LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN UND PRÜFUNGSBEISPIELEN 55 Der Ausdruck in der Wurzel ist entweder nichtnegativ, aber kleiner als (νB B2 + νR R2 )2 , oder er ist negativ. Im ersten Fall sind die Eigenwerte reell mit √ 1 x = (νB B2 + νR R2 ) ± · · · < 0 2 für beide Eigenwerte. Im anderen Fall sind die Eigenwerte konjugiert komplex mit negativem Realteil − 12 (νB B2 + νR R2 ). Jedenfalls haben beide Eigenwerte negativen Realteil, und damit ist das Gleichgewicht (B2 , R2 ) lokal asymptotisch stabil, wenn es überhaupt existiert. Es gilt also für dieses System: Es kann eine Gleichgewichtslage existieren, in der Räuber und Beute nebeneinander überleben. In diesem Fall ist diese Gleichgewichtslage lokal asymptotisch stabil. Wenn ein solches Gleichgewicht nicht existiert, stirbt die Räuberpopulation aus, und die Beutepopulation spielt sich auf ihr eigenes Gleichgewicht ein. Lösungen zu den Übungsaufgaben und Prüfungsbeispielen Lösungen zu Abschnitt 1 1.6.1 (Lösung): Eine Biologin erstellt ein Modell eines Bienenstocks. Geben Sie drei verschiedene Gründe an, die der Modellzweck für dieses Unterfangen sein könnten. Zum Beispiel: • Es soll untersucht werden, wie aus den Verhaltensweisen einer einzelnen Biene das Verhalten eines Bienenschwarms erklärt werden kann. • Es soll eine Strategie gefunden werden, um die Honigausbeute zu maximieren. • Es sollen Möglichkeiten gefunden werden, die Bienen gegen einen Parasiten zu schützen. 1.6.2 (Lösung): Warum soll man den Modellzweck schriftlich festhalten? Damit man sich selbst darüber Klarheit schafft, was man mit dem Modell erreichen will, und auf diesen Entschluss jederzeit zurückkommen kann. Wenn das Modell durch ein Team entwickelt wird, ist die Einigung über den Zweck besonders wichtig. Die ganze Gestaltung des Modells muss auf den Modellzweck ausrichtet sein. 1.6.3 (Lösung): Genau eine der folgenden Aussagen stimmt. Welche? (a) Wenn man den Modellzweck nicht angeben kann, muss man im Gespräch mit dem Modellierungsteam und den AuftraggeberInnen klären, wozu das Modell gebraucht wird. (b) Der Modellzweck wird erst dann sichtbar, wenn die Ergebnisse des Modells vorliegen und interpretiert werden. Antwort (a) ist richtig. 1.6.4 (Lösung): Geben Sie drei Systemteile und drei Vorgänge an, die in AQUATOX modelliert sind. Eine von vielen möglichen Lösungen ist: Systemteile: Sauerstoff, Fische, Wasserpflanzen. Vorgänge: Vermehrung der Fische durch Laichen, Abreissen der Wasserpflanzen durch starke Strömung, Absterben von Fischen infolge Giftwirkung. 1.6.5 (Lösung): Genau eine der folgenden Aussagen stimmt. Welche? 56 INHALTSVERZEICHNIS (a) Zum Unterschied von einer allgemeinen Beschreibung des Systems verlangt man vom Wortmodell, dass es alle Teile und alle Wechselwirkungen des Systems im Detail wiedergibt. (b) Ein Wortmodell ist eine Vereinfachung des Systems, bei der alles weggelassen werden darf, was für den Modellzweck bedeutungslos scheint. Antwort (b) ist richtig. 1.6.6 (Lösung): Beschreiben Sie die Stufen des Modellbildungszyklus. • Modellzweck festlegen • Wortmodell formulieren: Eine Beschreibung der wesentlichen Teile und Wechselwirkungen des Systems. • Mathematische Formulierung des Modells: Abbildung der Teile und Wechselwirkungen durch Größen und Gleichungen. • Programmierung: Übertragung des Modells auf den Computer. • Modelltest: Simulationslauf mit verschiedenen bekannten Felddaten. Funktoniert die Rechnung überhaupt? Passen die Simulationsergebnisse zu den Meßwerten für die Felddaten? • Wenn ja: Das Modell ist bereit zur Anwendung. Wenn nein, korrigieren des Modells. Das kann auf jeder Stufe des Modellierungszyklus geschehen. 1.6.7 (Lösung): Genau eine der folgenden Aussagen stimmt. Welche? (a) Wenn ein Modell mehrmals korrigiert werden muss, bevor es die Messdaten aus dem System richtig wiedergibt, ist das Modellbildungsteam offensichtlich ungeübt. (b) Die meisten Modelle müssen mehrmals korrigiert werden, bis sie die Messdaten einigermassen wiedergeben. Auf dem Weg von Versuch und Irrtum können wichtige Einsichten über das System gewonnen werden. Antwort (b) ist richtig. Lösungen zu Abschnitt 2 2.4.1 (Lösung): Stellen Sie sich vor, Sie entwickeln ein Modell zum Verkehr und seiner Verteilung in Graz. Finden Sie zwei Bestandsgrößen, zwei Flußgrößen und zwei Konzentrationen, die in einem solchen Modell vorkommen könnten. Zum Beispiel: • Bestände: Anzahl der Verkehrsteilnehmerinnen und Verkehrsteilnehmer in der Stadt. Anzahl der geparkten Kraftfahrzeuge zu einem bestimmten Zeitpunkt. • Flüsse: Anzahl der Autos, die täglich durch den Plabutschtunnel von Nord nach Süd fahren. Anzahl der Personen, die täglich auf dem Hauptbahnhof mit dem Zug ankommen. • Konzentrationen: Durchschnittliche Anzahl der Insassen in einem fahrenden Personenkraftwagen. Fläche aller Parkplätze bezogen auf die gesamte öffentliche Verkehrsfläche. 2.4.2 (Lösung): Die Anzahl der Karpfen, die im Jahr aus dem Silberteich abgefischt werden, ist eine (a) Bestandsgröße. (b) Flussgröße. Antwort (b) ist richtig. 2.4.3 (Lösung): Der Magnesiumbedarf einer bestimmten Person liege bei 450 mg täglich. Genau eine der folgenden Aussagen stimmt. Welche? LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN UND PRÜFUNGSBEISPIELEN 57 (a) Die Person isst heute eine 150 g schwere Forelle. Der durchschnittliche Magnesiumgehalt einer Forelle beträgt ca 30 mg Magnesium pro 100 Gramm Fisch. Diese Portion Fisch deckt 150 × 0,3/450 = 0,1= 10% des heutigen Magnesiumbedarfs der Person.6 (b) Die Person trinkt täglich im Durchschnitt 1,6 Liter von einem bestimmten Mineralwasser. Damit diese Portion die Hälfte des Magnesiumbedarfs gedeckt wird, muss ein Liter des Mineralwassers 450 × 1,6/2=360 mg enthalten. (a) ist richtig. Die Formel in (b) müsste heissen: 450/(2 × 1,6). Man kann sich leicht überlegen, ob die 1,6 Liter pro Tag in den Zähler oder den Nenner gehören: Je mehr eine Person trinkt, desto schwächer kann die Mg-Konzentration des Wassers sein, um den halben Bedarf zu decken. Also in den Nenner! 2.4.4 (Lösung): Ein Fotograf vergrößert aus künstlerischen Gründen noch Bilder nach der herkömmlichen chemischen Methode auf hochwertiges Fotopapier. Weil die Bilder nach dem Entwickeln längere Zeit in fließendem Wasser gewässert werden müssen, hat er einen Wassercontainer, in den er die entwickelten Bilder hängt. Durch einen Schlauch wird Warmwasser eingeleitet. Der Container hat auch einen Ablaufschlauch, in den das Wasser bei Überlauf abfließt, sodass im Container immer 8 Liter Wasser verbleiben. Der Zufluss ist so eingestellt, dass in 5 Minuten der gesamte Wasserinhalt des Containers ausgetauscht ist. Die Wassertemperatur im Container sollte ungefähr 30 ◦ betragen. Die Lufttemperatur im Labor beträgt 20◦ , und für jedes Grad Temperaturunterschied zwischen Wasser und Luft fließen pro Minute durch die Containerwand 320 Joule Wärme ab. Wenn ein Liter Wasser sich um ein Grad abkühlt, gibt es an die Umgebung circa 4000 Joule Wärme ab. Auf welche Temperatur sollte der Fotograf das zufließende Wasser einstellen? Tipp: Benennen Sie zuerst die unbekannte Zuflusstemperatur, z.B. mit T . Überlegen Sie, wieviel Wärme im Container pro Minute durch den Temperaturunterschied zwischen Zufluss und Abfluss gewonnen wird, und wieviel Wärme pro Minute durch die Containerwand verloren geht. • Wir benennen die Temperatur des zufließenden Wassers, die wir bestimmen sollen, mit T . • Der Wasserzufluss und der Wasserabfluss durch die beiden Schläuche beträgt jeweils 8/5=1,6 Liter/Minute. • Das Wasser im Container, und damit auch im Ablauf hat eine Temperatur von 30◦ . Es wird ersetzt mit Wasser aus dem Zufluss mit einer Temperatur von T . Auf jeden Liter Wasser, der durchfließt, kommt daher ein Wärmegewinn von (T − 30).4000 Joule. Da in der Minute 1,6 Liter durchfließen, ergibt das einen Wärmegewinn von (T − 30).6400 Joule pro Minute. • Der Temperaturunterschied zwischen Containerwasser und Luft beträgt 10◦ . Daher fließen jede Minute durch die Containerwand 10 × 320 = 3200 Joule ab. • Wenn die Wärme im Container konstant sein soll, müssen der Wärmezufluss und der Wärmeabfluss sich im Gleichgewicht halten: 3200 4000(T − 30) = 3200 , also T = 30 + = 30.5◦ . 6400 2.4.5 (Lösung): Ist die folgende Rechnung richtig? Wir mischen eine Flasche Rotwein 0,75 l) mit einer Alkoholkonzentration von 12 Volumsprozent, ein Glas (0,125 l) mit 60prozentigem Orangenlikör, und 1 Päckchen Orangensaft (1 l), der natürlich keinen Alkohol enthält. Damit haben wir 3 Komponenten mit Konzentrationen von 0.12 + 0.60 + 0 = 0.72. Durch drei dividiert gibt das die Alkoholkonzentration des Gemisches: 0.72/3 = 0.24 = 24%. 6 Bei solchen Aufgaben müssen Sie nicht überprüfen, ob die Rechnung am Ende den richtigen Zahlenwert ergibt, zum Beispiel, ob 150 × 0,3/450 wirklich 0,1 ergibt. Wenn eine Antwort fehlerhaft ist, liegt es am falschen Ansatz. 58 INHALTSVERZEICHNIS (a) richtig (b) falsch Falsch! Das sagt schon die Anschauung, dass das Gemisch durch das eine Glas Likör nicht so stark werden kann. Die richtige Lösung in Tabellenform: Getränk Menge Konzentration enthaltener Alkohol Wein 0,75 l 0,12 0, 12 × 0, 75 = 0, 09 l Likör 0,125 l 0,6 0, 125 × 0, 6 = 0, 075 l Saft 1l 0 0 gesamt 1,875 l 0,165 l Daher ist die Konzentration des Mischgetränkes 0,165/1,875=0,088=8,8%. 2.4.6 (Lösung): Genau eine der folgenden Aussagen stimmt. Welche? (a) Wenn ein System im Gleichgewicht ist, fließt nichts mehr ins System hinein und nichts mehr heraus. (b) Wenn ein System im Gleichgewicht ist, fließt pro Zeiteinheit von jeder Spezies soviel ins System wie hinausfließt. Antwort (b) ist richtig. Lösungen zu Abschnitt 3 3.6.1 (Lösung): Im SI-Einheitensystem wird Masse in Kilogramm (kg), Länge in Meter (m) und Beschleunigung in Meter pro Sekunden2 (m/s2 ) angegeben. Es gelten die bekannten Naturgesetze: Kraft = Masse × Beschleunigung (Newtons Gesetz), Arbeit = Kraft×Weg, Leistung = geleistete Arbeit pro Zeit. Die Einheit der Leistung im SI-System ist (a) kg s2 /m 2 (b) kg m2 / s3 Antwort (b) ist richtig. Denn Einheit der Kraft: kg × m/s2 = kg m/s 2 , Einheit der Arbeit: kg m/s2 × m = kg m2 /s 2 , Einheit der Leistung: (kg m2 / s2 ) / s = kg m2 /s 3 . 3.6.2 (Lösung): Im Körper (des Menschen oder eines Tieres) gibt es drei große Wasserreservoirs: Das Blutplasma, das Zellinnere, und das Interstitium (das ist der Raum außerhalb der Zellen und außerhalb der Blutbahn). Wir nehmen an, dass sich ein Stoff XXX nur zwischen Blutbahn und Interstitium bewegen kann, in das Zellinnere kann er nicht vordringen. Ein dynamisches zeitdiskretes Modell über den Konzentrationsverlauf von XXX in Blut und Interstitium soll erstellt werden. Es sei Symbol t h cI (t) cB (t) fB→I (t) Einheit min min mol/l mol/l mol/min Bedeutung Zeit Zeitschritt Konzentration von XXX im Interstitium zur Zeit t Konzentration von XXX im Blutplasma zur Zeit t Fluss von XXX vom Blutplasma ins Interstitium zur Zeit t (Falls fB→I (t) < 0, strömt XXX aus dem Interstitium in die Blutbahn zurück.) Wir nehmen an, dass der Fluss von XXX durch den Konzentrationsunterschied gesteuert wird, so dass XXX vom Kompartment mit der höheren Konzentration zum Kompartment mit der niedrigeren Konzentration fließt: ( ) fB→I (t) = k cB (t) − cI (t) . LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN UND PRÜFUNGSBEISPIELEN 59 (a) Welche Einheit muss k haben? (b) Wir erstellen versuchsweise ein erstes Modell: ( ) cI (t + h) = cI (t) + k cB (t) − cI (t) . Überprüfen Sie, ob dieses Modell von den Einheiten her stimmen kann. (c) Was haben wir bei der Modellierung vernachlässigt? Brauchen wir noch zusätzliche Größen? (a) Der Konzentrationsunterschied hat, wie die Konzentrationen selbst, die Einheit mol/l. Wenn er mit k multipliziert wird, ergibt sich fB→I mit der Einheit mol/min. Daher hat k die Einheit (mol/min)/(mol/l)=l/min. (b) Auf der rechten Seite der Gleichung wird eine Konzentration cI mit der Einheit mol/l zu einem Fluss mit der Einheit (l/min).(mol/l)=mol/min addiert. Es können aber nur Größen mit derselben Einheit addiert werden! Also muss an der Gleichung etwas falsch sein. (c) Erstens haben wir den Zeitschritt vergessen: Bestandsänderung ist Fluss×Zeitschritt . Zweitens sagt uns fB→I , wieviel mol XXX pro Minute ins Interstitium übertreten. Die Konzentration sagt aber nicht, wieviel mol im Interstitium sind, sondern wieviel mol auf eine Volumseinheit des Interstitiums kommen. Wir müssen also die übertretende Stoffmenge auf das Volumen des Interstitiums aufteilen. Die richtige Gleichung lautet: cI (t + h) = cI (t) + ) h ( k cB (t) − cI (t) . VI Dabei ist VI (in Litern) das Wasservolumen des Interstitiums. Wir kontrollieren noch, ob die Einheiten jetzt passen: Die Einheit von k(cB − cA ) wissen wir schon, sie ist mol/min. Für (h/VI )k(cB − cA ) ergibt sich also die Einheit (min/l).(mol/min)=mol/l. Das ist die Einheit einer Konzentration und passt in die Gleichung. 3.6.3 (Lösung): Das Massenwirkungsgesetz in der Chemie sagt: Wenn sich je ein Molekül A mit je einem Molekül B zu einem Molekül C verbinden können, und die Verbindung C wieder in die beiden Teile A und B zerfallen kann, so gilt für die Konzentrationen cA , cB , cC der drei Stoffe cA · cB = k c C mit einer geeigneten Konstanten k. Ist das eine statische oder dynamische Betrachtungsweise? (a) Statisch. (b) Dynamisch Antwort (a) ist richtig. 3.6.4 (Lösung): Ein See hat zwei Zuflüsse und einen Abfluss. Ein Teil des Seewassers verdunstet. In das Wasser der Zuflüsse sickert ein Pflanzenschutzmittel PSM, das in der umliegenden Landwirtschaft eingesetzt wird. PSM ist biologisch nicht abbaubar. Die Wasserführung der Zuflüsse und des Abflusses und das Wasservolumen im See sind konstant. Die Konzentration von PSM in den Zuflüssen (und damit auch im See) kann sich mit der Zeit ändern. Erstellen Sie ein dynamisches Modell mit diskreter Zeit, das den Bestand an PSM (siehe Beispiel 2.1.1) vorhersagt. Verwenden Sie dabei folgende Größen: 60 INHALTSVERZEICHNIS Symbol t h V fz1 , fz2 fa cx (t) cx1 (t), cx2 (t) fxz (t) fxa (t) Einheit d d m3 m3 /d m3 /d g/m3 g/m3 g/d g/d Bedeutung Zeit Zeitschritt Wasservolumen des Sees Wasserführung der Zuflüsse Wasserführung des Abflusses Konzentration von PSM im Seewasser Konzentration von PSM in den Zuflüssen Zufuhr von PSM durch die Zuflüsse pro Tag Abtransport von PSM durch den Abfluss pro Tag Wir führen die Mengenbilanz über die Menge des im See vorhandenen PSM zur Zeit t, diese ist V cx (t). Zufluss 1 führt pro Tag fz1 Kubikmeter Wasser, jeder Kubikmeter enthält cx1 (t) Gramm PSM. Daher bringt Zufluss 1 täglich fz1 cx1 (t) Gramm PSM. Ebenso bringt Zufluss 2 täglich fz2 cx2 (t) Gramm PSM. Die Gesamtzufuhr von PSM am Tag durch die Zuflüsse ist daher fxz (t) = fz1 cx1 (t) + fz2 cx2 (t) . Das Wasser im Abfluss ist das Wasser des Sees, die Konzentration des PSM darin muss also cx (t) sein. Damit trägt der Abfluss am Tag fxa (t) = fa cx (t) Gramm des Pflanzenschutzmittels davon. Die dynamische Mengenbilanz mit Zeitschritt h ist also ( ) V cx (t + h) = V cx (t) + h fxz (t) − fxa (t) , d.h. ) h ( cx (t + h) = cx (t) + fz1 cx1 (t) + fz2 cx2 (t) − fa cx (t) . V 3.6.5 (Lösung): Wir untersuchen ein einfaches Populationsmodell: t P (t) β µ0 µinc Zeit Population zur Zeit t Fertilität Mortalität für ganz kleine Populationen Zuwachs der Mortalität pro Individuum ( ) P (t + h) = P (t) + h βP (t) − (µ0 + µ1 P (t))P (t) . Wenn Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogram (Excel, Open Office) umgehen können: Programmieren Sie dieses Modell für die Parameter P (0) = 40 , β = 5 , µ0 = 4 , µinc = 0, 01 , h = 0, 5 und für 50 Zeitschritte (also bis t = 25). Programmieren Sie so, dass Sie die Parameter nachträglich leicht ändern können. Zeichnen Sie eine Kurve für P (t). Versuchen Sie dann die folgenden Änderungen: • Versuchen Sie verschiedene Werte für P (0) zwischen 0 und 150. Was beobachten Sie? • Setzen Sie P (0) auf 40 zurück und versuchen Sie verschiedene Werte von h, z.B. h = 0, 8, 1, 0, 1, 5, 2, 3, 4 . Was geschieht? Ein Lösungsprogramm befindet sich auf meiner Homepage (logist.xlsx) Änderungen des Anfangswertes: Unabhängig vom Anfangswert strebt die Population immer dem Gleichgewicht P = 100 zu. Wir sagen, dieses Gleichgewicht ist stabil. Änderungen der Schrittweite: LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN UND PRÜFUNGSBEISPIELEN 61 • h = 0, 8. Die Lösungskurve sieht unverändert aus. Beachten Sie aber, dass für h = 0, 5 das Zeitinterval von 0 bis 25 durchgerechnet wird, für h = 0, 8 aber von 0 bis 40. Daher erscheint die Kurve für die größere Schrittweite zusammengedrängt. • h = 1, 5. Hier zeigt sich ein kurzes Überschwingen am Anfang, das aber schnell abklingt. Das ist ein Artefakt: Die Steigung der Lösungskurve nimmt ab. Durch die große Schrittweite rechnet das Modell aber zuerst zu lange mit der Anfangssteigung, und überschätzt daher den nächsten Wert. Im folgenden Schritt wird diese Überschätzung ausgeglichen. • h = 2. Der Überschwinger klingt nur sehr langsam oder möglicherweise überhaupt nicht ab. • h = 3. Die Lösungskurve zeigt völlig irreguläres Verhalten, sie schwingt auf und ab, aber nicht periodisch. Wir haben eine chaotische Lösung. Bitte nicht vergessen: Das hat alles nichts mit der Biologie des Systems zu tun, es sind alles Artefakte wegen einer ungeeigneten Schrittweite. • h = 4. Das Programm stürzt ab, die Lösungskurve wird durch das heftige Überschwingen in den negativen Bereich geworfen, und schaukelt sich dort zu einer Größe von ca. 10168 auf. Lösungen zu Abschnitt 4 4.3.1 (Lösung): Rekapitulieren Sie aus dem Gedächtnis Beispiel 4.1.1: • Welche Lebewesen kommen im See vor? • Welche Phänomene haben wir für welche Lebewesen im Modell eingebaut? • Wie haben wir diese Phänomene modelliert? 4 Arten von Lebewesen: Plankton, 2 Arten Friedfische, die um das Plankton konkurrieren, ein Raubfisch, der von den Friedfischen lebt. Das Plankton wurde mit einem logistischen Populationsmodell dargestellt: Die Fertilität ist konstant, die Sterblichkeit steigt bei steigender Populationsdichte. Auf diese Weise wird der Planktonbestand automatisch begrenzt. Durch die Friedfische wird das Plankton dezimiert. Die Grundlage der Modelle für die Friedfische ist ein exponentielles Populationsmodell mit konstanter Fertilität und Mortalität. Die Biomasse gewinnt natürlich durch den Verzehr von Plankton. Andererseits wird die Mortalität durch zwei Phänomene erhöht: Mortalität infolge unzureichender Nahrung und infolge Erbeutung durch den Raubfisch. Durch den begrenzten Nachschub an Plankton und gegebenenfalls durch eine Zunahme der Räuberpopulation wird der Bestand an Friedfischen in Grenzen gehalten. Der Räuber ist ähnlich modelliert wie die Friedfische, er gewinnt Biomasse durch die Jagd auf die Friedfische, und die Sterblichkeit erhöht sich bei Nahrungsmangel. Durch Verknappung des Angebotes an Friedfischen wird auch die Räuberpopulation in Grenzen gehalten. 4.3.2 (Lösung): Für die Abhängigkeit der Mortalität von der Sättigung der Fische wurde das empirische Modell (4.1.2) aufgestellt. Tragen Sie als Kurve auf: Waagrecht: sAB (t) zwischen 0 und 1, senkrecht µA (t). (Wenn Sie wollen sind, können Sie Zahlenwerte für die Parameter wählen, zum Beispiel µA,0 = 0, 5, µA,1 = 0, 2, sA,0 = 0, 1, sA,1 = 0, 6.) 62 INHALTSVERZEICHNIS Mortalitaet 1 mu_0 mu_1 0 0 s_0 s_1 Saettigung 1 4.3.3 (Lösung): Wie könnte man in die Mengenbilanz von A und B die Tatsache einbauen, dass nicht die gesamte aufgenommene Nahrung verwertet wird, sondern ein Großteil wieder ausgeschieden wird? Man könnte in die Mengenbilanz zusätzliche Flüsse fA,aus , fB,aus einbauen, die die Ausscheidung beschreiben. Eine andere Möglichkeit ist, für den Anteil der Nahrung, der nicht sofort ausgeschieden wird, Parameter νA , νB einzuführen. Während der Verlust an Plankton bei der Nahrungsaufnahme nach wie vor durch die Flüsse fP A und fP B beschrieben wird, wird der Massegewinn bei den Friedfischen nun durch die Flüsse νA fP A , νB fP B beschrieben. 4.3.4 (Lösung): Saurer Regen setzt im Waldboden Metalle frei (z.B. Eisen), die sonst an die Huminstoffe im Boden gebunden sind. Für die Feinwurzeln der Bäume sind diese Metalle giftig, wenn sie in Lösung gehen. Ein empirisches Modell soll aufgestellt werden, welches die Eisenhaltigkeit des Bodenwassers cF e mit dem Zustand z der Feinwurzeln der Bäume in Verbindung bringt. (z liegt zwischen 0: völlig zerstört und 1: völlig gesund.) Welche der folgenden Gleichungen ist eher geeignet? (a) z = cF e /(c0 + cF e ) (b) z = c0 /(c0 + cF e ) Antwort (b) ist richtig. Wir gehen davon aus, dass z umso kleiner wird, je höher die Eisenkonzentration im Bodenwasser ist. Formel (a) würde genau das Gegenteil modellieren: Je mehr Eisen, desto besser der Zustand. Im folgenden Bild sehen Sie die Kurven von Modell (a) und Modell (b): LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN UND PRÜFUNGSBEISPIELEN 63 1 z (a) 0.5 (b) 0 0 c_0 cFe 4.3.5 (Lösung): Wählen Sie aus Frage 4.3.4 jene Gleichung, die Ihnen geeigneter erscheint. Können Sie dem Parameter c0 eine anschauliche Bedeutung zuschreiben? Wenn Sie Gleichung (a) gewählt haben (unabhängig davon, ob das zur modellierten Situation passt): Bei cF e = 0 wäre z = 0. Wenn cF e gegen unendlich geht, geht z gegen 1. Bei cF e = c0 ist z = 1/2. Wenn Sie Gleichung (b) gewählt haben: Bei cF e = 0 ist z = 1, wenn cF e gegen unendlich strebt, geht z gegen 0. Bei cF e = c0 ist z = 1/2. 4.3.6 (Lösung): Wann wird man eher ein Modell mit vielen Parametern schaffen? (a) Gebraucht wird ein Modell, welches das Systemverhalten möglichst detailgenau und zahlenmäßig exakt wiedergeben kann. (b) Gebraucht wird ein Modell, das die Struktur und die wesentlichen Gründe für ein bestimmtes Verhalten des Systems möglichst klar herausarbeitet. Antwort (a) ist richtig. Wenn man genaue Details und Zahlen erhalten will, muss man viele, auch weniger wichtige Einflüsse berücksichtigen, und braucht entsprechend viele Modellparameter. Andererseits macht ein solcher Zugang das Modell unübersichtlicher, sodass die wesentliche Zusammenhänge nicht mehr so klar hervortreten. 4.3.7 (Lösung): Wodurch unterscheidet sich ein empirisches Modell von einem Strukturmodell? (a) Bei der Überprüfung der Modellgültigkeit: Das empirische Modell wird mit empirischen Daten verglichen. (b) Bei der Modellbildung: Das empirische Modell entsteht, indem man die Reaktion des Systems beobachtet, und den beobachteten Zusammenhang durch möglichst einfache Formeln darstellt, ohne auf die Wechselwirkungen der einzelnen Systemteile einzugehen. Antwort (b) ist richtig. Jedes Modell muss bei der Überprüfung der Modellgültigkeit mit empirischen Daten verglichen werden, nicht nur empirische Modelle. Zum Unterschied von Strukturmodellen versucht das empirische Modell nicht ins Innere des Systems zu schauen, sondern beschreibt nur, wie die Reaktion des Systems ist.
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