)
c)
3.0 cm
d)
1.7 cm
e)
2.0 cm
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c
6.0 cm
3.6 cm
9.2 cm
9.0 cm
4.0 cm
3.0 cm
2.0 cm
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d
6.9cm
2.7cm
8.0 cm
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Aufgabe 37: Berechne die gefragten Grössen!
a) a = 7 cm, b = 3 cm,
c = 5.6 cm, d = ?
b) a + b = 9 cm, c = 6 cm,
d = 1.5 cm, a = ?, b = ?
c) b ist 60 % von a
c = 8 cm, d = ?
Aufgabe 38: Berechne die Längen der unbekannten Strecken. Alle Masse in cm.
a)
b) u + v = 4 cm
Aufgabe 39: Umkehrung des Strahlensatzes:
a) Zwei der Geraden f, g und h sind parallel.
Welche? (Bem: Die Zeichnung dient nur
als Skizze der Situation.)
b) Ändere bei 1.2 und 3.2 die Stelle nach
dem Komma so ab, dass alle drei
Geraden parallel sind.
Aufgabe 40: x = ?
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Aufgabe 41: A = ?
Aufgabe 42: a = ?, b = ?
Aufgabe 43: Beim Rechteck ABCD ist AB = 10 cm,
BC = 4 cm und BE = 1.5 cm. Berechne die Längen
von EF, CF und DG auf zwei Kommastellen genau.
Aufgabe 44: Wie gross ist der Flächeninhalt des Trapezes?
Aufgabe 45: Wie gross ist der Umkreisradius des
Dreiecks?
Aufgabe 46: Wie gross ist der Flächeninhalt
des schraffierten Trapezes?
Kreisradius r = 22.5 cm
AC = 36 cm, AP = PQ = QR
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5. Ähnlichkeitsabbildungen
Pro memoria: Bei der Translation, der Achsenspieglung, der Rotation und der Punktspieglung
und ihren Verkettungen ändert sich ……………………………… und
……………………………… einer Figur nicht. Diese Abbildungen heissen
…………………………………………. . Figuren, die durch eine solche Abbildung in
eine deckungsgleiche übergeführt werden können heissen ………………………… .
Definition: Figuren, die durch eine Verkettung …………………………………………. und
…………………………………………. in deckungsgleiche Figuren übergeführt werden
können, heissen ähnlich. Diese Abbildungen heissen Ähnlichkeitsabbildungen.
Aufgabe 47: Zeichen ein Mengendiagramm, indem du die Menge aller Abbildungen, der
Ähnlichkeits- und der Kongruenzabbildungen darstellst.
Aufgabe 48: Beantworte die folgenden Fragen.
a) Sind alle Quadrate zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich?
b) Sind alle Rechtecke zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich?
c) Sind zwei Kreise mit Radius r = 5.0 cm zueinander kongruent, sind sie ähnlich?
d) Sind alle Kreise zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich?
e) Sind alle Dreiecke zueinander kongruent, sind sie zueinander ähnlich?
f) Sind alle gleichseitigen Dreiecke zueinander kongruent, sind sie ähnlich?
g) Sind alle gleichseitigen Dreiecke mit der Seitenlänge s = 4.5 cm zueinander kongruent,
sind sie zueinander ähnlich?
h) Sind alle regelmässigen 7-Ecke zueinander kongruent, sind sie ähnlich?
Aufgabe 49: Stimmen diese Aussagen? Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie
a) in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS).
b) in zwei Seiten und im eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS).
c) in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW).
d) in zwei Seiten und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Innenwinkel (SsW).
e) in allen drei Winkeln übereinstimmen (WWW).
Aufgabe 50: Stimmen diese Behauptungen? Wenn zwei
a) Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, sind sie ähnlich.
b) Dreiecke in den Verhältnissen ihrer Seitenlängen übereinstimmen, sind sie ähnlich.
c) Vierecke in allen Winkeln übereinstimmen, sind sie ähnlich.
d) Vierecke in den Verhältnissen der Seitenlängen übereinstimmen, sind sie ähnlich.
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6. „Schnellrechnen“
Aufgabe 51: Diese Fragen solltest du schnell aus dem Kopf ohne Rechnen beantworten können.
Bei einem Quader werden Länge und Breite
verdoppelt. Wievielmal grösser ist das neue
Volumen?
Das Volumen ist viermal grösser.
Bei einem Quader wird die Breite verfünffacht.
Wievielmal grösser ist das neue Volumen?
Auf einem Plan im Massstab 3 : 1 misst
eine Strecke 30 cm. Wie gross ist sie in
Wirklichkeit?
Eine Karte ist im Massstab 1 : 250'000
gezeichnet. Wie viel misst eine 50 km lange
Strecke auf dieser Karte?
Auf der Karte im Massstab 1 : 50 ist eine
Fläche gezeichnet. Wievielmal grösser ist die
Fläche in Wirklichkeit?
Ein Objekt wird im Massstab 1: 20
nachgebaut. Wievielmal kleiner ist das
Volumen des Modells?
Die Seitenlängen eines Würfels werden
verdoppelt. Wievielmal grösser ist das neue
Volumen?
Bei einem Würfel werden die Seitenlängen
verdreifacht. Wievielmal grösser ist die neue
Länge der Raumdiagonalen?
Bei einem Quader werden die Länge, die
Breite und die Höhe verdoppelt. Wievielmal
grösser ist das neue Volumen?
Bei einem Zylinder wird der Radius der
Grundfläche verdreifacht. Wievielmal grösser
ist das neue Volumen?
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