Freiwillige ¨Ubungsbeispiele zu “Lineare Algebra und Geometrie 2”

Freiwillige Übungsbeispiele zu
“Lineare Algebra und Geometrie 2”
Andreas Čap
Wintersemester 2015/16
Kapitel 10: Normalformen


−3 1 −1
(1) Sei f : R3 → R3 die lineare Abbildung x 7→ Ax für A = −7 5 −1. Finde eine
−6 6 −2
3
Basis B für R , sodass [f ]B ein obere Dreiecksmatrix ist.
Anleitung: Bestimme zu jedem der Eigenwerte einen Eigenvektor und erweitere diese
zu einer Basis von R3 .
(2) Sei V ein n–dimensionaler C–Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung, die
f k = 0 für ein k ∈ N erfüllt. Zeige, dass es eine Basis B für V gibt, sodass [f ]B eine
obere Dreiecksmatrix mit lauter Nullen auf der Hauptdiagonale ist. Zeige damit, dass
f n = 0 gilt und dass das charakteristische Polynom pf = (−1)n xn gilt.
Anleitung: Wähle eine Matrixdarstellung als obere Dreiecksmatrix und überlege dann,
wie die Hauptdiagonalelemente aussehen können.
(3) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum, und sei π : V → V eine Projektion,
d.h. eine lineare Abbildung, sodass π ◦ π = π gilt. Zeige, dass V = Ker(π) ⊕ Im(π) eine
Zerlegung in π–invariante Teilräume ist. Benutze das, um eine einfache Matrixdarstellung von π zu konstruieren und beweise damit, dass pπ = (−1)n xn−k (x−1)k gilt, wobei
k der Rang von π ist.
(4) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum, π : V → V eine Projektion und f :
V → V eine beliebige lineare Abbildung. Zeige, dass die linearen Abbildungen f ◦ π
und π ◦ f das gleiche charakteristische Polynom haben.
Anleitung: Benutze eine Basis B wie im vorigen Beispiel und rechne mit Blockmatrizen.
(5) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektroraum und σ : V → V eine lineare Abbildung,
die σ 2 = σ ◦ σ = idV erfüllt. Zeige, dass V = V + ⊕ V − gilt, wobei V ± := {v ∈ V :
σ(v) = ±v}. Bestimme daraus pσ .
Anleitung: Betrachte π := 21 (idV −σ).
(6) Sei V ein endlichdimensionaler C–Vektorraum, f : V → V eine lineare Abbildung,
p ∈ C[x] ein Polynom und µ ein Eigenwert von p(f ). Zeige, dass es einen Eigenwert λ
von f gibt, der p(λ) = µ erfüllt.
Anleitung: Wähle eine Basis B für V , sodass [f ]B eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann
überlege wie Polynome auf obere Dreiecksmatrizen wirken.
1
2
Übungsbeispiele zu “Lineare Algebra und Geometrie 2”, A. Čap, WS 15/16
(7) Zeige, dass der Durchschnitt über eine beliebige Familie von Idealen von K[x] wieder
ein Ideal ist. Für p, q ∈ K[x] wende den Hauptidealsatz auf (pK[x]) ∩ (qK[x]) an und
zeige, dass der Erzeuger dieses Ideals genau das kleinste gemeinsame Vielfache von p
und q ist.
(8) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement und sei I ⊂ R ein Ideal. Bilde die
Menge R/I aller Nebenklassen von Elementen von R bezüglich der Untergruppe I
von (R, +). Zeige, dass (r + I) · (s + I) := rs + I eine wohldefinierte Multiplikation
auf R/I induziert, die R/I zu einem kommutativen Ring mit Einselement macht.
(9) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Ein Ideal I ⊂ R heißt ein Primideal,
wenn für Elemente r, s ∈ R, sodass rs ∈ I gilt, entweder r ∈ I oder s ∈ I gelten muss.
(a) Zeige, dass für ein Primideal I ⊂ R der Ring R/I keine Nullteiler besitzt, also
aus (r + I)(s + I) = 0 + I schon r + I = 0 + I oder s + I = 0 + I folgt.
(b) Zeige, dass für eine Körper K und ein irreduzibles Polynom p ∈ K[x] das Ideal
pK[x] ⊂ K[x] ein Primideal ist.
(10) In der Situation von Teil (b) des letzten Beispiels zeige, dass K[x]/pK[x] ein Körper
ist.
Anleitung: Es ist nur die Existenz multiplikativ inverser Elemente zu zeigen. Dazu
bemerke, dass K[x]/pK[x] ein endlichdimensionaler K–Vektorraum ist und studiere
für ein fixes Element r darin die Abbildung s 7→ rs.
(11) Sei A ∈ Mn (K) eine invertierbare Matrix. Zeige, dass es ein Polynom p ∈ K[x]n−1
gibt, sodass p(A) = A−1 gilt.
Anleitung: Benutze den Satz von Cayley–Hamilton, sowie die Tatsache, dass der konstante Koeffizient des charakteristischen Polynoms von A gleich det(A) ist.
(12) Finde zwei Matrizen in M3 (R), die das gleiche Minimalpolynom, aber verschiedene
charakteristische Polynome haben.
(13) Finde zwei Matrizen in M3 (R), die das gleiche charakteristische Polynom, aber verschiedene Minimalpolynome haben.
(14) Finde zwei Matrizen in M4 (R), die das gleiche charakteristische Polynom und das
gleiche Minimalpolynom habe, aber nicht zueinander ähnlich sind.


0 0 1
(15) Zeige, dass das Minimalpolynom der Matrix 1 0 −3 durch (x − 1)3 gegeben ist.
0 1 3
Wie sieht die Jordan’sche Normalform dieser Matrix aus?
(16) Sei f : R4 → R4 eine lineare Abbildung deren Eigenwerte 1 (algebraische Vielfachheit
Eins) und 2 (algebraische Vielfachheit 3) ist. Wie sieht die Jordan’sche Normalform
für eine Matrixdarstellung von f aus, wenn der Eigenwert 2 geometrische Vielfachheit
(a) 1, (b) 2, (c) 3 hat?
(17) Bestimme die möglichen Jordan’schen Normalformen für eine Matrix A ∈ M6 (R),
die 2 als Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 6 besitzt. Erkläre, wie man die
möglichen Formen durch Invarianten von A (Minimalpolynom, Ränge der Potenzen
(A − 2I)k ) unterscheiden kann.
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3


−1 3 −1
(18) Sei f : R3 → R3 die Abbildung f (x) = Ax für A := −3/2 3 −1/2 ∈ M3 (R).
−1 1
1
Berechne das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von f und finde
eine Basis B für R3 sodass [f ]B die Jordan’sche Normalform von A ist.
(19) Sei A := Jn (0) der Jordan–Block der Größe n mit Eigenwert 0 und f : Rn → Rn
die Abbildung f (x) = Ax. Zeige, dass für alle k = 1, . . . , n die Gleichung ker(f k ) =
Im(f n−k ) gilt und bestimme die Dimension dieses Raumes.
(20) Sei A der Jordan–Block J3 (1). Bestimme (möglichst ohne viel explizite Rechnung) die
Jordan’sche Normalformen von A2 und A3 . Kann man das verallgemeinern?
Kapitel 11: Multilineare Algebra
(21) Seien V und W Vektorräume über einem Körper K mit Dualräumen V ∗ und W ∗ und
zu einer linearen Abbildung f : V → W sei f ∗ : W ∗ → V ∗ die duale Abbildung. Zeige,
dass f 7→ f ∗ eine natürliche Abbildung L(V, W ) → L(W ∗ , V ∗ ) definiert (und erkläre
insbesondere, was “natürlich” hier genau bedeutet). Zeige, dass diese Abbildung immer injektiv ist und schließe daraus, dass sie für endlichdimensionale Räume einen
natürlichen Isomorphismus definiert.
(22) Zeige, dass für X = {1, . . . , n} der freie K–Vektorraum FK (X) natürlich isomorph zu
Kn ist.
Anleitung: Definiere eine geeignete Funktion i : X → Kn und zeige, dass die universelle
Eigenschaft erfüllt ist.
(23) Zeige analog zum vorherigen Beispiel, dass man den freien R–Vektorraum FR (N) mit
dem Raum aller endlichen Folgen (an )n∈N in R identifizieren kann. Hier nennt man
eine Folge endlich, wenn es ein N ∈ N gibt, sodass an = 0 für alle n ≥ N gilt.
(24) Sei X eine beliebige Menge, FK (X) der freie Vektorraum und i : X → FK (X) die
zugehörige Funktion. Zeige, dass i injektiv ist und dass die Menge i(X) eine Basis für
FK (X) bildet.
Anleitung: Um zu zeigen, dass i(X) ein Erzeugendensystem ist betrachte den Quotienten FK (X)/hi(X)i und zeige mit Hilfe der universellen Eigenschaft, dass die kanonische
Surjektion auf diesen Quotienten die Nullabbildung ist. Für die lineare Unabhängigkeit konstruiere Lineare Abbildungen FK (X) → K die genau ein Element von i(X)
auf 1 und alle anderen auf 0 abbilden.
(25) Sei V ein komplexer Vektorraum und W ⊂ V ein reeller Teilraum, sodass man jedes
Element von V eindeutig in der Form w1 + iw2 für w1 , w2 ∈ W schreiben kann. Zeige,
dass V (als komplexer Vektorraum) natürlich isomorph zur Komplexifizierung WC ist.
(26) Für zwei Vektorräume V und W über K definiere die direkte Summe V ⊗ W als die
Menge V × W mit den komponentenweisen Operationen und Abbildungen i1 : V →
V ⊕ W und i2 : W → V ⊕ W , die gegeben sind durch i1 (v) = (v, 0) und i2 (w) = (0, w).
Zeige, dass der Vektorraum V ⊕ W folgende universelle Eigenschaft besitzt und durch
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diese bis auf natürliche Isomorphie eindeutig festgelegt ist: Ist Z ein beliebiger K–
Vektorraum und sind f : V → Z und g : W → Z lineare Abbildungen, dann gibt
es eine eindeutige lineare Abbildung (f, g) : V ⊕ W → Z, sodass (f, g) ◦ i1 = f und
(f, g) ◦ i2 = g gilt.
(27) Zeige, dass für K–Vektorräume V , W1 und W2 der Raum V ⊗ (W1 ⊕ W2 ) natürlich
isomorph zu (V ⊗ W1 ) ⊕ (V ⊗ W2 ) ist.
(28) Wie könnte ein Analogon der direkten Summe aus Beispiel 26 für beliebig (auch
unendlich) viele Summanden aussehen?
(29) Für zwei K–Vektorräume V und W betrachte das Produkt V ×W mit den komponentenweisen Operationen und die Projektionen p1 : V × W → V und p2 : V × W → W .
Zeige, dass der Vektorraum V × W folgende universelle Eigenschaft besitzt und durch
diese bis auf natürliche Isomorphie eindeutig festgelegt ist: Ist Z ein beliebiger K–
Vektorraum und sind f : Z → V , g : Z → W lineare Abbildungen, dann gibt es
eine eindeutige lineare Abbildung (f, g) : Z → V × W , sodass p1 ◦ (f, g) = f und
p2 ◦ (f, g) = g gilt. Wie sieht es hier mit beliebig vielen Faktoren aus?
(30) Seien V und W Vektorräume über K und V ⊗ W ihr Tensorprodukt. Konstruiere eine
natürliche Lineare Abbildung V ⊗W → L(V ∗ , W ). Zeige, dass diese Abbildung immer
injektiv und für endlichdimensionale Räume bijektiv ist.
(31) Seien V und W Vektorräume über K und V ⊗ W ihr Tensorprodukt. Für t ∈ V ⊗ W
sei der Rang von t die kleinste Zahl n, sodass es eine Darstellung der Form t =
P
n
i=1 vi ⊗ wi gibt. Zeige dass dieser Rang genau dem Rang der linearen Abbildung
∗
V → W entspricht, die t nach dem letzten Beispiel zugeordnet wird.

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