Di ffe re n z i e r b a r k e i t — 6.2
125
zwar linear in h̄ , aber nicht linear in h – und das ist ein wesentlicher Unterschied. Das sehen wir gleich noch genauer anhand der Cauchy-RiemannGleichungen. Ò.
Die Cauchy-Riemann-Gleichungen
Wie bereits erwähnt, können wir jede Funktion f : C ,! C als eine Funktion
f : R2 ,! C auffassen, indem wir z = x + iy schreiben und damit
f (z) = f (x + iy)
als Funktion von x und y auffassen. Ist f komplex differenzierbar, so existieren auch die partiellen Ableitungen nach x und y . Der nächste Satz klärt, wie
sich diese Ableitungen zueinander verhalten.
5
Satz Eine Funktion f : C ,! C ist im Punkt a komplex differenzierbar genau
dann, wenn sie dort reell differenzierbar ist und ihre partiellen Ableitungen
die komplexe Cauchy-Riemann-Gleichung
fx (a) =
ify (a)
(2)
erfüllen. In diesem Fall ist dies auch die komplexe Ableitung. œ
hhhhh
Ist f komplex differenzierbar in a , so gilt mit reellem h
f (a + h)
h
f 0 (a) = lim
h!0
f (a)
= fx (a).
Wir können aber auch Differenzenquotienten in rein imaginärer Richtung bilden.
Dann wird
f (a + ih) f (a)
ih
f (a + ih) f (a)
i lim
=
h
h!0
f 0 (a) = lim
h!0
=
Also gilt (2).
ify (a).
hhhhh
.Ò a. Für ein Monom p : z , z n = (x + iy)n gilt
px = nzn
1
py = inzn
,
1
,
und damit px = ipy .
b. Für die komplexe Konjugation
x
=1î
i
y
= i2 =
in jedem Punkt von C . Also ist
: z , z̄ = x
iy gilt
1
nirgends komplex differenzierbar.
126
6 — Fu nkti onen the o r ie
c. Die Funktion q : z , |z|2 = x 2 + y 2 ist nur in z = 0 differenzierbar,
denn für z î 0 ist
qx = 2x î
iqy =
2iy.
d. Ist allgemeiner f komplex differenzierbar und nicht konstant, so ist f¯
nicht komplex differenzierbar. Ò.
Die Cauchy-Riemann-Gleichung lässt sich auch wie folgt interpretieren. Mit
x=
z + z̄
,
2
y=
z
z̄
2i
wird
@f
@f @z
@f @y
1 @f
=
+
=
@ z̄
@x @ z̄
@y @ z̄
2 @z
1 @f
.
2i @y
Somit sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen äquivalent mit
@f
= 0.
@ z̄
Eine Funktion f ist also komplex differenzierbar genau dann, wenn sie keine
Funktion von z̄ , sondern nur von z ist.
.Ò Beispiel
Die Konjugation und Betragsquadratfunktion,
z , z̄,
z , |z|2 = zz̄
sind Funktionen von z̄ und daher nicht komplex differenzierbar. Ò.
Üblicherweise stellt man die Cauchy-Riemann-Gleichungen allerdings mit
dem Real- und Imaginärteil der Funktion f dar. Vergleich von
fx = ux + ivx ,
ify =
vy + iux
führt zu dem
6
Satz Eine Funktion f = u + iv : C ,! C mit reellen Funktionen u, v ist im
Punkt a komplex differenzierbar genau dann, wenn sie dort die reellen
Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt:
ux = v y ,
.Ò Beispiel
uy =
vx .
œ
(3)
Für die komplexe Konjugation ist
u(x, y) = x,
v(x, y) =
Es ist zwar uy = 0 = vx , aber
ux = 1 î v y =
1.
y.
Di ffe re n z i e r b a r k e i t — 6.2
Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein müssen, ist
differenzierbar. Ò.
127
nicht komplex
Bemerkung Komplexe Differenzierbarkeit impliziert also reelle Differenzierbarkeit. Die Umkehrung gilt jedoch nur, wenn die Cauchy-Riemann-Gleichungen (3) erfüllt sind. Dies ist eine ganz wesentliche Einschränkung. Wie wir
bald sehen werden, folgt hieraus die Existenz aller Ableitungen. Insbesondere
gilt dann zum Beispiel
uxx + uyy = vyx
vxx + vyy = uxy
vxy = 0,
uyx = 0.
Das heißt, Real- und Imaginärteil einer komplex differenzierbaren Funktion sind
notwendigerweise harmonische Funktionen. «
Konstante Funktionen
Es folgen noch zwei Sätze, wann holomorphe Funktionen konstant sind.
Der erste ist offensichtlich.
7
Satz Sei ⌦ ein Gebiet in C und f : ⌦ ! C holomorph. Dann ist f auf ⌦
konstant genau dann, wenn f 0 = 0 auf ⌦ . œ
hhhhh Ist f auf ⌦ auf holomorph mit f 0 = 0 , so ist f auf ⌦ als Teilmenge
von R2 auch reell differenzierbar mit Df = 0 . Die Behauptung folgt somit aus
dem entsprechenden reellen Satz. Die Umkehrung ist trivial. hhhhh
Der zweite Satz ist da interessanter.
8
Satz Ist ⌦ ein Gebiet in C und f : ⌦ ! C holomorph, so sind folgende
Aussagen äquivalent.
(i) f ist konstant.
(ii) Re f ist konstant.
(iii) Im f ist konstant.
(iv) |f | ist konstant. œ
hhhhh Es ist klar, dass (i) alle übrigen Aussagen impliziert. Um alles Andere
zu zeigen, sei f = u + iv .
(ii))(i) Ist Re f konstant, so ist ux ⌘ 0 und uy ⌘ 0 . Aus den CauchyRiemann-Gleichungen folgt dann auch f 0 ⌘ 0 und damit die Behauptung 7 .
(iii))(i) Analog.
128
6 — Fu nkti onen the o r ie
2
(iv))(i) Nach Annahme ist auch |f | = u2 + v 2 = c konstant. Differenziation ergibt dann
uux + vvx ⌘ 0,
uuy + vvy ⌘ 0.
Mit den Cauchy-Riemann-Gleichungen folgt hieraus
uvy + vvx ⌘ 0,
uvx + vvy ⌘ 0.
Multiplikation mit u respektive v und Addition ergibt
(u2 + v 2 )vy = cvy ⌘ 0.
Analog erhält man
(u2 + v 2 )vx = cvx ⌘ 0.
Ist nun c = 0 , so ist sowieso f ⌘ 0 . Andernfalls folgt wieder mit den CauchyRiemann-Gleichungen f 0 ⌘ 0 und damit die Konstanz von f . hhhhh
Der komplexe Logarithmus
Wir benötigen noch eine weitere ›elementare‹ komplexe Funktion, den
komplexen Logarithmus. Im Reellen ist der Logarithmus die Umkehrfuntkion
der Exponenzialfunktion. Ist also y = ex , so ist
x = log y
diejenige reelle Zahl, für die ex = y gilt 2 . Dieser ist wohldefiniert für alle
y > 0.
Wir wollen den Logarithmus auch für komplexe Argumente definieren. Für
z î 0 haben wir die Polardarstellung
z = |z| e i' = elog|z| e i' = elog|z|+i' ,
wobei man
' = arg z
das Argument von z nennt. Dieses Argument ist allerdings nicht eindeutig
definiert, sondern nur modulo 2⇡ . Das heißt, mit ' ist auch ' + 2⇡ n für
jedes n 2 Z ein Argument von z . Um eine stetige Umkehrfunktion der Exponenzialfunktion zu erhalten, müssen wir daher ein Intervall
'0 < ' ‡ '0 + 2⇡
2
Hier und auch sonst bezeichnet ›log‹ immer den reellen Logarithmus zur Basis e .
Di ffe re n z i e r b a r k e i t — 6.2
Abb 1
129
Zum komplexen Logarithmus
y
'0 + 2⇡
z
S
|z|
'
'0
'0
x
für das Argument fixieren. Dies bestimmt einen sogenannten Zweig des komplexen Logarithmus: 3
ln z Õ log |z| + i arg z,
'0 < arg z ‡ '0 + 2⇡ .
Geometrisch bedeutet dies, dass wir die komplexe Ebene entlang eines Strahls
im Winkel '0 aufschneiden und das Argument im verbleibenden Gebiet ›von
'0 aus‹ messen – siehe Abbildung 1. Das Bild dieses Gebietes unter ln ist der
Streifen
S = {z = x + iy : x 2 R, '0 < y ‡ '0 + 2⇡ } .
Dieser Zweig des Logarithmus ist also die Umkehrfunktion von exp eingeschränkt auf S . Entsprechend den Sätzten über Umkehrfunktionen ist dieser
Zweig stetig differenzierbar, also holomorph, und für jeden Zweig des Logarithmus gilt
(ln z)0 =
1
.
z
Im Allgemeinen werden wir uns aber auf den Hauptzweig des Logarithmus
beziehen, wo '0 = ⇡ . Dort ist also
ln z Õ log |z| + i arg z,
⇡ < arg z ‡ ⇡ .
.Ò Beispiele für Logarithmen auf dem Hauptzweig
Für reelles r > 0 ist
ln(r ) = log r
genau der reelle Logarithmus, und
ln( r ) = log r + i⇡ .
3
Mit ›ln‹ bezeichnen wir immer einen Zweig des komplexen Logarithmus.
130
6 — Fu nkti onen the o r ie
Wegen i = e i⇡ /2 ist
ln(i) = i⇡ /2.
Ferner ist
p
ln(2 + 2i) = 3 log 2 + i⇡ /4.
Ò.
Wichtig ist zu beachten, dass wegen der Einschränkung des Arguments
auf ein festes 2⇡ -Intervall die Fundamentalgleichung für den komplexen Logarithmus im Allgemeinen nicht mehr gilt. Es ist also ln(zw) im Allgemeinen
nicht dasselbe wie ln(z) + ln(w) .
6. 3
De r Cau ch y s ch e I ntegra lsatz
Für die weitere Entwicklung der Theorie benötigne wir das Integral einer
Funktion f : C ,! C entlang einer Kurve
in C . Schreiben wir
(t) = z(t) = x(t) + iy(t),
f (z) = u(z) + iv(z),
so erhalten wir formal
Z
Z
f (z) dz = (u + iv)(dx + i dy)
Z
Z
= (u dx v dy) + i (u dy + v dx).
Die am Schluss stehenden Integrale sind vertraute Kurvenintegrale reeller Funktionen in der rellen Ebene. Dies nehmen wir daher zum Anlass für folgende
Definition.
Definition Das Integral einer stetigen komplexwertigen Funktion entlang einer
regulären Kurve
in C ist definiert als
Z
Z
Z
f (z) dz Õ (u dx v dy) + i (u dy + v dx),
wobei
als Kurve in R2 aufgefasst wird. œ
Wählen wir eine Parametrisierung
z(t) = x(t) + iy(t),
t 2 I = [a, b] ,
D e r Ca uch y sc h e I nt e g r a l s a t z — 6.3
der Kurve
Z
, so wird dies zu
Zb
f (z) dz =
(uẋ
a
=
Mit
Zb
v ẏ) dt + i
Zb
a
a
(u + iv)ẋ + (u
a
(u + iv)(ẋ + i ẏ) dt
=
Zb
=
a
Zb
(uẏ + v ẋ) dt
131
(4)
iv)ẏ) dt
f (z(t))ż(t) dt.
: [a, b] ! C , t , z(t) gilt also
Z
Zb
f (z) dz =
f (z(t))ż(t) dt
a
ganz so wie bei reellen Kurvenintegralen.
.Ò Beispiel
Wir betrachten die Kreislinie
@Dr (z0 ) = z : |z
z0 = r |
standardmäßig als einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene geschlossene
Kurve. Dann gilt
8
Z
< 0,
n î 1,
n
(z z0 ) dz =
: 2⇡ i, n = 1.
@Dr (z0 )
Denn mit der Standardparametrisierung
: [0, 2⇡ ] ! C,
(t) = z0 + r e it
wird dz = ir e it dt und
Z
Z 2⇡
Z 2⇡
(z z0 )n dz =
r n e int ir e it dt = ir n+1
e i(n+1)t dt.
@Dr (z0 )
Für n =
0
0
1 wird dies zu
Z 2⇡
i
dt = 2⇡ i.
0
Für n î
1 besitzt der Integrand die 2⇡ -periodische Stammfunktion
1
e i(n+1)t ,
i(n + 1)
und das Integral verschwindet. Ò.
132
6 — Fu nkti onen the o r ie
Bemerkung Im Fall n = 1 existiert zwar lokal eine Stammfunktion
ln(z z0 ) , doch ist diese nicht stetig auf C ÿ {z0 } . Egal welchen Zweig des komplexen Logarithmus man wählt, irgendwo muss man die komplexe aufschneiden
und damit eine Unstetigkeit einführen. «
Für das Kurvenintegral gelten dieselben Rechenregeln wie im Reellen. Es
ist also linear im Integranden, additiv bezüglich zusammengesetzter Integrationswege, und ändert sein Vorzeichen bei Umkehrung der Integrationsweges.
Ebenso gilt die
9
Dreiecksungleichung Ist f : C ,! C stetig und
Kurve im Definitionsbereich von f , so gilt
Z
f (z) dz ‡ L( ) kf k ,
wobei L( ) die Länge von
über die Spur von . œ
hhhhh
eine stetig differenzierbare
bezeichnet und kf k das Maximum von |f |
Mit einer Parametrisierung : [a, b] ! C ist ja
Z
Zb
f (z) dz ‡
|f ( (t))| |˙(t)| dt
a
‡ kf k
Zb
a
|˙(t)| dt = kf k L( ).
hhhhh
Der Cauchysche Integralsatz
Aus dem ersten Beispiel folgt aufgrund der Linearität des Kurvenintegrals
auch
Z
@Br (z0 )
(z) dz = 0
für jedes Polynom
= an zn + . . + a1 z + a0 . Dies bleibt auch im Limes gültig für
jede Potenzreihe . Und dies gilt auch noch, wenn man statt über Kreislinien
über beliebige geschlossene Kurven integriert. Dies führt zu folgendem Satz, der
die Grundlage bildet für alles Weitere in diesem Kapitel, und für einen wichtigen
Teil der gesamten Funktionentheorie.
10
Cauchyscher Integralsatz Sei ⌦ ⇢ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f : ⌦ ! C holomorph. Dann gilt
Z
f (z) dz = 0
für jede in ⌦ verlaufende reguläre geschlossene Kurve
. œ
D e r Ca uch y sc h e I nt e g r a l s a t z — 6.3
Abb 2
133
Verschiedene geschlossene Kurven in einem Gebiet
Bemerkung Für das Integral über geschlossene Kurven verwendet man
oft auch die klassische Schreibweise
I
f (z) dz. «
hhhhh Man kann den Cauchyschen Integralsatz recht elementar beweisen, und
sogar ohne die Annahme der Stetigkeit der ersten Ableitung. Ein kurzer Beweis
basiert auf dem Satz von Green, der für Vektorfelder in der Ebene aussagt, dass
Z
ZZ
F · d~
s=
rot F dA.
@⌦
⌦
Mit der Komponentendarstellung F = (g, h)> ist dies gleichbedeutend mit
Z
ZZ
g dx + h dy =
(hx gy ) dx dy.
⌦
@⌦
Bezeichnet ⌦ das von der Kurve
umschlossene Gebiet, so erhalten wir für
das Kurvenintegral von f mit (4) also
Z
Z
Z
f (z) dz =
u dx v dy + i
u dy + v dx
Z
Z
=
(uy + vx ) dx dy + i (ux vy ) dx dy.
⌦
⌦
Aufgrund der Cauchy-Riemann-Gleichungen sind beide Integranden Null, somit
Z
f (z) dz = 0
wie behauptet.
hhhhh
134
6 — Fu nkti onen the o r ie
Abb 3
Z
dz
Zu
z
⌦
i
i
Bemerkung Die Annahme, dass ⌦ einfach zusammenhängt, ist ganz
wesentlich. Wir haben ja bereits gesehen, dass
Z
dz
= 2⇡ i î 0.
|z|=r z
Hier ist ⌦ = C⇤ nicht einfach zusammenhängend, und die Kreislinie umrundet
den Pol von 1/z in z = 0 . «
Stammfunktionen
Für ein Vektorfeld im R2 ist die Existenz eines Potenzials nicht selbstverständlich, sondern setzt eine Interabilitätsbedingung voraus. Im Komplexen
entsprechen diese den Cauchy-Riemann-Gleichungen. Daher gilt hier ohne weitere Voraussetzung folgender
11
Satz Sei ⌦ ⇢ C ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f : ⌦ ! C
holomorph. Dann existiert zu f eine stetig differenzierbare Stammfunktion
F auf ⌦ , und diese ist bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt. œ
hhhhh Die Konstruktion ist dieselbe wie bei ebenen Vektorfeldern. Man fixiert
einen beliebigen Punkt a 2 ⌦ und setzt
Zz
F (z) =
f (w) dw
a
wobei man über einen beliebigen Weg von a nach z innerhalb von ⌦ integriert.
Die Funktion F ist wohldefiniert, da wegen des Cauchyschen Integralsatzes
D e r Ca uch y sc h e I nt e g r a l s a t z — 6.3
135
dieses Integral wegunabhängig ist. Im Komplexen können wir auch leicht nachrechnen, dass F eine Stammfunktion ist. Mit w(t) = z + th für 0 ‡ t ‡ 1
ist
Z z+h
Z1
F (z + h) F (z) =
f (w) dw =
f (z + th)h dt.
z
Also folgt mit h ! 0
F (z + h)
h
F (z)
=
Z1
0
0
f (z + th) dt !
Z1
0
f (z) dt = f (z).
hhhhh
Mit einer Stammfunktion können wir natürlich auch wieder Wegintegrale
berechnen:
Zz
z
f (w) dw = F .
a
a
.Ò Auf dem Gebiet ⌦ wie in Abbildung 3 ist der Hauptzweig des Logarithmus
eine Stammfunktion wohldefiniert. Also gilt
Z
i
dz
= ln z
z
i
= log |z| + i arg z
i
i
= i⇡ /2
i( ⇡ /2) = i⇡ .
Ò.
Berechnung reeller Integrale
Der Cauchysche Integralsatz hilft auch bei der Berechnung mancher reeller
Integrale. Als erstes Beispiel betrachten wir
Z1
sin t 2 dt.
0
Dies ist der negative Imaginärteil des Fresnelintegrals
Z1
Z1
Z1
2
e it dt =
cos t 2 dt i
sin t 2 dt.
0
0
0
Wir betrachten dazu das Integral der auf ganz C holomorphen Funktion
f : C ! C,
f (z) = e
z2
über den Rand des Dreiecks mit den Ecken 0 , r und r + ir . Mit den Bezeichnungen in Abbildung 4 gilt dann wegen des Integralsatzes
Z
Z
Z
f dz =
f dz +
f dz.
0
1
2
136
6 — Fu nkti onen the o r ie
Abb 4
r + ir
Integrationswege
im Fresnelintegral
0
2
1
0
r
Für das diagonale Randstück 0 gilt mit 0 (t) = t + it und (1 + i)2 = 2i
Z
Zr
2
lim
f dz = lim
e (t+it) (1 + i) dt
r !1
r !1 0
0
Z1
Z
1 + i 1 it 2
2
= (1 + i)
e 2it dt = p
e
dt.
2 0
0
Auf dem vertikalen Randstück
|e
Also ist
Z
(r +it)2
|=e
f dz ‡
2
‡
r 2 +t 2
Zr
0
Zr
0
2
haben wir mit z = r + it die Abschätzung
r 2 +r t
‡e
,
0 ‡ t ‡ r.
|f (r + it)| dt
e
r 2 +r t
dt =
e
r 2 +r t
r
t
‡
0
1
,
r
und dieses Integral verschwindet für r ! 1 . Für das horizontale Randstück
gilt schließlich
p
Z
Z1
⇡
2
lim
f dz =
e t dt =
.
r !1
2
0
1
0
Zusammengefasst erhalten wir
p Z1
Z1
2
1 ip
2
2
e it dt =
e t dt =
2⇡ .
1+i 0
4
0
Daraus folgt
Z1
0
sin t 2 dt =
Im
Z1
0
e
it 2
dt =
p
2⇡
.
4
Viele weitere Beispiele für die Berechnung reeller Integrale ergeben sich
später im Zusammenhang mit dem Residuensatz.
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