Mögliche Themen für Bachelorarbeiten in Zahlentheorie

Institut für Mathematik und Angewandte Informatik
Abteilung Algebra und Zahlentheorie
M. Sc. Martin Kreh
Mögliche Themen für Bachelorarbeiten in Zahlentheorie
Neben der Möglichkeit, Ihr Seminarthema zu einer Bachelorarbeit auszubauen, gibt es im Moment
unter anderem folgende mögliche Themen für eine Bachelorarbeit im Bereich Zahlentheorie:
• Lösen quadratischer Kongruenzen: In der Einführung zur Zahlentheorie haben wir quadratische Kongruenzen kennengelernt und wir können diese mit Hilfe des Legendre-Symbols auf
Lösbarkeit untersuchen. Für die Fälle p ≡ 3 mod 4 und p ≡ 5 mod 8 kann man auch relativ
leicht die Lösungen der Kongruenz x2 ≡ a mod p (falls diese lösbar ist) angeben. Für den Fall
p ≡ 1 mod 8 geht dies nicht so leicht, man kann hier nicht eine allgemeingültige Lösung angeben.
Es gibt jedoch verschiedene Algorithmen (z.B. Pocklington’s, Tonelli-Shanks, Cipolla, u.a.), mit
deren Hilfe die Lösungen der quadratischen Kongruenz bestimmt werden können. Diese sollen in
dieser Arbeit untersucht werden.
• Algorithmen in der Zahlentheorie: In den Veranstaltungen Einführung zur Zahlentheorie
und Vertiefung Zahlentheorie haben wir einige Algorithmen für verschiedenste Problemstellungen
kennengelernt (z.B. Euklidischer Algorithmus, Fermat-Abstieg). Außerdem laufen einige Berechnungen (z.B. Legendre-Symbole, Klassenzahlen) immer nach dem gleichen Muster ab.
In dieser Arbeit sollen für alle Probleme aus den beiden Veranstaltungen, die man mit Rechnungen nach immer dem gleichen Muster lösen kann, entsprechende Programme in Maxima
geschrieben werden.
• Äquivalenz von quadratischen Formen: In der Vertiefung zur Zahlentheorie haben wir gesehen, dass äquivalente quadratische Formen die gleichen Zahlen darstellen. Stellt man sich nun die
Frage, ob die Umkehrung auch gilt, so sieht man schnell, dass das falsch ist. Fasst man aber den
Begriff der Äquivalenz von quadratischen Formen etwas weiter, so ist diese Frage nicht mehr so
offensichtlich falsch. In der Tat sind dann zwei quadratische Formen mit gleicher Diskriminante,
die die gleichen Zahlen darstellen, schon äquivalent.
In dieser Arbeit soll die weitere Fassung der Äquivalenz betrachtet und das obige Resultat gezeigt
werden. Ebenso geht es um die Frage, ob es quadratische Formen mit ungleicher Diskriminante
gibt, die die gleichen Zahlen darstellen.
• Ganzheitsringe quadratischer Zahlkörper: Ganzheitsringe quadratischer Zahlkörper beste√
hen im Wesentlichen aus Zahlen der Form a + b d mit a, b ∈ Z und quadratfreiem d ∈ Z. Solche
Ringe sind bei vielen Untersuchungen innerhalb der Zahlentheorie von Bedeutung. Daher sind
insbesondere deren arithmetische Eigenschaften von Interesse.
In dieser Arbeit soll untersucht werden, für welche d diese Ganzheitsringe faktoriell bzw. euklidisch bzw. Hauptidealringe sind. Des Weiteren sollen die Zusammenhaänge dieser drei Eigenschaften im speziellen Fall der Ganzheitsringe untersucht werden.
• Beweise ohne Worte: Viele Beweise in der Mathematik versteht man schon alleine dadurch,
dass man sich den Sachverhalt gut veranschaulicht. Auf der Seite
http://artofproblemsolving.com/articles/proof-without-words
sind Beweise zu einigen Formeln allein durch (animierte) Veranschaulichungen geführt.
In dieser Arbeit sollen diese Veranschaulichungen in Geogebra nachgearbeitet und (mit Worten) erklärt werden. Dazu müssen bei den jeweiligen Themen die nötigen Grundlagen dargelegt
werden. Auch alternative Beweise können behandelt werden.
Bei Interesse an einem dieser Themen können Sie sich bei Herrn Kreh melden.

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