V7 Erweiterung des Zahlenraums/Schriftliche Verfahren

Sommersemester 2015
Didaktik der Grundschulmathematik
Di, 12-14 Uhr, HS 1
I Zahlen und Operationen
V 1 14.04. Arithmetik in der Grundschule
V 2 21.04. Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen
V 3 28.04. Aufbau des Zahlenraums bis 20 (Kl. 1)
V 4 05.05. Erstes Rechnen (Kl. 1)
V 5 12.05. Zahlenraum bis 100-halbschriftliches Rechnen (Kl. 2)
V 6 19.05. Multiplizieren und Dividieren (Kl. 2)
V 7 02.06. Erweiterung des Zahlenraums und schriftliche Verfahren
II Muster und Strukturen
V 8 02.06. Muster und Strukturen
III Größen und Messen
V 9 16.06. Größen und Messen
IV Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit
V10 23.06. Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik
V Spielerisches Lernen; Offene Aufgaben
V11 30.06. Offene Aufgaben – individuelle Förderung
V12 07.07. Spielerisches Lernen
Prüfungen vom 13.-23.07.2015
1
V 7 Erweiterung des Zahlenraumes;
schriftliche Verfahren
1 Erweiterung des Zahlenraums
2 Schriftliche Verfahren
2.1 Die schriftliche Addition
2.2 Die schriftliche Subtraktion
2.3 Die schriftliche Multiplikation und Division
Quellen: Radatz/Schipper u. a.: Handbuch
alt und Kl. 3 Handbuch neu; Padberg:
Arithmetik;Wittmann/Müller: Handbuch II
2
1 Erweiterung des Zahlenraumes
3
Zweitklässler: „10 mal 10 ist 100“ und „100 mal 100
ist 1000“ und „1000 mal 1000 ist 10000“
4
„1 000 000“ in Klasse 3, 4
Was kommt dir bei der Zahl „eine Million“ in den Sinn?
• Kann man bis zur Million zählen?
• Können wir in unserem Klassensaal eine Million
veranschaulichen?
– Wie weit kommen wir mit unseren Tausendergläsern?
Und wenn alle Kinder unserer Schule Tausendergläser
herstellen würden?
– Wenn wir Millimeterpapier nutzen?
– Wir haben ein Tausenderbuch. Kann man auch ein
Millionenbuch herstellen? (Idee „Zahlenbuch 4“)
5
Eine Million? Wie viel ist das, das kann ich mir nicht vorstellen sagt
ein Kind. Wie würdest du es erklären? Schreibe auf. (Kl. 4, Juni)
Vincents
Erklärungen
Lisas
Vorstellungen
6
Simons Sicht auf die Million
7
Klettverlag
8
Herstellen des Millionenbuches
Zahlenbuch 4
9
Millionenbuch
10
Eine Million auf
Millimeterpapier ?
...
11
Hunderterplatten
Tausenderwürfel
Zehntausenderstange
Hunderttausenderplatte
Millionenwürfel
12
Bauen des
Millionenwürfels
Quelle: Köppen,
Grundschulunterricht
2/05
13
Große Zahlen mit Mehrsystemblöcken darstellen
Thaja beim Darstellen einer mehrstelligen Zahl
14
Übungen mit Mehrsystemblöcken
z. B. das Nimm-Spiel (Strategiespiel)
• Eine Zahl wird mit Mehrsystemmaterial dargestellt (z.B.
1.232.100), Markierungen mit Plättchen zwischen den
Dreiergruppen.
• Dann nehmen die Mitspieler reihum an einer beliebigen Stelle
weg (beliebig viel).
• Die neue Zahl wird nach jeder Veränderung gesprochen und
kann auch aufgeschrieben werden.
• Gewonnen hat, wer das letzte Material wegnehmen kann.
Idee: Jana Köppen, In: Grundschulunterricht, 2/05
15
2 Schriftliche Verfahren
Während beim halbschriftlichen Rechnen (gestütztes
Kopfrechnen)
• die mehrstelligen Rechenzahlen immer als Ganzes überblickt
und beim Rechnen (geschickt) zerlegt werden müssen (unter
Berücksichtigung von Zahlbeziehungen und
Gesetzmäßigkeiten),
• ist das schriftliche Rechnen ein Rechnen mit den Ziffern an
den einzelnen Stellen („Ziffernrechnen“).
16
Nils, Kl. 3
„Ich freu mich so, dass ich
1.-Schuljahr-Aufgaben rechnen darf.“
17
• Die schriftlichen Verfahren zu den 4 Grundrechenoperationen
werden in der Regel in den Klassenstufen 3 und 4 eingeführt.
• Das schriftliche Verfahren der Division ist ein sehr komplexes
Verfahren. Es wird deshalb nur auf einer recht elementaren
Niveaustufe betrachtet.
• Bei der schriftlichen Subtraktion ist die gegenwärtige Tendenz,
das Abziehverfahren zu nutzen.
• (Kinder mit Rechenstörungen sollten möglichst frühzeitig in
den schriftlichen Verfahren unterwiesen werden.)
18
Rahmenplan Rheinland-Pfalz
gültig bis 31.07.2015
Kernlehrplan Saarland
19
2.1 Schriftliche Addition
20
• seit KMK 1958 Form und Sprechweise
vorgegeben
• international nur geringfügige Unterschiede, z.
B. in Italien:
357+
gerechnet:
876=
„7+6=13“...
1233
21
• Der Grundgedanke
eines effektiven
Additionsverfahrens ist
ganz einfach:
• Getrennte Addition in
den einzelnen Stellen
ergibt die Stellen des
Ergebnisses.
6
6H
13 Z
18 E
wird nach dem Bündeln
zur Ziffernfolge 748
vgl. Baireuther 2000
22
Wie haben
Rechenmeister
addiert?
845+436 = ?
1.
Zahlen legen.
2.
Plättchen zusammenschieben.
3.
Je zehn Plättchen wechseln.
845+436=1281
Quelle: Geering, Atlas
Mathematik
23
• Beim schriftlichen Addieren nutzen wir das
Kommutativ-, das Assoziativ- und das
Distributivgesetz:
• 437+346 = (400+30+7) + (300+40+6)
= (6+7) + (40+30) + (300+400)
= (6+7)·1 + (4+3)·10 + (3+4)·100
24
Schreib- und Sprechweise
• 3 plus 6 gleich 9
• 5 plus 7 gleich 12; schreibe
2, übertrage 1
• 5 plus 3 gleich 8
• Probe: Die andere
Rechenrichtung zum
nochmaligen Addieren
wählen.
Der Sprechrhythmus
unterstützt das
Verinnerlichen des
Verfahrens.
25
Übungsidee: Palindrome
Palindrome sind Wörter, Sätze oder Ziffernfolgen, die von
vorne und von hinten gelesen das Gleiche ergeben.
OTTO ANNASUSANNA
EIN ESEL LESE NIE
BEI LIESE SEI LIEB
26
Auf folgende Weise erhält man mit der Zeit
meistens ein Zahlenpalindrom (Drehwurm):
Nimm eine Zahl:
Addiere dazu die Umkehrzahl:
76
+ 67
143
Addiere zum Resultat
wieder die Umkehrzahl:
143
+341
484
Bei diesem Beispiel gelingt ein Drehwurm schon nach 2
Schritten, manchmal dauert es viel länger. Untersuche die
Zahlen 43, 54, 55, 56, 165.
27
2.2 Die schriftliche Subtraktion
28
Die Subtraktionsverfahren
• Sie unterscheiden sich
nach der Rechenrichtung:
– Ergänzen oder
– Abziehen
• Sie unterscheiden sich
nach der Art, wie mit
dem Übertrag
umgegangen wird:
– Entbündeln
(Wechseln , Borgen)
– Erweitern
(gleichsinniges Verändern
des Minuenden und
Subtrahenden)
– Auffüllen
(Auffüllen des
Subtrahenden zum
Minuenden)
29
• Die Differenz zweier Zahlen können wir berechnen durch
– Abziehen (Wegnehmen) – Minussprechweise,
– Ergänzen (Hinzufügen) - Plussprechweise
30
Vorteile der beiden Subtraktionsverfahren
Abziehen
• Natürliche Sinngebung der
Subtraktion
• Sprech- und Schreibweise
stimmen überein
• lebensnahe Sachaufgaben
beruhen meistens auf dem
Wegnehmen
• international gebräuchlicher;
Abziehen u.a. in: USA, Kanada,
Niederlande, Großbritannien,
Italien, Spanien, Portugal,
Türkei, Japan, China, Finnland,
Schweden, Indonesien, Israel,
...
• rechenschwache Kinder
können sich dieses Verfahren
besser einprägen
Ergänzen
• Es werden nur Plusaufgaben
benötigt.
• Die Subtraktion mehrerer
Subtrahenden ist leichter zu
handhaben.
• Die Situation „Nullen im
Minuenden“ ist leichter zu
handhaben.
31
Hintergrund
• Trotz der Vorteile des Abziehens beim schriftlichen
Subtrahieren hat sich die Kultusministerkonferenz (KMK) in den
1950er Jahren und erneut in den 1970er Jahren auf das
Ergänzen (kombiniert mit zwei Übertragstechniken)
verständigt.
• Erst seit einigen Jahren hat die KMK aufgrund der lebhaften
Diskussion diesen Beschluss aufgehoben und das Verfahren der
schriftlichen Subtraktion freigegeben.
• Als Folge hiervon tauchen in den Schulbüchern meistens beide
Verfahren auf. In den Richtlinien und Lehrplänen der
Bundesländer werden mitunter beide Verfahren gefordert oder
die Entscheidung für ein Verfahren den Lehrenden, bzw. sogar
den Schülern (!) überlassen.
32
Auszug aus dem Teilrahmenplan Mathematik Rheinland
Pfalz, gültig ab 01.08.2015 (S. 45 ff.)
33
Abziehverfahren
34
Abziehen mit Entbündeln, s. Rahmenplan, S. 46
Begriff „Borgen“?
35
Abziehen mit Erweitern
•
•
•
Einerstelle: 4-9 geht nicht.
Ich erweitere im Minuenden um
10 und im Subtrahenden an der
nächsten Stelle um 1. (So wird die
Konstanz der Differenz gewahrt.)14 – 9 = 5
Zehnerstelle: 2-8 geht nicht.
Ich erweitere deshalb im
Minuenden um 10 (um rechnen zu
können) und im Subtrahenden der
nächsten Stelle um 1 (um die
Konstanz der Differenz zu wahren).
12 – 8 = 4
Hunderterstelle:
8 – 5 = 3.
Schreibweise:
36
Ergänzungsverfahren
37
Ergänzen mit Auffüllen (s. Rahmenplan, S. 47)
Wahl des Beispiels?
Die Auffülltechnik füllt den Subtrahenden
stellenweise so weit auf, dass er dem
Minuenden gleichkommt. (Wenn nötig wird
auch die nächste Stelle im Subtrahenden
verändert.)
Entspricht dem Herangehen an der „Kasse“.
(Das Geld wird „ergänzend“ herausgegeben,
wobei man alle Stellen im Blick hat.)
Quelle: Baireuther
38
Ergänzen mit Erweitern (s. Rahmenplan, S. 48)
39
Ergänzen mit Entbündeln
Einerstelle: 6 bis zur 1 geht nicht.
Ich entbündle einen Zehner und wechsle ihn in
10 Einer um. Ich habe noch 3 Zehner.
Ich erhalte 11 E. 6 E + 5 E = 11 E.
Zehnerstelle: 2 Z + 1 Z = 3 Z.
Hunderterstelle: 1 H + 1 H = 2 H.
40
Erarbeitung der Verfahren
Atlas Mathematik 3
Weg über die Vorerfahrungen
Ausschnitte aus Welt der Zahl, Kl. 3
Nussknacker, Kl. 3
41
Weg über die Vorerfahrungen
• Wir haben schriftlich addiert.
• Wer kann sich denken, wie man schriftlich subtrahiert?
• Aufgaben vorgeben oder bilden lassen und Schüler probieren
lassen.
• Überschlagt, kann das stimmen, was ihr gerechnet habt?
• Rechnet eure Beispiele vor.
42
Wie haben die Rechenmeister subtrahiert?
1281-845 = ?
1281-845=436
1.
Die erste Zahl legen.
2.
Wo nötig, Plättchen aus den höheren Spalten wechseln.
3.
Plättchen der zweiten Zahl nach unten schieben. (Was oben liegen
bleibt, ist das Ergebnis.)
Quelle: Geering, Atlas Mathematik
43
Wie kannst du schriftlich subtrahieren?
1.
Wo nötig, vor der Subtraktion aus höheren Stellen
wechseln.
2.
Spaltenweise subtrahieren.
Atlas Mathe 3
44
In die Lehrbücher geschaut …
Beispiele aus Nussknacker und
„Welt der Zahl“
45
Abziehen mit Entbündeln
Nussknacker 3, S. 60
46
Ergänzen mit Erweitern
Welt der Zahl, S. 105 – Dieses Buch zeigt bei Einführung der schriftlichen
Subtraktion nur das „Ergänzen“. Das „Abziehen“ wird als „Alternative“ auf
den letzten Seiten des Buches (S. 132) angeboten.
47
Übung
• Wenden Sie bei der Aufgabe 632-289 das
Abziehverfahren an. Rechnen Sie laut vor.
• Lösen Sie die Aufgabe 602-289 über das
Abziehen mit Entbündeln.
2.3 Schriftliche Multiplikation und
Division
Quellen: Schipper (2009), Padberg (2011),
Radatz/Schipper/Dröge/Ebeling: Handbuch Kl. 4; Wittmann/Müller:
Handbuch II; Geering: Ich kann Mathematik, Kl. 4
Grundschulunterricht 1/2009;
Baireuther (2000): Mathematikunterricht; Kl. 3/4
49
Rahmenplan Grundschule (Rheinland-Pfalz)
Kl. 3/4
50
Kernlehrplan Saarland 2009
• Das schriftliche Verfahren der Multiplikation mit bis zu 3-stelligem
Multiplikator verstehen und sicher beherrschen.
• Das schriftliche Verfahren der Division mit einstelligem und
zehnernahem zweistelligem Divisor beherrschen.
• Lösungen durch Überschlagsrechnen und durch Anwenden der
Umkehroperation kontrollieren
• Division ohne Rest
• Division mit Rest
• weitere Kontrollmöglichkeiten z.B. Taschenrechner, PC
51
Schriftliche Multiplikation
Normalverfahren seit 1958:
•
•
•
•
•
beide Faktoren in derselben Zeile
rechte Zahl Multiplikator, linke Zahl Multiplikand¹
Man beginnt mit der höchsten Stelle des zweiten Faktors.
Die Überträge behält man im Kopf und addiert sie an der nächsten Stelle.
Abschließend werden die Teilsummen addiert.
52
Weitere Notationsformen, die teilweise schon zu
Beginn des 20. Jahrhunderts gebräuchlich waren:
53
Einführung des Verfahrens
• Wer kann schon schriftlich multiplizieren?
oder
• Vorgeben einer Sachsituation und Schüler
Wege finden lassen (s. folgende Folien)
54
55
Auswertung (Strategiekonferenz)
• Vorstellen und Vergleichen der Rechenwege
• Einschätzung der Kinder: „Malkreuz am günstigsten“
Das schriftliche Verfahren als ökonomischer Rechenweg
• „Wir lernen ein schnelles Verfahren mit leichten Teilaufgaben.“
• von der Lehrperson an der Tafel laut vorgerechnet:
56
Vorschlag: Algorithmus über eine ausführliche
Form des Aufschreibens herleiten
Kurzform (evtl. Mitschreiben der
Merkziffern)
Quelle: Baireuther.
Mathematik. Kl. 3/4
57
Überschlagsrechnung
• 6468 ·348
(Lösung: 2 250 864)
– Runden¹:
6000 ·300= 1 800 000
– „Konstanz“ berücksichtigen:
6000 ·400= 2 400 000
7000 ·300= 2 100 000
Funktionen des Überschlags:
• zur Ergebnisschätzung vor der Rechnung
• zur Kontrolle nach der Rechnung
58
Rundungsregeln
Steht in der rechten Nachbarzahl 1, 2, 3, 4
wird abgerundet.
Steht in der rechten Nachbarzahl 5, 6, 7, 8,
9 wird aufgerundet.
59
Schwierigkeitsfaktoren/Besonderheiten
• Nullen im Multiplikanden oder Multiplikator
• Übertragsziffern (Anzahl und Größe)
60
Besonderheiten: Multiplizieren mit 0 und 1
61
Forderung RLP: Das Verfahren der schriftlichen Division
kennen. Die anderen schriftlichen Verfahren beherrschen.
Schriftliche Division
Lösen Sie: 14531: 12
Vorteile der anderen schriftlichen Verfahren
gegenüber dem halbschriftlichen Rechnen:
• Rechnen mit kleinen Zahlen
• Reduzierung des Schreibaufwandes
Diese Vorteile gelten bei der Division nur
eingeschränkt.
Aufgabe: Quelle Gerster 2009
62
• halbschriftlich: Teilaufgaben können flexibel gewählt
werden.
• schriftlich: Es muss immer der größte Teildividend
bestimmt werden.
• Dabei kommt es häufig zu Korrekturen, Unterbrechungen,
Fehlern:
• 29472 : 8= 35...
• 24
Schüler setzen das Verfahren
• 54
fort und bemerken den Fehler
• 40
später. Sie müssen den
• 14
Einstieg für die Korrektur
rückwärtsgehend suchen.
63
Anforderungen in den Bundesländern
recht einheitlich:
•Dividieren durch einstellige Zahlen (evtl. auch
Zehnerzahlen)
•Überprüfung durch eine Kontrollrechnung
(Multiplikation)
•Überschlagsrechnung
64
Komplexität des Verfahrens
•
•
•
•
•
•
•
Überschlag
Ermitteln des ersten Teildividenden
Multiplizieren
Subtrahieren
Zwischenkontrolle
Herunterholen der nächsten Ziffer
...
65
Erarbeiten des Verfahrens
66
Die Grundschule in Kusel hat sich am Wettbewerb „Das
längste Kinderbild der Welt“ beteiligt und den ersten Platz
belegt. Entsprechend der Länge des Bildes hat die Schule
940 € gewonnen. Dieses Geld wird nun zu gleichen Teilen
an die 4 Klassen vergeben.
• Veranschaulicht
die Gesamtsumme
mit Geld.
• Legt für die 4
Klassen leere
Blätter bereit.
• Verteilt das Geld.
• Schreibt mit
Zahlen auf, wie ihr
verteilt habt.
Quelle: ebenda
67
Berücksichtigung
verschiedener Stufen
„Matheprofis“
Matheprofis 4
68
Eine schöne Idee aus dem Duden-Buch „Mathematik 4“: Den
Teildividenden markieren
Wie wurde die Aufgabe 4518:6 gerechnet? Erklärt und ergänzt.
69
• Fazit …
70

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