Algebra 2, SS 2016, Blatt 3

Algebra 2, SS 2016, Blatt 5
1. Betrachte die KE Q ⊂ R und x =
(x2 − x + 5)−1 = P (x) ∈ R.
√
4
2 ∈ R. Finde ein Polynom P ∈ Q[X], sodass
2. Sei Q ⊆ S die Ringerweiterung mit S = Q[X]/⟨f ⟩, f = X 3 + 3. Gib alle Nullteiler
von S in ihrer Standardgestalt an.
3. Sei K ein Körper, K ⊆ S eine Ringerweiterung, x ∈ S algebraisch über K vom
Grad n ≥ 1. Sei y ∈ K[x].
a) Zeige: y ist algebraisch vom Grad m ≤ n.
b) Sei m minimal mit der Eigenschaft y m ∈ K ⟨1, y, . . . , y m−1 ⟩. Warum existiert m?
c) Beschreibe ein Verfahren, mit Hilfe von b) das Minimalpolynom fy ∈ K[X] von
y zu finden. (Benütze: (1, x, . . . , xn−1 ) ist K-Basis von L).
√
4. Sei K = Q, S = R und x = 3 2. Finde mit Hilfe der Methode von Aufgabe 2 das
Minimalpolynom von y = x2 − x + 3 über K.
5. Sei f ∈ K[X] irreduzibel.
a) Zeige: K = C ⇒ grf = 1 (benütze den Fundamentalsatz der Algebra).
b) Zeige: K = R ⇒ grf ∈ {1, 2}.
6. Sei f = X 3 + aX − b ∈ Q[X] irreduzibel. Um eine Nullstelle von f in C zu finden,
muss man nach Cardano (1545) zwei komplexe Zahlen x, y finden, sodass
x3 − y 3 = b und xy = a/3. (∗)
a) Zeige: Dann ist x − y eine Nullstelle von f .
b) Benütze (∗), um eine Formel für x − y anzugeben.
Algebra 2, SS 2016, Blatt 4
1. Für die multiplikativen Gruppen
a) (Z/63)× , b) (Z/8)× , c) (Z/56)×
mache man dasselbe wie in Aufgabe 6, Blatt 3.
2. Löse das lineare Gleichungssystem Ax = b über dem Ring Q[X] vollständig, wobei




0
5X
3X
11X
A =  2 − X 4 + 3X 2 + 2X  , b =  6 + 8X  .
3 − X 2 6 + 3X 2 3 + 2X 2
9 + 8X 2
3. Wie in Aufgabe 3, Blatt 3, sei UZ das Gitter U ∩ Zn für einen R-Untervektorraum
U von Rn . Finde n und U so, dass dimR U=3 und rg UZ = 1.
4. Sei U = R ⟨(3, 1, 1, 1, 14/3), (2, 2/3, 1, 1, 11/3), (−1, −1/3, 2, 1, 5/3)⟩ ≤R R5 . Finde
eine Z-Basis von UZ .
5. Sei R ein euklidischer Ring und M ein R-Modul.
M heißt torsionsfrei :⇔ Mtor = {0}. Zeige:
a) M frei ⇒ M torsionsfrei.
b) M endlich erzeugt und torsionsfrei ⇒ M frei.
c) Sei R = Z und M = Q. Dann ist M als Z-Modul torsionsfrei, aber nicht frei.
6. Beweise die Irreduzibilität von
a) f = X 6 − X 5 + 3X 4 − X + 1 ∈ Q[X]
b) g = X 7 − 3X + 1 ∈ Q[X]
Algebra 2, SS 2016, Blatt 3
1. Finde alle ganzzahligen Lösungen des linearen Gleichungssystems
x + 2y + 3z = −1, x + 4y + 5z = 1.
2. Finde alle ganzzahligen Lösungen von Ax = b für




3
1 −1 3
3
2
3 2  , b =  17  .
A= 1
−1 −2
3 4
19
3. Sei M = v + U ⊆ Rn ein aﬃner Raum mit parallelem Unterraum U ≤R Rn und
MZ := M ∩ Zn . Ist MZ ̸= ∅, so heißt MZ ein (aﬃnes) Gitter. Zeige:
a) MZ ̸= ∅ ⇒ MZ = w + UZ für jedes w ∈ MZ .
b) UZ ist Z-Untermodul eines freien Z-Moduls W mit rgZ W = dimR U . Dazu
wandelt man zuerst eine R-Basis (u1 , . . . , um ) in eine günstigere R-Basis von U um,
indem man die uj als Zeilen einer Matrix A auﬀaßt und A auf Zeilenstufenform
bringt, wobei alle Pivotelemente = 1 sind und der Rest der Pivotspalte aus Nullen
besteht.
c) Finde ein M so, daß v ̸∈ Qn , v ̸∈ U und MZ ̸= ∅.
d) Finde ein M mit dimR M = 1 und rg UZ = 0.
4. Finde alle ganzzahligen Lösungen von Ax = b für




1
0
29
22
44
 −18 −14 −168 −98 


 , b =  −298 
A=
 43
 356 
48
191
82 
16
18
50
10
110
5. Finde eine Z-Basis von U = Z ⟨(2, 3, 4), (1, 1, −1), (4, 0, 8), (4, 3, 2)⟩ ≤Z Z3 und finde
c1 , . . . , ck ∈ N, c1 | c2 | . . . | ck , c1 > 1, sodass Z3 /U ∼
= Z/c1 × . . . × Z/ck × Zl .
6. Finde c1 , . . . , ck ∈ N, c1 | c2 | . . . | ck , c1 > 1, sodass die abelsche Gruppe M ∼
=
Z/c1 × . . . × Z/ck . Stelle ferner M in der Form
M∼
= Z/pe11 × . . . × Z/perr ,
pi prim, ei ≥ 1, dar.
a) M = Z/9 × Z/21, b) M = Z/5 × Z/9 × Z/15 × Z/20,
Algebra 2, SS 2016, Blatt 2
1. Berechne (über R = Z) die Smith-Normalform (vgl. Satz 1, §2) von


52 33 13
A =  34 22 10  .
12 8 4
2. Berechne (über R = Q[X]) die Smith-Normalform von


X +1
1
2X
0 X +3
0 .
A=
0
0 X +3
3. Berechne (über dem euklidischen Ring R = Z + Zi, vgl. PS Algebra 1) die SmithNormalform von


2 + 10i
3 + 9i −15 + 5i
6 + 6i −10 + 10i  .
A =  6 + 7i
−1 − 3i −1 − 3i
6 − 3i
4. Finde Matrizen P, Q ∈ GL3 (Z) sodaß P AQ Smith-Normalform hat für


0
2 −4
2
8 .
A= 6
−3 −2 −2
5. Sei R ein euklidischer Ring. Zeige: Die Gruppe GLn (R) wird von den Elementarmatrizen erzeugt.
Algebra 2, SS 2016, Blatt 1
1. Sei R ein komm. Ring. Ein Ideal P in R, P ̸= R, heißt Primideal :⇔ Für alle
a, b ∈ R gilt: ab ∈ P ⇒ a ∈ P oder b ∈ P .
Ein Ideal M ̸= R heißt maximales Ideal :⇔ Für jedes Ideal I ⊇ M gilt I = M
oder I = R. Zeige:
a) P ist ein Primdeal ⇔ R/P ist ein Integritätsbereich.
b) M ist ein maximales Ideal ⇔ R/M ist ein Körper.
c) Jedes maximale Ideal ist ein Primideal.
d) Sei R ein IB und p ∈ R r {0}. Zeige: p Primelement in R ⇔ Rp Primideal in
R.
2. Zeige:
a) In einem Hauptidealring ist jedes Primideal ̸= 0 auch ein maximales Ideal.
b) Im Ring Z[X] gibt es ein Primideal ̸= 0, das nicht maximal ist.
3. Seien a, b ∈ N, ferner q0 , . . . , qn die Quotientenfolge im euklidischen Algorithmus
für a, b, also a = q0 b + r1 , b = q1 r1 + r2 usw. mit b > r1 > r2 > . . . > 0.
Wie in der VL Alg. 1 sei der erweiterte euklidische Algorithmus mit Hilfe der Folge
s−1 = 1, s0 = q0 , t−1 = 0, t0 = 1 und
si = qi si−1 + si−2 , ti = qi ti−1 + ti−2 , i = 1, . . . , n,
definiert. Benütze (ohne Beweis): tn ≤ b. Zeige:
a) ti ≥ ti−1 für alle i = 1, . . . , n;
b) ti ≥ 2ti−2 für alle i = 2, . . . , n;
c) b ≥ 2⌊n/2⌋ (größtes Ganzes);
d) n ≤ 2 log b/ log 2 + 1, insbesondere für hinreichend große b: n ≤ 3 log b.
4. Sei GLn (Z) = {A ∈ Zn×n ; det A = ±1} (vgl. Vorlesung).
Verwende (ohne Beweis): GLn (Z) wird von Elementarmatrizen erzeugt. Erstelle
damit ein möglichst kleines (insbes. endliches) EZS von GL2 (Z) und GL3 (Z).
5. Sei R ein kommutativer Ring und φ : Z → R der durch k 7→ k · 1R gegebene
Ringhomomorphismus. Dann hat der Kern von φ die Form Ke(φ) = Zn für n ∈ N0 .
Man nennt n die Charakteristik ch(R) von R. Zeige:
a) Ist R ein Integritätsbereich, so ist ch(R) gleich 0 oder eine Primzahl.
b) Ist ch(R) = 0, so ist |R| = ∞.
c) Es gibt unendliche Integritätsbereiche R mit ch(R) ̸= 0.

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