DIPLOMARBEIT
Titel der Diplomarbeit
Beweise im Mathematikunterricht der AHS
Begriffsklärung, didaktische Aspekte und Durchführung einer statistischen Erhebung
verfasst von
Stefanie Stockinger
angestrebter akademischer Grad
Magistra der Naturwissenschaften (Mag. rer. nat.)
Wien, 2015
Studienkennzahl lt. Studienblatt:
A 190 299 406
Studienrichtung lt. Studienblatt:
Lehramt UF Mathematik UF Psychologie und Philosophie
Betreuer:
Priv.-Doz. Mag. Dr. Bernhard Krön
DANKSAGUNG
Zuallererst gilt mein Dank meinem Betreuer Priv.-Doz. Mag. Dr. Bernhard Krön. Jederzeit
hat er mich kompetent unterstützt und fachlich beraten. Er hat sich immer Zeit für mich
genommen und mir hilfreiche Ratschläge erteilt.
Selbstverständlich möchte ich mich auch bei meiner Familie, besonders meinen Eltern
bedanken. Nicht nur ihrer finanziellen Unterstützung, ohne die mein Studium an der
Universität Wien kaum möglich gewesen wäre, sondern auch darüber hinaus konnte und kann
ich mir ihrer Unterstützung immer sicher sein: Egal was ich mache, ich weiß, dass sie hinter
mir stehen und stolz auf mich sind. Auch bei der Erstellung meiner Diplomarbeit konnte ich
jederzeit auf ihre Hilfe zählen. Danke euch dafür!
Natürlich waren in der Zeit des Studiums auch meine Studienkolleginnen und -kollegen ein
wichtiger Halt. Ich bin immer gern in Lehrveranstaltungen gegangen und das lag zu einem
ausschlaggebenden Teil an ihnen. Ich bedanke mich für die wunderschönen Jahre und ich
hoffe, dass wir uns auch in Zukunft oft sehen und in Kontakt bleiben werden.
Besonderer Dank gilt auch meinem Taufpaten Walter Gasperi, der mich schon immer
tatkräftig unterstützt hat.
Auch den zahlreichen Lehrpersonen, die sich die Zeit genommen haben, um meinen
Fragebogen auszufüllen und ohne die meine Studie unmöglich gewesen wäre, möchte ich
recht herzlich danken.
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ABSTRACT
Vor allem Elternteile kennen die Frage „Warum?“ nur allzu gut. Gerade Kinder fragen sehr
häufig nach dem Grund. Doch ist dies auch im Mathematikunterricht an den österreichischen
AHS der Fall? Dürfen die Schülerinnen und Schüler diese Frage stellen bzw. wird ihnen diese
Frage beantwortet? Mit dieser Frage beschäftigt sich die folgende Arbeit.
Leider ist zu sehen, dass Beweise im Mathematiklehrplan der AHS keine bedeutende Rolle
einnehmen. Im Rahmen der standardisierten Reifeprüfung wird dieser Eindruck verstärkt.
Auch die durchgeführte Studie zeigt, dass nicht immer Beweise durchgeführt werden. Der
Hauptgrund dafür ist deutlich: Den Lehrkräften fehlt die Zeit.
Das ist schade, da Beweise wichtige Funktionen haben. Denn diese dienen nicht nur dem
Verständnis, der Überzeugung oder Ähnlichem, ein weiterer wichtiger Grund, der auch bei
der standardisierten Reifeprüfung hoch geschrieben wird, ist dabei auch das Vernetzen von
bereits angeeignetem mit neuem Wissen. Obwohl das den Lernenden oft schwer fällt, ist es
wichtig diese Kompetenz zu fördern und sich die Zeit für Beweise im Unterricht zu nehmen.
3
INHALTSVERZEICHNIS
Danksagung ........................................................................................................................................2
Abstract ................................................................................................................................................3
1. Einleitung ........................................................................................................................................6
2. Theoretischer Hintergrund ......................................................................................................8
2.1. Beweis ..................................................................................................................................................... 8
2.1.1. Was ist ein Beweis?.................................................................................................................................... 8
2.1.2. Arten von Beweisen................................................................................................................................... 9
2.2. Argumentieren und Begründen .................................................................................................. 11
2.3. Verhältnis von Argumentationen, Begründungen und Beweisen .................................. 14
2.4. Wozu Beweise?.................................................................................................................................. 15
2.5. Prozess des Beweisens ................................................................................................................... 17
2.5.1. Finden einer zu beweisenden Aussage............................................................................................ 17
2.5.2. Formulierung der Behauptung ........................................................................................................... 18
2.5.3. Testen der Behauptung .......................................................................................................................... 18
2.5.4. Bestimmung der Argumente und ihr Organisieren zu einer Deduktionskette............... 18
2.5.5. Festlegen der Argumente nach gewissen Standards ................................................................. 19
2.5.6. Formaler Beweis ....................................................................................................................................... 19
2.5.7. Akzeptanz durch die mathematische Gemeinschaft .................................................................. 19
2.5.8. Resümee ....................................................................................................................................................... 19
2.6. Prozess des Beweisens in der Schule ........................................................................................ 20
2.7. Finden von Beweisen ...................................................................................................................... 22
2.7.1. Analogiebeweise ....................................................................................................................................... 23
2.7.2. Beweise mit unterschiedlichen Fällen, wobei mindestens ein Fall durchgeführt ist ... 27
2.7.3. Verallgemeinern eines Beweises ....................................................................................................... 30
2.7.4. Beweise durch Aufgaben erarbeiten ................................................................................................ 32
2.7.5. Beweise mit bereits bekanntem Beweismuster aus dem Gebiet .......................................... 35
2.7.6. Beweise verbunden aus bekannten Beweismustern aus dem Stoffgebiet ....................... 37
2.7.7. Bekannte Beweismuster in einem neuen Themengebiet anwenden .................................. 39
2.7.8. Beweislücken nach einer Beweisskizze schlissen ...................................................................... 40
2.7.9. Kombination der bereits genannten Methoden ........................................................................... 40
2.8. Beweiskompetenz............................................................................................................................ 41
2.8.1. Was ist Beweiskompetenz? .................................................................................................................. 41
2.8.2. Studien zur Beweiskompetenz von Schülerinnen und Schülern .......................................... 43
2.8.2.1. PISA ............................................................................................................................................................................ 43
4
2.8.2.2. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)................................................. 49
2.8.2.3. Andere Studien ...................................................................................................................................................... 49
2.8.3. Schwierigkeiten beim Beweisen ........................................................................................................ 53
2.8.4. Beweiskompetenz fördern ................................................................................................................... 54
2.8.4.1. Motivation im Mathematikunterricht ......................................................................................................... 54
2.8.4.2. Schaffen einer Begründungskultur .............................................................................................................. 55
2.8.5. Lehren von Beweisen.............................................................................................................................. 57
2.8.6. Resümee ....................................................................................................................................................... 59
2.9. Die Rolle von Beweisen im österreichischen AHS-Lehrplan ............................................ 60
2.9.1. Unterstufe .................................................................................................................................................... 60
2.9.2. Oberstufe...................................................................................................................................................... 62
2.9.3. Resümee ....................................................................................................................................................... 64
2.10. Die Rolle von Beweisen bei der Standardisierten Reifeprüfung.................................. 64
3. Statistische Erhebung .............................................................................................................. 68
3.1. Auswertung der Studie................................................................................................................... 69
3.1.1. Allgemeiner Teil ........................................................................................................................................ 69
3.1.2. Beweise im Einzelnen ............................................................................................................................. 76
3.2. Interpretation der Studie .............................................................................................................. 88
4. Hilfreiche Beweise für den Mathematikunterricht....................................................... 93
5. Diskussion und Ausblick ........................................................................................................ 96
6. Literaturverzeichnis ................................................................................................................ 98
7. Anhang ....................................................................................................................................... 102
7.1. Fragebogen .......................................................................................................................................102
Curriculum Vitae ......................................................................................................................... 120
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1. EINLEITUNG
Beweise stellen einen wichtigen Teil der Mathematik dar. Für Alsina und Nelson (Alsina &
Nelson, 2013, S. VII) bilden Beweise sogar das Herz der Mathematik. Doch dies wird den
angehenden Lehrpersonen oft erst während des Mathematikstudiums klar. Boreo (Douek,
2007, S. 163) meint sogar, dass dies eine der größten Schwierigkeiten ist, auf die
Studentinnen und Studenten zu Beginn ihres Studiums stoßen. In der Schule wird meist nicht
sehr großen Wert auf diesen Bereich der Mathematik gelegt, für Fischer und Malle (Fischer &
Malle, 1985, S. 178) führen Beweise im Mathematikunterricht ein Schattendasein. Auch
Hanna (Hanna, 2007, S. 3) meint, dass in den letzten dreißig Jahren Beweise weniger wichtig
geworden sind und im Unterricht größtenteils darauf verzichtet wird. Allerdings sollten diese
nach Hanna (Hanna, 2007, S. 3) weiterhin von großer Bedeutung sein, da diese das
mathematische Verständnis sehr fördern.
In dieser Arbeit werde ich dieser Meinung nachgehen. Stellt sich heraus, dass die
Lehrpersonen im Unterricht Beweisen tatsächlich nur sehr wenig Beachtung schenken, so
stelle ich mir die Frage, die sich im Mathematikunterricht öfter gestellt werden sollte:
Warum? Warum spielen Beweise eine geringe Rolle?
Bevor auf diese Fragen genauer eingegangen wird, wird erläutert, was ein Beweis ist und was
ihn ausmacht. Außerdem werden die Begriffe Argumentieren und Begründen genauer unter
die Lupe genommen und es wird ihr Zusammenhang zum Wort des Beweises hergestellt.
Wichtig ist auch zu klären, was die Funktionen eines solchen sind. Denn nur wenn klar ist,
warum Beweise gemacht werden sollten, sind diese auch sinnvoll. Weiters wird auf den
Beweisprozess selbst eingegangen. Wie läuft ein solcher ab? Ist dieser im Unterricht bei den
Schülerinnen und Schülern anders strukturiert als bei den Expertinnen und Experten? Im
Anschluss wird erläutert, wie Beweiskompetenz in der Schule entwickelt werden kann. Dazu
werden einige Studien betrachtet und es wird versucht zu klären, was die Schwierigkeiten für
die Lernenden beim Beweisen sind. Es wird dann versucht Mittel zu finden, um diesen
entgegenzuwirken.
Natürlich wird generell analysiert, wie wichtig Beweise im Unterricht in Österreich sein
sollten. Dies wird erreicht, indem der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen wird. Da
das Ziel einer AHS die Reifeprüfung darstellt, welche seit 2014/2015 standardisiert ist, soll
auch auf diese eingegangen werden. Dabei wird betrachtet welche Rolle Beweise bei dieser
neuen Prüfungsform spielen.
6
Um die bereits angesprochenen Fragen, welche Rolle Beweise im Mathematikunterricht
spielen und warum sie eventuell nicht gemacht werden, zu beantworten, habe ich eine Studie
an Lehrpersonen in Österreich durchgeführt. Mit der nun anstehenden standardisierten
Reifeprüfung drängt sich die Frage auf, ob Lehrpersonen nur mehr nach ihren Inhalten
unterrichten, oder ob auch Stoffgebiete behandelt werden, die für diese nicht von Bedeutung
sind. Betrachtet man die Rolle von Beweisen bei der neuen Reifeprüfung, so wird schnell
klar, dass diese möglicherweise sogar gänzlich im Unterricht fehlen würden.
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2. THEORETISCHER HINTERGRUND
2.1. BEWEIS
2.1.1. WAS IST EIN BEWEIS?
Alsina und Nelson (Alsina & Nelson, 2013, S. XV) erläutern, dass das englische Wort
„proof“ vom lateinischen Verb „probare“ abstammt, was soviel bedeutet wie „versuchen,
ausprobieren, urteilen“. Auch die deutschen Begriffe „Prüfung“ und „Probe“ entspringen
diesem Wort. Schichl und Steinbauer erklären genauer, was ein Beweis ist: Es wird eine
Behauptung „durch logische Schlussfolgerungen aus einigen wenigen Grundannahmen (den
Axiomen, die nicht weiter hinterfragt werden) und bereits bekannten Sachverhalten
abgeleitet.“ (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 6) Wie diese Erklärung schon erläutert, entsteht
eine Iteration: Eine Behauptung folgt direkt aus einem Axiom, aus dieser bereits bewiesenen
Behauptung kann schon wieder eine neue bewiesen werden. Um eine Behauptung zu
beweisen, dürfen also nur bereits bewiesene Sätze eingesetzt werden.
Etwas kürzer formulieren das Reiss und Hammer: „Beweisen bedeutet, eine mathematische
Aussage auf andere Aussagen zurückzuführen, und das können bereits bewiesene Sätze oder
auch Axiome sein.“ (Reiss & Hammer, 2013, S. 47)
Diese beiden gegebenen Definitionen erklären die Allgemeingültigkeit von mathematischen
Beweisen, auf die auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 183) verweisen. Das
bedeutet aber auch, dass einzelne Beispiele nicht ausreichen, um einen Satz zu beweisen. Dies
ist den Schülerinnen und Schülern oft nicht klar, wie es Meyer und Prediger (Meyer &
Prediger, S. 9) betonen, die darauf hinweisen, dass sich von einem Beispiel noch nicht auf die
allgemeine Behauptung schließen lässt. Dies sollte auch den Schülerinnen und Schülern
verständlich gemacht werden.
Brunner (Brunner, 2014, S. 7) meint, dass es wichtig ist bei einem Beweis Voraussetzungen
und Behauptung voneinander zu trennen. Auch die Schülerinnen und Schülern sollten dies
tun. Wird etwa bewiesen, dass die Quadratzahl einer ungeraden Zahl wiederum eine ungerade
Zahl ist, so müssen im Beweis auch nur die ungeraden Zahlen berücksichtigt werden. Ein
Beweis dafür kann somit nur erfolgreich sein, wenn Sicherheit darüber herrscht, wovon
auszugehen ist.
Ob ein Beweis auch tatsächlich anerkannt wird, wird – wie Brunner (Brunner, 2014, S. 7) und
auch Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 4) erwähnen – von einer Gruppe, die sich aus
8
Expertinnen und Experten zusammensetzt, entschieden. In der Schule sollte dies ähnlich
ablaufen. Auch hier sollte, nachdem die Schülerinnen und Schüler Beweise erarbeitet haben,
von der gesamten Klasse entschieden werden, ob diese tatsächlich korrekt sind. Natürlich
sollte die Lehrperson bei dieser Entscheidung Hilfe leisten, vor allem falls ein wichtiges
Detail übersehen werden sollte.
Bevor genauer auf die Beweise in der Schule eingegangen wird, werden nun die Beweisarten
erläutert.
2.1.2. ARTEN VON BEWEISEN
Es gibt unterschiedliche Arten von Beweisen. Die wichtigsten sind die direkten und
indirekten Beweise und die vollständige Induktion. Bei direkten Beweisen wird von der
Voraussetzung ausgehend die Behauptung hergeleitet (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 21).
Indirekte Beweise beginnen dagegen mit der Verneinung der Behauptung, was zu einem
Widerspruch führen sollte, weswegen dann die Annahme falsch sein muss und somit die
Behauptung richtig (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 23). Typische Beispiele für die zweite Art
sind etwa der Beweis für die Irrationalität der √2 bzw. der Euler’schen Zahl 𝑒 und der für den
Satz von Euklid, welcher besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Diese drei Beweise
sind auch in den Schulbüchern Mathematik verstehen und Mathematik zu finden und somit
sicherlich in der Schule durchführbar.
Eine weitere wichtige Art von Beweis stellt die vollständige Induktion dar (Brunner, 2014, S.
16; Schichl & Steinbauer, 2009, S. 42-43). Dieses Verfahren wird verwendet, wenn etwas für
alle natürlichen Zahlen bewiesen werden sollte. Dabei wird die Behauptung zunächst für
𝑛 = 0 bewiesen. Danach wird angenommen, dass die Aussage für die ersten 𝑛 Glieder
bewiesen wurde und damit wird versucht die Behauptung auch für das (𝑛 + 1)–te Glied zu
beweisen (Schichl & Steinbauer, 2009, S. 43-44). In den Schulbüchern Das ist Mathematik,
Mathematik und Mathematik verstehen ist als einziger Satz mit Beweis der vollständigen
Induktion der Binomische Lehrsatz zu finden, der auch nur im Mathematik 6 (Götz, Reichel,
Müller, & Hanisch, 2010b, S. 92) angeführt wird. Das Schulbuch Mathematik verstehen
verzichtet somit gänzlich auf Beweise dieser Art.
Der direkte Beweis, der indirekte Beweis und die vollständige Induktion sind die Arten, die in
der
wissenschaftlichen
Mathematik
am
häufigsten
verwendet
werden.
In
der
Mathematikdidaktik gibt es aber noch weitere Beweisarten.
9
Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 185-186) unterscheiden etwa nach Handlungsund Beziehungsbeweise. Handlungsbeweise können zwar einen formalen Charakter besitzen,
doch liegt bei ihnen eine Handlung (z.B. Umlegen, Messen, Drehen, Schneiden, usw.) im
Vordergrund. Bei Beziehungsbeweisen sind dagegen wie der Name schon sagt Beziehungen
von größerer Bedeutung, sie sind also formale Beweise. Es können sowohl Handlungen als
auch Beziehungen in Beweisen vorkommen, nach Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985,
S. 186) ist das sogar bei jedem mathematischen Beweis der Fall, doch ob ein Handlungs- oder
ein Beziehungsbeweis vorliegt, ist davon abhängig, ob die Handlung oder die Beziehung
dominiert. Ein Beispiel für einen Handlungsbeweis wäre nach Brunner (Brunner, 2014, S. 18)
etwa der Beweis für den Flächeninhalt des Parallelogramms (siehe Abschnitt 2.7.4.).
Wie schon erwähnt, gibt es Schülerinnen und Schüler, die davon ausgehen, dass es genügt
den Satz anhand von wenigen Beispielen zu überprüfen. Wittmann und Müller (Wittmann &
Müller, 1988, S. 249) bezeichnen diese Art von Beweis den experimentellen Beweis. Sie
weisen aber auch darauf hin, dass ein solcher Beweis nicht auf Allgemeingültigkeit schließen
lässt, da schon ein Gegenbeispiel ausreichen würde, um die Behauptung zu falsifizieren.
Solche experimentellen Beweise sind im Beweisprozess von großer Bedeutung, allerdings
sind sie nicht ausreichend. Experimentelle Beweise spielen also eine wichtige Rolle, aber sie
sind nicht das, was in der Mathematik unter einem Beweis verstanden wird. Bei Wittmann
und Müller (Wittmann & Müller, 1988, S. 248-249) gibt es zu den experimentellen Beweisen
noch inhaltlich-anschauliche Beweise, die sie auch operative Beweise nennen, und die
wissenschaftlichen Beweise. Diese beiden Arten können analog zu den bereits erwähnten
Handlungs- und Beziehungsbeweisen von Fischer und Malle gesehen werden.
Die
drei
Beweistypen
des
experimentellen
Beweises,
des
Handlungs-
und
Beziehungsbeweises können nach Brunner (Brunner, 2014, S. 20) auch als Prozess des
Beweisens (Abschnitt 2.6.) gesehen werden. Denn beobachtet man Lernende bei einem
gelingenden Beweisprozess, so überprüfen diese zunächst häufig die Behauptung mit einem
experimentellen Beweis, wodurch sie schon die Überzeugung erlangen, dass die Behauptung
stimmen wird. Es folgt ein Handlungsbeweis, durch den die Zusammenhänge erkannt werden
und dadurch gelangen sie dann zum formalen Beziehungsbeweis.
Es ist somit auch erkennbar, dass die Komplexität von den verschiedenen Beweistypen
angefangen mit dem experimentellen Beweis bis hin zum Beziehungsbeweis zunimmt.
Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 187) beschreiben diesen Komplexitätssprung
von einem Handlungs- zu einem Beziehungsbeweis wie folgt: Auch Beziehungsbeweise seien
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durch Handlungen gekennzeichnet, allerdings „auf einer höheren Ebene; sie beziehen sich
nicht auf die ursprünglichen Objekte, sondern auf die durch das Handeln mit den
ursprünglichen Objekten hergestellten Beziehungen.“ (Fischer & Malle, 1985, S. 187).
Vor allem in der Schule sollte darauf geachtet werden die Komplexität allmählich zu erhöhen
und je nach Schulstufe unterschiedliche Beweistypen zu verlangen. Meyer und Prediger
(Meyer & Prediger, S. 4) weisen darauf hin, dass oftmals formale Beweise als die besseren
angesehen werden. Doch Brandes (Brandes, 2006, S. 3) meint nicht nur, dass Beweise nicht
auf die formale Ebene reduziert werden sollten, sondern er ist auch der Meinung, dass
Beweise im Unterricht hauptsächlich Handlungsbeweise sein sollten. Jedoch sollte
schrittweise immer mehr formalisiert werden. Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle,
1985, S. 186) sind der Meinung, dass sowohl Handlungs- als auch Beziehungsbeweise im
Mathematikunterricht gemacht werden sollten, da sie einander ergänzen. Sie stellen auch klar,
dass man oft einen Handlungsbeweis zu einem Beziehungsbeweis erweitern kann, wovon die
Schülerinnen und Schüler profitieren können, indem dadurch das mathematische Vokabular
ausgebaut wird.
2.2. ARGUMENTIEREN UND BEGRÜNDEN
Für viele klingt das Wort Beweis sehr bedeutungsvoll. Oft wird es, wie auch Meyer und
Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) meinen, mit formaler Strenge verbunden, was gerade im
schulischen Kontext abschreckend wirken kann. Das ist wahrscheinlich auch ein Grund dafür,
dass dieser Begriff in diesem Bereich oftmals von den Worten Argumentieren und Begründen
abgelöst wird. Doch wie hängen diese drei Begriffe überhaupt zusammen? Bedeuten sie
dasselbe oder gibt es deutliche Unterschiede? Bevor wir zu diesen Fragen gelangen, sollten
die Begriffe zunächst erklärt werden.
Schlägt man das Wort „Argument“ im Österreichischen Wörterbuch (Back, et al., 2001, S.
58) nach, so stößt man auf die Erklärung „Beweisgrund“ bzw. beim Wort „argumentieren“
auf „einen Beweis führen; eine Ansicht, eine Meinung begründen“. Anhand dieser
Erläuterung erkennen wir, dass die drei Begriffe sehr stark zusammenhängen. Laut
Wörterbuch versteht man unter einem Argument, dass bei einem Argument ein Beweis
geführt bzw. eine Meinung begründet wird. Auch Toulmin (Toulmin, 1975, S. 17) verwendet
Argumente, um eine Behauptung zu rechtfertigen. Begründen wir eine Meinung bzw. wollen
wir eine Behauptung rechtfertigen, so tun wir dies meist nicht für uns selbst, sondern um
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andere Personen zu überzeugen. Das Argumentieren findet also in einem sozialen Kontext
statt. Damit sollen nach Brunner (Brunner, 2014, S. 37) Meinungen gebildet werden, also
auch andere Personen überzeugt werden.
Toulmin (Toulmin, 1975, S. 89) erklärt wie ein solches Argument aussehen sollte: Wir
versuchen eine Konklusion bzw. eine Behauptung zu begründen. Diese wird von den
Aussagen, die wir für ihre Begründung verwenden und Daten nennen, unterschieden. Es kann
also vorkommen, dass wir aus einem Datum auf die Konklusion schließen, was
folgendermaßen aussieht:
Datum
Konklusion
Abbildung nach Toulmin (Toulmin, 1975, S. 90)
Es kann dann passieren, dass wir gefragt werden, warum wir diese Schlussfolgerung machen
dürfen. Als Antwort darauf sollte eine Regel bzw. Schlussregel, wie es Toulmin nennt,
angegeben werden können. Diese gibt an, wieso der Schluss vom Datum auf die Konklusion
vollzogen werden darf.
Datum
Konklusion
Schlussregel
Abbildung nach Toulmin (Toulmin, 1975, S. 90)
Ein Beispiel dafür wäre das folgende:
Datum: Die Ampel ist rot.
Konklusion: Ich sollte die Straße nicht überqueren.
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Schlussregel: Wenn die Ampel rot ist und man die Straße überquert, ist das gegen das Gesetz.
Doch es kann Ausnahmen geben. Stellen wir uns vor Sie sind mit einem Rettungsauto
unterwegs und transportieren eine schwer verletzte Patientin. Sie würden das Blaulicht
einschalten und die Straße überqueren. Eine solche Ausnahme nennt Toulmin (Toulmin,
1975, S. 92) Operator. Zusätzlich stellt er sich die Frage, warum die Schlussregel überhaupt
zulässig ist. Der Grund dafür wird Stützung der Schlussregel genannt. Nun sieht unser
Argument folgendermaßen aus:
Datum
Konklusion
Schlussregel
Falls nicht:
Operator
Stützung
Abbildung nach Toulmin (Toulmin, 1975, S. 95)
Zurück zu unserem Beispiel mit der roten Ampel:
Der Operator wäre also: Ich bin mit einem Rettungsauto unterwegs und muss möglichst
schnell ins Krankenhaus oder zu einer verunglückten Person.
Stützung
für
die
Schlussregel:
Die
Straßenverkehrsordnung
(§38
(5))
(Straßenverkehrsordnung (StVO), 2014) besagt, dass eine Straße bei roter Ampel nicht
überquert werden darf.
Natürlich kann, wie bei den Beweisen, so ein Argument aus mehreren Schritten bestehen. Das
wäre dann der Fall, wenn von einem Datum auf Konklusion geschlossen wird, diese
Konklusion wird dann zum neuen Datum für die neue Konklusion, auf die geschlossen
werden soll.
13
2.3. VERHÄLTNIS VON ARGUMENTATIONEN, BEGRÜNDUNGEN UND BEWEISEN
Anhand des Argumentes mit der roten Ampel kann das Verhältnis von Argumenten,
Begründungen und Beweisen sehr gut dargestellt werden. Auch wenn im Österreichischen
Wörterbuch „argumentieren“ als „einen Beweis führen“ beschrieben wird, so sind wir uns
wahrscheinlich einig, dass wir einen solchen Schluss nicht Beweis nennen würden. Ein
richtiger mathematischer Beweis ist durch formale Strenge charakterisiert. Dieses Argument
ist jedoch eines, das wir in alltäglichen Situationen verwenden. Versuchen wir aber die beiden
Worte mit Begründen zu verbinden, so würden wahrscheinlich auch Sie meinen, dass sowohl
ein Argument, wie etwa das mit der roten Ampel, als auch ein formaler Beweis als
Begründung bezeichnet werden kann. Ist also eine Begründung der Oberbegriff von Beweis
und Argumentation?
Fischer und Malle schreiben folgendes: „Beweisen soll als eine (noch genauer zu
beschreibende) Form des Begründens von Aussagen (Behauptungen, Feststellungen)
angesehen werden.“ (Fischer & Malle, 1985, S. 178) Sie beschreiben also Beweise als eine
Art des Begründens. Auch das Österreichische Wörterbuch (Back, et al., 2001, S. 58), das
„argumentieren“ als „eine Meinung begründen“ beschreibt, weist darauf hin, dass
Argumentieren eine Art des Begründens darstellt. Zu dieser Ansicht gelangt auch Brunner
(Brunner, 2014, S. 39): Beweise und Argumente sind beide Arten des Begründens, allerdings
beziehen sie sich auf unterschiedliche Bereiche. Beweise beziehen sich auf die Mathematik,
Argumente kennen wir auch aus dem Alltag. Sie beschreibt Argumentieren und Beweisen als
Kontinuum, was in der folgenden Abbildung anschaulich dargestellt ist:
alltagsbezogenes
Argumentieren
Argumentieren mit
mathematischen
Mitteln
logisches Argumentieren mit
mathematischen Mitteln
Begründen
(Brunner, 2014, S. 31)
14
formaldeduktives
Beweisen
2.4. WOZU BEWEISE?
Was ist nun aber tatsächlich der Grund dafür, dass Beweise im Mathematikunterricht gemacht
werden sollten? Auch die Lernenden stellen sich meist die Frage, warum sie etwas beweisen
müssen (Meyer J.). Oft ist es so, dass die Schülerinnen und Schüler von dem, was ihnen die
Lehrperson erzählt, überzeugt sind. Sie vertrauen dieser und brauchen somit keinen Beweis.
Das genannte Phänomen der Berufung auf eine Autorität, welches auch Fischer und Malle
(Fischer & Malle, 1985, S. 179) erwähnen, kennen wir alle. Einer Autorität wird einfach öfter
geglaubt, doch dies selbst reicht alleine nicht als Argument aus. Weiters werden die
Lernenden eine Behauptung nicht bezweifeln, weil sie wissen, dass es diese meist schon sehr
lange gibt und wenn sie nicht stimmen würde, so hätte dies bestimmt schon jemand erkannt
(Meyer J.). Weshalb sind also Beweise nötig, wenn die Klasse die Behauptung akzeptiert?
Ich erinnere mich daran als Studentin in einer Übung gesessen zu sein. In der Stunde zuvor
wurden die Feedbackbögen ausgefüllt. Nun ging der Professor diese mit uns durch. Er
erzählte davon, dass eine Kommilitonin oder ein Kommilitone geschrieben habe, wofür wir
diese Beispiele (darunter auch einige Beweise) brauchen. Er antwortete darauf, dass wir diese
Frage selbst beantworten können sollten, da wir in der Schule gewiss auf dieselbe Frage
antworten werden müssen. Dennoch gab er uns eine sehr gute Antwort: Er erklärte, dass
Mathematik für das logische Denken, für Schlussfolgerungen sehr wichtig sei. Dies betonen
auch Reiss und Hammer, wenn sie sagen Mathematik sei „eine beweisende Disziplin, sodass
Schlussfolgern („Deduktion“) eindeutig zum Kerngeschäft der Disziplin gehört.“ (Reiss &
Hammer, 2013, S. 47) Dieses Schlussfolgern ist aber nicht nur ein Teil der Mathematik, denn
eine Fähigkeit in diesem Bereich ist an jedem einzelnen Tag hilfreich, sie erleichtert uns viele
alltägliche Dinge. Jeden Tag stehen wir vor Entscheidungen, in denen Schlussfolgern eine
bedeutende Rolle spielt. Genau das kann anhand von Beweisen trainiert werden.
Auch Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 10) liefern ein sehr gutes Argument dafür,
dass Beweise wichtig sind, auch wenn die Klasse von der Behauptung schon überzeugt sein
sollte. Denn in diesem Fall sollte gefragt werden, warum diese stimmt. In den letzten beiden
Sätzen finden sich schon zwei
Funktionen von Beweisen.
Die erste
ist
die
Überzeugungsfunktion: Der Beweis sollte mich von der Wahrheit der Behauptung
überzeugen.
Dieses
„Warum“
erläutert
eine
weitere
Funktion:
Beweise
sollen
Zusammenhänge herstellen, es muss bereits vorhandenes Wissen verwendet und dies richtig
eingesetzt werden. Es finden also Vernetzungen statt. Diese Funktion und die
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Überzeugungsfunktion ist auch bei Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 189) zu
finden.
Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) nennen die fünf Funktionen nach de Villiers,
die wiederum die beiden genannten (Überzeugungs- und Vernetzungsfunktion) beinhalten:
1. Überzeugen: Die Überzeugung von der Wahrheit der Behauptung sollte vorhanden
sein.
2. Erklären: Die Gültigkeit der Behauptung soll verstanden werden
3. Kommunizieren: Das Beweisen beinhaltet eine soziale Dimension, die Schülerinnen
und Schüler sollten miteinander kommunizieren, sie sollten ihre eigenen
Gedankenwege erklären können.
4. Entdecken: Oft gelangt man durch Beweise zu neuen Ergebnissen. So meinen auch
Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 190), dass der Begriff der „Stetigkeit“
wahrscheinlich auch geboren wurde, indem ein Beweis geführt wurde.
5. Zusammenhänge
herstellen:
Werden
Beweise
selbst
gemacht,
so
müssen
Verbindungen hergestellt werden, da bereits bekannte Sätze oder Begriffe verwendet
werden müssen.
Auch nach Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 189) ist das Überzeugen nicht das
zentrale Ziel eines Beweises. Ihnen geht es vor allem um die letzte der genannten Funktionen,
also darum Verbindungen herzustellen, das neue Wissen in das bereits vorhandene
einzuordnen. Diese Zusammenhänge werden aber meist nur erkannt, wenn der Beweis selbst
durchgeführt wird und er nicht einfach der Schulklasse fertig präsentiert wird (Meyer J.).
Gerade diese fünfte Funktion ist auch nach Meyer und Prediger (Meyer & Prediger, S. 5) die
Funktion, die Argumenten nicht zugrunde liegt.
Diese fünf Funktionen machen deutlich, dass Beweise unumgänglich sein sollten. Doch oft ist
das Interesse der Schülerinnen und Schüler nicht vorhanden. Wie dieses entwickelt werden
kann, soll in Abschnitt 2.8.4. erläutert werden.
16
2.5. PROZESS DES BEWEISENS
Gerade wurde erwähnt, dass ein Beweis von den Lernenden selbst durchgeführt werden sollte.
Denn wie auch Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 48) hinweisen, kann das
Nachvollziehen eines Beweises sehr einfach sein, doch das Beweisen selbst eine große
Herausforderung darstellen. Außerdem stellen sie klar, dass ein Beweis nicht nur darin besteht
die Gültigkeit einer Behauptung zu belegen. Um dies zu erreichen ist ein Prozess, der sehr
lange dauern kann, notwendig. Reiss (Reiss, 2002, S. 6-9) übernimmt dabei die sechs Phasen
von Boero. Diese Phasen sind allerdings für Expertinnen und Experten gedacht und sollten
somit nicht direkt auf Beweise in der Schule umgelegt werden.
Brunner (Brunner, 2014, S. 61) weist darauf hin, dass dieser im folgenden angeführte Prozess
nicht linear durchlaufen werden muss. Auch Mathematikerinnen und Mathematikern
geschieht es immer wieder, dass sie in einer Phase anstehen und von vorne beginnen müssen.
2.5.1. FINDEN EINER ZU BEWEISENDEN AUSSAGE
Reiss (Reiss, 2002, S. 6) meint, dass alle Expertinnen und Experten damit beginnen, eine
Aussage zu finden, die bewiesen werden kann und soll. Als Möglichkeiten eine solche zu
entwickeln, nennen Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 48) Behauptungen
aufzustellen und diese dann möglicherweise auch zu verwerfen, sowie Lösungen
auszuprobieren. Dies erinnert uns auch an die Anfänge des Beweisens bei den Lernenden in
der Schule, die auch meist mit einfachem Testen beginnen, also einen experimentellen Beweis
durchführen. Experimentelle Beweise sollten also nicht unterschätzt werden, sie stellen auch
bei den „Profis“ einen wichtigen Teil der Beweistätigkeit dar. Allerdings sollten diese auch
nur ein Teil davon bleiben und es sollte von den Schülerinnen und Schülern nicht generell nur
ein experimenteller Beweis eingefordert werden.
In der Schule wird man aber meist darauf verzichten die Lernenden selbstständig eine
beweiswürdige Aussage finden zu lassen. Das Experimentieren wird eher bei einer bereits
vorgegebenen Behauptung stattfinden. Diese Phase ist also für die Schule nicht sehr relevant.
17
2.5.2. FORMULIERUNG DER BEHAUPTUNG
Diese Behauptung muss dann nach Reiss (Reiss, 2002, S. 7) in der zweiten Phase nach
gewissen Standards formuliert werden, denn nur wenn auch die Aussage richtig formuliert ist,
kann der Beweis später der Öffentlichkeit präsentiert werden. Außerdem macht diese
Formulierung klar, was die Voraussetzungen sind und was tatsächlich bewiesen werden
sollte. Wie bei einem Problemlöseprozess werden der Anfangszustand, der angibt, was zu
Beginn gegeben ist, und der Endzustand, der angestrebt wird, beschrieben. Ist man sich über
die Charakteristik dieser beiden nicht im Klaren, so kann auch diese Lücke zwischen den
beiden Zuständen nicht gefunden und somit der Beweis nicht richtig geführt werden. Weiters
können durch diese Strukturierung auch gewisse Teilziele gefunden werden.
Brunner (Brunner, 2014, S. 61) weist darauf hin, dass schon an dieser Phase zu sehen ist, dass
ein formaler Beweis, also nach Fischer und Malle ein Beziehungsbeweis (siehe Abschnitt
2.1.2.) gefordert wird. Die formale Strenge ist sehr bedeutend. Von Anfang an wird – wie wir
hier sehen – auf korrekte Formulierung geachtet. Das ist ein Grund, warum diese Phasen nicht
einfach auf Beweise umgelegt werden sollten, die von einer Klasse durchgeführt werden.
2.5.3. TESTEN DER BEHAUPTUNG
In der dritten Phase wird die Hypothese mit semantischen Methoden und Heuristiken
überprüft. In der ersten Phase haben nur induktive Schritte eine Rolle gespielt, nun werden
sowohl induktives als auch deduktives Denken eingesetzt. Es wird nach Methoden gesucht,
den Beweis zu führen. (Reiss, 2002, S. 7-8)
Diese Phase ist die, die für die Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich am schwersten ist.
Sie haben keine Ansätze dafür, wie sie die Behauptung beweisen sollen. Denn oft fällt allein
das Nachvollziehen eines gegebenen Beweises schwer.
2.5.4. BESTIMMUNG DER ARGUMENTE UND IHR ORGANISIEREN ZU EINER
DEDUKTIONSKETTE
Nach der dritten Phase sind die Argumente gesammelt, die relevanten sollten nun in die
richtige Reihenfolge gebracht und miteinander verknüpft werden. Es muss überlegt werden,
welche Argumente wichtig für den Beweis sind und welche nicht (Reiss, 2002, S. 8). Der
Name dieser Phase gibt zu verstehen, dass der Beweis ein deduktiver sein muss.
18
2.5.5. FESTLEGEN DER ARGUMENTE NACH GEWISSEN STANDARDS
Der Beweis wird nun festgelegt, wobei die Argumente nach gewissen Standards miteinander
verknüpft werden. Je nachdem in welchem Buch der Beweis publiziert wird, wird der Beweis
anders aussehen. Das beste Beispiel dafür ist ein Schulbuch im Gegensatz zu einem
mathematischen Artikel, der für Expertinnen und Experten gedacht ist. (Reiss, 2002, S. 8)
2.5.6. FORMALER BEWEIS
Der Beweis wird nun noch formalisiert. Reiss (Reiss, 2002, S. 8) weist aber darauf hin, dass
diese Formalität selbst bei mathematischen Arbeiten hin und wieder nicht erstrebt wird.
2.5.7. AKZEPTANZ DURCH DIE MATHEMATISCHE GEMEINSCHAFT
Brunner weist nach Reiss und Ufer darauf hin (Brunner, 2014, S. 62), dass die mathematische
Gemeinschaft diesen Beweis nun auch akzeptieren muss. Erst dann ist der Beweis auch
tatsächlich gültig.
2.5.8. RESÜMEE
Bei einem mathematischen Beweis spielen die Formalität und die Deduktion eine wichtige
Rolle. Der Beweis sollte durch diese beiden Eigenschaften gekennzeichnet sein. In der Schule
ist dies aber nicht immer der Fall und somit sollte dieser Beweisprozess nicht einfach auf die
Schule umgelegt werden. Dennoch ist es für Lehrpersonen sehr interessant diese Prozesse zu
kennen und sie bis zu einem gewissen Grad als Orientierung für den Unterricht zu verwenden.
Wie eine Durchführung des Beweises in der Schule aussehen könnte, wird im nächsten
Abschnitt erläutert. Da Beweisen, wie Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 50)
sagen, eine Tätigkeit ist, sollte auch in der Schule der Prozess eine wichtige Rolle spielen.
Genau in diesem Prozessen stecken auch einige der in Abschnitt 2.4. genannten Funktionen
des Beweisens: erklären, kommunizieren, entdecken und Zusammenhänge herstellen.
19
2.6. PROZESS DES BEWEISENS IN DER SCHULE
Obwohl der Prozess des Beweisens in der Schule nicht gänzlich dem von Expertinnen und
Experten entspricht, findet auch dort ein solcher Prozess statt. Werden in der Schule Beweise
von den Lernenden selbst erarbeitet, so stehen sie vor ähnlichen Herausforderungen. Brunner
(Brunner, 2013, S. 111-116) legt in Anlehnung zum eben genannten Ablauf bei
Mathematikerinnen und Mathematikern ein Prozessmodell für das schulische Beweisen vor.
Dabei wird vor allem auf die Ausgangssituation in der Schule, die zirkulären und progressive
Eigenschaft des Beweisens und die Akzeptanz durch die Community Wert gelegt. Bei diesem
Modell werden zwei Bereiche unterschieden:
Der soziale Rahmen, in dem der Beweis durchgeführt wird.
Der Denkprozess, der während dem Beweisen abläuft.
Am Ende des Beweises sollte die Akzeptanz des Beweises seitens der gesamten Klasse
stehen. Das ist das Ziel des gesamten Prozesses. Alle sollten Gewissheit über die Wahrheit
der Behauptung haben. Genau diese fehlende Gewissheit, die zu Beginn des Prozesses
vorhanden ist, sollte zu Motivation führen, das Ziel zu erreichen.
In Brunners Modell werden dabei drei Stufen von Gewissheit unterschieden:
1. Gewissheit für einzelne Beispiele: Damit ist gemeint, dass wir einen experimentellen
Beweis führen und dann zumindest Gewissheit in diesen bearbeiteten Fällen erlangt
haben.
2. Die Gewissheit, die durch Handlungsbeweise erzielt wird, eine Gewissheit, die auf
anschaulicher Ebene vorhanden und subjektiv ist. Diese muss aber interpretiert und
ausgearbeitet werden, um die anderen zu überzeugen.
3. Gewissheit, die durch einen Beziehungsbeweis erlangt wird. Die Allgemeingültigkeit
ist sofort erkennbar, denn diese kann durch die deduktive formale Kette von
Argumenten abgelesen werden.
Von einer Stufe zur anderen erfolgt ein Qualitätssprung. Der Unterschied von Stufe 1 zu Stufe
2 ist groß, da in den Stufen 2 und 3 Allgemeingültigkeit vorhanden sind. Um vom subjektiven
Verständnis auf das objektive zu kommen, muss man sich an die mathematischen
Konventionen, also an die formale Sprache halten. Dies ist aber leichter, als überhaupt auf
Allgemeingültigkeit zu gelangen.
20
Wie das Beweisbedürfnis befriedigt wird ist nach dem Modell von den kognitiven
Voraussetzungen abhängig. In der einfachsten Form findet ein experimenteller Beweis statt.
Die Behauptung wird also nur anhand von Beispielen getestet und dadurch verifiziert oder
falsifiziert. Somit erhält man nur die Gewissheit vom Grad 1. Wir können also nicht sicher
sein, dass die Behauptung stimmt, es kann auf keine Allgemeingültigkeit geschlossen werden.
Die Gültigkeit bleibt auf die getesteten Beispiele bezogen, durch diese fehlende
Allgemeingültigkeit werden die Schülerinnen und Schüler dazu motiviert, diese zu beweisen.
Zunächst werden dafür die Voraussetzungen von der Behauptung getrennt, dadurch wird klar,
wovon ausgegangen wird. Diese werden nun versucht miteinander zu verbinden. Es soll also
ein Zusammenhang von Voraussetzung und Bedingung gefunden werden. Dabei können viele
Lösungswege gefunden und getestet werden. Die passenden Argumente werden dann
miteinander verknüpft und somit wird eine Schlusskette gefunden, die von den
Voraussetzungen auf die Behauptung schließt. Damit wäre dann die Gültigkeit von dieser
gezeigt. Ist dieser Zusammenhang anschaulich gezeigt, so haben wir einen Handlungsbeweis
gefunden. Die Gewissheit ist nicht selbsterklärend und somit ist diese subjektiv. Durch
Erläuterungen kann diese Gewissheit aber den anderen erklärt werden und somit wird diese
durch Interpretation auch bei den Anderen erzeugt. Die Gewissheit ist aber nicht durch die
mathematischen Konventionen hergestellt und somit bleibt sie subjektiv. Im nächsten Schritt
kann durch Mathematisieren diese subjektive Gewissheit zur objektiven werden. Somit ist
auch ein Beziehungsbeweis, also ein formaler Beweis, der den mathematischen Konventionen
entspricht, gefunden.
Der Denkprozess beginnt mit dem experimentellen Beweis und er geht über den
Handlungsbeweis zum Beziehungsbeweis. Einzelne Prozesse können aber schneller ablaufen,
so kann man auch direkt zum Handlungsbeweis oder sogar zum Beziehungsbeweis gelangen.
Das heißt, es können einzelne Schritte nur sehr kurz durchgeführt werden.
Die Schritte des Beweisens bei den Schülerinnen und Schülern können angelehnt an den
Prozess
der
„richtigen“
Mathematikerinnen
und
Mathematiker
zusammengefasst
folgenderweise beschrieben werden:
1. Experimenteller Beweis: Auf dieselbe Art beginnen Expertinnen und Experten.
2. Behauptung von den Voraussetzungen trennen: Auch diese Phase läuft bei
Expertinnen und Experten ähnlich ab. Allerdings müssen die Schülerinnen und
Schüler die zu beweisende Behauptung nicht selbst finden.
21
3. Beweis finden: Nach Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 49) ist das der
schwerste Teil für die Schülerinnen und Schüler. Es wird versucht, die
Voraussetzungen mit der Behauptung zu verknüpfen. Dies kann sofort mit einem
Beziehungsbeweis oder zunächst mit einem Handlungsbeweis, der dann zu einem
Beziehungsbeweis führt, erfolgen. Laut Reiss und Hammer (Reiss & Hammer, 2013,
S. 49) spielt die Sprache in der Schule allerdings eine nicht so große Rolle, denn es
komme dort nur darauf an, dass der Beweis nachvollzogen werden kann, also dass er
verständlich ist.
4. Akzeptanz durch die mathematische Gemeinschaft: Ist der Beweis gefunden, so sollte
er der Klasse präsentiert und den Mitschülerinnen und Mitschülern erklärt werden.
Diese sollen Fragen stellen, falls etwas unklar sein sollte. Es sollte am Ende
entschieden werden, ob der Beweis akzeptiert wird, oder ob etwas falsch ist und er
deshalb überarbeitet werden sollte. In dieser Phase spielt das Kommunizieren eine
bedeutende Rolle.
Wichtig ist, dass der Prozess nicht linear, sondern zirkulär durchlaufen werden kann. Es sollte
den Lernenden gesagt werden, dass es in Ordnung ist, wenn sie Fehler machen. Reiss und
Hammer (Reiss & Hammer, 2013, S. 49) weisen darauf hin, dass das selbst der besten
Mathematikerin und dem besten Mathematiker passieren kann. Die eleganten Beweise, die
wir heute kennen, sind meist nicht innerhalb kurzer Zeit entstanden, sondern wurden einige
Male überarbeitet. Deswegen sollten auch die Zwischenprodukte der Lernenden wertgeschätzt
werden.
2.7. FINDEN VON BEWEISEN
Wie bereits erwähnt, ist es für Lernende sehr schwierig, eine Idee für den Beweis zu erhalten.
Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 198-199) geben zu, dass das ein sehr
hohes mathematisches Wissen und Können und einiges an Erfahrung erfordert. Außerdem sei
Kreativität gefragt. Sie meinen, dass den Schülerinnen und Schülern meist nur ein Beweis
gelingen wird, wenn sie einen ähnlichen schon kennen. Das bedeutet, dass diese schon
wesentliche Elemente des Beweises kennen müssen. Sie sind somit auch der Meinung, dass
die Lernenden nur dann selbstständig einen Beweis führen können, wenn die Lehrperson
Hilfestellungen leistet. Am einfachsten ist es, wenn Schülerinnen und Schüler zusammen mit
der Lehrerin oder dem Lehrer den Beweis entwickeln. Fischer und Malle (Fischer & Malle,
22
1985, S. 199-204) geben aber auch andere Möglichkeiten an, mit denen die Lernenden
möglichst selbstständig Beweise führen können.
2.7.1. ANALOGIEBEWEISE
Die erste Art Schülerinnen und Schüler selbstständig Beweise führen zu lassen ist
Analogiebeweise zu machen. Damit sind Beweise gemeint, bei denen sich die Beweisstruktur
von einem Beweis zum anderen nicht ändert. Diese Art von Beweisen sind in Schulbüchern
zahlreich zu finden. Ein paar werden hier angeführt:
Im Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a,
S. 60) ist der Beweis für die Teilbarkeitsregel für 9 zu finden. Es wird folgendes
gezeigt: „Eine Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme
durch 9 teilbar ist.“ (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 60)
Der Beweis ist in dem Buch folgenderweise zu finden:
Z.z. Eine Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar
ist.
Beweis:
n sei eine m-stellige Zahl mit den Ziffern 𝑎𝑚−1 , 𝑎𝑚−2 , … , 𝑎1 , 𝑎0 . Dann gilt:
𝑛 = 10𝑚−1 𝑎𝑚−1 + 10𝑚−2 𝑎𝑚−2 + ⋯ + 10𝑎1 + 𝑎0 =
= (10𝑚−1 − 1)𝑎𝑚−1 + (10𝑚−2 − 1)𝑎𝑚−2 + ⋯ + (10 − 1)𝑎1 +
+(𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 )
Da (10𝑘 − 1) für alle 𝑘 ∈ ℕ∗ durch 9 teilbar ist, gilt
9 | (10𝑚−1 − 1)𝑎𝑚−1 + (10𝑚−2 − 1)𝑎𝑚−2 + ⋯ + (10 − 1)𝑎1.
Somit gilt 9 | 𝑛, genau wenn 9 | (𝑎𝑚−1 + 𝑎𝑚−2 + ⋯ + 𝑎1 + 𝑎0 ) (wegen der folgenden
Teilbarkeitsregel für 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ∗ : 𝑎 | 𝑏 und 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 | (𝑏 + 𝑐).)
Beweis nach Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec,
2010a, S. 60)
23
Die Schülerinnen und Schüler sollen nun analog die Teilbarkeitsregel für 3 beweisen,
bei der genauso die Ziffernsumme betrachtet werden muss.
Bei demselben Beweis ist ein weiterer Analogiebeweis zu finden: Bevor dieser
allgemeine Beweis für die Teilbarkeitsregel für 9 gegeben wird, wird im Mathematik
verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 60) ein
Beweis für zweistellige natürliche Zahlen gemacht. Von den Lernenden wird dann
auch gefordert, dass sie diesen Beweis für dreistellige natürliche Zahlen durchführen.
Auch im Mathematik 5 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 57) soll der
Beweis für die Teilbarkeit durch 9 analog zum Beweis für die Teilbarkeit durch 3
durchgeführt werden.
Als weiterer Analogiebeweis könnte der folgende gemacht werden. In der Klasse
wurde der Satz „Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich
auch die Länge jeder Diagonale.“ (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520) schon wie
folgt bewiesen:
Z.z. Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich auch die Länge jeder
Diagonale.
Anschaulicher Beweis:
Abbildung nach (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)
Legt man das Quadrat viermal nebeneinander, so erhält man ein Quadrat mit verdoppelter
Seitenlänge. Es ist sofort zu sehen, dass auch die Diagonale nun doppelte Länge hat.
24
Formaler Beweis:
Sei 𝑎 die Seitenlänge des Quadrats und 𝑑 dessen Diagonale. 𝑑1 sei die Diagonale des Quadrats mit
verdoppelter Seitenlänge, also mit Seitenlänge 2 ∙ 𝑎. So gilt nach dem Satz des Pythagoras:
𝑑 = √𝑎2 + 𝑎2 = √2 ∙ 𝑎2 = 𝑎 ∙ √2
Für 𝑑1 erhalten wir somit durch Einsetzen in diese Formel (die Seitenlänge 𝑎 ist jetzt doppelt so lang,
also 2 ∙ 𝑎):
𝑑1 = 2 ∙ 𝑎 ∙ √2
Somit gilt:
𝑑1 = 2 ∙ 𝑑
Die Diagonale des Quadrats mit doppelter Seitenlänge hat also auch doppelte Länge.
(Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)
In der Klasse kann nun die Frage gestellt werden, ob diese Aussage auch auf
Rechtecke angewandt werden kann (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520). Es wird
also nicht direkt der Hinweis gegeben, dass der Beweis analog durchzuführen ist,
aber die Schülerinnen und Schüler werden dies höchstwahrscheinlich versuchen.
Auch beim Thema Folgen und Reihen lassen sich sehr gut Analogiebeweise
durchführen. So findet sich im Mathematik 6 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch,
2010b, S. 127 & 129) das Monotonieverhalten von gegebenen Folgen bewiesen. Als
Beispiel soll gezeigt werden, dass die Folge
2𝑛−1
𝑛+1
streng monoton wachsend ist:
25
Z.z. Die Folge 𝑎𝑛 =
2𝑛−1
𝑛+1
ist streng monoton wachsend, also 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 :
Beweis:
2𝑛 − 1 2(𝑛 + 1) − 1
<
(𝑛 + 1) + 1
𝑛+1
2𝑛−1
𝑛+1
<
2𝑛+1
𝑛+2
|∙ (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) > 0
(2𝑛 − 1)(𝑛 + 2) < (2𝑛 + 1)(𝑛 + 1)
2𝑛2 + 3𝑛 − 2 < 2𝑛2 + 3𝑛 + 1
−2 < 1
Das ist eine wahre Aussage für alle 𝑛 ∈ ℕ∗ und somit ist diese Folge tatsächlich streng monoton
wachsend.
(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 127 & 129)
Die Schülerinnen und Schüler sollen nun einen solchen Beweis für eine andere Folge
durchführen. Auch im Mathematik verstehen 6 (Malle, Koth, Woschitz, Malle,
Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 118) sind solche Aufgaben zu finden.
Generell sind bei den Folgen in diesen beiden Schulbüchern sehr viele
Analogiebeweise zu finden. Wurden die folgenden Aussagen für eine Folge bewiesen,
so können die Schülerinnen und Schüler diese für andere Folgen selbst beweisen:
a) Gib an, was die untere Schranke einer gegebenen Folge 𝑎𝑛 ist und beweise diese
Aussage (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 128 & 130; Malle, Koth,
Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 118).
b) Finde den Grenzwert einer gegebenen Folge 𝑎𝑛 und beweise, dass das der
Grenzwert ist (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 137-139; Malle, Koth,
Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 120-121).
26
Als letzten Analogiebeweis, der hier vorgestellt wird, kann auch die Drehung eines
Körpers um die x-Achse oder um die y-Achse gesehen werden. Die Herleitung der
Formel wird im Mathematik 8 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, Mathematik 8,
2013, S. 93-94) für die Drehung um die x-Achse bewiesen. Analog sollen die
Schülerinnen und Schüler die Formel für das Volumen bei Drehung eines Körpers um
die y-Achse beweisen.
Es gibt also genügend Analogiebeweise, die in der Schule geführt werden können. Werden
diese von den Lehrpersonen genutzt, so erhalten Schülerinnen und Schüler ein Gefühl für das
selbstständige Beweisführen.
2.7.2. BEWEISE MIT UNTERSCHIEDLICHEN FÄLLEN, WOBEI MINDESTENS EIN FALL
DURCHGEFÜHRT IST
Eine weitere Möglichkeit den Lernenden selbstständiges Arbeiten mit Beweisen näher zu
bringen ist die Möglichkeit einen Beweis mit mehreren Fällen aufzuteilen. Ein Fall oder
mehrere Fälle werden der Klasse präsentiert. Die restlichen sollen von den Schülerinnen und
Schülern auf eigene Faust durchgeführt werden.
Im Mathematik verstehen 5 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a,
S. 264) wird der Beweis für die Formel der Normalprojektion in mehrere Fälle
unterteilt. Dabei wird der Begriff Normalprojektion mit Hilfe von Kräften erklärt:
„Ein Schlitten wird mit einer unter dem Winkel 𝜑 schräg nach oben gerichteten Kraft
𝐹⃑ gezogen.“ (ebd.) Die Kraft ⃑⃑⃑
𝐹𝑠 , mit dessen Betrag der „Schlitten in Richtung des
Wegvektors 𝑠⃑ gezogen wird“ (ebd.), wird Normalprojektion von 𝐹⃑ auf 𝑠⃑ genannt.
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, &
Ulovec, 2010a, S. 264)
27
Der Beweis der Formel für die Projektion erfolgt folgendermaßen:
Z.z. Für den Betrag der Normalprojektion von 𝑏⃑⃑ auf 𝑎⃑ gilt: |𝑏⃑⃑𝑎 | = |𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑|.
Beweis:
Allgemein gilt: 𝜑 = ∢(𝑎⃑, 𝑏⃑⃑) = ∢(𝑎⃑0 , 𝑏⃑⃑) ⇒ cos𝜑 =
1. Fall: 0° ≤ 𝜑 < 90°:
⃑⃑
𝑎⃑⃑ ∙𝑏
|𝑏⃑⃑𝑎 | = |𝑏⃑⃑ | ∙ cos𝜑 = |𝑏⃑⃑ | ∙ 0⃑⃑ = 𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑
|𝑏 |
2. Fall: 𝜑 = 90°:
⃑⃑| = 0 = 𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑ (da 𝑎⃑0 ⊥ 𝑏⃑⃑)
|𝑏⃑⃑𝑎 | = |0
3. Fall: 90° ≤ 𝜑 ≤ 180°:
|𝑏⃑⃑𝑎 | = |𝑏⃑⃑ | ∙ cos(180° − 𝜑)
= −|𝑏⃑⃑ | ∙ cos(𝜑)
= −|𝑏⃑⃑ | ∙
28
𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑
= −𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑
⃑⃑
|𝑏 |
⃑⃑
𝑎⃑⃑0 ∙𝑏
⃑
⃑
1∙|𝑏 |
=
⃑⃑
𝑎⃑⃑0 ∙𝑏
⃑⃑
|𝑏 |
Somit gilt in allen drei Fällen: |𝑏⃑⃑𝑎 | =|𝑎⃑0 ∙ 𝑏⃑⃑|.
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010a, S. 264)
Ein weiterer Beweis mit mehreren Fällen ist der für die Potenzregeln mit einer ganzen
Zahl im Exponenten. Dieser Beweis ist im Mathematik 6 und Mathematik verstehen 6
(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 74; Malle, Koth, Woschitz, Malle,
Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 10-11) zu finden. Als Beispiel wird hier der folgende
Beweis angeführt:
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ und alle 𝑛 ∈ ℤ (Malle, Koth, Woschitz, Malle,
Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 11), wobei davon ausgegangen wird, dass dieselbe
Aussage für 𝑛 ∈ ℕ schon gezeigt wurde:
Z.z. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ∗ und alle 𝑛 ∈ ℕ:
Beweis:
1. Fall: 𝑛 ∈ ℤ+ ⇒ 𝑛 ∈ ℕ, was schon gezeigt wurde
2. Fall: 𝑛 ∈ ℤ− ⇒ 𝑛 = −𝑘 mit 𝑘 ∈ ℤ+ .
1
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)−𝑘 = (𝑎∙𝑏)𝑘 =
1
𝑎 𝑘 ∙𝑏𝑘
1
1
= 𝑎𝑘 ∙ 𝑏𝑘 = 𝑎−𝑘 ∙ 𝑏 −𝑘 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛
1. Fall
3. Fall: 𝑛 = 0
(𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)0 = 1 = 1 ∙ 1 = 𝑎0 ∙ 𝑏 0 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏 𝑛
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 11)
29
Beweise mit unterschiedlichen Fällen stellen für Schülerinnen und Schüler sicher eine größere
Herausforderung dar als Analogiebeweise. Eine gute Übung für selbstständiges Beweisführen
sind sie aber auf jeden Fall.
2.7.3. VERALLGEMEINERN EINES BEWEISES
Auch durch das Verallgemeinern eines Beweises kann das selbstständige Beweisen trainiert
werden. Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 199) geben ein gutes Beispiel an, das
hier passend ist.
In der Klasse könnte mit den Schülerinnen und Schülern der folgende Beweis gemacht
werden: lim𝑛→∞ 0, 8𝑛 = 0. Dabei muss aber erwähnt werden, dass die Konvergenz
von Folgen zwar im Lehrplan der Oberstufe (6. Klasse) zu finden ist
(Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe
Mathematik, S. 4), allerdings Folgen prinzipiell bei der standardisierten Reifeprüfung
keine Rolle spielen (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013).
Z.z. lim𝑛→∞ 0, 8𝑛 = 0:
Beweis:
Sei 𝜀 > 0. Dann gilt:
|0,8𝑛 − 0| < 𝜀 ⟺ |0,8𝑛 | < 𝜀 ⟺ 0,8𝑛 < 𝜀 ⟺ 𝑛 ∙ ln0,8 < ln𝜀 ⟺ 𝑛 >
ln𝜀
ln0,8
ln𝜀
Wähle nun 𝑛0 > ln0,8 . Dann ist |0,8𝑛 − 0| < 𝜀 für alle 𝑛 ≥ 𝑛0 .
Beweis nach (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010b, S. 120)
Anschließend könnte von den Lernenden verlangt, werden, dass sie die
Verallgemeinerung davon beweisen, nämlich: lim𝑛→∞ 𝑞 𝑛 = 0 für 0 < 𝑞 < 1. (Fischer
& Malle, 1985, S. 199)
30
Als weiteres Beispiel kann hier die Ableitungsregel für die Potenzfunktion angeführt
werden. So kann in der Klasse die Regel für 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 bewiesen werden:
Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥
Beweis:
(𝑥 + 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
𝑥0 2 − 𝑥 2
= lim
= lim
= lim (𝑥 + 𝑥0 )
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥 𝑥0 − 𝑥
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
= 2𝑥
Die Schülerinnen und Schüler sollen nun versuchen zu beweisen, dass für 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
gilt: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 für 𝑛 ∈ ℕ∗ (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec,
2011, S. 30). Bevor diese Aufgabe gegeben wird, sollte allerdings die Regel von
Horner wiederholt werden:
Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 für 𝑛 ∈ ℕ∗
Beweis:
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
𝑥0 𝑛 − 𝑥 𝑛
= lim
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥 𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
= lim𝑥0 →𝑥
(𝑥0 −𝑥)∙(𝑥0 𝑛−1 +𝑥0 𝑛−2 ∙𝑥+𝑥0 𝑛−3 ∙𝑥 2 +⋯+𝑥0 ∙𝑥 𝑛−2 +𝑥 𝑛−1 )
𝑥0 −𝑥
= lim (𝑥0 𝑛−1 + 𝑥0 𝑛−2 ∙ 𝑥 + 𝑥0 𝑛−3 ∙ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥0 ∙ 𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 ) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1
𝑥0 →𝑥
𝑛 Summanden
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 30)
31
2.7.4. BEWEISE DURCH AUFGABEN ERARBEITEN
Wird ein Beweis in eine Aufgabe verpackt, so ist die Klasse interessiert, da sie die Aufgabe
auch lösen möchte. Dazu ist der Beweis selbst aber notwendig. Außerdem wissen die
Lernenden sofort, wofür die Behauptung angewendet werden kann. Auch für diese Art
werden Beispiele angegeben:
Flächeninhalt des Parallelogramms:
Mit den Schülerinnen und Schülern soll die folgende Aufgabe gelöst werden:
Aufgabe 630a) aus Das ist Mathematik 3 (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß,
Aue, & Neuwirth, 2012, S. 183):
„Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD! [...]
𝑎 = 27 𝑚𝑚, ℎ𝑎 = 19 𝑚𝑚 “ (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, Aue, &
Neuwirth, 2012, S. 183).
Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD!
𝑎 = 27 𝑚𝑚, ℎ𝑎 = 19 𝑚𝑚
Folgende Fläche ist gesucht:
Anhand der Zeichnung ist zu sehen, dass, dass das rechte Dreieck auch auf der linken Seite
vorhanden ist:
32
Wird das rechte Dreieck auf die linke Seite verschoben, so erhalten wir ein Rechteck und der
Flächeninhalt dieses Rechtecks ist gleich dem Flächeninhalt des ursprünglichen Parallelogramms:
Durch die Flächeninhaltsformel des Rechtecks erhalten wir also die Fläche des Parallelogramms:
𝐴𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚 = 𝐴𝑅𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎
Für unser Parallelogramm erhalten wir somit:
𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ𝑎 = 27 ∙ 19 = 515 𝑚𝑚2
Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt also 515 𝑚𝑚2.
(Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, Aue, & Neuwirth, 2012, S. 183)
Ein weiteres Beispiel, das wiederum aus der Geometrie stammt, ist nach Fischer und
Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 200) das des Sinus- und Cosinussatzes. Im
Mathematik 5 (Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 209) werden diese Sätze
anhand eines Beispiels hergeleitet.
33
Von einem Dreieck kennt man 𝑏 = 5, 𝑐 = 8, ∝= 60°. Berechne 1) 𝑎, 2) 𝛽.
1) Wir zerlegen das Dreieck mittels der Höhe ℎ𝑐 in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Für das linke
gilt:
𝑠𝑖𝑛 ∝=
ℎ𝑐
⇒ ℎ𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝
𝑏
⇒ ℎ𝑐 ≈ 4,33
𝑐𝑜𝑠 ∝=
𝑤
⇒ 𝑤 = 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑏
⇒ 𝑤 ≈ 2,5
Nun lässt sich im rechten Dreieck mit
dem Satz des Pythagoras 𝑎 bestimmen:
𝑎2 = ℎ𝑐 2 + (𝑐 − 𝑤)2
= 𝑏 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +(𝑐 − 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝)2
= 𝑏 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝ +𝑏2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 ∝
= 𝑏 2 ∙ (𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠 2 ∝) + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝
Weil 𝑠𝑖𝑛2 ∝ +𝑐𝑜𝑠 2 ∝= 1, gilt:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝⇒ 𝑎 ≈ 7
2) ℎ𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝ und ℎ𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
⇒ 𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝ = 𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽 ⇒
𝑎
𝑏
𝑏 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ∝
=
⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
⇒ 𝛽 = 38,21°
𝑠𝑖𝑛 ∝ 𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑎
Achtung: Rein rechnerisch käme wegen 𝑠𝑖𝑛𝛽 = sin(180° − 𝛽) auch der stumpfe Winkel
𝛽 = 180° − 38,21° = 141,79° als Lösung in Frage. Aufgrund der Figur können wir diese
Möglichkeit im vorliegenden Fall ausschließen. Man hätte dies auch aus ∝= 60° folgern
können.
(Götz, Reichel, Müller, & Hanisch, 2010a, S. 209)
34
Als weitere Formel, die durch eine Aufgabe hergeleitet werden kann, ist die kleine
Lösungsformel zu erwähnen:
Finde die Lösungen für die folgende Gleichung: 𝑥 2 + 4𝑥 − 21 = 0.
Allgemeine Form:
𝑥 2 + 4𝑥 − 21 = 0
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 = 0
(𝑥 + 2)2 − 4 − 21 = 0
𝑝 2
𝑝 2
(𝑥 + ) − ( ) + 𝑞 = 0
2
2
(𝑥 + 2)2 − 25 = 0
(𝑥 + 2)2 = 25
𝑥1,2 + 2 = ±√25
𝑝 2
𝑝 2
(𝑥 + ) = ( ) − 𝑞
2
2
𝑥1,2 +
𝑝
𝑝 2
= ±√( ) − 𝑞
2
2
𝑥1,2 = −2 ± √25
𝑥1 = −7
𝑝
𝑝 2
𝑥1,2 = − ± √( ) − 𝑞
2
2
𝑥2 = 3
Der Vorteil eines Beweises anhand einer Aufgabe ist laut Fischer und Malle (Fischer &
Malle, 1985, S. 202), dass der Beweis sozusagen ein Nebenprodukt darstellt. Er ist eine
Entdeckung einer Aufgabe. Zunächst wird der Beweis nur an einem Einzelbeispiel
durchgeführt, schrittweise kann dann verallgemeinert werden, indem immer mehr Variablen
verwendet werden. Oft fällt gerade das den Schülerinnen und Schülern leichter.
2.7.5. BEWEISE MIT BEREITS BEKANNTEM BEWEISMUSTER AUS DEM GEBIET
Eine weitere Möglichkeit selbstständiges Beweisen zu fördern ist es Beweise zu machen, die
ähnlich zu einem bereits bekannten Beweis aus demselben Stoffgebiet sind. Auch dazu sollen
Beispiele angeführt werden:
Es kann etwa die Produktregel mit der gesamten Klasse bewiesen werden, die
Quotientenregel soll dann von den Lernenden selbst bewiesen werden:
35
Produktregel:
Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
Beweis:
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥) 𝑢(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)
=
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
=
𝑢(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 ) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
=
(𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)) ∙ 𝑣(𝑥0 ) + 𝑢(𝑥) ∙ (𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥))
𝑥0 − 𝑥
=
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
∙ 𝑣(𝑥0 ) + 𝑢(𝑥) ∙
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
= lim (
∙ 𝑣(𝑥0 ) + 𝑢(𝑥) ∙
)
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
= lim (
∙ 𝑣(𝑥0 )) + 𝑢(𝑥) ∙ lim
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
= 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
Quotientenregel:
𝑢(𝑥)
Z.z. 𝑓(𝑥) = 𝑣(𝑥) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) =
𝑢′ (𝑥)∙𝑣(𝑥)−𝑢(𝑥)∙𝑣′(𝑥)
(𝑣(𝑥))2
Beweis:
𝑢(𝑥0 ) 𝑢(𝑥)
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥) 𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥) 𝑢(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 )
=
=
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥)
36
=
𝑢(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 )
(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥)
=
(𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ (𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥))
(𝑥0 − 𝑥) ∙ 𝑣(𝑥0 ) ∙ 𝑣(𝑥)
=
1
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
∙(
∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙
)
𝑣(𝑥0 )𝑣(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
𝑥0 →𝑥
𝑥0 − 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = lim
1
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
= lim [
∙(
∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙
)]
𝑥0 →𝑥 𝑣(𝑥0 )𝑣(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
1
𝑢(𝑥0 ) − 𝑢(𝑥)
1
𝑣(𝑥0 ) − 𝑣(𝑥)
= 𝑣(𝑥) ∙ lim (
∙
) − 𝑢(𝑥) ∙ lim (
∙
)
𝑥0 →𝑥 𝑣(𝑥0 )𝑣(𝑥)
𝑥0 →𝑥 𝑣(𝑥0 )𝑣(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
𝑥0 − 𝑥
=
𝑣(𝑥) ∙ 𝑢′ (𝑥) 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥) 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
−
=
(𝑣(𝑥))2
(𝑣(𝑥))2
(𝑣(𝑥))2
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 84-85)
Eine weitere Möglichkeit ist auch, die Schülerinnen und Schüler die Ableitungsregel
für die Wurzelfunktion selbst beweisen zu lassen, nachdem die Ableitungsregel für die
Potenzfunktion gemacht wurde (siehe Abschnitt 2.7.3.).
Auch Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 202) führen Beispiele an: Wurde
etwa schon bewiesen, dass die Summe zweier gerader Zahlen wieder gerade ist, so
könnte der Beweis verlangt werden, dass die Summe zweier ungerader Zahlen ebenso
gerade ist und dass die Summe von drei Zahlen, die durch 3 teilbar sind, wiederum
durch 3 teilbar ist.
2.7.6. BEWEISE VERBUNDEN AUS BEKANNTEN BEWEISMUSTERN AUS DEM STOFFGEBIET
Das selbstständige Beweisen kann auch mit einem Beweis geübt werden, bei dem mehrere
bekannte Beweismuster aus demselben Stoffgebiet bei einem neuen Beweis verbunden sind.
Hierfür ist es sicherlich schwerer geeignete Beweise zu finden. Dennoch soll eine
Möglichkeit dafür angeführt werden:
Wurde mit der Klasse schon die Ableitungsregel für die Potenzfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
(Abschnitt 2.7.3.) und für die Quadratwurzelfunktion 𝑓(𝑥) = √𝑥 bewiesen, so setzt
𝑛
sich der Beweis für die Ableitungsregel für die Wurzelfunktion 𝑓(𝑥) = √𝑥 aus
diesen beiden Beweisen zusammen.
37
Quadratwurzelfunktion:
1
Z.z. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 2∙
√𝑥
Beweis:
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
√𝑥0 − √𝑥
√𝑥0 − √𝑥
= lim
= lim
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥 𝑥0 − 𝑥
𝑥0 →𝑥 (√𝑥 − √𝑥) ∙ (√𝑥 + √𝑥)
𝑥0 − 𝑥
0
0
𝑓 ′ (𝑥) = lim
1
= lim
𝑥0 →𝑥 √𝑥
0
+ √𝑥
=
1
2 ∙ √𝑥
Wurzelfunktion:
1
𝑛
Z.z. 𝑓(𝑥) = √𝑥 ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛∙( 𝑛 𝑥)𝑛−1
√
Beweis:
𝑛
𝑓
′ (𝑥)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑓(𝑥0 ) − 𝑓(𝑥)
√𝑥0 − √𝑥
√𝑥0 − √𝑥
= lim
= lim
= lim 𝑛
𝑥0 →𝑥
𝑥0 →𝑥 𝑥0 − 𝑥
𝑥0 →𝑥 ( √𝑥 )𝑛 − ( 𝑛√𝑥 )𝑛
𝑥0 − 𝑥
0
𝑛
𝑛
= lim
√𝑥0 − √𝑥
𝑥0 →𝑥 𝑛
𝑛
𝑛−1
( √𝑥0 − √𝑥 ) ∙ [( 𝑛√𝑥0 )
𝑛−2
+ ( 𝑛√𝑥0 )
𝑛
1
𝑛−2
𝑛−3 𝑛
2
𝑛−1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑥0 →𝑥 ( 𝑛√𝑥 )𝑛−1 +( 𝑛√𝑥 )
∙ √𝑥 +( √𝑥0 )
∙( √𝑥 ) +⋯+( √𝑥 )
0
0
= lim
𝑛−3
∙ √𝑥 + ( 𝑛√𝑥0 )
1
= 𝑛∙( 𝑛 𝑥)𝑛−1
√
𝑛 Summanden
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2011, S. 92)
38
𝑛
2
𝑛
𝑛−1
∙ ( √𝑥 ) + ⋯ + ( √𝑥 )
]
Dieser Beweis für die Wurzelfunktion ist dem Beweis für die Quadratwurzelfunktion
sehr ähnlich, allerdings wird wie schon beim Beweis für die Potenzfunktion die Regel
von Horner benötigt. Somit setzt sich der Beweis genau aus diesen beiden Beweisen
zusammen.
2.7.7. BEKANNTE BEWEISMUSTER IN EINEM NEUEN THEMENGEBIET ANWENDEN
Eine weitere Möglichkeit ist es, auch einen Beweis zu führen, der ein Beweismuster aus
einem anderen Stoffgebiet verwendet. Dazu ist ein Beweis im Schulbuch Mathematik
verstehen 6 (Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 132) zu finden:
Das Umordnen stellt ein bereits bekanntes Beweismuster dar. So wurde etwa beim
Beweis für die Flächeninhaltsformel des Parallelogramms (Abschnitt 2.7.4.) eine
Fläche verschoben. Auch bei dem nun angeführten Beweis soll umgeordnet werden,
und zwar bei dem Beweis für die Summenformel der endlichen arithmetischen Reihe.
Z.z.: Es sei (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) eine endliche arithmetische Folge. So ist 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 die zugehörige
arithmetische Reihe. Sei 𝑑 die Differenz zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern, so
𝑛
gilt für die Summe: 𝑆 = 2 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
Beweis:
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
Es werden nun das erste und das letzte Glied zusammengefasst, das zweite mit dem vorletzten, das
dritte mit dem vorvorletzten, usw.:
𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎𝑛 − 𝑑) = 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑎3 + 𝑎𝑛−2 = (𝑎1 + 2𝑑) + (𝑎𝑛 − 2𝑑) = 𝑎1 + 𝑎𝑛
usw.
39
𝑛
1. Fall: 𝑛 ist gerade: Somit erhalten wir mit 2 Zusammenfassungen genau die Summe, es gilt
𝑛
also: 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 2 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
2. Fall: 𝑛 ist ungerade: Dann ist 𝑛 − 1 eine gerade Zahl. Wir nehmen also
𝑛−1
2
Zusammenfassungen. Es fehlt dann aber noch das mittlere Glied der Reihe. Da die Differenz
zwischen allen Gliedern konstant ist, ist dieses genau der Mittelwert des ersten und letzten
Gliedes. Somit gilt:
𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 =
𝑛−1
𝑎1 + 𝑎𝑛 (𝑛 − 1) ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) + (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) +
=
2
2
2
(𝑛 − 1 + 1) ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) 𝑛 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) 𝑛
=
=
= ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 )
2
2
2
(Malle, Koth, Woschitz, Malle, Salzger, & Ulovec, 2010b, S. 132)
2.7.8. BEWEISLÜCKEN NACH EINER BEWEISSKIZZE SCHLISSEN
Die letzte Möglichkeit, die Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 203) anführen
Schülerinnen und Schüler selbstständiges Beweisen zu erlernen, ist es, diese Beweislücken
schließen zu lassen, nachdem eine Beweisskizze gegeben wurde. Dafür ist fast jeder Beweis
geeignet, auch die bereits hier angeführten.
2.7.9. KOMBINATION DER BEREITS GENANNTEN METHODEN
Natürlich können die hier angeführten Methoden auch kombiniert werden. Fischer und Malle
(Fischer & Malle, 1985, S. 203) meinen, dass dies gerade bei schwierigen und langen
Beweisen geeignet ist.
40
2.8. BEWEISKOMPETENZ
2.8.1. WAS IST BEWEISKOMPETENZ ?
Möchte man das Beweisen erlernen bzw. lehren, so ist laut Brunner (Brunner, 2014, S. 79)
Beweiskompetenz wichtig. Sie erläutert, dass sich diese Kompetenz aus mehreren einzelnen
zusammensetzt. Auch die Kommunikation spielt eine bedeutende Rolle im Beweisprozess,
somit stellt sie eine Teilkompetenz dar. Wichtig ist es natürlich zu allererst, wie Brunner
erwähnt, dass die eigenen Schritte beim Rechnen oder sonstigem erklärt und auch begründet
werden können. Um Beweiskompetenz zu besitzen, muss man auch dazu in der Lage sein,
einen Beweis selbstständig führen zu können. Im vorigen Abschnitt wurden Möglichkeiten
erläutert, wie dies gelingen kann. Brunner meint, dass man dazu in der Lage sein sollte,
mathematische Begründungen anzustellen und diese auch testen können sollte. Weinert
versteht „unter Kompetenzen die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren
kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit
verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die
Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu
können.“ (Weinert, 2002, S. 27-28)
In diesem Kompetenzbegriff stecken also zunächst kognitive Fähigkeiten. Diese beziehen
sich auf einen gewissen Gegenstand. Auch Heinze und Reiss (Heinze & Reiss, 2003, S. 2)
sehen das Methodenwissen als einen Bereich der Beweiskompetenz an. Auch dieses wird in
drei Unterpunkte unterteilt, über die die Schülerinnen und Schüler Kenntnisse haben sollten,
um Beweiskompetenz zu erlangen:
1. Beweisschema: Ein mathematischer Beweis ist deduktiver Art. Deduktiv bedeutet,
dass wir immer eine bewiesene Behauptung benötigen, um auf etwas schließen zu
dürfen. Diese Behauptung muss aber auch inhaltlich passend sein. Nicht jedes
deduktive Argument ist somit notwendigerweise richtig.
2. Beweisstruktur: Ein Beweis soll von den Voraussetzungen auf die Behauptung
schließen. Dafür müssen gültige Argumente verwendet werden. Die Behauptung darf
etwa nicht im Beweis verwendet werden, denn das wäre ein Zirkelschluss und kein
gültiger Beweis. Außerdem dürfen keine Lücken vorhanden sein
3. Beweiskette: Im Beweis sollte jeder Schritt mit dem vorigen Schritt bewiesen werden.
Möglicherweise sind zusätzlich mathematische Informationen notwendig. Genauer
gesagt bedeutet das, dass die deduktiven Schlüsse richtig angeordnet sein müssen.
41
Heinze und Reiss (Heinze & Reiss, 2003, S. 2) weisen darauf hin, dass diese Aspekte
voneinander unabhängig sind. Eine Schülerin oder ein Schüler kann etwa einen Zirkelschluss
verwenden, aber ansonsten das Beweisschema und die Beweiskette richtig durchführen. Um
Beweiskompetenz zu erlangen, müssen alle drei Aspekte erworben sein, die Schülerin oder
der Schüler muss also Kenntnisse in allen drei Bereichen aufweisen. Reiss sagt „Aufbauen
und Fördern von Beweiskompetenzen bedeutet also, zumindest in diesen drei Aspekten
gezielt Methodenwissen aufzubauen.“ (Reiss, 2002, S. 80)
Reiss et al. (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 56-57) weisen außerdem darauf hin, dass es
unterschiedliche Niveaus des Beweisens gibt, Brunner (Brunner, 2014, S. 80-81) erläutert
diese genauer. Zu Beginn ist die Beweiskompetenz natürlich noch weniger ausgeprägt, als sie
es zu Ende der Schulkarriere sein sollte. Sie unterscheiden drei Niveaus, in Niveau I, also in
der untersten Stufe können einfache Regeln, also mathematische Begriffe und Sätze bei
einfachen Rechenproblemen angewendet werden, womit etwa das Berechnen einer
Seitenlänge einer geometrischen Figur gemeint ist. Niveau II verlangt, eine Argumentation,
die aus einem Schritt besteht, geben zu können. In Niveau III befinden sich Schülerinnen und
Schüler, die mehrere Beweisschritte zu einem Beweis verknüpfen können, wobei mit
Beweisschritten die Anwendung eines mathematischen Satzes gemeint ist.
Es ist schnell zu sehen, dass die Niveaus sehr Unterschiedliches verlangen. Bei Niveau I
müssen nur bekannte Begriffe oder Sätze angewendet werden, in Niveau II ist allerdings
schon eine Argumentation, also logisches Schließen notwendig. Niveau III müssen schon
Schritte miteinander kombiniert werden, was dann zu einer Beweiskette führt. (Brunner,
2014, S. 80-81)
Brunner (Brunner, 2014, S. 81) weist darauf hin, dass gerade in Niveau III metakognitive
Fähigkeiten, wie planen, durchführen, bewerten gefragt sind.
Es spielt aber nicht nur das Wissen über bestimmte mathematische Inhalte eine Rolle, um
Beweiskompetenz zu entwickeln, sondern wie gerade Lehrpersonen wissen ist die Motivation
ein sehr wichtiger Faktor. Denn weisen die Schülerinnen und Schüler keine Motivation auf,
so hilft alles Wissen nichts. Nur wenn sie einigermaßen motiviert sind, werden sie die
Beweiskompetenz erlernen. Doch wie kann diese Motivation erreicht werden?
42
2.8.2. STUDIEN ZUR BEWEISKOMPETENZ VON SCHÜLERINNEN UND SCHÜLERN
2.8.2.1. PISA
Bei PISA werden Schülerinnen und Schüler getestet, die sich am Ende der Pflichtschulzeit
befinden und somit zwischen 15 und 16 Jahren alt sind (OECD, 2014, S. 23). Im Jahr 2012
wurde, wie schon im Jahre 2003, der Schwerpunkt auf Mathematik gelegt (OECD, 2014, S.
26; OECD, 2004, S. 4) Die Ergebnisse haben sich in Österreich im Bereich Mathematik in
den Jahren 2003 auf 2012 nicht verändert (OECD, 2014, S. 60). Werden allerdings die
demographischen und sozialen Veränderungen berücksichtigt, so ist zu erkennen, dass sich
die Leistungen des Landes etwas verschlechtert haben (OECD, 2014, S. 65). 2012 liegen
diese aber über dem OECD-Durchschnitt (OECD, 2014, S. 52). Bei PISA wird Wert auf
Probleme, denen man im Alltag begegnet, gelegt. Diese sollen durch Anwenden des
mathematischen Wissens gelöst werden (OECD, 2014, S. 34). Die grundlegenden
mathematischen Fähigkeiten, die bei PISA 2012 getestet wurden, sind laut OECD (OECD,
2014, S. 42-43) die folgenden:
Kommunizieren: richtiges Verständnis der Aufgaben und Formulieren der Lösung
Mathematisieren: Wechsel zwischen der wirklichen und der mathematischen Welt
Repräsentieren: Auswahl oder Interpretation einer Darstellungsform, wie einer
Gleichung oder einer Tabelle
Reflektieren und Argumentieren: Diese Tätigkeit wird beim Lösen einer Aufgabe zu
jedem Zeitpunkt angewendet, gemeint ist dabei das Verknüpfen von Elementen der
Aufgabe, das Ziehen von Schlüssen, Prüfen von Begründungen oder Geben von
solchen.
Entwickeln von Strategien zur Lösung von Problemen: Es müssen Zusammenhänge
von gelieferten Daten erkannt werden und diese mit dem Ziel verknüpft werden.
Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik:
Hier müssen gewisse Regeln und Definitionen angewendet werden können.
Nutzung mathematischer Inhalte: Mathematische Instrumente müssen gekannt und die
Anwendung von diesen passend gewählt werden.
Einige dieser Fähigkeiten spielen auch beim Beweisen eine bedeutende Rolle. So ist etwa das
Erkennen von Zusammenhängen eine wichtige Fähigkeit, die hier mit der Fähigkeit
Entwickeln von Strategien zur Lösung von Problemen beschrieben wird. Weiters ist der
Umgang mit der formalen Sprache eine wichtige Fertigkeit beim Beweisen, die auch hier
angesprochen wird. Auch auf das Repräsentieren und Kommunizieren darf beim Beweise
43
durchführen nicht vergessen werden und natürlich ist das Reflektieren und Argumentieren
ebenso wichtig.
Sind allerdings alle diese Fähigkeiten bei einer Schülerin oder einem Schüler vorhanden, so
lässt sich noch nicht darauf schließen, dass diese oder dieser auch Beweiskompetenz besitzt.
Wie allerdings eine andere Studie (Abschnitt 2.8.3.3.) zeigt, hängen allgemeine
mathematische Kompetenzen und die Beweiskompetenz eng zusammen.
Bei PISA werden laut OECD (OECD, 2014, S. 50) sechs Kompetenzstufen unterschieden.
Stufe 6 erfordert die höchsten mathematischen Fähigkeiten. Befindet man sich auf dieser
Stufe, so sollten alle Aufgaben der Studie gelöst werden können. Die Kompetenzstufen
werden vom OECD (OECD, 2014, S. 67) wie folgt erläutert:
Stufe 6: Die Schülerinnen und Schüler der sechsten Stufe können ihre Kenntnisse auch
in ungewohnten Kontextsituationen anwenden. Weiters können sie Zusammenhänge
herstellen und sie „besitzen die Fähigkeit zu anspruchsvollem mathematischen
Denken und Argumentieren.“ (OECD, 2014, S. 67) Dieses Wissen können sie auch
symbolisch und formal ausdrücken, um dadurch Strategien zum Lösen von Problemen
zu erhalten. Sie können außerdem reflektieren und Begründungen geben. Mit anderen
Worten: Sie besitzen alle grundlegenden Fähigkeiten der Testung.
Stufe 5: Schülerinnen und Schüler dieser Stufe können geeignete Strategien zur
Lösung komplexer Problemsituationen finden. Sie verfügen über „breit gefächerte, gut
entwickelte Denk- und Argumentationsfähigkeiten“ (OECD, 2014, S. 67). Weiters
sind sie der formalen Sprache mächtig und fähig zu reflektieren, formulieren und
kommunizieren.
Stufe 4: „Schüler auf dieser Stufe können in einfachen Kontextsituationen ihre
begrenzte Palette an Fähigkeiten anwenden und gestützt auf ein gewisses
mathematisches
Verständnis
argumentieren.
Sie
können
Erklärungen
und
Begründungen für ihre Interpretationen, Argumentationen und Handlungen geben und
sie anderen mitteilen.“ (OECD, 2014, S. 67)
Stufe 3: Schülerinnen und Schüler, die sich auf der dritten Stufe befinden, können
Verfahren durchführen, die klar beschrieben sind. Außerdem können einfache
Problemlösestrategien angewendet und unmittelbare Schlüsse gezogen werden.
Stufe 2: „Schüler auf dieser Stufe können elementare Algorithmen, Formeln,
Verfahren oder Regeln anwenden, um Probleme mit ganzen Zahlen zu lösen.“
(OECD, 2014, S. 67)
44
Stufe 1: Es können Routineverfahren ausgeführt werden und Methoden, die explizit
angegeben sind.
Es soll nun versucht werden diese Kompetenzstufen bei der PISA-Testung in die Niveaus des
Beweisens von Reiss, Hellmich und Thomas (Abschnitt 2.8.1.) einzuordnen. In Niveau I
können von den Schülerinnen und Schülern einfache Sätze und Definitionen angewendet
werden. Aus den Erläuterungen der einzelnen Kompetenzstufen ergibt sich, dass dazu
Schülerinnen und Schüler sicherlich ab der Stufe 2 in der Lage sind. Nehmen wir das in
Abschnitt 2.8.1. schon erwähnte Beispiel für Niveau I der Beweiskompetenz, nämlich dass
eine Seitenlänge einer geometrischen Figur berechnet werden soll, so sollten diejenigen, die
sich auf Stufe 2 befinden dazu in der Lage sein, da sie elementare Formeln anwenden können.
Schülerinnen und Schüler der Stufe 1 werden dieses Niveau nicht immer erreichen, sie sind
nur dazu in der Lage, wenn es sich um ein Routineverfahren handelt oder direkt angegeben
ist, wie das Beispiel zu lösen ist.
In Niveau II des Beweisens sollten schon einfache Argumentationen gegeben werden können.
In diesem Niveau sind die Schülerinnen ab Stufe 3, da in dieser schon unmittelbare Schlüsse
gezogen werden können.
In Niveau III sollen schon mehrgliedrige Argumentationen gegeben werden und diese zu
einer Beweiskette verknüpft werden können. Auf dieser Stufe befinden sich Schülerinnen und
Schüler der Stufen 5 und 6. Bereits in Stufe 5 können komplexe Problemaufgaben gelöst
werden und auch die Denk- und Argumentationsfähigkeit ist bei diesen gut ausgebaut.
In dieser Arbeit wird also davon ausgegangen, dass Niveau I des Beweisens ab
Kompetenzstufe 2 der Pisa-Testung erreicht ist, Niveau II ab Stufe 3 und Niveau III ab Stufe
5. Diese Verknüpfung wurde nach Herstellen der Erläuterungen der einzelnen Niveaus und
der Kompetenzstufen hergestellt und der Zusammenhang kann auch gezogen werden, da die
mathematische Kompetenz und die Beweiskompetenz nach einer Studie, die in Abschnitt
2.8.3.3. erläutert wird, in einer Korrelation miteinander stehen. Das bedeutet aber nicht, dass
dieser Zusammenhang bei allen Schülerinnen und Schülern zu sehen ist. Es kann also nicht
davon ausgegangen werden, dass eine Schülerin oder ein Schüler der Kompetenzstufe 6 einen
Beweis, der in der Schule gemacht wird, erbringen kann. Nachdem von dieser Verknüpfung
ausgegangen wird, kann nun herausgefunden werden, wieviele der österreichischen
Schülerinnen und Schüler sich in den unterschiedlichen Niveaus des Beweisens befinden.
45
Es stellt sich also die Frage, wieviel Prozent der österreichischen Schülerinnen und Schüler
im Alter von 15 Jahren welche Stufe erreichen können. In Stufe 6 befinden sich etwa 4%, in
Stufe 5 etwas mehr als 10% der österreichischen 15-jährigen (OECD, 2014, S. 71). Stufe 4
wurde von etwa 21% erreicht, denn laut OECD befinden sich insgesamt 35,3% der 15jährigen in unserem Land in den Stufen 4, 5 oder 6 (OECD, 2014, S. 73). Auf Stufe 3
befinden sich etwa 21%, auf Stufe 2 ca. 22% und auf Stufe 1 ungefähr 15% (OECD, 2014, S.
68).
Knapp 20% liegen in Österreich auf der Stufe 1 oder darunter (OECD, 2014, S. 77). Somit
erreichen 20% nicht das Niveau I des Beweisens (ab Stufe 2), woraus folgt, dass nur etwa
80% der 15-jährigen Niveau I erreicht und somit Sätze oder Begriffe beim Rechnen
anwenden können. Da ab Stufe 3 Niveau II erreicht wird, können etwa 58% der
österreichischen
15-jährigen
einfache
mathematische
Argumentationen
durchführen.
Mehrgliedrige Argumentationen können allerdings nur mehr von etwas mehr als 14%
durchgeführt werden, es erreichen somit nur sehr wenige Schülerinnen und Schüler das
höchste Niveau der Beweiskompetenz.
Nun werden Beispiele gegeben, bei denen Beweise dieser Art vorkommen:
Welches Auto?
Christina hat gerade ihren Führerschein gemacht und möchte sich ihr erstes Auto kaufen.
Die Tabelle unten zeigt die Einzelheiten für vier Autos, die sie bei einem örtlichen Autohändler
findet.
Modell
Azuro
Barry
Cort
Delta
Baujahr
2003
2000
2001
1999
4 800
4 450
4 250
3 990
105 000
115 000
128 000
109 000
1.79
1.796
1.82
1.783
Angebotener
Preis (Zeds)
Kilometerstand
(Kilometer)
Hubraum
(Liter)
46
Frage 2:
Welches Auto hat den kleinsten Hubraum?
A. Azuro
B. Barry
C. Cort
D. Delta
(korrekte Antwort: Delta)
(OECD, 2014, S. 144-145)
Laut OECD gehört dieses Beispiel zu Kompetenzstufe 3 (OECD, 2014, S. 145). Über diese
Aufgabe wird auch folgendes geschrieben: „Es wird kein formaler geometrischer Beweis
verlangt; indem sie die Aufgabe richtig lösen, erbringen besonders leistungsstarke
Schülerinnen und Schüler jedoch fast einen solchen Beweis.“ (OECD, 2014, S. 144) Bei
diesem Beweis müssen sicherlich nicht mehrere Argumentationen verknüpft werden. Somit
fällt diese Aufgabe in Niveau II des Beweisens, was auch der Zuordnung, die vorher gemacht
wurde, entspricht.
Auch bei PISA 2003 gab es eine Aufgabe, bei der von Beweisführung gesprochen wird.
Raubüberfälle
520
sagte:
„Dieser Graph zeigt, dass die Zahl der
Raubüberfälle
von
zugenommen hat.“
1998
bis
1999
stark
Anzahl der Raubüberfälle im Jahr
Ein Fernsehreporter zeigte folgende Graphik und
515
510
505
1998
1999
47
Frage 15:
Hältst du die Aussage des Reporters für eine vernünftige Interpretation der Graphik? Begründe deine
Antwort.
(OECD, 2004, S. 91)
Bei der Beurteilung dieser Aufgabe wird unterschieden, ob einfach die Antwort „Nein“
gegeben oder diese auch genau begründet wird. Wird keine Begründung gegeben, so fällt
diese Aufgabe in Kompetenzstufe 4, wird eine Antwort gegeben, so fällt diese in
Kompetenzstufe 6.
Nimmt man die Begründung genauer unter die Lupe, so muss zunächst erkannt werden, dass
nicht die gesamte y-Achse abgebildet ist und daraus muss gefolgert werden, dass die
Darstellung verzerrt ist. Somit könnte sogar gesagt werden, dass eine mehrgliedrige
Argumentation nötig ist, womit man diese Aufgabe in Niveau III des Beweisens einordnen
könnte.
Allgemein ist es allerdings sehr schwer diese Aufgaben mit Beweisen in Verbindung zu
bringen, da nie wirklich ein direkter Beweis gefordert wird, sondern reine Erklärungen bzw.
Begründungen. Wahrscheinlich gibt es einige Mathematikerinnen und Mathematiker, die
etwa die eben gegebenen Aufgaben nicht mit Beweisen verbinden würden. Anhand der
Ergebnisse ist allerdings zu sehen, dass Aufgaben, wie die eben vorgestellte, die mit
gegebener Begründung der Stufe 6 zuzuordnen ist, den Schülerinnen und Schülern sehr
schwer fällt. Somit ist der Zusammenhang mit Beweisen wahrscheinlich größer als wir
vermuten würden.
48
2.8.2.2. TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study)
Allgemein werden bei TIMSS Schülerinnen und Schüler der vierten und achten Schulstufe
getestet. In Österreich wird bei TIMSS aber nur die vierte Schulstufe und somit werden
Schülerinnen und Schüler am Ende der Volksschule getestet. Der Grund dafür ist die bereits
vorhandene Testung der 15-jährigen durch die PISA-Studie, die durch TIMSS ergänzt werden
soll (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des
österreichischen Schulwesens, 2012, S. 5). Da sich diese Arbeit nur mit der AHS beschäftigt,
die Volksschulabgänger aber auch teilweise die AHS-Neulinge sind, wird auf deren
Ergebnisse nur kurz eingegangen. Aus dieser Studie herauslesen, wo sich die Schülerinnen
und Schüler kurz vor Beginn ihrer AHS-Karriere stehen.
In der Studie selbst ist das Thema Begründen sehr wichtig, allgemein wurden die kognitiven
Bereiche Wissen, Anwenden und Begründen getestet. In Österreich zeigt sich, dass die
Schülerinnen und Schüler der vierten Schulstufe im Bereich Wissen einen Mittelwert von
507, im Bereich Anwenden einen Mittelwert von 506 und beim Begründen einen Mittelwert
von 513 erreichen (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung
des österreichischen Schulwesens, 2012, S. 34). Anhand vom Bifie ausgewählter
Vergleichsländer (14 Länder inklusive Österreich, die diesem Land ökonomisch oder
geografisch nahe sind) ist zu erkennen, dass unser Land in allen drei Bereichen signifikant
unter dem Schnitt von diesen Ländern (Wissen: 525, Anwenden: 525, Begründen: 525) liegt
(bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen
Schulwesens, 2012, S. 35). Begründen ist somit der Bereich, in dem die österreichischen
Schülerinnen und Schüler der vierten Schulstufe am besten abschneiden, allerdings befinden
sie sich damit dennoch unter dem Mittelwert der Vergleichsländer.
2.8.2.3. Andere Studien
Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 199-200)
zeigen in einer Studie mit Lernenden der siebten und achten Schulstufe in bayerischen
Gymnasien, dass bei Tests zur Beweiskompetenz die besseren Schülerinnen und Schüler
deutlich öfter höhere Kompetenzstufen erreichen als die leistungsschwächeren. Das bedeutet
also,
dass
mathematische
Kompetenzen
mit
der
Beweiskompetenz
wechselweise
zusammenhängen. Jedoch wird die dritte Kompetenzstufe auch nur von weniger als der Hälfte
der Lernenden aus dem obersten Leistungsdrittel erreicht.
49
Die Studie (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 200) bestätige
außerdem die Ergebnisse von PISA und TIMSS. In der siebten Klasse verfügen einige
Schülerinnen und Schüler über einfaches Wissen, welches sie beim Beweisen nicht genügend
anwenden können.
Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 200-201)
fanden heraus, dass heuristische Lösungsbeispiele helfen, die Beweiskompetenz zu fördern.
Bei solchen Beispielen arbeiten Schülerinnen und Schüler mit ausgearbeiteten Lösungen, die
aber auch Irrwege und somit den gesamten Prozess der Lösung zeigen und nachvollzogen
werden sollen (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 196). Das
zeigt ihre Studie, bei der ein Teil der Lernenden vor dem Test Unterricht mit heuristischen
Lösungsbeispielen erhielten (Experimentalgruppe), der Rest jedoch normal unterrichtet wurde
(Kontrollgruppe). Beim Vortest unterschieden sich die beiden Gruppen kaum (bei beiden
wurden um die 60% der Aufgaben gelöst), im Nachtest schnitt die Gruppe, die mit
heuristischen
Lösungsbeispielen
vertrauter
war,
deutlich
besser
ab.
Bei
der
Experimentalgruppe wurden knapp 55% der Aufgaben richtig gelöst, in der Kontrollgruppe
nur 46%. Unterschiede waren vor allem bei Beweisaufgaben der höchsten Kompetenzstufe zu
sehen. In diesem Bereich schnitt die Experimentalgruppe im Vergleich zur Kontrollgruppe
fast doppelt so gut ab. Arbeitet man in der Schule mit heuristischen Aufgaben, so werden
auch mehrschrittige Argumentationsketten trainiert. Genau dies wird bei Beweisen der
Kompetenzstufe 3 auch verlangt. Werden solche Aufgaben also in der Schule geübt, so wird
automatisch auch die Beweiskompetenz der Schülerinnen und Schüler gefördert.
Weiters fanden bei der Studie (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl,
2006, S. 201-202) ein Fortbildungen für die Lehrpersonen statt, von denen eine den
Schwerpunkt auf klassische Themen legte, die andere auf die explorative Umgangsweise mit
Mathematik und Schülerfehler. Sie wurden also auf unterschiedliche Weise mit den
Lösungsbeispielen bekannt gemacht. Beim Vortest zeigten die Gruppen wiederum keinen
signifikanten Unterschied: Die Schülerinnen und Schüler, die von Lehrpersonen der ersten
Fortbildungsgruppe teilnahmen (Experimentalgruppe 1), erreichten 56,6%, diejenigen, die
von der zweiten Fortbildungsgruppe unterrichtet wurden (Experimentalgruppe 2) erreichte
58,0% der Punkte. Im Nachtest wurden von der Experimentalgruppe 1 50,6% der Aufgaben
gelöst, bei der Experimentalgruppe 2 waren es 53,9%. Die besseren Ergebnissen liegen
wiederum daran, dass sich die Gruppe 2 mit Beweisproblemen vom Niveau III besser
umgehen konnten. In diesem Bereich erzielten sie deutlich bessere Leistungen
50
(Experimentalgruppe 1: 24,2%, Experimentalgruppe 2: 29,6%), wobei es beim Vortest auch
bei den komplexen Beweisaufgaben keine Unterschiede gab. Reiss et al. haben somit gezeigt,
dass eine spezielle Begleitung durch die Lehrperson die positiven Effekte von heuristischen
Lösungsbeispielen verstärken kann.
Die Studie von Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006,
S. 202) zeigt allerdings auch, dass die Schülerinnen und Schüler der unterschiedlichen
Leistungsgruppen nicht im selben Ausmaß von den heuristischen Lösungsbeispielen profitiert
haben. Es zeigt sich, dass vor allem die Lernenden des niedrigen und mittleren
Leistungsniveaus von diesen Beispielen einen Vorteil zogen. Interessant ist dabei, dass sich
diejenigen des unteren Leistungsdrittels vom Vor- zum Nachtest in den Kompetenzstufen 2
und 3 verbessern, die des mittleren Leistungsdrittels schon nur mehr bei den Aufgaben der
Kompetenzstufe 3. Schülerinnen und Schüler des obersten Leistungsbereichs verbessern sich
bei diesen komplexen Aufgaben vom Vor- zum Nachtest zwar auch, allerdings nicht
signifikant. Grund ist nach den Initiatoren der Studie das Vorwissen, das je nach
Leistungsbereich
unterschiedlich
ausgeprägt
ist.
Werden
die
Lehrpersonen
durch
Fortbildungen speziell geschult, so wirkt sich die Fortbildung, die sich auf Schülerfehler und
den experimentellen Umgang mit Mathematik spezialisiert, auf dieselbe Weise aus. Sie wirkt
wieder besonders positiv bei den Schülerinnen und Schülern des unteren und mittleren
Leistungsbereich, wobei der Effekt beim niedrigen Leistungsdrittel in den Kompetenzstufen 2
und 3 und beim mittleren Leistungsdrittel nur bei den komplexen Beweisaufgaben zu sehen
ist. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 202-203)
Zu erwähnen ist weiters, dass sich die spezielle Fortbildung zum Umgang mit Fehlerverhalten
bei heuristischen Lösungsbeispielen positiv auf die Schülerinnen und Schüler ausgewirkt hat.
Bei Schülerinnen und Schülern, die von Lehrpersonen mit dieser Fortbildung unterrichtet
wurden, sank die Angst vor dem Fehlermachen. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, RudolphAlbert, & Renkl, 2006, S. 204)
Eine Studie von Reiss, Hellmich und Thomas (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 58) unter
anderem zur Methodenkompetenz, die in der siebten und achten Schulstufe von Gymnasien
durchgeführt wurde, zeigt, dass es den Schülerinnen und Schülern bereits schwer fällt einen
falschen Beweis als solchen zu identifizieren. Es zeigt sich, dass richtige Beweise mit einem
Prozentsatz von 67% als richtig erkannt werden, falsche Beweise werden allerdings nur mit
einem Prozentsatz von 35% als unkorrekt erkannt. Dennoch zeigen die Ergebnisse, dass es
51
den Schülerinnen und Schülern leichter fällt einen Beweis zu beurteilen als einen solchen
selbstständig zu führen.
Diese Studie (Reiss, Hellmich, & Thomas, 2002, S. 59) zeigt auch, dass sich Lernende, die
formale Strategien kennen, sich beim Beweisen, vor allem bei solchen mit mehrschrittigen
Argumenten, leichter tun als Lernende, denen keine solche Strategien zur Verfügung stehen.
Walsch (Walsch, 1975, S. 113-115) führte eine Studie zur Fähigkeit der Unterscheidung von
Definitionen und Sätzen bei 231 Schülerinnen und Schülern der achten Schulstufe durch. Es
wurde also gefragt, ob eine Aussage bewiesen werden muss oder nicht. Dabei wurden die
folgenden acht Ausdrücke vorgegeben:
1. In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 180°.
2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel
sind.
3. Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind stets gleich groß.
4. (2𝑎 + 3𝑏 − 4𝑐) ∙ 5𝑦
5. 5𝑥 − 16 = 19
6. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
7. 𝑎2 = 𝑎 ∙ 𝑎
8. Wenn die Quersumme einer natürlichen Zahl durch 3 teilbar ist, so ist die Zahl selbst durch 3
teilbar.
(Walsch, 1975, S. 114-115)
Die Ausdrücke 1., 3., 6. und 8. stellen einen Satz dar und müssen somit bewiesen werden, 2.
und 7. sind Definitionen, 4. ist ein Term, 5. eine Gleichung mit einer Variablen. Somit
müssen 2., 4., 5. und 7. nicht bewiesen werden. Folgende Tabelle stellt den Prozentsatz der
richtig gegebenen Antworten dar:
Aufgabe
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Prozentsatz
57%
70%
47%
56%
24%
39%
77%
48%
(Walsch, 1975, S. 114)
Wir sehen also, dass den Schülerinnen und Schülern die Entscheidung, ob es sich um eine
Definition oder einen Satz handelt, sehr schwer fällt. Außerdem wurden nur 8% der richtigen
Antworten korrekt begründet. Der Mathematikunterricht in den untersuchten Klassen führte
also nicht zu einer zufriedenstellenden Fähigkeit Sätze von Definitionen zu unterscheiden.
52
Weiters wurde in einer Studie nach Walsch (Walsch, 1975, S. 116-119) getestet, ob die
Ergebnisse besser sind, wenn in der Klasse diese Klassifizierung geübt wird. Es stellt sich
heraus, dass die Schülerinnen und Schüler, bei denen in der Klasse solche Beispiele
besprochen wurden, deutlich besser abschnitten. Nun begründeten die Teilnehmerinnen und
Teilnehmer 55% der richtig gegebenen Antworten auch richtig.
Es zeigt sich also, dass die Lernenden Probleme haben Definitionen und Sätze voneinander zu
unterscheiden, besonders, wenn der Unterschied im Unterricht nicht besprochen wird. Wird
genauer auf die Unterscheidung eingegangen, so ist den Schülerinnen und Schülern viel eher
klar, ob bei einer Aussage ein Beweis nötig ist oder nicht.
2.8.3. SCHWIERIGKEITEN BEIM BEWEISEN
Reiss
meint, dass die Schwierigkeiten „das rationale Argumentieren in einem
mathematikbezogenen
Problemkontext,
das
Begründen
von
mathematischen
Zusammenhängen und schließlich das Formulieren eines mathematischen Beweisen [ita]“
(Reiss, 2002, S. 9) sind.
Brunner (Brunner, 2014, S. 85) gibt weitere Probleme an, die bei den Schülerinnen und
Schülern auftreten. Wird etwa der Beweisprozess betrachtet, so sei schnell zu erkennen, dass
oft schon das Beweisbedürfnis nicht vorhanden ist. Meist ist das nächste Problem das Trennen
von Voraussetzungen und Behauptung. Auch Reiss et al. (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler,
Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 195) weisen auf dieses Problem hin, sie meinen es sei den
Lernenden oft nicht klar, was im Beweis verwendet werden darf. Für Reiss et al. (Reiss,
Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S. 199) gibt es aber auch andere
Probleme,
wie
etwa
das
Schließen
von
einigen
wenigen
Beispielen
auf
die
Allgemeingültigkeit der Behauptung oder Zirkelschlüsse, bei denen das zu Beweisende im
Beweis selbst verwendet wird, was bedeutet, dass die Schülerinnen und Schüler wiederum das
Problem haben, Voraussetzungen von der Behauptung trennen zu können. Als dritten Fehler
erwähnen sie die Schlussketten. Dabei werden Prämissen verwendet, die nur auf Anschauung
beruhen.
Für Brunner (Brunner, 2014, S. 85) ist die fehlende Fähigkeit zum korrekten Formulieren und
die Repräsentation der Denkinhalte ein weiteres Problem, mit dem die Lernenden konfrontiert
sind.
53
Ein weitere Herausforderung, der sich die Schülerinnen und Schüler gegenübergestellt sehen,
ist – wie bereits erwähnt – das Unwissen, wie begonnen oder fortgefahren werden soll.
Brunner (Brunner, 2014, S. 86-87) erwähnt aber auch, dass Probleme nicht nur bei den
einzelnen Schülerinnen und Schülern auftreten können, sondern dass diese auch auf der
Klassenebene zu finden sind. So spielt etwa die Fehlerkultur eine große Rolle. Je nachdem
wie die Lehrperson und auch die Klassenmitglieder mit Fehlern umgehen, trauen sich die
einzelnen Lernenden ihren Beitrag zum Thema zu leisten. Werden Fehler immer nur belacht,
so werden sich viele nicht mehr trauen überhaupt etwas zu sagen, denn es könnte ja falsch
sein. Vor allem beim Beweisen spielt das natürlich eine wichtige Rolle. Beweisen ist so schon
schwer genug und auch wenn man sich nicht sicher ist, sollte der eigene Vorschlag den
anderen mitgeteilt werden. Oft ist dieser mehr wert als man denken würde.
2.8.4. BEWEISKOMPETENZ FÖRDERN
2.8.4.1. Motivation im Mathematikunterricht
Waldis et al. (Waldis, Grob, Pauli, & Reusser, 2010, S. 242) meinen, dass bestimmte
Unterrichtsmerkmale und das Interesse der Schülerinnen und Schüler am Fach Mathematik
eng zusammenhängen. Die Unterrichtsmerkmale, die dabei getestet wurden sind
„ „Strukturierung“, „Klassenführung“, „Kognitive Aktivierung“ und „Schülerorientierung“
bzw. „Individuelle Unterstützung“, „Autonomiefreiräume“ und „Soziales Klima“.“ (Waldis,
Grob, Pauli, & Reusser, 2010, S. 242) Der Zusammenhang besteht dabei wechselseitig. Die
Merkmale des Unterrichts beeinflussen das Interesse der Lernenden, aber vor allem
beeinflusst das Interesse von diesen den Unterricht. Das bedeutet, dass vor allem interessierte
Schülerinnen und Schüler mitarbeiten. Es sollte also vor allem auf die weniger
Mitarbeitenden geachtet werden. Brunner (Brunner, 2014, S. 82) meint, dass experimentelle
Aufgaben genau richtig sind, solche Schülerinnen und Schüler miteinzubeziehen, da bei einer
solchen Übung Aktivität gefordert ist und die Aufgabe auch nicht allzu schwer ist. Dadurch
würden sie erkennen, dass Beweisen eine befriedigende Tätigkeit darstellen kann. Buff et al.
(Buff, Reusser, & Pauli, 2010, S. 268-269) zeigen in einer Studie, dass die
Unterrichtsmerkmale Vermittlung von Problemlösestrategien, Beziehung zur Lehrperson,
Alltagsbezug,
Motivierfähigkeit
der
Lehrperson,
Erklärkompetenz
derselben
und
Motivierungsqualität des Unterrichts positiv mit der Motivation der Schülerinnen und Schüler
korreliert.
54
2.8.4.2. Schaffen einer Begründungskultur
Wie kann bei den Schülerinnen und Schülern Freude am Beweisen geweckt werden? Wichtig
ist dabei, dass die Lernenden neugierig sind, warum dieser Satz gilt. Nach Meyer und
Prediger und Brunner (Meyer & Prediger, S. 10-11; Brunner, 2014, S. 87) sollte dieses kleine
Wörtchen „Warum?“ ein wichtiger Bestandteil eines jeden Mathematikunterrichts sein. Die
Klasse wird sich daran gewöhnen und mit der Zeit selbst danach fragen. Ist das geschehen, so
sei ein wichtiges Bildungsziel erreicht. Meyer und Prediger weisen auch darauf hin, dass
zunächst bei den Lösungen zu Beispielen dieses „Warum?“ gestellt werden kann, etwa:
„Warum sieht deine Rechnung folgendermaßen aus?“ Wie bei den Beweisen selbst, soll es
auch hier so sein, dass die Komplexität allmählich erhöht wird. Weiters erwähnen sie, dass
dieses Argumentieren in der gesamten Klasse stattfinden sollte. Es sollte nicht so sein, dass
die Lehrperson dominiert. Die Schülerinnen und Schüler sollten untereinander ihre
Argumente austauschen. Auch Walsch (Walsch, 1975, S. 107) ist der Meinung, dass es ein
guter Anfang ist, die Lernenden ihre Aussagen begründen zu lassen.
Ein Beweisbedürfnis bei Schülerinnen und Schülern kann natürlich auch erreicht werden,
indem eine Aussage gefunden wird, die sie so sehr überrascht, dass sie wissen wollen, ob
diese tatsächlich wahr ist und warum. Stellen die Lernenden selbst eine solche Behauptung
auf, so sind sie wahrscheinlich noch interessierter daran zu zeigen, dass diese gilt. Hier kann
natürlich auch die Lehrperson sehr gut das Bedürfnis für den Beweis wecken, indem sie die
schon erwähnte wichtige Frage nach dem „Warum?“ stellt, wie beispielsweise „Ihr seid nun
zu dieser Meinung gelangt, doch erklärt mir warum das so ist? Kann es keine Ausnahme
geben?“
Auch experimentelle Beweise können dabei helfen ein Beweisbedürfnis herzustellen. Denn
hat die Klasse einige Beispiele gefunden, für die die Aussage gilt, so kann sie sich noch nicht
sicher sein, dass sie nicht etwas übersehen hat. Brunner (Brunner, 2014, S. 49-50) nennt
hierfür ein Beispiel: die Goldbach’sche Vermutung. Diese „besagt, dass jede gerade Zahl
größer als 2 als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden kann.“ (Brunner, 2014, S.
49) Für diese Vermutung gibt es unzählige Beispiele, die das belegen, dennoch gilt sie nicht
für alle geraden Zahlen, die größer als zwei sind.
Was sind andere Arten Motivation für das Beweisen bei dem Schülerinnen und Schülern zu
wecken? Wie vorher (Abschnitt 2.8.2.3) erläutert wurde, kann die Beweiskompetenz durch
heuristische Lösungsbeispiele gefördert werden. Vor allem bei den Schülerinnen und
Schülern, die ansonsten genügend oft auf der Strecke bleiben, nämlich die des unteren und
55
mittleren Leistungsbereichs, wirken sich diese positiv aus. Das bedeutet natürlich, dass
Lehrpersonen solche Beispiele in der Klasse öfters einbauen sollten. Dadurch kann die
Beweiskompetenz auf einfache Art erhöht werden bzw. kann damit sogar die Niveaustufe III
des Beweisens trainiert werden. Scheinbar wird mit solchen Aufgaben das Methodenwissen
der schwächeren Schülerinnen und Schüler, welches bei den leistungsstärken schon
vorhanden ist, ausgebaut (Reiss, Heinze, Kuntze, Kessler, Rudolph-Albert, & Renkl, 2006, S.
205). Steigert sich die Beweiskompetenz bei den Lernenden, so sind diese natürlich auch
motivierter Beweise zu machen. Weiters hat es einen guten Effekt, wenn die Lehrpersonen
wissen, wie sie mit Fehlern bei heuristischen Lösungsbeispielen von Seiten der Schülerinnen
und Schüler umgehen sollten und wie sie diese nützen können.
Generell sollten Lehrpersonen Fehler nicht kritisieren, sondern diese als Gewinn von neuem
Wissen sehen. Schülerinnen und Schüler lernen aus solchen Fehlern und genau das ist wichtig
ihnen mitzuteilen. Wie erwähnt (Abschnitt 2.8.2.3.) sinkt somit die Angst vor Fehlern, was
sich positiv auf den Unterricht und auch auf den Bereich des Beweisens auswirkt. Eine
positive Fehlerkultur ist für das Beweisen im Unterricht sehr wichtig, aber auch in anderen
Bereichen ist eine solche sehr hilfreich.
Reiss (Reiss, 2002, S. 25-26) weist darauf hin, dass Beweise oft mit Hilfe des fragendentwickelnden Unterrichts präsentiert werden. Dies sei aber genau der falsche Weg. Denn bei
dieser Art von Unterricht wird das Gespräch stark von der Lehrperson gelenkt und der
gesamte Beweis in kleine Stücke zerlegt. Dadurch ist der Prozess des Beweises nicht mehr
erkennbar. Beweise sollten deshalb von den Schülerinnen und Schülern selbstständig
erarbeitet werden. Nur auf diese Art wird auch die Prozesshaftigkeit des Beweisens vermittelt.
Auch die Lernenden sollten sehen wie es ist vor der Aufgabe eines Beweises zu stehen und
lernen mit der Unwissenheit, die zu Beginn des Beweises steht, umzugehen. Da allerdings bei
den Lernenden schon das Beurteilen von Beweisen eine Schwierigkeit darstellt, also zu
urteilen, ob es sich um einen Beweis handelt oder nicht, kann das Arbeiten mit bereits fertigen
Beweisen nach Reiss (Reiss, 2002, S. 27) auch dabei helfen Beweiskompetenz aufzubauen.
Die Schülerinnen und Schüler sollten dabei erklären können, warum ein Beweis korrekt oder
nicht korrekt ist. Können sie das, so fällt es ihnen auch leichter bei ihren eigenen Beweisen zu
wissen, ob diese richtig durchgeführt wurden oder nicht.
Weiters sollte nach Brunner (Brunner, 2014, S. 88) den Schülerinnen und Schülern gelehrt
werden, was die Voraussetzungen sind und was zu beweisen ist. Es sollte ihnen klar sein, was
die beiden Begriffe ausmacht und wie sie einander beeinflussen. Werden diese sichtlich
56
voneinander getrennt, so fällt es den Lernenden einfacher einzusehen, dass ein Zirkelschluss
kein richtiger Schluss darstellt. Außerdem sollten die Schülerinnen und Schüler verstehen,
dass nicht nur ein formaler Beweis korrekt ist. Sie müssen ihre Beweise nicht in formaler
Sprache darlegen, auch ein anschaulicher oder sprachlicher Beweis kann richtig sein. Wissen
sie das, so fällt ihnen das Formulieren leichter. Auch das Unterscheiden von Definitionen und
Sätzen stellt – wie wir in einer Studie (Abschnitt 2.8.2.3.) gesehen haben – einen wichtigen
Beitrag dar. Die Fähigkeit dazu kann am besten erreicht werden, wenn dieser Unterschied im
Unterricht direkt angesprochen und im weiteren Unterricht gefestigt wird, indem er immer
wieder wiederholt wird (Walsch, 1975, S. 119).
Wichtig ist dabei natürlich auch, dass die Schülerinnen und Schüler überhaupt wissen, was
bewiesen werden muss. Darauf weist Walsch (Walsch, 1975, S. 112) hin, der meint, dass
Definitionen von Sätzen unterschieden werden müssen. Den Lernenden muss klar sein, dass
eine Definition nicht bewiesen werden muss und dazu ist auch nötig zu wissen, was eine
solche kennzeichnet.
2.8.5. LEHREN VON BEWEISEN
Nach Brunner (Brunner, 2014, S. 94-95) gibt es drei wichtige didaktische Modelle für das
Unterrichten von Beweisen. Darauf wird nun nur kurz eingegangen, da alle drei Modelle zwar
nicht als ein solches aber dennoch bereits erläutert wurden.
Das erste Modell ist das Beweisen analog zum Beweisprozess bei Expertinnen und Experten
(Abschnitt 2.5.). Dabei müssen sich die Schülerinnen und Schüler nicht an die formale
Sprache halten, sondern sie können die Behauptung und den Beweis auch in Alltagssprache
ausformulieren. Die einzelnen Phasen müssen dabei nicht nacheinander durchlaufen werden,
es können auch immer wieder Schleifen gezogen werden. Als erstes soll eine Behauptung
gefunden werden, die dann in der zweiten Phase formuliert wird. Nun werden Behauptung
und
Voraussetzung
voneinander
getrennt
und
die
vermuteten
mathematischen
Zusammenhänge sollen begründet werden. In der vierten Phase sollen die Argumente
beurteilt und geordnet werden, wodurch die Lösungsidee erlangt und die Zusammenhänge
erkannt werden. Als nächstes sollen diese Argumente zu einem deduktiven Beweis formuliert
werden. In der letzten Phase wird dieser Beweis den Klassenmitgliedern präsentiert und von
diesen dann beurteilt. Wird er akzeptiert, so ist der Beweis anerkannt. (Brunner, 2014, S. 9596)
57
Ein zweites Modell legen Fischer und Malle vor. Sie meinen, dass das Niveau allmählich
gesteigert werden soll. Dazu schlagen sie zunächst gewisse Vorübungen für das Beweisen
vor. Es sollen etwa Definitionen von Sätzen unterschieden werden. Dabei erlernen die
Schülerinnen und Schüler zu erkennen, welche Aussagen einem Beweis bedürfen und welche
nicht. Als weitere Vorübung nennen sie das Begründen eines Schrittes beim Lösen einer
Aufgabe oder auch das Üben mit dem Umgang von logischen Schlussweisen. Bei der zweiten
Übung soll etwa gelernt werden, was der Unterschied zwischen „wenn ... dann“ und „genau
dann ... wenn“ ist oder was „für alle“ bedeutet. Weitere Übungen wären die
zusammenfassende Darstellung der Lösung von Aufgaben, denn auch beim Beweisen wird oft
ein Überblick verlangt, und das Verwenden von Variablen. Nach diesen Vorübungen kann
mit vorliegenden Beweisen gearbeitet werden. Dazu gehören das Wiedergeben, das
Analysieren und die kritische Betrachtung von Beweisen oder von Teilen von solchen.
Anschließend gelangt man zum höchsten Niveau und zwar zum selbstständigen Finden und
Erarbeiten von Beweisen. Die Übungen, die Fischer und Malle darlegen, um das zu erreichen,
wurden bereits in Abschnitt 2.7. erläutert (Analogiebeweise, einzelne Fälle von den
Lernenden beweisen lassen, Verallgemeinern des Beweises, den Beweis durch Aufgaben
erarbeiten, Beweise mit bekannten Beweismustern oder einer Kombination von solchen aus
demselben oder aus einem anderen Stoffgebiet durchführen und Beweislücken schließen).
(Fischer & Malle, 1985, S. 191-204)
Beim dritten Modell soll zunächst ein Beweisbedürfnis geschaffen werden (zum Beispiel
durch die Frage „Warum?“, durch eine Behauptung oder eine Aufgabe). Anschließend soll
das Beweisbedürfnis auf welche Art auch immer zu einem Beweis führen. So kann die
Behauptung anhand von Beispielen getestet werden. Diese können dann in der gesamten
Klasse diskutiert werden, wobei man zu der Erkenntnis gelangen sollte, dass dadurch keine
absolute Gültigkeit erlangt wurde. Der Prozess geht dann weiter. Es sollte dabei die
mathematische Struktur verstanden werden. Die Lehrperson sollte zur Hilfe stehen und dabei
helfen die zentralen Elemente der Behauptung in den Mittelpunkt rücken und zu verstehen.
Eine Operation kann helfen Einblick in die Struktur zu erlangen. Eine solche soll die
Lehrperson anregen, indem sie eine Handlung, wie etwa eine Skizze fordert. Nun soll die
Behauptung von den Voraussetzungen getrennt werden, wobei dabei auch schon verschiedene
Argumente entstehen. Die relevanten werden dann ausgewählt und miteinander verknüpft,
somit ist ein Handlungsbeweis entstanden. Dieser kann wiederum der Klasse präsentiert
werden, anschließend kann dieser Beweis auch noch formal dargelegt werden. Bei diesem
58
Modell ist der Niveauanstieg vom experimentellen zum Beziehungsbeweis zu erkennen. Am
Ende steht ein Handlungs- oder Beziehungsbeweis. (Brunner, 2014, S. 97-101)
Auch Walsch (Walsch, 1975, S. 111) findet diese Komplexitätssteigerung sehr wichtig, denn
die Denkentwicklung der Kinder zeige, dass sie beim Begründen zunächst Handlungen
benötigen, später folgen dann immer mehr abstrakt-logische Operationen.
2.8.6. RESÜMEE
Wie die Studien zeigen, erreichen die Schülerinnen und Schüler keine hohen Stufen der
Beweiskompetenz. Es gibt allerdings einige Arten diese auf einfache Art und Weise zu
fördern. So kann etwa bei ganz einfachen Aufgaben gefragt werden, warum die Lösung
korrekt ist. Auf diese Art gewinnen die Lernenden den Wunsch nach dem Begründen und
somit auch die Motivation für Beweise. Für das Beweisen selbst ist es sehr wichtig die
Schülerinnen und Schüler selbstständig beweisen zu lassen und ihnen nur unterstützend zur
Seite zu stehen. Fragend-entwickelnder Unterricht ist etwa eine falsche Art Beweise zu
präsentieren, da dabei zu sehr die Lehrperson den Ton angibt und somit der Beweisprozess
verloren
geht.
Auf
die
Beweiskompetenz
wirken
sich
etwa
auch
heuristische
Lösungsbeispiele sehr gut aus und noch besser wirken sich diese aus, wenn die Lehrperson
auf den richtigen Umgang mit Fehlern geschult ist. Wichtig für die Beweiskompetenz ist aber
nicht nur das individuelle Können, sondern auch der Umgang der Klassenkameradinnen und kameraden miteinander kann diese, wie in jedem Unterricht, beeinflussen. Wichtig ist, dass
den Lernenden klar ist, was sie bei einem Beweis zu tun haben. Sie sollten wissen, was die
Annahmen sind und was die Behauptung darstellt, denn nur so können sie bei einem Beweis
vom richtigen ausgehend ihr Ziel erreichen. Wichtig ist es auch den Lernenden zu erklären,
wann etwas bewiesen werden muss und wann nicht. Nur so lernen sie einen Satz von einer
Definition zu unterscheiden. Es gibt also viele Möglichkeiten die Beweiskompetenz von
Schülerinnen und Schülern zu fördern.
59
2.9. DIE ROLLE VON BEWEISEN IM ÖSTERREICHISCHEN AHS-LEHRPLAN
Um zu wissen, welche Rolle Beweise in Österreich bzw. in den österreichischen AHS spielen,
muss natürlich der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen werden. Halten sich die
Lehrerinnen und Lehrer an diesen, so ist schon klar, wie bedeutend Beweise in unserem Land
sind. Da aber bei der standardisierten Reifeprüfung nur ein Bruchteil von diesem abgeprüft
wird, stellt sich natürlich die Frage, ob sich die Lehrpersonen weiterhin am Lehrplan oder nur
an den Grundkompetenzen für die Reifeprüfung orientieren. Deswegen werden im Abschnitt
2.10. auch diese Kompetenzen genauer betrachtet. Zunächst aber eine Erläuterung des
Lehrplans in Bezug auf Argumentieren, Begründen und Beweisen.
2.9.1. UNTERSTUFE
In der Bildungs- und Lehraufgabe der Unterstufe ist das Argumentieren angeführt. So sollen
die Schülerinnen und Schüler „in Verfolgung entsprechender Lernziele produktives geistiges
Arbeiten, Argumentieren und exaktes Arbeiten, kritisches Denken, Darstellen und
Interpretieren als mathematische Grundtätigkeiten durchführen, wobei sie dazu hingeführt
werden sollen, Lernprozesse selbstständig zu gestalten“ (Bundesministerium für Bildung und
Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1). Argumentieren wird somit als
Grundtätigkeit angeführt und dieses soll mit der Zeit möglichst selbstständig durchgeführt
werden. Eine weitere Bildungs- und Lehraufgabe ist nach dem Lehrplan (Bundesministerium
für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1) auch das Verbinden
von Handlungen und Begriffen. Dies kann sehr gut durch Beweise erreicht werden, da dabei
Zusammenhänge hergestellt werden müssen.
Bei den Grundfertigkeiten, die die Schülerinnen und Schüler während der Unterstufe im Fach
Mathematik entwickeln sollen, spielt das Begründen eine grundlegende Rollen. So wird es in
drei von vier genannten Grundtätigkeiten erläutert.
„Produktives geistiges Arbeiten, insbesondere: Kombinieren vertrauter Methoden;
Analysieren von Problemen, Begründungen, Darstellungen, mathematischen
Objekten; Anwenden bekannter Verfahren, auch in teilweise neuartigen Situationen;
Abstrahieren und Konkretisieren; Verallgemeinern und Spezialisieren.
Argumentieren und exaktes Arbeiten, insbesondere: präzises Beschreiben von
Sachverhalten, Eigenschaften und Begriffen (Definieren); Arbeiten unter bewusster
Verwendung von Regeln; Begründen (Beweisen); Arbeiten mit logischen
60
Schlussweisen; Rechtfertigen von Entscheidungen (etwa der Wahl eines
Lösungsweges oder einer Darstellungsform).
Kritisches Denken, insbesondere: Überprüfen von Vermutungen; Überprüfen von
Ergebnissen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer Modelle; Erkennen
von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen; Überlegen von Bedeutungen
mathematischer Methoden und Denkweisen; Überlegen der Bedeutung des
Mathematikunterrichts für die eigene Person.“ (Bundesministerium für Bildung und
Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 1)
Es ist also zu sehen, dass Begründungen schon in der Unterstufe eine zentrale Rolle spielen.
Allerdings wird es nur im zweiten Punkt im Zusammenhang mit dem Begriff Beweisen
verwendet. Im ersten Punkt ist es eher als Argumentieren zu erkennen, das Wort Begründen
ist aber in diesem Fall nicht genauer erklärt. Im dritten Punkt wird das Erkennen von Fehlern
bei Begründungen angeführt. Diese Art von Begründung kann auf das Beweisen und auf das
Argumentieren bezogen werden. Weiters ist im Lehrplan der Unterstufe (Bundesministerium
für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 4) zu finden, dass
formale Fähigkeiten, sowie abstraktes Denken erworben werden sollten. Auch das präzise
Argumentieren soll erlangt werden. Wir können also auf alle Fälle sehen, dass das Beweisen
in der Unterstufe eine Grundkompetenz darstellt und somit gelehrt werden sollte.
Doch werden diese Fähigkeiten auch in den Stoffangaben selbst erwähnt? Wird genau
angegeben welche Beweise gemacht werden sollen, um diese zentrale Fertigkeit zu fördern?
Dazu soll nun der Lehrstoff der einzelnen Unterstufenklassen betrachtet werden.
In der ersten Klasse sind keine Beweise vorgegeben. Dies entspricht auch der Erkenntnis, die
aus Schulbüchern gezogen werden kann. In den Schulbüchern Das ist Mathematik 1 (Reichel,
Humenberger, Litschauer, Groß, & Aue, 2011) und mathematiX 1 (Boxhofer, Lischka,
Panhuber-Mayr, & Huber, 2006) ist nämlich kein einziger Beweis zu finden.
In der zweiten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHSUnterstufe Mathematik, S. 6) sollen im Bereich „Arbeiten mit Zahlen und Maßen“ die
Rechenregeln für das Rechnen mit Brüchen begründet werden. Im Bereich „Arbeiten mit
Figuren und Körpern“ sollen Schülerinnen und Schüler die Kongruenz von Figuren
begründen können. Allerdings wird etwa bei den Flächeninhalten nur gefordert, dass die
Lernenden „Flächeninhalte von Figuren berechnen können, die sich durch Zerlegen oder
Ergänzen auf Rechtecke zurückführen lassen“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen,
61
Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 6). Der Beweis des Flächeninhaltes des
Parallelogramms, der in Abschnitt 2.7.4. erläutert wurde, ist somit kein Stoff der zweiten
Klasse. Es reicht, wenn die Schülerinnen und Schüler diese Formel kennen und mit dieser
umgehen können. Somit sind in der zweiten Klasse zwei Beweise zu machen.
Dieser Beweis, der in den zweiten Klassen noch nicht gefordert wird, wird dann aber in der
dritten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe
Mathematik, S. 7) verlangt. Denn nun sollen die Schülerinnen und Schüler die Flächeninhalte
der Dreiecke und Vierecke nicht nur berechnen, sondern die Formeln dafür auch begründen
können. Außer den Beweisen für diese Formeln ist in der dritten Klasse kein Beweis im
Unterstufenlehrplan zu finden. Es wird nur gefordert, dass bei der Umformung von Termen
die Schritte begründet werden können. Wie schon erwähnt ist das ein wichtiger Schritt
Beweiskompetenz zu erlernen, allerdings ist das selbst kein richtiger Beweis.
In der vierten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHSUnterstufe Mathematik, S. 8) soll dann eine Begründung des Satzes von Pythagoras
verstanden werden. Das bedeutet also, dass ein Beweis gegeben werden sollte. Die
Schülerinnen und Schüler müssen diesen allerdings nicht selbst erarbeiten. Weiters sollte man
die „Formeln für die Länge eines Kreisbogens und für die Flächeninhalte von Kreisteilen
herleiten“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe
Mathematik, S. 8).
2.9.2. OBERSTUFE
Bei den mathematischen Kompetenzen in der Oberstufe wird das kritisch-argumentative
Arbeiten angeführt. Dieses „umfasst alle Aktivitäten, die mit Argumentieren, Hinterfragen,
Ausloten von Grenzen und Begründen zu tun haben; das Beweisen heuristisch gewonnener
Vermutungen ist ein Schwerpunkt dieses Tätigkeitsbereichs“ (Bundesministerium für Bildung
und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe Mathematik, S. 1). Außerdem heißt es bei den
Aspekten der Mathematik, dass in der Mathematik der exakte Ausdruck sehr wichtig ist, „in
dem die Fähigkeit zum Argumentieren, Kritisieren und Urteilen entwickelt sowie die
sprachliche Ausdrucksfähigkeit gefördert werden kann.“ (Bundesministerium für Bildung und
Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe Mathematik, S. 1) Kurz darauf ist der folgende Satz zu
finden: „Mathematische Gegenstände und Sachverhalte bilden als geistige Schöpfungen eine
deduktiv geordnete Welt eigener Art, in der Aussagen – von festgelegten Prämissen
62
ausgehend – stringent abgeleitet werden können; Mathematik befähigt damit, dem eigenen
Denken mehr zu vertrauen als fremden Meinungsmachern und fördert so den demokratischen
Prozess.“ (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Oberstufe
Mathematik, S. 2) Dabei ist von der deduktiven Mathematik die Rede. Dieser Bereich der
Mathematik ist bei Beweisen zu finden und somit wird hier eindeutig erklärt, warum Beweise
eine bedeutende Rolle einnehmen. Doch ob diese wichtige Rolle auch im Lehrstoff zu
erkennen ist, werden wir gleich sehen.
In der fünften Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHSOberstufe Mathematik, S. 3-4) wird – wie schon in der Unterstufe – das Begründen von
Umformungsschritten erwähnt. Für alle Schulstufen, die mehr als drei Mathematikstunden pro
Woche, ist außerdem das untersuchen von Teilbarkeitsregeln ein Pflichtstoff. Werden diese
Regeln allerdings überprüft, so muss noch kein Beweis gemacht werden, dieser wird also
nicht direkt gefordert. In der fünften Klasse werden ansonsten keine Beweise verlangt. Somit
ist weder in der Trigonometrie (etwa Sinus- oder Cosinussatz), noch bei den Vektoren (zum
Beispiel
die
Berechnung
eines
Winkels
zwischen
zwei
Vektoren),
noch
bei
Gleichungssystemen oder bei den Funktionen (etwa die Funktionsgleichung für die lineare
Funktion herleiten) ein Beweis zu erbringen. In der fünften Klasse wird also nur gefordert,
dass Umformungsschritte erklärt werden sollten. Dies selbst ist allerdings kein Beweis,
außerdem wird dies schon in der Unterstufe gefordert. Somit ist in der fünften Klasse kein
einziger Beweis zu behandeln.
In der sechsten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHSOberstufe Mathematik, S. 4-5) sieht das anders aus, denn nun wird gefordert, dass die
Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen bewiesen werden.
In der darauffolgenden Schulstufe (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der
AHS-Oberstufe Mathematik, S. 5) sollen dann die Ableitungsregeln zum Differenzieren von
Polynomfunktionen hergeleitet werden. Es soll aber keine Produkt- oder Quotientenregel
bewiesen werden oder die Ableitung der Wurzelfunktion oder anderer Funktionen
(ausgenommen der Polynomfunktion) hergeleitet werden. Auch in den Themenbereichen
Algebraische Gleichungen und komplexe Zahlen (zum Beispiel das Abspalten von
Linearfaktoren bei Polynomfunktionen), Nichtlineare analytische Geometrie (etwa die
Herleitung der Kreisgleichung) und Stochastik (wie etwa die Formel des Erwartungswertes)
werden keine Beweise erwähnt.
63
In der achten Klasse (Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHSOberstufe Mathematik, S. 6) ist kein Beweis zu machen. So werden weder im Themengebiet
des Integrals (etwa Integrationsregeln), noch in der Stochastik oder bei den dynamischen
Prozessen Beweise erwähnt.
2.9.3. RESÜMEE
Wird der Lehrplan genauer unter die Lupe genommen, so wird deutlich, dass Beweisen,
Begründen und Argumentieren zwar als wesentliche Fertigkeiten, die während der AHSSchulzeit erlernt werden sollen, gesehen werden, dies im Lehrstoff aber kaum zu erkennen ist.
Es werden sowohl in der Unterstufe als auch in der Oberstufe nur sehr wenige Beweise
gefordert. Dies wird der Bedeutung des Beweisens, die auch im Lehrplan selbst zu finden ist,
nicht gerecht. So werden in der Unterstufe nur sechs Beweise (zumindest wenn die
Flächeninhaltsformeln der Dreiecke und Vierecke als einen Beweis gesehen werden), in der
Oberstufe werden gar nur 4 Beweise gefordert, wobei dabei die Rechenregeln für die
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen als drei Beweise gezählt wurden. So ist außer diesen nur
ein einziger Beweis, der Beweis für die Ableitungsregeln der Polynomfunktion zu finden.
2.10. DIE ROLLE VON BEWEISEN BEI DER STANDARDISIERTEN REIFEPRÜFUNG
Die Inhalte der standardisierten Reifeprüfung (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,
2013, S. 1-5) im Fach Mathematik orientieren sich an den Kompetenzen, die im Lehrplan der
AHS dieses Faches zu finden sind. Die Inhalte von diesem in Bezug auf Beweise, Begründen
und Argumentieren wurden eben (in Abschnitt 2.9.) vorgestellt. Bei der standardisierten
Reifeprüfung werden allerdings nicht die gesamten Inhalte, sondern nur ein Teil des
Lehrplans geprüft. Es wird aber darauf hingewiesen, dass im Unterricht der Lehrplan
unterrichtet werden sollte. Es werden Wissen und Fähigkeiten geprüft, welche für das Fach
Mathematik elementar, längerfristig vorhanden und auch für die Gesellschaft wichtig sind. Es
wird also vor allem darauf geachtet, dass die Aufgaben anwendungsorientiert gestellt sind.
Der Grundkompetenzkatalog ist in die Gebiete „Algebra und Geometrie, Funktionale
Abhängigkeiten, Analysis sowie Wahrscheinlichkeit und Statistik“ (bifie - Bundesinstitut für
Bildungsforschung, 2013, S. 3-4) unterteilt. Besonders wichtig sind bei der standardisierten
Reifeprüfung die Kommunikation, da Menschen mit AHS-Matura in der Lage sein sollten mit
Expertinnen und Experten zu kommunizieren, und die Reflexion, weil Mathematik immer
64
mehr von elektronischen Werkzeugen wie dem Computer abhängig ist und die Ergebnisse
von diesen reflektiert werden sollten.
Im Bereich Algebra und Geometrie (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 68), der in Grundbegriffe der Algebra, (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme, Vektoren
und Trigonometrie unterteilt ist, wird keine Begründung oder Argumentation, geschweige
denn ein Beweis gefordert.
Dasselbe gilt für den Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten (bifie - Bundesinstitut für
Bildungsforschung, 2013, S. 9-12). In diesem Bereich sind zwar laut Bifie kommunikative
Handlungen, wie Darstellen, Interpretieren und Begründen entscheidend, dennoch wird bei
den genauen Forderungen, die bei der standardisierten Matura in diesem Bereich gestellt
werden, nicht das Wort begründen erwähnt. Der Bereich selbst ist in Funktionsbegriff, reelle
Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften, Lineare Funktion, Potenzfunktion
(sowohl ganze Zahlen im Exponenten als auch die Wurzelfunktion), Polynomfunktion,
Exponentialfunktion und Sinusfunktion und Cosinusfunktion untergliedert. Die einzige
Beschreibung der Inhalte, die mit Begründen in Zusammenhang gebracht werden könnte,
wäre „für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen
betrachten kann“ (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 9). Die
Maturantinnen und Maturanten müssen also entscheiden, ob etwas eine Funktion sein kann,
allerdings müssen sie das nicht begründen können. Somit wird auch dabei keine Begründung,
Argumentation oder ein Beweis verlangt.
Im Inhaltsbereich Analysis (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 13-15) sind
wiederum keine Begründungen, Argumentationen oder Beweise gefordert, weder im
Teilbereich Änderungsmaße, noch bei den Regeln für das Differenzieren, noch beim Gebiet
Summation und Integral.
Im letzten Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik (bifie - Bundesinstitut für
Bildungsforschung, 2013, S. 16-18) ist erstmals das Wort begründen zu finden. „Definition
und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen,
Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer
bestimmten Kennzahl begründen können“ (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,
2013, S. 16). Die Maturantinnen und Maturanten sollten also wissen, wann sie etwa den
Median und wann das arithmetische Mittel verwenden sollten und auch eine Begründung
dafür geben können. Es wird also kein Beweis gefordert, aber immerhin müssen die
65
Schülerinnen und Schüler argumentieren. Doch das ist die einzige Begründung, die gefordert
wird. Außer dieser Begründung im Unterbereich Beschreibende Statistik ist in den anderen
Bereichen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schließende / Beurteilende Statistik nichts, das
mit Argumentieren, Begründen oder Beweisen zu tun hat, zu finden.
Auch an der Modellschularbeit hält man sich genau an die eben gefundenen Erkenntnisse zum
Beweisen, Begründen und Argumentieren. Ein einziges Mal wird eine Begründung gefordert.
Diese bezieht sich auf das arithmetische Mittel. (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung,
Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens, 2014b)
Bei den Übungsaufgaben für die standardisierte Reifeprüfung (bifie - Bundesinstitut für
Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens, 2014a) ist
auch zu sehen, dass die Typ 1 – Aufgaben oft einer Zuordnung oder Multiple-Choice-Frage
entsprechen oder nur eine kurze Antwort gefordert ist. Bei diesem Typ sind folglich keine
Begründungen zu finden. Bei den Typ 2 – Aufgaben sind einzelne Begründen zu finden. So
wird etwa gefordert, dass die Rechenschritte begründet werden sollen oder die Schülerinnen
und Schüler sollen angeben, ob man aus der Wahrscheinlichkeit etwas mit Sicherheit
annehmen kann. Ein weiteres Beispiel für eine geforderte Begründung ist angeben zu müssen,
warum eine Funktion 𝐹(𝑥), die durch eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, also durch
𝐹(𝑥) = P(X ≤ x) definiert ist, monoton steigend ist und warum das Maximum immer 1 ist.
Wir sehen also, dass bei der neuen schriftlichen Reifeprüfung Beweise irrelevant sind. Die
wenigen Beweise, die im Lehrplan zu finden sind, sind in den Grundkompetenzen alle nicht
mehr zu finden. Argumentationen kommen in den Beispielen gar nicht so selten vor, wie man
es nach Betrachten der Grundkompetenzen erwarten würde. Allerdings sind diese
Begründungen eher simpel. Haben die Schülerinnen und Schüler Grundsätzliches aus dem
Themengebiet verstanden, so dürften sie mit den gefragten Begründungen keine allzu großen
Probleme haben. Die Begründungen sind aber nur bei den Typ 2 – Aufgaben gefordert,
welche laut Bifie (bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, 2013, S. 33-34) nicht so
zentral für die Beurteilung sind wie die Beispiele der Form Typ 1. Es lässt sich also sagen,
dass die schriftliche Reifeprüfung ohne Beweis- und wahrscheinlich auch ohne
Begründungskompetenz zu schaffen ist. Im Vergleich zum Lehrplan hat die Anzahl von
Begründungen deutlich abgenommen.
66
Es stellt sich somit die Frage, ob Lehrerinnen und Lehrer sich am Lehrplan oder doch an den
Grundkompetenzen für die standardisierte schriftliche Reifeprüfung orientieren. Danach wird
sich auch die Rolle von Beweisen im Unterricht selbst orientieren.
67
3. STATISTISCHE ERHEBUNG
Im Rahmen dieser Arbeit wurde vom 5. bis zum 23.11.2015 eine Studie an 332 AHSLehrerinnen und AHS-Lehrern in Österreich durchgeführt, welche aufdecken sollte, wie
bedeutend Beweise im österreichischen AHS-Unterricht sind. Diese Studie wurde online
gestellt und Lehrpersonen in Österreich zugesendet. Teilgenommen haben dabei männliche
und weibliche Lehrkräfte (170 (51,20%) weibliche und 162 (48,80%) männliche) aus allen
Bundesländern (151 (45,48%) unterrichten in Wien, 55 (16,57%) in Oberösterreich, 54
(16,27%) in Niederösterreich, 35 (10,54%) in Vorarlberg, 19 (5,72%) in Salzburg, 11 (3,31%)
in der Steiermark, 3 (0,90%) im Burgenland, 2 (0,60%) jeweils in Kärnten und im Tirol).
Somit sind mindestens zwei Lehrpersonen aus jedem Bundesland vertreten. Auch die Lage
der Schule wurde erfragt, dabei wurde unterschieden, ob sie sich in Wien (150 (45,18%)), in
einer Gemeinde mit mindestens 10 000 Einwohnerinnern und Einwohnern (ausgenommen
Wien) (118 (35,54%)) oder in einer Gemeinde mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und
Einwohnern (64 (19,28%)) befindet. Auch Lehrkräfte mit den unterschiedlichsten
Unterrichtserfahrungen (145 (43,67%) unterrichten schon mehr als 20 Jahre, 77 (23,19%) 0-5
Jahre, 62 (18,67%) 11-20 Jahre, 48 (14,46%) 6-10 Jahre) sind vertreten. Weiters wurde
nachgefragt, wann das Studium abgeschlossen wurde.
Die Lehrkräfte wurden außerdem gefragt, welche Schulbücher sie in der Unter- bzw.
Oberstufe verwenden. Bei diesen beiden Fragen bestand die Möglichkeit mehrere Antworten
zu geben. In der Unterstufe ist das Schulbuch Das ist Mathematik mit 168 von 278
Nennungen (60,43%) deutlich am häufigsten vertreten, 26 Lehrkräfte (9,35%) verwenden
Expedition Mathematik, 24 (8,63%) MathematiX, 17 (6,12%) Blickpunkt Mathematik, 16
(5,76%) ganz klar: Mathematik, 11 (3,96%) Genial Mathematik, 8 (2,88%) Mach mit
Mathematik, jeweils 2 (0,72%) die Bücher Mathe Buch, MatheFit und Maßstab und jeweils 1
(0,36%) Lehrperson die Bücher Lebendige Mathematik und MatheMaster. In der Oberstufe
wird von den Befragten das Schulbuch Mathematik verstehen am öftesten, nämlich von 174
von 314 Lehrkräften (55,41%) verwendet. 72 Lehrerinnen und Lehrer (22,93%) verwenden
das Schulbuch Thema Mathematik, jeweils 31 (9,87%) Mathematik und Dimensionen, 4
(1,27%) klar_Mathematik und 2 (0,64%) Elemente der Mathematik.
Anschließend wurden den Lehrkräften vier allgemeine Fragen zum Thema Beweisen im
Unterricht gestellt. Die ersten drei Fragen stellen Ja-Nein-Fragen dar: Stellen für Sie Beweise
einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar? Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie
dann häufiger Beweise machen? Finden Sie im Schulbuch genügend Beweise, die Sie im
68
Unterricht verwenden können? Die vierte Frage ist die folgende: Gibt es eine bestimmte Art
von Beweisen, die Sie bevorzugen? Dabei gab es die Antwortmöglichkeiten des
anschaulichen oder rechnerischen Beweises oder Nein, das ist vom Beweis selbst abhängig.
Die Lehrkräfte wurden außerdem gefragt, welche Klassen der AHS (begonnen mit der 2.
Klasse) sie bereits unterrichtet haben. Gab eine Lehrperson an, eine gewisse Klasse schon
unterrichtet zu haben, so musste diese bei vorgegebenen Beweisen dieser Schulstufe angeben,
ob dieser Beweis in der Klasse präsentiert, von den Schülerinnen und Schülern selbst
erarbeitet, abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit), anhand eines konkreten Beispiels
demonstriert oder nicht gemacht wurde. Dabei waren Mehrfachantworten möglich. Wurde ein
Beweis nicht durchgeführt, so wurde nach dem Grund dafür gefragt. Auch dabei konnten
mehrere Antworten gegeben werden. Dabei stand zur Verfügung, dass der Beweis zu schwer
ist, keine Zeit dafür war, das Thema nicht behandelt wurde, der Beweis nicht relevant für die
schriftliche Matura ist oder er zu wenig lehrreich ist. Weiters bestand die Möglichkeit in
einem Feld eine andere Antwort einzutragen. Bei der Binomischen Formel und dem Satz des
Pythagoras, für die es mehrere Beweise gibt, wurde gefragt, ob sich die Lehrkräfte für den
anschaulichen oder rechnerischen Beweis entschieden haben, wenn sie diesen Satz bewiesen
haben. Auch hier konnten beide Antwortmöglichkeiten angekreuzt werden.
Am Ende des Fragebogens gab es für die Lehrerinnen und Lehrer die Möglichkeit eine offene
Frage zu beantworten. Dabei wurde gefragt, ob es sonst noch etwas gibt, das diese über
Beweise im Mathematikunterricht sagen möchten.
3.1. AUSWERTUNG DER STUDIE
3.1.1. ALLGEMEINER TEIL
Wenden wir uns zunächst den allgemeinen Fragen zu. Diese zeigen schon, wie bedeutend
Beweise im Unterricht für die teilnehmenden Lehrpersonen sind. Denn die erste Frage
„Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?“ wurde von
163 von 332 Teilnehmerinnen und Teilnehmern (49,1%) mit „ja“ und von 169 Personen
(50,9%) mit „nein“ beantwortet. Die Lehrpersonen sind sich somit uneinig, etwas mehr als die
Hälfte meint, dass Beweise im Unterricht keinen wichtigen Teil darstellen.
Interessant ist dabei, dass das Ergebnis etwas anders ausfällt, wenn Männer und Frauen
gesondert betrachtet werden. So stellen für 95 von 162 Lehrern (58,64%) Beweise einen
69
wichtigen Teil im Unterricht dar, nur 68 von 170 Lehrerinnen (40,0%) sehen das ebenso. Die
Studie zeigt damit, dass für männliche Lehrpersonen Beweise im Unterricht eine
bedeutendere Rolle einnehmen als sie es bei weiblichen tun.
Stellen für Sie Beweise einen wichtigen
Teil des Mathematikunterrichts dar?
Nein
50,9%
Ja
49,1%
Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?
Lehrerinnen:
Lehrer:
Nein
60,0%
Ja
40,0%
Nein
41,36%
Ja
58,64%
Auch je nach Unterrichtserfahrung variiert das Ergebnis etwas. Bei den Junglehrerinnen und
-lehrern (Unterrichtserfahrung 0-5 Jahre) stellen für 41 von 77 Lehrpersonen (53,25%), wobei
diese auf beide Geschlechter ausgeglichen (37 Männer, 40 Frauen) verteilt sind, einen
wichtigen Bereich im Unterricht dar. Interessant ist dabei, dass die Lehrpersonen mit einer
Unterrichtserfahrung von 6-10 Jahren das allgemeine Ergebnis genau in die entgegengesetzte
Richtung steuern. Bei ihnen halten 22 von 48 (45,83%) Beweise für einen wichtigen Teil des
70
Mathematikunterrichts. Dieses Ergebnis verstärkt sich dann bei den Lehrpersonen, die bereits
seit 11-20 Jahren unterrichten, denn von ihnen halten nur 21 von 62 (33,87%) Beweise für
einen wichtigen Bestandteil des Unterrichts. Die Lehrpersonen mit einer Unterrichtserfahrung
von mehr als 20 Jahren, die auch ein Großteil der Stichprobe darstellen (145 von 332, das sind
43,67%), halten Beweise am meisten für einen wichtigen Teil des Unterrichts, denn 79 von
145 (54,48%) sehen das so. Es ist also interessant zu sehen, dass Beweise für die
Altlehrerinnen und Altlehrer und für die Junglehrerinnen und Junglehrer um einiges
bedeutender sind, als für Lehrpersonen mit 11-20 Erfahrung, aber auch – wenn auch nicht so
deutlich – als für solche mit 6-10 Jahren Unterrichtspraxis.
Die zweite Frage liefert aber nach Auswertung der ersten Frage ein überraschendes Ergebnis.
Denn auch wenn Beweise im Mathematikunterricht nur von etwa der Hälfte der befragten
Lehrpersonen als wichtig erachtet werden, würden 260 von 332 Lehrpersonen (78,3%) gerne
öfter Beweise durchführen, wenn sie Zeit dafür hätten. Bei dieser Frage sind sich auch die
weiblichen und männlichen Lehrpersonen einig, denn 127 von 162 Lehrer (78,4%) und 133
von 170 Lehrerinnen (78,2%) sind dieser Meinung.
Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie
dann häufiger Beweise machen?
Nein
21,6%
Ja
78,4%
Bei dieser Frage zeigt sich, dass die Junglehrerinnen und -lehrer (0-5 Jahre
Unterrichtserfahrung)
und
auch
noch
die
Lehrpersonen
mit
nur
6-10
Jahren
Unterrichtserfahrung noch lieber Beweise machen würden, als andere Lehrpersonen, denn bei
den ersteren würden 65 von 77 Lehrpersonen (84,42%) und bei den Personen mit 6-10 Jahren
71
Erfahrung 39 von 48 (81,25%) gerne häufiger Beweise machen. Bei den Lehrerinnen und
Lehrern mit 11-20 Jahren Erfahrung sind es nur mehr 45 von 62 Personen (72,58%), die gerne
häufiger Beweise machen würden. Dieser Trend setzt sich bei den Lehrpersonen mit mehr als
20 Jahren Unterrichtspraxis aber nicht fort, denn bei ihnen würden gerne 111 von 145
Personen (76,6%) gerne mehr Beweise machen, wenn sie die Zeit dazu hätten. Somit liegen
sie zwar leicht unter dem Schnitt, aber es ist zu sehen, dass sie damit über den Lehrpersonen
mit 11-20 Jahren Erfahrung liegen.
Weiters zeigt sich, dass der Großteil der Lehrpersonen mit den Schulbüchern in Bezug auf
Beweise zufrieden ist. So meinen 233 von 332 Lehrpersonen (70,18%), dass in diesen
genügend Beweise zu finden sind, die verwendet werden können. Dabei sind die Lehrer etwas
weniger zufrieden als die Lehrerinnen, allerdings ist der Unterschied nicht allzu groß. 122 von
170 Lehrerinnen (71,8%) und 111 von 162 Lehrern (68,5%) sind mit der Anzahl der Beweise
in den Schulbüchern zufrieden.
Finden Sie im Schulbuch genügend
Beweise, die Sie im Unterricht
verwenden können?
Nein
29,82%
Ja
70,18%
Interessant ist es bei dieser Frage die unterschiedlichen Schulbücher zu betrachten. In der
Unterstufe ist beim Schulbuch Das ist Mathematik das Ergebnis in etwa dasselbe als das eben
gegebene. Anders fällt dieses etwa bei den folgenden Schulbüchern aus: Bei Mach mit
Mathematik finden nur 2 von 8 Lehrpersonen, die dieses Schulbuch verwenden (25%)
genügend Beweise, 5 von 11 Lehrende (45,45%) mit dem Schulbuch Genial Mathematik, 8
von 16 Lehrerinnen und Lehrer (50%), die das Schulbuch ganz klar: Mathematik verwenden,
72
14 von 24 Unterrichtende (58,3%) mit dem Schulbuch mathematiX und 10 von 17 Personen
(58,8%) mit dem Schulbuch Blickpunkt Mathematik finden genügend Beweise. Im Expedition
Mathematik finden sogar 22 von 26 (84,6%) ausreichend Beweise, die sie verwenden können.
Da 168 von 278 Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Studie in der Unterstufe (60,4%) das
Schulbuch Das ist Mathematik verwenden, sind die restlichen Stichproben meist gering.
Somit ist das Ergebnis der Studie eingeschränkt auf die Personen, die diese Bücher
verwenden, nicht allzu aussagekräftig.
In der Oberstufe stimmt das Ergebnis derjenigen, die mit den Schulbüchern Mathematik
verstehen oder Dimensionen unterrichten, ziemlich genau mit dem Gesamtergebnis überein.
Ansonsten finden 25 von 31 Lehrende (80,65%) mit dem Schulbuch Mathematik und 48 von
72 Lehrerinnen und Lehrer (66,67%), die das Schulbuch Thema Mathematik verwenden,
genügend Beweise in ihren Büchern. In der Oberstufe wird von 174 von 314 Teilnehmerinnen
und Teilnehmern der Studie (55,41%) das Schulbuch Mathematik verstehen verwendet.
Auch bei dieser Fragen tanzen die Junglehrerinnen und -lehrer aus der Reihe, denn nur 46 von
77 von ihnen (59,74%) finden genügend Beweise in ihrem Schulbuch. Die Lehrpersonen mit
6-10 Jahren Erfahrung sehen das aber schon wieder deutlich anders, bei ihnen finden 36 von
48 (75%) im Buch ausreichend Beweise, die verwendet werden können. Die Lehrpersonen
mit 11-20 Jahren Unterrichtserfahrung liegen mit 42 von 62 (67,74%), die genügend Beweise
finden, nur etwas unter dem Schnitt. Die Altlehrerinnen und –lehrer (mehr als 20 Jahre
Erfahrung) sehen es ähnlich wie die Lehrpersonen mit 6-10 Jahren Erfahrung, bei ihnen
finden 109 von 145 Personen (75,17%) genügend Beweise in ihrem Schulbuch.
Bei der vierten allgemeinen Frage geht es darum, ob Lehrpersonen eine gewisse Art von
Beweisen präferieren. Die meisten, genauer gesagt 236 von 332 (71,08%), geben dabei an,
dass dies nicht der Fall ist. 83 von 332 Lehrpersonen (25%) bevorzugen den anschaulichen
und 13 von 332 (3,92%) präferieren den rechnerischen Beweis.
73
Gibt es eine bestimmte Art von
Beweisen, die Sie bevorzugen?
rechnerischer
Beweis
3,92%
anschaulicher
Beweis
25,00%
Nein, das das ist
vom Beweis selbst
abhängig.
71,08%
Werden die Geschlechter getrennt betrachtet so ist zu sehen, dass bei den Lehrern der
rechnerische Beweis etwas öfter genannt wurde als bei den weiblichen Lehrkräften. Bei ihnen
ist das folgende Ergebnis zu nennen: 120 von 162 Lehrern (74,07%) präferieren keine
Beweisart, 35 von ihnen (21,6%) bevorzugen den anschaulichen und 7 (4,32%) den
rechnerischen Beweis. Weibliche Lehrpersonen bevorzugen etwas mehr den anschaulichen
Beweis, nämlich 48 von 170 (28,24%), die rechnerische Beweisart favorisieren 6 der
Lehrerinnen (3,53%) und 116 Lehrerinnen (68,2%) meinen, dass dies vom Beweis abhängig
ist. Es stellt sich also auch heraus, dass der Anteil derer, bei denen dies vom Beweis abhängig
ist, bei den Frauen (68,2%) deutlich geringer ist als bei den Männern (74,07%).
Bei dieser Frage stimmen die Junglehrerinnen und -lehrer und auch die Lehrpersonen mit 1120 Jahren Unterrichtserfahrung mit dem allgemeinen Ergebnis überein. Bei Lehrpersonen mit
6-10 Jahren Unterrichtserfahrung machen es 37 von 48 (77,08%) vom Beweis abhängig,
welche Beweisart sie bevorzugen, 10 von 48 (20,83%) bevorzugen den anschaulichen und 1
von 48 (2,08%) den rechnerischen Beweis. Auch bei den Lehrpersonen mit mehr als 20
Jahren Unterrichtspraxis sieht das Ergebnis etwas anders als beim Durchschnitt aus: 100 von
145 (68,97%) bevorzugen keine bestimmte Beweisart, 37 (25,52%) präferieren den
anschaulichen und 8 (5,52%) den rechnerischen Beweis.
74
Interessant ist natürlich auch die Auswertung dieser vier allgemeiner Fragen nach dem
Herkunftsort der Lehrpersonen. Es ist zu sehen, dass sich, wenn man wiener Lehrpersonen
und Lehrerinnen und Lehrer der anderen Bundesländer getrennt betrachtet, keine
Unterschiede zu erkennen sind. Beide Ergebnisse sind mit den Ergebnissen der Gesamtgruppe
ziemlich ident. Etwas davon unterscheidet sich das Ergebnis, wenn Gemeinden mit
mindestens 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern (ausgenommen Wien) mit Gemeinden
mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern verglichen werden.
Bei den Lehrpersonen aus Gemeinden mit weniger als 10 000 Bewohnerinnen und
Bewohnern halten nur 54 von 118 (45,76%) Beweise für bedeutend im Unterricht (insgesamt
waren es 50,9%), es würden allerdings etwas mehr als der Durschnitt (78,4%), nämlich 95
von 118 (80,81%), gerne mehrere Beweise machen, wenn Zeit dazu da wäre. Die restlichen
beiden Fragen orientieren sich am Durchschnitt. Bei Lehrpersonen aus Gemeinden mit mehr
als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern stellen Beweise sogar bei 37 von 64 (57,81%),
also deutlich mehr als bei Gemeinden mit weniger Bewohnerinnen und Bewohnern, einen
wichtigen Teil des Unterrichts dar, dafür würden nur 48 von 64 von diesen (75%) gerne
mehrere Beweise machen, wenn sie Zeit dafür hätten. Bei diesen meinen auch 49 von 64
(76,56%), dass genügend Beweise im Schulbuch zu finden sind, allgemein sahen dies nur
70,18% so.
Werden die drei östlichsten Bundesländer Burgenland, Niederösterreich und Wien betrachtet,
so liegen diese im Schnitt. Die drei westlichsten Bundesländer Vorarlberg, Tirol und Salzburg
weichen aber etwas von diesem ab, so stellen Beweise nur für 26 von 56 Personen (46,43%)
(Durchschnitt: 49,1%) einen bedeutenden Teil des Unterrichts dar, dennoch würden gerne 46
von 56 (82,14%) (Durchschnitt: 78,4%) gerne mehr Beweise durchführen, wenn die Zeit dazu
da wäre, nur 36 von 56 (64,29%) (Durchschnitt: 70,18%) finden genügend Beweise im
Schulbuch. 38 von 56 (67,86%) der Lehrpersonen der westlichen Bundesländern bevorzugen
keine bestimmte Beweisart, 16 von 56 (28,57%) bevorzugen den anschaulichen und 2 von 56
(3,57%) den rechnerischen Beweis, somit gibt es mehrere Lehrpersonen die einen Beweis
bevorzugen als bei dem gesamten Ergebnis und dies ist der anschauliche Beweis.
Zusammengefasst kann also gesagt werden, dass für die Hälfte der Lehrpersonen Beweise
eine bedeutende Rolle im Unterricht einnehmen. Diese sind bei männlichen Lehrpersonen
(58,64%) öfter wichtig für den Unterricht als dies bei weiblichen der Fall (40%) ist. 78%
75
würden gerne häufiger Beweise machen, wenn die Zeit dafür da wäre. Der Großteil (rund
70%) meint, dass in den Schulbüchern genügend Beweise zu finden sind, die verwendet
werden können. Von rund 71% wird keine spezielle Beweisart bevorzugt, wird allerdings eine
präferiert, so ist dies eher der anschauliche als der rechnerische Beweis.
3.1.2. BEWEISE IM EINZELNEN
Im zweiten Teil des Fragebogens sollten die Lehrerinnen und Lehrer angeben, ob sie den
Beweis eines genannten Satzes in der Klasse präsentiert haben, dieser von den Schülerinnen
und Schülern erarbeitet, er abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit), anhand eines konkreten
Beispiels demonstriert oder nicht gemacht wurde. Wichtig ist zu sagen, dass bei dieser Frage
und bei der Frage nach der Begründung, warum der Beweis nicht gemacht wurde,
Mehrfachantworten möglich waren. Dabei wurden die einzelnen Klassen unterschieden,
wobei die Beweise aus den jeweiligen Schulstufen sich an den Beweisen der Schulbücher Das
ist Mathematik und mathematiX in der Unterstufe und Mathematik und Mathematik verstehen
in der Oberstufe orientieren. Da in der ersten Klasse kein Beweis in den Büchern Das ist
Mathematik (Reichel, Humenberger, Litschauer, Groß, & Aue, 2011) und mathematiX
(Boxhofer, Lischka, Panhuber-Mayr, & Huber, 2006) zu finden war, wurde diese Schulstufe
weggelassen. Die Auswertung wird nun die einzelnen Klassenstufen, angefangen mit der
zweiten Klasse AHS, genau betrachten.
In der zweiten Klasse waren die Beweise für die Winkelsumme im Dreieck, die Eindeutigkeit
des Inkreismittelpunktes und den Satz von Thales gefragt. Ganz klar am öftesten wird dabei
der Beweis für die Winkelsumme im Dreieck gemacht, den 248 von 260 (95,38%)
Lehrpersonen durchführen. Dabei wird dieser von 150 Personen (57,69%) in der Klasse
präsentiert und von fast ebenso vielen, nämlich 139 (53,46%) anhand eines konkreten
Beispiels demonstriert. Bei 94 Lehrkräften (36,15%) wird er von den Schülerinnen und
Schülern selbst erarbeitet und bei 51 (19,62%) wurde er sogar abgeprüft. 11 von 12 Personen,
die den Beweis nicht durchführen, gab eine Begründung dafür an. Der Großteil davon,
nämlich 7 von 11 Personen (63,64%) gibt als Grund dafür an, dass sie keine Zeit dafür hatten.
Obwohl der Satz von Thales nicht im Lehrplan der zweiten Klasse AHS enthalten ist
(Bundesministerium für Bildung und Frauen, Lehrplan der AHS-Unterstufe Mathematik, S. 56), wird dieser häufiger bewiesen (von 219 von 259, das sind 84,56%) als die Eindeutigkeit
76
des Inkreismittelpunktes (von 186 von 259, das sind 71,81%). Diese beiden Beweise werden
nicht mehr so oft von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet (Inkreismittelpunkt: bei
42 Lehrkräften (16,22%), Satz von Thales: bei 53 Lehrpersonen (20,46%)). Die Verteilung
beim Satz von Thales ist ansonsten der der Winkelsumme sehr ähnlich. Beim
Inkreismittelpunkt ist allerdings zu sehen, dass dieser nun am häufigsten anhand eines
konkreten Beispiels demonstriert wird, nämlich bei 125 von 259 Lehrpersonen (48,26%). Von
74 Lehrpersonen (28,57%) wird dieser zudem in der Klasse präsentiert, bei 44 Personen
(16,99%) wird dieser sogar abgeprüft und bei 42 Lehrerinnen und Lehrern (16,22%) wird er
von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeitet. Grund dafür, dass die Eindeutigkeit des
Inkreismittelpunktes nicht bewiesen wird, ist wiederum hauptsächlich das Zeitproblem (bei
37 von 69 Personen (53,62%)), allerdings halten den Beweis auch 12 Personen (17,39%) für
zu wenig lehrreich, für 11 Personen (15,94%) ist dieser zu schwer, für 8 Lehrpersonen
(11,59%) ist er nicht relevant für die standardisierte Reifprüfung und 7 Personen (10,14%)
haben das Thema nicht behandelt. Beim Satz von Thales sind die häufigsten Begründungen
der Zeitfaktor (23 von 37 (62,16%)), dass das Thema nicht behandelt wurde (8 von 37
(21,62%)) und dass der Beweis zu wenig lehrreich ist (5 von 37 (13,51%)).
Bei der dritten Klasse wurde nach den Binomischen Formeln, der Flächeninhaltsformel für
das allgemeine Dreieck, der Flächeninhaltsformel für das Parallelogramm und dem
Strahlensatz gefragt. Deutlich am seltensten wurde dabei der Strahlensatz bewiesen, dieser
wurde nämlich von 170 von 244 Lehrpersonen (69,57%) bewiesen. Bei der Frage warum
dieser Beweis nicht durchgeführt wurde, werden folgende Gründe am häufigsten erwähnt: 41
von 71 Personen (57,75%) geben an, dass sie keine Zeit dafür hatten, 14 (19,72%) haben das
Thema nicht behandelt und 11 (15,49%) halten diesen für zu wenig lehrreich. Die Binomische
Formel wird von 240 von 245 Lehrkräften (97,95%), die Flächeninhaltsformel des
Parallelogramms von 238 von 246 (96,75%) und die Flächenformel des allgemeinen Dreiecks
von 237 von 245 Personen (96,73%) bewiesen.
Die Binomischen Formeln werden von 144 von 245 Lehrpersonen (58,78%) in der Klasse
präsentiert, bei 119 (48,57%) wird sie von den Schülerinnen und Schülern erarbeitet, bei 98
(40%) anhand eines konkreten Beispiels demonstriert und von 93 (37,96%) werden sie auch
abgeprüft. Etwas öfter als der anschauliche Beweis (163 von 240 (67,92%)) wird der
rechnerische Beweis (187 von 240 (77,92%)) gemacht, 110 Lehrpersonen (45,83%) haben
sogar beide Beweisarten im Unterricht angewendet. Wird dieser Beweis nicht gemacht, so ist
77
wieder der Zeitfaktor (bei 3 von 5 (60%)) der Hauptgrund, eine weitere Person (20%) gibt an,
dass der Beweis zu schwer ist.
Bei den beiden Flächeninhaltsformeln ist der Grund, dass der Beweis nicht gemacht wird, bei
6 von 7 Personen (85,71%), dass keine Zeit vorhanden war, bei der des allgemeinen Dreiecks
meint noch eine Person (14,29%), dass er zu wenig lehrreich ist und bei dem des
Parallelogramms wird von der letzten Person (14,29%) angegeben, dass sie diesen nicht
gemacht habe, weil das Thema nicht behandelt wurde.
In der vierten Klasse wurde nach den Beweisen für die Wurzelregel (√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 für
𝑎, 𝑏 ≥ 0), den Satz des Pythagoras und den Höhensatz gefragt. Von diesen Beweisen wird bei
weitem der Satz des Pythagoras am öftesten bewiesen (von 215 von 222 (96,85%)), gefolgt
von der Wurzelregel (172 von 222 (77,48%)) und dem Höhensatz (142 von 221 (64,25%)).
Der Beweis zum Satz des Pythagoras wird dabei von 140 von 222 Lehrpersonen (63,06%) in
der Klasse präsentiert, 99 (44,59%) lassen diesen von den Schülerinnen und Schülern selbst
erarbeiten, 91 (43,69%) erklären diesen anhand eines konkreten Beispiels und 80 (36,04%)
prüfen diesen ab. Bei diesem Beweis entscheiden sich 193 von 211 Lehrkräften (91,47%) für
den anschaulichen und 98 (46,45%) für den rechnerischen Beweis, 80 (37,91%) führen beide
Beweisarten durch. Die Begründung warum dieser Beweis nicht gemacht wurde, ist bei 3 von
7 Personen (42,86%), dass keine Zeit dafür da war, 2 (28,57%) geben an, dass sie den Beweis
schon in der dritten Klasse gemacht haben, jeweils 1 Person (14,29%) meint, dass der Beweis
nicht relevant für die Matura bzw. er zu wenig lehrreich ist und 1 Person (14,29%) weiß nicht
mehr warum, da es schon „zu lange her“ ist.
Der Beweis der Wurzelregel wird am häufigsten (bei 114 von 222 Lehrpersonen (51,35%))
anhand eines Beispiels demonstriert, am seltensten wird dieser von der Klasse selbst
erarbeitet (27 von 222 (12,16%)). Der häufigste Grund warum dieser nicht gemacht wird ist
wiederum die fehlende Zeit (28 von 50 (56%)). Der Beweis des Höhensatzes wird am öftesten
in der Klasse präsentiert (112 von 221 (50,68%)), worauf schon das Nichtmachen des
Beweises folgt. Auch hier ist die seltenste Nennung (28 von 221 (12,67%)) das Erarbeiten
durch die Schülerinnen und Schüler. Beim Höhensatz wurde ebenso nach den Gründen
gefragt, warum dieser nicht bewiesen wird. Die Antwort, die am häufigsten ausgewählt
wurde, nämlich von 44 von 79 (55,7%) Lehrkräften, ist wieder das zeitliche Problem, gefolgt
davon, dass das Thema nicht behandelt wurde (19 von 79 (24,05%)) und dass er zu wenig
78
lehrreich ist (11 von 79 (13,92%)). Beim Höhensatz muss erwähnt werden, dass dieser
Erweiterungsstoff ist und somit nicht gemacht werden muss.
Auch in der fünften Klasse wurde nach gewissen Beweisen gefragt, nämlich nach den
folgenden: Irrationalität der √2, Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl, Satz von
Euklid (Es gibt unendlich viele Primzahlen.), kleine Lösungsformel, Satz von Vieta,
Cosinussatz, Mittelpunkt einer Strecke (bei Vektoren) und die Formel für die Berechnung des
Winkels zwischen zwei Vektoren. Am seltensten wird dabei der Satz von Euklid (69 von 239
(28,87%)) bewiesen, am häufigsten die kleine Lösungsformel (219 von 239 (91,63%)).
Genauer gesagt sind die Sätze vom seltensten Beweis bis zum am häufigsten gemachten
Beweis folgenderweise geordnet, wobei die Zahl in der Klammer bezogen auf eine Stichprobe
von 239 Lehrkräften in Prozenten angibt wie viele den Beweis durchgeführt haben: Satz von
Euklid (28,87%), Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl (50,21%), Irrationalität
der √2 (68,20%), Formel für die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren (73,22%),
Cosinussatz (78,24%), Satz von Vieta (87,45%), Mittelpunkt einer Strecke (90,79%), kleine
Lösungsformel (91,63%).
Ich möchte im folgenden auf die zwei Beweise eingehen, die jeweils am öftesten und am
wenigsten oft durchgeführt werden:
Der Satz von Euklid, ein indirekter Beweis – wie auch der Beweis der Irrationalität der √2 –
wird am seltensten bewiesen. Wird der Beweis durchgeführt, so wird er von 60 von 239
Personen (25,10%) in der Klasse präsentiert, das ist die häufigste Nennung nach dem
Nichtmachen des Beweises. Von 10 Personen (4,18%) wird er anhand eines Beispiels
erläutert, 8 Lehrkräfte (3,35%) lassen ihn von den Lernenden selbst erarbeiten und 7 (2,93%)
prüfen ihn ab. 168 Personen gaben den Grund bzw. Gründe an, warum sie den Beweis nicht
durchführen: 89 (52,98%) geben an, dass keine Zeit dafür da war, 48 (28,57%) meinen, dass
er nicht relevant für die schriftliche Reifeprüfung sei, 41 (24,40%) haben das Thema nicht
behandelt, 15 (8,93%) meinen er sei zu wenig lehrreich, 13 (7,74%) sagen, dass der Beweis
zu schwer ist und 5 (2,98%) geben eine sonstige Antwort an.
Auch sehr selten wird die Teilbarkeitsregel für 3 bei einer zweistelligen Zahl bewiesen. Dies
ist verständlich, da dieses Themengebiet in der fünften Klasse Erweiterungsstoff darstellt. Das
Nichtmachen ist wie beim Satz von Euklid die häufigste Nennung gefolgt von dem
Präsentieren des Beweises in der Klasse, was 67 von 239 (28,03%) Lehrpersonen machen,
79
dem Demonstrieren anhand eines Beispiels bei 61 Lehrpersonen (25,52%), dem Abprüfen bei
26 Lehrkräften (10,88%) und dem Erarbeiten des Beweises durch die Schülerinnen und
Schüler bei 25 Personen (10,46%). Auch hier ist das Zeitproblem die Begründung Nummer
Eins warum dieser Beweis nicht gemacht wurde, diese Erklärung wird von 50 von 117
Personen (42,74%) angegeben. Ein weiterer wichtiger Grund ist die Irrelevanz bei der
schriftlichen Reifeprüfung, genannt von 32 Personen (27,35%), die Nichtbehandlung des
Themas sprechen 25 Lehrkräfte (21,37%) an, 22 Personen (18,80%) meinen, dass der Beweis
zu wenig lehrreich ist und 3 Lehrkräfte (2,56%) halten den Beweis für zu schwer. Bei den
sonstigen Antworten geben 9 Personen (7,69%) an, dass sie der Beweis „schon in der
Unterstufe gemacht“ wurde. Bei diesen Begründungen lässt sich somit das Nichtbehandeln
des Themas mit damit erklären, dass dieser Beweis Erweiterungsstoff darstellt.
Möglicherweise kann auch ein Teil der Lehrkräfte, die den Zeitmangel als Grund angeben,
auf diesen Faktor zurückgeführt werden.
Die Herleitung für die Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke wird von den genannten
Beweisen am zweitöftesten gemacht. Am häufigsten – bei 105 von 239 Lehrkräften (43,93%)
– wird diese sogar von den Lernenden selbst erarbeitet, bei 104 Personen (43,51%) wird sie in
der Klasse präsentiert, 87 (36,40%) demonstrieren diese mit Hilfe eines Beispiels und 64
(26,78%) prüfen sie ab. Wird der Beweis nicht gemacht, so ist bei 14 von 22 Personen
(63,64%) der Zeitmangel, bei 7 (31,82%) die fehlende Erkenntnis, die daraus gezogen wird,
bei 2 (9,09%) die Irrelevanz für die schriftliche Reifeprüfung und bei 1 Person (4,55%) das
Nichtbehandeln des Themas der Grund.
Am häufigsten wird in der fünften Klasse der Beweis für die kleine Lösungsformel gemacht.
Von 168 von 239 Lehrerinnen und Lehrern (70,29%) wird dieser in der Klasse präsentiert, 86
(35,98%) demonstrieren diesen mit einem Beispiel, 77 (32,22%) prüfen diesen ab und 56
(23,43%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten. Das Nichtmachen
des Beweises wird bei 12 von 19 (63,16%) damit begründet, dass keine Zeit dafür vorhanden
war, bei jeweils 4 (21,05%), dass er zu schwer bzw. zu wenig lehrreich ist, 2 (10,53%) geben
an, dass dieser nicht relevant für die schriftliche Matura sei und weitere 2 (10,53%) geben
sonstige Antworten an.
Auch in der sechsten Klasse sind einige Beweise in den einzelnen Schulbüchern zu finden.
Daraus ausgewählt wurde aus diesen der Beweis für die Potenzregeln, den Binomischen
80
Lehrsatz, die Monotonie einer gegebenen Folge, die Summenformel der endlichen
geometrischen Reihe mit 𝑛 Gliedern und Quotienten 𝑞 ≠ 1, die Irrationalität der Euler’schen
Zahl 𝑒 und den Satz von Bayes. Auch hier sollen die Beweise wieder aufsteigend nach dem
Machen des Beweises aufgelistet werden, also zunächst der Beweis, der am seltensten
präsentiert wird, bis hin zu dem Beweis, der am öftesten durchgeführt wird. In Klammer
stehen die Prozentzahlen, wie oft die Beweise durchgeführt werden, wobei sich diese jeweils
auf eine Stichprobe von 231 Lehrkräften beziehen: Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒
(21,21%), Satz von Bayes (51,52%) Summenformel der endlichen geometrischen Reihe mit 𝑛
Gliedern und Quotienten 𝑞 ≠ 1 (59,74%), Monotonie einer gegebenen Folge (67,10%),
Binomischer Lehrsatz (78,35%) und die Potenzregeln (96,54%).
Der Beweis für die Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒 wird von 49 von 231 Lehrpersonen
(21,21%) durchgeführt, dabei präsentieren diesen 46 von den 231 Personen (19,91%) in der
Klasse, 14 (6,06%) prüfen diesen ab und 3 (1,30%) lassen diesen von den Schülerinnen und
Schülern selbst erarbeiten. Die 182 Personen, die diesen Beweis nicht in der Klasse gemacht
haben, geben dafür die folgenden Begründungen an: 96 von diesen (52,75%) hatten keine Zeit
dafür, 54 (29,67%) sagen, dass er nicht relevant für die schriftliche Reifeprüfung ist, 48
(26,37%) halten diesen für zu schwer, 28 (15,38%) finden ihn zu wenig lehrreich, 11 (6,04%)
haben das Thema nicht behandelt und 5 (2,75%) geben eine andere Begründung an.
Beim Satz von Bayes, der insgesamt von 119 von 231 Personen (51,52%) bewiesen wird,
wird der Beweis von 79 Lehrkräften (34,20%) in der Klasse präsentiert, 63 (27,71%)
demonstrieren ihn anhand eines konkreten Beispiels, 24 (10,39%) prüfen ihn ab und 15
(6,50%) lassen diesen von den Lernenden selbst erarbeiten. Als Begründung für das
Nichtmachen des Beweises geben 50 von 113 Lehrpersonen (44,25%) an, dass sie keine Zeit
dafür gehabt hätten, 32 (28,32%) dass er irrelevant für die schriftliche Reifeprüfung sei, 31
(27,43%) dass das Thema nicht behandelt wurde, 11 (9,73%) dass er zu schwer, 9 (7,96%)
dass er zu wenig lehrreich sei und 5 (4,42%) geben eine sonstige Erklärung an.
Der Beweis zum Binomischen Lehrsatz wurde in der sechsten Klasse von den vorgegebenen
Beweisen am zweithäufigsten bewiesen. Dieser wird von 112 von 231 Lehrkräften (48,48%)
in der Klasse präsentiert, 77 (33,33%) demonstrieren ihn anhand eines Beispiels, 58 (25,11%)
prüfen diesen ab und 48 (20,78%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst
erarbeiten. Wird der Beweis nicht gemacht, so sind die Begründungen folgenderweise
verteilt: 24 von 50 (48%) geben an, dass sie keine Zeit dafür hatten, 12 (24%) haben das
Thema nicht behandelt, 8 (16%) haben diesen nicht durchgeführt, weil er nicht relevant für
81
die schriftliche Reifeprüfung ist, 7 (14%) halten ihn für zu schwer und 4 (8%) sagen er sei zu
wenig lehrreich, 6 Personen (12%) geben sonstige Gründe an (wird in der siebten Klasse
gemacht (2 Nennungen), schon in der Unterstufe gemacht (2 Nennungen), weil man ihn „mit
dem neuen TR nicht mehr braucht“, „interessiert die Schüler nicht“).
Am häufigsten werden in der sechsten Klasse die Potenzregeln bewiesen. 138 von 231
(59,74%) Lehrerinnen und Lehrer präsentieren diesen Beweis in der Klasse, 100 (43,30%)
demonstrieren den Beweis anhand eines konkreten Beispiels, 90 (38,96%) lassen diesen von
den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten und 82 (35,50%) prüfen diesen bei einer
Schularbeit oder ähnlichem ab. Bei den Gründen, warum der Beweis nicht gemacht wurde,
geben 6 von 8 Personen (75%) an, dass keine Zeit dafür vorhanden war, 1 Person (12,5%),
dass er zu wenig lehrreich ist und 1 Person (12,5%) meint, er „lockt keine Katze hinter dem
Ofen hervor“.
In der siebten Klasse wurde nach dem Beweis über die Abspaltung einer Nullstelle bei einer
Polynomfunktion, die Ableitungsregel für die Potenzfunktion (𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 für 𝑛 ∈ ℕ∗ ), die
Ableitungsregel vom konstanten Faktor ( (𝑐 ∙ 𝑓)′ (𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥)) und die Summenregel
((𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥)) , die Produktregel, die Kreisgleichung und dafür, dass 𝑛
unterscheidbare Objekte auf 𝑛! Arten angeordnet werden können gefragt. Auch bei dieser
Klasse soll nun angegeben werden, wie die Beweise vom am seltensten gemachten Beweis bis
zum am häufigsten gemachten hin angeordnet sind, die Prozentzahl in der Klammer gibt in
Prozenten an, wie viele den Beweis machen, wobei sich diese auf 216 Personen bezieht:
Produktregel (71,30%), 𝑛 unterscheidbare Objekte können auf 𝑛! Arten angeordnet werden
(72,22%), Abspaltung einer Nullstelle bei einer Polynomfunktion (72,69%), Kreisgleichung
(75%), Ableitungsregel vom konstanten Faktor und Summenregel (82,87%) und die
Ableitungsregel für die Potenzfunktion (89,81%).
Bei der Produktregel, die in der siebten Klasse am seltensten bewiesen wird, wird der Beweis
dennoch öfter in der Klasse oder anhand eines Beispiels präsentiert als nicht gemacht, denn
124 von 216 Lehrerinnen (57,41%) und Lehrer tun ersteres, 68 (31,48%) demonstrieren
diesen anhand eines Beispiels, 37 (17,13%) prüfen diesen ab und 13 (6,02%) lassen ihn von
den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten. Wird der Beweis nicht gemacht, so geben 36
von 62 Lehrkräften (58,06%) an, dass der Grund dafür Zeitmangel ist, bei 23 Lehrerinnen und
Lehrern (37,10%) ist dieser die Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung, für 14 (22,58%)
82
ist er zu wenig lehrreich, für 5 (8,06%) ist er zu schwer, 2 Personen (3,23%) geben als Grund
das Nichtbehandeln des Themas an und 1 Person (1,61%) begründet mit „weil wir diese
Regeln mit CAS1 nicht mehr brauchen“.
Auch der Satz, dass 𝑛 unterscheidbare Objekte auf 𝑛! Arten angeordnet werden können, wird
in der siebten Klasse weniger oft beweisen als andere Sätze. Am häufigsten wird der Beweis
dieses Satzes anhand eines konkreten Beispiels demonstriert, nämlich bei 84 von 216
Lehrkräften (38,89%), bei 74 (34,26%) wird er in der Klasse präsentiert, 45 (20,83) lassen ihn
von den Lernenden selbst erarbeiten und 30 (13,89%) prüfen diesen ab. Von den 60 Personen,
die den Beweis nicht gemacht haben, geben 41 (68,33%) an, dass keine Zeit dafür da war, 13
(21,67%), dass er nicht relevant für die schriftliche Matura ist, 9 (15%) haben das Thema
nicht behandelt und für 2 (3,33%) ist er zu schwer.
In der siebten Klasse wird am zweihäufigsten der Beweis für die Ableitungsregel vom
konstanten Faktor und die Summenregel gemacht. Dieser wird von 119 von 216 Lehrkräften
(55,09%) in der Klasse präsentiert, 79 (36,57%) demonstrieren ihn anhand eines Beispiels, 54
(25%) prüfen diesen ab und 39 (18,06%) lassen ihn von Schülerinnen und Schülern
erarbeiten. Als Begründung, warum der Beweis nicht gemacht wird, geben 24 von 37
(64,86%) an, dass keine Zeit dafür da war, jeweils 10 (27,03%), dass er nicht relevant für die
schriftliche Reifeprüfung bzw. zu wenig lehrreich ist und 3 Personen (8,11%) geben andere
Antworten an.
Der Beweis für die Ableitungsregel der Potenzfunktion, die in der siebten Klasse von den
genannten Beweisen am häufigsten gemacht wird, wird von 139 von 216 Lehrpersonen
(64,35%) in der Klasse präsentiert, von 90 (41,67%) mit einem konkreten Beispiel präsentiert,
von 63 (29,17%) abgeprüft und bei 37 (17,13%) von den Schülerinnen und Schülern
erarbeitet. Von den 22 Personen, die diesen Beweis im Unterricht nicht durchführen,
begründen das 17 (77,27%) mit der fehlenden Zeit, 4 (18,18%) mit der Irrelevanz für die
schriftliche Matura, jeweils 3 (13,64%) damit, dass er zu wenig lehrreich bzw. zu schwer ist,
und 1 Person (4,55%) mit „zu aufwendig, SchülerInnen sehen Beweisnot nicht ein“.
Auch in der achten Klasse wurde bei vorgegebenen Beweisen nachgefragt, ob diese bewiesen
werden, wenn ja, auf welche Art, wenn nein, warum. Diese waren die Beweise für die
folgenden Sätze: Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓 , so ist auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ
1
Computeralgebrasystem
83
Stammfunktion von 𝑓 , Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Formel für die
Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse und die partielle Integration. Am seltensten
– in Klammer steht die Prozentzahl der Personen, die den Satz bewiesen haben, wobei sich
diese auf eine Stichprobe von 203 Lehrpersonen bezieht – wird dabei die partielle Integration
(47,78%), gefolgt vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (75,86%)
durchgeführt, öfter wird dann die Formel für die Volumsberechnung bei Drehung um die xAchse (85,22%) gemacht und am häufigsten wird der Satz „Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓, so ist
auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓“ (96,06%) bewiesen. Nehmen wir nun
diese vier Beweise genauer unter die Lupe.
Die partielle Ableitung, die am seltensten bewiesen wird, wird am häufigsten, nämlich von
106 von 203 Lehrpersonen (52,22%) nicht gemacht, 74 (36,45%) präsentieren den Beweis in
der Klasse, 39 (19,21%) demonstrieren den Beweis anhand eines konkreten Beispiels, 20
(9,85%) prüfen diesen ab und 5 (2,46%) lassen ihn von den Schülerinnen und Schülern selbst
beweisen. Der Grund, warum dieser Beweis nicht durchgeführt wird, ist bei 49 von 106
Lehrkräften (46,23%) die Irrelevanz für die schriftliche Reifeprüfung, bei 42 (39,62%) der
Zeitmangel, bei 28 (26,42%) das Nichtbehandeln des Themas, bei 7 (6,60%) die Schwere des
Beweises, bei 6 Personen (5,66%), dass er zu wenig lehrreich ist und weitere 6 Personen
(5,66%) geben andere Antworten, wobei 5 davon sagen, dass dieser Beweis nicht mehr nötig
sei (wegen dem Taschenrechner, Geogebra, weil mit CAS nicht mehr partiell integriert wird)
und die sechste Person meint „habe ich früher gemacht, jetzt bei den neuen
„Grundkompetenzen“ kann man ja bald drauf verzichten... (traurig, aber wahr)“.
Der Hauptsatz der Differentialrechnung wird schon viel öfter zumindest teilweise bewiesen,
denn 110 von 203 (5,42%) präsentieren den Beweis davon zumindest teilweise in der Klasse,
71 (34,98%) demonstrieren diesen zumindest teilweise anhand eines konkreten Beispiels, 49
(24,14%) führen ihn nicht durch, 28 (13,79%) prüfen den Beweis zumindest teilweise ab und
19 (9,36%) lassen ihn zumindest teilweise von den Lernenden selbst erarbeiten. 31 von 49
Personen (63,27%) geben an, dass sie den Beweis nicht durchgeführt haben, da sie keine Zeit
dafür hatten, 14 (28,57%) fanden diesen zu schwer, 11 (22,45%) begründen es mit der
Irrelevanz für die schriftliche Matura, 3 (6,12%) haben das Thema nicht behandelt, 2 (4,08%)
empfinden den Beweis für zu wenig lehrreich und 2 (4,08%) geben andere Gründe an.
Der Beweis für die Formel der Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse wird noch
etwas öfter durchgeführt. Er wird von 123 von 203 Lehrkräften (60,59%) in der Klasse
präsentiert, von 77 (37,93%) anhand eines konkreten Beispiels erläutert, von 38 (18,72%)
84
abgeprüft und jeweils 30 (14,78%) lassen ihn von den Lernenden selbst erarbeiten bzw.
machen ihn nicht. Der Grund, warum diese Formel nicht bewiesen wird, ist bei 16 von 30
Personen (53,33%) der Zeitmangel, bei 11 (36,67%) die Bedeutungslosigkeit für die
schriftliche Matura, bei 4 (13,33%) die Schwierigkeitsstufe des Beweises, bei 3 (10%) das
Nichtbehandeln des Themas und bei 1 Lehrperson (3,33%), dass der Beweis zu wenig
lehrreich ist.
Am häufigsten wird in der achten Klasse AHS der Satz „Ist 𝐹 Stammfunktion von 𝑓, so ist
auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓“ bewiesen. 128 von 203 Lehrerinnen und
Lehrern (63,05%) zeigen diesen Beweis in der Klasse vor, 90 (44,33%) demonstrieren ihn
anhand eines konkreten Beispiels, 50 (24,63%) prüfen diesen ab, 47 (23,15%) lassen ihn von
den Schülerinnen und Schülern selbst erarbeiten und nur 8 machen ihn nicht. Bei diesem
Beweis werden folgende Gründe für das Nichtmachen angegeben: 7 von 8 (87,5%) hatten
keine Zeit dafür, 1 Person (12,5%) hat das Thema nicht behandelt und 1 Lehrperson (12,5%)
empfindet diesen für zu wenig lehrreich.
Abschließend wurde den Lehrpersonen noch eine offene Frage gestellt, nämlich „Gibt es
sonst noch etwas, das Sie über Beweise im Mathematikunterricht sagen möchten?“ Auch bei
dieser Frage haben 95 Personen geantwortet. Vor allem zwei Antworten kommen besonders
oft vor. So wird erstens die schriftliche Reifeprüfung sehr häufig angesprochen und
andererseits wird die Notwendigkeit von Beweisen entweder bestärkt oder es wird gesagt,
dass die Durchführung von solchen nicht nötig sei.
So sind bei der zweiten, wie schon erwähnt, die gegensätzliche Antworttypen zu erkennen,
die Einen wollen bekräftigen, dass Beweise im Unterricht durchaus relevant sind, die Anderen
meinen, dass diese nicht sehr sinnvoll sind. Beispiele dafür sind etwa die folgenden
Antworten „Beweise und Herleitungen zeigen den Schülern, dass es Gründe dafür gibt,
warum die mathematischen Sätze so sind wie sie sind. Auch wenn die Beweise nicht immer
verstanden werden, hilft es den Schülern die Themen anzunehmen, denn sie haben das Gefühl
es muss Sinn machen und es kommt von irgendwo. Ich versuche den Satz "Das ist halt so" zu
vermeiden.“ im Gegensatz zu „Beweise werden von den meisten Schüler/innen nicht
verstanden.“
Beispiele für Antworten, die die neue Reifeprüfung ansprechen wären die folgenden: „Für die
neue Matura erscheinen sie mir nicht mehr von Bedeutung.“ Eine weitere Anmerkung wäre
85
„kurze Beweise kommen bei den Schülern besser an, auf langwierige Herleitungen fange ich
immer mehr zu verzichten an – ist auch nur zur mündlichen Matura nötig. Leider müssen wir
unsere Schüler – speziell in der Oberstufe – auf ein idiotisches Kreuzerlmachen bei der
Zentralmatura hintrainieren.“ Ähnliches wird von einer zweiten Person angesprochen: „Ich
teile die Meinung von Rudolf Taschner und Konrad Paul Ließmann zur standardisierten
Reifeprüfung hundertprozentig. Der Mathematikunterricht verkommt zum Vorbereitungskurs
für einen Kreuzerltest.“
In Bezug auf die Zentralmatura wird auch oft das Thema der Zeit erwähnt. Es fehle die Zeit
für Beweise im Unterricht. Nicht nur, aber auch die standardisierte Reifeprüfung werden als
Grund dafür erwähnt: „Oft ist sehr (zu?) wenig Zeit, um alle Beweise durchzunehmen...“ oder
von einer anderen Person etwas länger formuliert „Beweistechniken stellen eine zentrale
Rolle in der Mathematik dar und sollten im Mathematikunterricht daher nicht komplett
vernachlässigt werden. Leider fehlt aber oft die Zeit, um Beweise vollständig zu
präsentieren.“ Oder etwa „Es können nur sehr vereinzelte Beweise im Unterricht eingebaut
werden. Durch die Stundenkürzungen gibt es oft viel zu wenig Zeit um Beweise im Unterricht
vorzuführen. Viele Beweise sind auch einfach zu schwierig und bringen den SchülerInnen
nicht viel.“ Es wird auch der Lehrplan für den Zeitmangel verantwortlich gemacht: „Der
Lehrplan ist so vollgepackt, dass oft keine Zeit für Beweise ist auch wenn man sie gerne
machen würde. Einige SchülerInnen würden Beweise interessieren, einigen würden sie
weiterhelfen, einigen ist es einfach egal.“ Anmerkungen, bei denen die Reifeprüfung als
Begründung genannt wird: „Ich halte Beweise für einen sehr wesentlichen Teil des
Mathematikunterrichts, oft bleibt aber leider dafür zu wenig Zeit (gerade im Hinblick auf die
Zentralmature, für die sämtliche Stoffgebiete durchgenommen werden müssen und damit kein
"Mut zur Lücke", um andere Kapitel ausführlicher zu behandeln, möglich ist).“ Eine zweite
Person sieht es ähnlich: „Im Zuge der Umstellung auf die neue zentralisierte Reifeprüfung
verzichte ich im Unterricht öfters auf die Ausführung bestimmter Beweise. Diese einmalig zu
präsentieren ist meist sinnlos und für die nötigen Wiederholungen fehlt schlicht und einfach
die Zeit. Zudem prüfe ich lieber die neuen Formate unter Schularbeitenbedingungen etc. ab,
damit ich sehe, wo Handlungsbedarf besteht.“
Auch in Bezug auf die Arten des Beweisens gibt es unterschiedliche Anmerkungen. So meint
eine Lehrperson, dass in jeder Stunde zumindest eine Begründung vorkommt: „Bei einigen
der angeführten Punkte (z.B. Kreisgleichung) ist für mich der Begriff „Herleitung“
naheliegender als „Beweis“. Praktisch jede Formel, jede Rechenanweisung wird begründet
86
(warum bedeutet 𝑦 ′′ > 0 eine positive Krümmung, also eine Krümmung des Graphens gegen
den Uhrzeigersinn, warum durchsetzt bei 𝑦 ′′ = 0, 𝑦 ′′′ > 0 der Graph die Wendetangente von
unten nach oben ...). Und diese Begründung ist stets ein mehr oder weniger strenger
mathematischer Beweis des Sachverhalts. In diesem Sinne kommt wohl in jeder
Mathematikstunde durchschnittlich mindesteins ein Beweis vor. Bei Schularbeiten habe ich
Beweise bisher fast nie abgeprüft. Die Grundidee der Beweise (bzw. Herleitung von Formeln)
aber durchaus mal. Dass die Kreisgleichung aufgrund des Satzes von Pythagoras richtig ist,
müssen die Schüler schon wissen ...“. Eine andere Lehrkraft meint: „Ein Beweis ist nur für
die Schüler sinnvoll, die ihn auch verstanden haben. Abprüfen von Beweisen halte ich daher
für ziemlich überflüssig, da es für die meisten bloßes Auswendiglernen ist. Wenn im
Unterricht Zeit bleibt, finde ich das Durchnehmen eines Beweises dennoch sehr interessant
für jene, die damit etwas anfangen können. Unter anderem könnte es den Zweck haben, sich
eine vergessene Formel schnell selbst herzuleiten.“ So meint auch eine weitere Person
„Strenge, mathematisch korrekte Beweise haben meiner Meinung nach für den
Schulunterricht keine Bedeutung. Ich beschränke mich auf anschauliche Begründungen bzw.
Herleitungen.“
Auch die Schwierigkeiten, die Schülerinnen und Schüler beim Beweisen haben, werden
angesprochen: „Ich finde, dass durchaus mehr Beweise (vor allem in RG-Klassen) besprochen
und abgeprüft werden sollten, da diese ein Grundverständnis von math. Arbeiten vermitteln.
Den SchülerInnen ist nicht bewusst, dass Beweise bzw. gewisse Sätze allgemein gültig sind.
Außerdem wissen oft SchülerInnen nicht, was bei Beweisen als vorausgesetzt werden darf
bzw. wo sie anfangen sollen.“ Auch von der fehlenden Motivation der Lernenden ist die
Rede: „Ich würde gerne mehr Beweise machen, aber Schüler/innen haben oft sehr wenig
Interesse daran. Zugang zur Mathematik soll nicht wegen zu schwieriger Themen blockiert
werden. Nur ganz wenige freuen sich an den abstrakten Zusammenhängen in der Mathematik.
Grundlegende Beweise werden bei mir gemacht und teilweise auch abgeprüft, weil das Teil
der Mathematik ist.“
Außerdem wird auch erwähnt, dass es von Klasse zu Klasse unterschiedlich ist, welche
Beweise gemacht werden: „Es ist von Jahr zu Jahr bzw. von Klasse zu Klasse unterschiedlich,
ob sich mehr oder weniger Beweise ausgehen. Wenn ich also in der Umfrage einen Beweis
als gemacht angegeben habe, heißt das nicht, dass ich ihn in diesen Klassen immer gemacht
habe bzw. immer machen werde.“
87
3.2. INTERPRETATION DER STUDIE
An dieser Studie haben 332 AHS-Lehrpersonen aus ganz Österreich teilgenommen. Es kann
vor allen aus den Gründen für das Nichtmachen von Beweisen einiges herausgelesen werden.
Auch die abschließenden Anmerkungen der Lehrenden geben einen guten Einblick zum
Thema Beweise im Mathematikunterricht.
Werden die ersten Fragen des Fragebogens, nämlich die allgemeinen Fragen, betrachtet, so ist
zu sehen, dass sich die Lehrpersonen in Bezug auf die Bedeutung von Beweisen im
Mathematikunterricht nicht ganz einig sind. Etwa 50% finden, dass diese im Unterricht eine
wichtige Rolle spielen, die anderen 50% sehen es genau anders. Bei dieser Frage ist vor allem
der Unterschied zwischen männlichen und weiblichen Lehrenden erstaunlich, denn bei den
Männern sind es 60%, die Beweise im Unterricht für bedeutend halten, bei den Frauen nur
40%.
Laut
Wagner
(Wagner,
2002,
S.
114)
wünschen
sich
Schülerinnen
anwendungsorientierte Beispiele. Sie können gefördert werden, indem solche Beispiele
häufiger gemacht werden. Vielleicht ist auch deswegen für weibliche Lehrende der Beweis im
Unterricht nicht so bedeutend. Möglicherweise versuchen sie den Unterricht möglichst
anwendungsorientiert zu gestalten, da dieser Wunsch bis zum Erwachsenenalter erhalten
bleibt. Beweise sind zwar nötig, um die Zusammenhänge oder eine Formel zu verstehen, aber
nicht für das Anwenden der Formel.
Es ist aber auch eindeutig zu sehen, dass die Lehrkräfte, sowohl weibliche als auch
männliche, sehr gerne mehr Beweise machen würden, ihnen allerdings die Zeit dazu fehlt.
Denn etwa 78% der Stichprobe würden gerne häufiger Beweise durchführen, wenn sie die
Zeit dazu hätten. Auch bei den Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen ist die
fehlende Zeit meist der Hauptgrund. In der Unterstufe ist diese Antwort bei allen Beweisen
der Spitzenreiter, auch in der Oberstufe wurde diese Antwort bei allen bis auf einen Beweis
am häufigsten genannt. Nur bei dem Beweis der partiellen Integration wird die Irrelevanz für
die schriftliche Matura häufiger als Begründung für das Nichtmachen genannt, danach folgt
aber auch hier die Antwort des Zeitmangels. Auch bei den abschließenden Anmerkungen ist
öfter die Phrase „es bleibt immer weniger zeit“ zu lesen. Scheinbar sind Beweise ein Bereich,
der sehr gerne weggelassen wird, wenn der Lehrperson klar wird, dass noch zu viel Stoff für
die restliche (kurze) Zeit übrig ist. Diese fehlende Zeit wird häufig mit der anstehenden
standardisierten Reifeprüfung begründet: „Leider bleibt für Beweise im Unterricht immer
weniger Zeit, da man immer mehr Stoffkapiteln (Grundkompetenzen) wiederholen muss.
Beweise sind ja selber keine Grundkompetenz, werden bei der Matura nicht mehr
88
vorkommen. Schüler, die mündlich in Mathematik maturieren, müssen aber Beweise, die im
Unterricht besprochen worden sind, als Teil des Lehrplans können.“ Wie in dieser
Anmerkung schon zu lesen ist und auch im Abschnitt 2.10. erkannt wurde, haben Beweise
zumindest bei der schriftlichen Matura keinerlei Bedeutung. Diese Studie legt somit durchaus
die Erkenntnis nahe, dass Beweise auf Grund des Zeitmangels nicht gemacht werden. Grund
dafür scheint unter anderem die neue standardisierte Reifeprüfung zu sein. Eine Lehrperson
weist darauf hin, dass dieses Problem möglicherweise nach ein paar Jahren erkannt wird:
„Vor allem in der Oberstufe ist in den letzten Jahren (aufgrund der neuen Reifeprüfung) sehr
wenig Zeit, selbst für die Grundkompetenzen. Da Beweisführung für die schriftliche Matura
im Grunde nicht von Bedeutung ist fällt dieser Teil des Unterrichts am ehesten weg.
Eigentlich sehr schade, da gerade das Führen von Beweisen eine gute Übung zu
strukturiertem Arbeiten ist und das Hinterfragen des eigenen Vorwissens erfordert. Durchaus
möglich, dass sich nach zwei drei Jahren Erfahrung mit der neuen Reifeprüfung dieser
Umstand wieder ändert. Ganz allgemein wäre eine Verschlankung des Lehrplans wichtig.“
Diese Lehrkraft betont auch, dass gerade Beweise sehr gut Kompetenzen fördern würden, die
bei der schriftlichen Reifeprüfung gefordert werden. So ist etwa das Vernetzen ein sehr
wichtiger Bereich, der besonders bei Beweisen geübt wird. Auch eine weitere Lehrperson
weist darauf hin: „Im Zuge des neuen Modus der Reifeprüfung stellen für mich Beweise eine
(!) wichtige Grundlage für die mündliche Reifeprüfung dar.
Zum einen zeigen sie, wie die Mathematik als Wissenschaft aufgebaut ist. (Wir
erhalten immer wieder Rückmeldungen von Absolventen, die dankbar dafür waren, da
sie dann in technischen bzw. naturwissenschaftlichen Studienfächern nicht den großen
"Abstraktionsschock" erleiden wie andere, die dies im Laufe ihrer Schulkarriere nie
präsentiert bekommen haben.) Das ist für mich grundlegend für einen (zumindest
"sehr guten") Abschluss bei einer mündlichen Reifeprüfung in Mathematik.
Zum anderen sind sie - rein vom Schwierigkeits- und/oder Komplexitätsgrad gut dafür
geeignet,
das
neue
Reifeprüfungskonzept
umzusetzen.
Meine
damit:
die
Grundkompetenzen werden schriftlich zentral abgeprüft. Aber wie man auch im
Musikunterricht einmal (oder öfters) mit den Werken von Größen wie Mozart o. ä.
konfrontiert werden sollte, so auch mit Beweisen in der Mathematik. Das bedeutet
nicht, dass alles geprüft werden muss. Falls dies in der Auswertung deutlich wird: Ich
prüfe im Laufe des Unterrichts Beweise fast nicht, bzw. nur freiwillig ab. Es reicht mir
schon, an und ab einmal etwas "zu zeigen".“
89
Dieser Grund wird auch durch die Antworten auf die nächste Frage bestätigt. Mit den
Schulbüchern sind etwa 70% der Lehrpersonen zufrieden. Somit sind diese zumindest bei
einem großen Teil der Lehrkräfte nicht der Grund für das Nichtmachen von Beweisen, was
weiterhin vermuten lässt, dass der Zeitmangel der Hauptgrund dafür darstellt.
Nun aber noch kurz zurück zur Frage, wie bedeutend Beweise im Unterricht sind und ob die
Lehrkräfte gerne mehr Beweise machen würden. Interessant ist, dass Lehrkräfte aus
Gemeinden mit weniger als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern zwar Beweise im
Unterricht nicht für so bedeutend halten wie solche aus Gemeinden mit mehr als 10 000
Bewohnerinnen und Bewohnern, erstere aber eher dazu tendieren zu sagen sie würden gerne
mehr Beweise machen, wenn die Zeit dafür vorhanden wäre.
Werden die Beweise selbst genauer betrachtet bzw. die einzelnen Klassen, so ist zu sehen,
dass in der Unterstufe deutlich mehr Beweise gemacht werden als in der Oberstufe, zumindest
wenn die gefragten Beweise betrachtet werden. In der Oberstufe ist allein die siebte Klasse
eine Ausnahme, bei der alle Beweise von mindestens 72% durchgeführt werden. In der
fünften und sechsten Klasse gibt es jeweils einen Beweis, der von nicht mal 30% der
Lehrpersonen bewiesen wird. Der Satz von Euklid, ein indirekter Beweis, wird etwa in der
fünften Klasse von nur 28,87% bewiesen, die Irrationalität der Euler’schen Zahl 𝑒, ebenso ein
indirekter Beweis, in der sechsten Klasse sogar nur von 21,21%. Es lässt sich somit vermuten,
dass der indirekte Beweis eine Beweisart ist, die die Lehrkräfte gerne weglassen. Allerdings
ist dies nicht ganz richtig, denn der dritte indirekte Beweis, der bei dieser Studie vorkam,
nämlich der für die Irrationalität der √2 wurde bei 68,20% durchgeführt. Im Großen und
Ganzen kann gesagt werden, dass in der Unterstufe jeder Beweis von zumindest 64% der
Lehrkräfte durchgeführt wird, in der Oberstufe ist dies eindeutig nicht mehr der Fall.
Grund dafür könnte dabei die anstehende neue Reifeprüfung darstellen, denn in der Oberstufe
ist zu erkennen, dass häufig die Irrelevanz für diese standardisierten Reifeprüfung der Grund
ist, der für das Nichtmachen eines Beweises am zweithäufigsten gegeben wird. Es wird somit
die Anmerkung der Lehrkräfte auch in der Studie bestätigt: „Auf Grund der neuen
Ausrichtung der Matura auf Kompetenzen, bleibt für alles andere kaum bis gar keine Zeit
mehr. Beweisführungen sind zum jetzigen Zeitpunkt leider nicht leistbarer Luxus, dem man
noch auf der Uni frönen kann, für den aber im Unterricht einfach kein Platz mehr ist.“ Die
90
Lehrpersonen trainieren also hauptsächlich auf die Zentralmatura hin, weshalb sehr häufig auf
Beweise verzichtet wird, da diese dafür nicht relevant sind.
Dies lässt auch die genaue Auseinandersetzung mit den Begründungen für das Nichtmachen
von Beweisen vermuten. Denn es ist zu erkennen, dass sowohl in der Unter- als auch der
Oberstufe der Zeitmangel deutlich an der Spitze steht. In der Unterstufe folgen darauf die
Begründung, dass der Beweis nicht lehrreich sei, gefolgt vom Nichtbehandeln des Themas,
der Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung und dem Schwierigkeitsgrad. In der
Oberstufe folgen auf den Zeitfaktor der Grund der Irrelevanz für die Reifeprüfung, des
Nichtbehandelns des Themas, die Begründung, dass dieser zu wenig lehrreich ist und der
Schwierigkeitsfaktor des Beweises. Man könnte also sagen, dass in der Oberstufe auf die neue
Reifeprüfung hin trainiert wird und deshalb weniger Beweise gemacht werden, denn diese
Begründung rückt in der Oberstufe vom vierten auf den zweiten Platz vor. Dafür fällt die
Begründung, dass der Beweis zu wenig lehrreich ist, vom zweiten Platz in der Unterstufe auf
den vierten Platz in der Oberstufe zurück. Da Mehrfachantworten möglich sind, kann
interpretiert werden, dass die Beweise in der Oberstufe lehrreicher sind als die der Unterstufe.
Um auch die Unterschiede zwischen Männern und Frauen oder etwa den Gemeinden unter
10 000 und über 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern zu vergleichen, wurden fünf
Beweise ausgesucht und diese wurden genauer betrachtet. Diese fünf Beweise sind die für die
Winkelsumme des Dreiecks, den Höhensatz, die Irrationalität der √2, die Potenzregeln und
die Ableitungsregel der Potenzfunktion.
Zunächst wird auf den Unterschied zwischen Männern und Frauen eingegangen. Bei vier von
diesen fünf Beweisen ist zu sehen, dass die männlichen Lehrenden häufiger Beweise in der
Klasse präsentieren als die weiblichen Lehrpersonen. Bei allen fünf Beweisen ist zu sehen,
dass die männlichen Lehrkräfte, wenn auch nur der Unterschied gering ist, weniger oft die
Beweise abprüfen. Etwa gleich häufig werden die Beweise generell bei Frauen und Männern
durchgeführt. Bei den Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen ist zu sehen, dass
die Lehrer häufiger angeben, dass ein Beweis zu schwer ist oder dass die Irrelevanz bei der
schriftlichen Reifeprüfung der Grund dafür ist, bei 4 von 5 Beweisen wird die Begründung
des Zeitmangels seltener angegeben, beim fünften Beweis wird diese Antwort von Frauen und
Männern gleich oft gegebenen. Bei 4 von 5 Beweisen geben die männlichen Lehrkräfte
häufiger an, dass der Beweis zu wenig lehrreich ist.
91
Bei
den
weniger
erfahreneren
Lehrenden,
nämlich
denen
mit
0-10
Jahren
Unterrichtserfahrung ist zu erkennen, dass diese bei allen fünf Beweisen die Beweise seltener
durchführen, weiters prüfen diese die Beweise seltener ab als Lehrpersonen mit mehr
Erfahrung. Bei den Gründen für das Nichtmachen der Beweise ist keine gewisse Tendenz
erkennbar.
Werden bei der Auswertung die in Wien Unterrichtenden, die Lehrkräfte mit einer Schule aus
Gemeinden mit mehr als 10 000 Einwohnerinnen und Einwohnern (ausgenommen Wien) und
die in Gemeinden mit weniger als 10 000 Bewohnerinnen und Bewohnern Lehrenden
betrachtet, so sind keine allzu großen Unterschiede zu erkennen. Als einziges ist zu erkennen,
dass die Lehrerinnen und Lehrer aus letzteren weniger Beweise anhand eines Beispiels
demonstrieren als die Anderen.
Werden die westösterreichischen Lehrkräfte (Vorarlberg, Tirol, Salzburg) mit denen, die in
Ostösterreich (Burgenland, Wien, Niederösterreich) unterrichten verglichen, so kann nicht
festgestellt werden, dass die Einen mehr beweisen als die Anderen. Es ist aber erkennbar, dass
im Westen weniger Beweise von den Schülerinnen und Schülern selber erarbeitet werden und
drei von den vier Beweisen (beim Beweis der Irrationalität von √2 ist dies nicht möglich)
häufiger anhand eines Beispiels demonstriert werden. Bei den Begründungen für das
Nichtmachen von Beweisen geben die Lehrkräfte im Osten Österreichs seltener an, dass der
Beweis zu schwer, irrelevant für die schriftliche Reifeprüfung oder zu wenig lehrreich sei. Es
bleibt allerdings dabei, dass der Zeitfaktor der Hauptgrund für das Nichtmachen darstellt.
Eine Ausnahme ist nur beim Beweis für die Irrationalität der √2 bei den Lehrkräften aus
Wien zu sehen, die häufiger die Irrelevanz bei der schriftlichen Reifeprüfung als Grund
angeben.
92
4. HILFREICHE BEWEISE FÜR DEN MATHEMATIKUNTERRICHT
Abschließend werden untypische Beweise, also Beweise, die in den Schulbüchern nicht zu
finden sind, erläutert, die während der Recherche für diese Arbeit entdeckt wurden und die
hoffentlich für einige Lehrpersonen hilfreich sein werden. Ein auch eher untypischer Beweis
wurde schon in Abschnitt 2.7.1. erwähnt, nämlich der Beweis für den folgenden Satz:
„Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, so verdoppelt sich auch die Länge jeder
Diagonale.“ (Buchholtz & Schwarz, 2008, S. 520)
Zusätzlich werden hier noch zwei weitere Beweise angeführt. Begonnen wird mit einem
Beweis von Brunner (Brunner, 2014, S. 21), genauer gesagt mit dem Satz „Die Summe vier
aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist durch 8 teilbar.“ Der Beweis dafür kann sowohl
als Beziehungs- als auch als Handlungsbeweis durchgeführt werden:
Z.z.: Die Summe vier aufeinanderfolgender ungerader Zahlen ist durch 8 teilbar.
Handlungsbeweis:
Es werden vier aufeinanderfolgende ungerade Zahlen gewählt, etwa 1, 3, 5 und 7 und es wird deren
Summe betrachtet:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Die Zahl 16 ist durch 8 teilbar, somit stimmt die Aussage für die gewählten Zahlen. Betrachten wir
nun die darauffolgende Summe, was auf folgende Weise dargestellt werden kann:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
+2
+2
+2
+2
+8
3 + 5 + 7 + 9 = 24
Wir sehen also, dass die Summe der vier darauffolgenden aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen
genau um 8 größer ist, da die vier Zahlen jeweils um 2 erhöht wurden. Die neue Summe ist also
genau die alte Summe, die durch acht teilbar ist, addiert mit 8, was ebenfalls durch 8 teilbar ist. Somit
ist wegen der Teilbarkeitsregeln (𝑎|𝑏 und 𝑎|𝑐 ⇒ 𝑎|(𝑏 + 𝑐)) auch die neue Summe durch 8 teilbar.
Auf diese Art ist zu sehen, dass dies auch für jede weitere Summe gilt, da immer wieder 8 zur vorigen
Summe addiert wird.
93
Beziehungsbeweis:
Ungerade Zahlen können in der Form 2𝑛 ± 1 dargestellt werden. Wir können die Summe vier
aufeinanderfolgender ungerader Zahlen deshalb folgenderweise darstellen:
(2𝑛 + 1) + (2𝑛 + 3) + (2𝑛 + 5) + (2𝑛 + 7) = 8𝑛 + 16
Wegen der Teilbarkeitsregeln (𝑎|𝑏 und 𝑎|𝑐 ⇒ 𝑎|(𝑏 + 𝑐)) und 8|8𝑛 und 8|16 gilt
8|(8𝑛 + 16).
Somit ist die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch 8 teilbar.
(Brunner, 2014, S. 22-23)
Auch bei Fischer und Malle (Fischer & Malle, 1985, S. 187) ist ein interessanter Beweis zu
finden, der wiederum als Handlungs- und auch als Beziehungsbeweis durchgeführt werden
kann.
Z.z.: Der Umfang eines konvexen Vierecks ist größer als die Summe der beiden Diagonalenlängen.
Handlungsbeweis:
Das Viereck kann anhand von vier eingeschlagenen Nägeln dargestellt werden. Um diese können
zwei Gummiringe gegeben werden und auf diese Weise sind auch die Diagonalen zu sehen.
Es ist zu sehen, dass die Gummiringe so gedehnt werden können, dass sie außerhalb der Nägel
verlaufen. Die Gummiringe haben somit die Größe des doppelten Umfangs, allerdings mussten die
Gummiringe, die zu Beginn genau die doppelte Länge der Summe der beiden Diagonalen dargestellt
haben, gedehnt werden. Somit ist zu erkennen, dass der Umfang des Vierecks größer als der Summe
der beiden Diagonalen ist.
94
Beziehungsbeweis:
Nach der Dreiecksungleichung gilt:
̅̅̅̅
𝐴𝐶 < ̅̅̅̅
𝐴𝐵 + ̅̅̅̅
𝐵𝐶 ,
̅̅̅̅
𝐴𝐶 < ̅̅̅̅
𝐶𝐷 + ̅̅̅̅
𝐷𝐴
̅̅̅̅
𝐵𝐷 < ̅̅̅̅
𝐵𝐶 + ̅̅̅̅
𝐶𝐷 ,
̅̅̅̅
𝐵𝐷 < ̅̅̅̅
𝐷𝐴 + ̅̅̅̅
𝐴𝐵
Werden diese vier Ungleichungen addiert, so erhält man:
̅̅̅̅ + ̅̅̅̅
2 ∙ ̅̅̅̅
𝐴𝐶 + 2 ∙ ̅̅̅̅
𝐵𝐷 < 2 ∙ (𝐴𝐵
𝐵𝐶 + ̅̅̅̅
𝐷𝐴 + ̅̅̅̅
𝐴𝐵)
̅̅̅̅ + 2 ∙ 𝐵𝐷
̅̅̅̅ + 𝐵𝐶
̅̅̅̅ + 𝐷𝐴
̅̅̅̅ + 𝐴𝐵
̅̅̅̅
̅̅̅̅ < 𝐴𝐵
𝐴𝐶
(Fischer & Malle, 1985, S. 187)
Diese drei Beweise können sehr gut zum Üben von Beweisen verwendet werden, sie können
von den Schülerinnen und Schülern mit Unterstützung der Lehrperson selbst erarbeitet
werden.
95
5. DISKUSSION UND AUSBLICK
Diese Arbeit soll einen Einblick in das Thema Beweise im Mathematikunterricht geben.
Dabei können Lehrpersonen Ideen für den Umgang mit Beweisen finden. Unter einem
Beweis werden oft unterschiedliche Dinge verstanden. Das wurde auch in der Studie, die im
zweiten Teil der Arbeit durchgeführt wurde und die Bedeutung von Beweisen im
österreichischen Mathematikunterricht aufzeigen sollte, von einzelnen Lehrpersonen
angemerkt. Für sie waren die in der Studie angeführten Beweise zum Teil eher Herleitungen.
In der Arbeit wird versucht klar zu machen, dass der Begriff Beweis abhängig von der
mathematischen Gesellschaft ist, in der man sich gerade befindet. Ein Beweis (etwa ein
geometrischer), der in der Schule als ausreichend angesehen wird, wird in einer
mathematischen Zeitschrift möglicherweise nicht akzeptiert. Gerade bei Beweisen im
Unterricht ist daran zu denken.
Die online-Durchführung der Studie bringt eine große Stichprobe (332 Teilnehmerinnen und
Teilnehmer aus ganz Österreich), aber auch einen Nachteil mit sich: Da der Fragebogen den
Titel „Beweise im Mathematikunterricht“ trägt, wurde dieser möglicherweise eher von
Personen ausgefüllt, die solche auch im Unterricht durchführen und die den Beweisen mehr
Bedeutung schenken als andere Lehrkräfte.
Bei der Studie wurde darauf vergessen, dass es Lehrpersonen gibt, die unterrichten, aber ihr
Studium noch nicht abgeschlossen haben. Wahrscheinlich haben diese Lehrpersonen bei der
Frage „Vor wie vielen Jahren haben Sie Ihr Studium abgeschlossen?“ die Antwort „0-5 Jahre“
angegeben, allerdings kann es sein, dass dies nicht (immer) der Fall ist und somit diese Frage
nicht aussagekräftig ist. Den Antworten dieser Frage wurde aber bei der Auswertung keine
große Bedeutung geschenkt, weswegen sie die Ergebnisse nicht wirklich beeinflussen.
Es wurde bei der Erstellung des Fragebogens leider nicht daran gedacht, den Lehrpersonen zu
sagen, dass sie bei der Beantwortung an die letzte Klasse der jeweiligen Schulstufe, die sie
unterrichtet haben, denken sollten. Es ist also möglich, dass Lehrpersonen sagen, sie hätten
den Binomischen Lehrsatz bewiesen, wobei dies allerdings schon 10 Jahre her ist. Es wird
von den Lehrkräften auch darauf hingewiesen, dass sie geantwortet haben, sie hätten den
Beweis gemacht, dies allerdings vom Klassenniveau abhängig ist, und der Beweis somit nicht
in allen Klassen durchgeführt wird.
Die Begründungen für das Nichtmachen von Beweisen zeigen deutlich, dass oft keine Zeit
dafür vorhanden ist. Das ist die wichtigste Erkenntnis, die diese Studie hervorbringt.
96
Deswegen sind in der Arbeit Beispiele für Beweise angegeben, die von den Lernenden
selbstständig durchgeführt werden können und nicht allzu zeitaufwändig sind. Das müssen
nicht unbedingt Beweise sein, die im Schulbuch zu finden sind. Das bedeutet zwar, dass
etwas bewiesen wird, das nicht unbedingt im Lehrplan zu finden ist. Da aber von diesem
ohnehin nur wenige Beweise gefordert werden, kann ein Beweis aus dem Schulbuch auch
durch einen anderen ersetzt werden bzw. der aus dem Buch dann nur mehr von der
Lehrperson präsentiert werden.
Die Studie könnte erweitert werden, indem Lehrpersonen direkt in den Schulen darum
gebeten werden einen Fragebogen auszufüllen bzw. sogar eine qualitative Studie durchgeführt
wird. Der Vorteil einer qualitativen Studie wäre, dass man sich sicher sein kann oder
nachfragen kann, wie die befragte Lehrkraft eine Aussage versteht. Bei einer schriftlichen
Umfrage kann natürlich immer sein, dass gewisse Formulierungen von den Teilnehmenden
anders verstanden werden als gedacht. Dadurch könnte eine noch genauere Aussage darüber
troffen werden, wie viele Lehrpersonen Beweise tatsächlich durchführen und wie viele darauf
verzichten.
97
6. LITERATURVERZEICHNIS
Alsina, C., & Nelson, R. (2013). Bezaubernde Beweise. Eine Reise durch die Eleganz der
Mathematik. (T. Filk, Übers.) Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.
Back, O., Benedikt, E., Blüml, K., Ebner, J., Hornung, M., Möcker, H., et al. (2001).
Österreichisches Wörterbuch. Schulbuchausgabe (39. Auflage). Wien: öbv & hpt.
bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, I. &. (2013). Mathematik, Die standardisierte
schriftliche
Reifeprüfung
in.
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09
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von
https://www.bifie.at/system/files/dl/srdp_ma_konzept_2013-03-11.pdf
bifie - Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen
Schulwesens. (15. September 2014a). Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die
standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS).
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12.
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101
7. ANHANG
7.1. FRAGEBOGEN
Fragebogen – Beweise im Unterricht
Liebe Lehrerin, lieber Lehrer,
im Rahmen meiner Diplomarbeit an der Universität Wien zum Thema Beweise im
AHS-Mathematikunterricht führe ich eine Befragung durch. Die Teilnahme ist
selbstverständlich freiwillig und anonym, die Daten dienen ausschließlich der
späteren statistischen Analyse.
Die Beantwortung der Fragen nimmt je nach Anzahl der unterrichteten Schulstufen
zwischen 5 und 15 Minuten in Anspruch. Es würde mich sehr freuen, wenn Sie sich
diese Zeit nehmen würden!
Bei
Fragen
können
Sie
mich
[email protected] kontaktieren!
jederzeit
Vielen Dank im Voraus!
Stefanie Stockinger
1. Angaben zur Person
Geschlecht:
männlich
weiblich
Unterrichtserfahrung:
0-5 Jahre
6-10 Jahre
11-20 Jahre
mehr als 20 Jahre
Vor wie vielen Jahren haben Sie Ihr Studium abgeschlossen?
0-5 Jahren
6- 10 Jahren
11-20 Jahren
mehr als 20 Jahren
In welchem Bundesland unterrichten Sie:
Wien
102
Vorarlberg
Tirol
per
E-Mail
an
Salzburg
Oberösterreich
Niederösterreich
Burgenland
Steiermark
Kärnten
Wo befindet sich Ihre Schule?
in Wien
in einer Gemeinde mit mindestens 10 000 EinwohnerInnen
in einer Gemeinde mit weniger als 10 000 EinwohnerInnen
Welches Schulbuch verwenden Sie in der Unterstufe?
Das ist Mathematik – Reichel
Mach mit Mathematik
Blickpunkt Mathematik
Lebendige Mathematik
MatheMaster
MathematiX
Expedition Mathematik
ganz klar: Mathematik
Genial Mathematik
Mathe Buch
MatheFit
Maßstab
Welches Schulbuch verwenden Sie in der Oberstufe?
Mathematik – Reichel
Mathematik verstehen – Malle
Dimensionen
Elemente der Mathematik
klar_Mathematik
Thema Mathematik
2. Allgemeine Fragen
Haben Sie die genannte Klasse der AHS schon ein ganzes Jahr hindurch unterrichtet?
2. Klasse:
ja
nein
3. Klasse:
ja
nein
4. Klasse:
ja
nein
5. Klasse:
ja
nein
6. Klasse:
ja
nein
7. Klasse:
ja
nein
8. Klasse:
ja
nein
Stellen für Sie Beweise einen wichtigen Teil des Mathematikunterrichts dar?
ja
nein
Wenn Sie Zeit dafür hätten, würden Sie dann häufiger Beweise machen?
ja
nein
Finden Sie im Schulbuch genügend Beweise, die Sie im Unterricht verwenden können?
ja
nein
Gibt es eine bestimmte Art von Beweisen, die Sie bevorzugen?
anschaulicher Beweis
rechnerischer Beweis
Nein, das ist vom Beweis selbst abhängig.
103
3. Zweite Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine zweite Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der zweiten Klasse.
Winkelsumme im Dreieck: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
In jedem Dreieck schneiden die Winkelsymmetralen einander in genau einem Punkt, dem
Inkreismittelpunkt: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
104
Satz von Thales: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der zweiten Klasse durchgeführt haben?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
4. Dritte Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine dritte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der dritten Klasse.
Binomische Formeln: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Wenn Sie die Formel bewiesen haben, für welche Art(en) haben Sie sich entschieden?
rechnerischer Beweis
anschaulich
105
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Flächeninhaltsformel des allgemeinen Dreiecks: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Flächeninhaltsformel des Parallelogramms: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
106
Strahlensatz: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der dritten Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
5. Vierte Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine vierte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der vierten Klasse.
Wurzelregel (√𝑎 ∙ 𝑏 = √𝑎 ∙ √𝑏 𝑓ü𝑟 𝑎, 𝑏 ≥ 0): Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
107
Satz des Pythagoras: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Wenn Sie den Satz bewiesen haben, für welche Art(en) haben Sie sich entschieden?
rechnerischer Beweis
anschaulich
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Höhensatz: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der vierten Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
108
6. Fünfte Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine fünfte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der fünften Klasse.
√2 ist irrational:
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Eine zweistellige Zahl 𝑛 ∈ ℕ∗ ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3
teilbar ist: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Satz von Euklid (Es gibt unendlich viele Primzahlen): Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
109
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Kleine Lösungsformel: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Satz von Vieta: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
110
Cosinussatz: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Mittelpunkt einer Strecke (bei den Vektoren): Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Formel für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
111
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der fünften Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
7. Sechste Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine sechste Klasse unterrichtet haben, kreuzen
Sie bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der sechsten Klasse.
Potenzregeln: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Binomischer Lehrsatz: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
112
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Eine gegebene Folge ist streng monoton wachsend bzw. fallend: Der Beweis
wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Summenberechnung der endlichen geometrischen Reihe mit n Gliedern und Quotienten
𝑞 ≠ 1 : Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
113
Die Euler’sche Zahl e ist irrational: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Satz von Bayes: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der sechsten Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
8. Siebte Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine siebte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der siebte Klasse.
114
Ein Polynom 𝑓(𝑥) vom Grad 𝑛 mit einer Nullstelle bei 𝑎 kann zu 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) ∙ 𝑔(𝑥)
vereinfacht werden, wobei 𝑔(𝑥) ein Polynom vom Grad 𝑛 − 1 ist: Der Beweis
wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Ableitungsregel für die Potenzfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 für 𝑛𝜖𝑁 ∗ : Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Ableitungsregel vom konstanten Faktor (𝑐 ∙ 𝑓)′ (𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥) bzw. die Summenregel
(𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥): Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
115
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Produktregel: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Kreisgleichung: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
116
𝑛 unterscheidbare Objekte können auf 𝑛! Arten angeordnet werden: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der siebten Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
9. Achte Klasse
Falls Sie schon ein ganzes Jahr hindurch eine siebte Klasse unterrichtet haben, kreuzen Sie
bitte Zutreffendes an. Es können mehrere Antworten angekreuzt werden.
Wenn Sie diese Klasse noch nicht unterrichtet haben, überspringen Sie bitte die
Fragen der siebte Klasse.
Ist 𝐹 eine Stammfunktion von 𝑓, so ist auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 für alle 𝑐 ∈ ℝ Stammfunktion von 𝑓: Der
Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
117
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Der Beweis wurde ...
zumindest teilweise in der Klasse präsentiert.
zumindest teilweise von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
zumindest teilweise abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
zumindest teilweise anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Volumsberechnung bei Drehung um die x-Achse: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Partielle Integration: Der Beweis wurde ...
in der Klasse präsentiert.
von den SchülerInnen selbst erarbeitet.
abgeprüft (z.B. bei einer Schularbeit).
anhand eines konkreten Beispiels demonstriert.
nicht gemacht.
118
Falls der Beweis nicht durchgeführt wurde, was ist der Grund dafür?
Er ist zu schwer.
Es war keine Zeit dafür.
Das Thema wurde nicht behandelt.
Er ist nicht relevant für die schriftliche Matura.
Er ist zu wenig lehrreich.
Sonstiges: ____________________________ .
Gibt es andere Beweise, die Sie in der achten Klasse durchgeführt haben?:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________________________________________
Gibt es sonst noch etwas, das Sie über Beweise im Mathematikunterricht sagen
möchten?
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Vielen Dank für Ihre Teilnahme!
119
CURRICULUM VITAE
Persönliche Daten
Name
Stefanie Stockinger
Geburtsdatum
31. August 1991
Staatsbürgerschaft
Österreich
Adresse
Reutegasse 70, 6900 Bregenz
E-Mail
[email protected]
Bildungsgang
WS 2010 – SS 2015
Universität Wien: Lehramt Mathematik und Psychologie und
Philosophie
Leistungsstipendium der Universität Wien: 2012/2013
WS 2014
Technische Universität Wien: Versicherungsmathematik
WS 2009 – SS 2010
Universität Wien: Lehramt Mathematik und Latein
2001 – 2009
Bundesgymnasium Gallus, 6900 Bregenz
Matura mit gutem Erfolgt bestanden
1997 – 2001
Volksschule Rieden, 6900 Bregenz
Arbeitserfahrung
SS 2011
Pädagogisches
Praktikum
im
Fach
Mathematik:
Bundesgymnasium und Bundesrealgymnasium GRG XIX,
Billrothstraße 73, 1190 Wien
Evangelisches Gymnasium und Werkschulheim, Erdbergstraße
222A, 1110 Wien
WS 2012
Fachbezogenes Praktikum in Mathematik:
Bundesgymnasium
und
Bundesrealgymnasium
Pichelmayergasse, Pichelmayergasse 1, 1100 Wien
120
WS 2012
Tutorin an der Universität Wien: Lineare Algebra und
Geometrie für LehramtskandidatInnen
WS 2013
Fachbezogenes Praktikum in Psychologie und Philosophie:
Katholische Privatschule Marienberg, Schlossbergstraße 15,
6900 Bregenz
WS 2013
Tutorin an der Universität Wien: Angewandte Mathematik für
LehramtskandidatInnen
SS 2014
Tutorin an der Universität Wien: Einführung in die Analysis
WS 2014
Tutorin an der Universität Wien: Analysis in einer Variable für
LehramtskandidatInnen
121

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