7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
117
5
50
100
150
200
250
-5
-10
-15
-20
Abbildung 7.1: Pfad einer Brownschen Bewegung
7.
Die Brownsche Bewegung
Definition 7.1. Ein cadlag stochastischer Prozess {Wt } mit W0 = 0, unabhängigen Zuwächsen und Wt hat eine N (0, t) Verteilung, heisst standard Brownsche
Bewegung. Ist {Wt } eine standard Brownsche Bewegung, so heisst Xt = mt+σWt ,
mit m ∈ IR und σ > 0 eine (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung.
Die Brownsche Bewegung hat ihren Namen vom schottischen Botaniker Robert
Brown, der die Bewegung von kleinen Teilchen unter dem Mikroskop beschrieb.
Wir wollen nun die Verteilung von Wt+s − Wt für s, t > 0 bestimmen. Wegen
den unabhängigen Zuwächsen erhalten wir die momentenerzeugende Funktion, siehe
Beispiel 2.10,
e(t+s)r
2 /2
= IIE[erWt+s ] = IIE[er(Wt+s −Wt ) erWt ] = MWt+s −Wt (r) etr
2 /2
.
2
Also gilt MWt+s −Wt (r) = esr /2 . Da die momentenerzeugende Funktion die Verteilung
eindeutig bestimmt (siehe auch Proposition 9.3), ist Wt+s − Wt normalverteilt mit
Mittelwert 0 und Varianz s. Somit hat eine Brownsche Bewegung auch stationäre
Zuwächse.
Aus der Theorie der Markovprozesse folgt, dass die Brownsche Bewegung exi√
stiert. Man sieht leicht, dass { aWt/a } auch eine standard Brownsche Bewegung
ist. Wir wollen nun zeigen, dass eine Brownsche Bewegung stetige Pfade hat.
Proposition 7.2. Eine Brownsche Bewegung {Wt } hat stetige Pfade.
118
Beweis.
s, ε > 0
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
Bezeichnen wir mit Φ(x) die Standard-Normalverteilung. Wir haben für
√
lim t−1 IIP[|Ws+t − Ws | > ε] = lim t−1 2(1 − Φ(ε/ t))
t↓0
t↓0
ε
2
= lim √
e−ε /(2t) = 0 ,
t↓0
2t3 π
wobei wir die Hôpital’sche Regel verwendet haben. Für jedes δ > 0 gibt es somit ein
t(δ) ≤ δ, so dass
IIP[|Ws+t(δ) − Ws | > ε] < δt(δ) .
Definieren wir nun τk = kt(δ) und
Nδ (n) =
n−1
X
1I{|W (τk+1 )−W (τk )|>ε} .
k=0
Wir bemerken, dass
Mδ (n) = Nδ (n) −
n−1
X
IIP[|Wτk+1 − Wτk | > ε]
k=0
ein Martingal ist. Sei T > 0. Wir definieren die beschränkte Stoppzeit
γδ = min{n : Nδ (n) = 1 oder τn > T } .
Aus dem Stoppsatz folgern wir
δ −1
δ −1
hγX
i
hγX
i
IIE[Nδ (γδ )] = IIE
IIP[|Wτk+1 − Wτk | > ε] ≤ IIE
δt(δ) = δIIE[τγδ ] ≤ δ(T + δ) .
k=0
k=0
Auf der Menge, auf der W einen Sprung grösser als 2ε vor dem Zeitpunkt T hat,
haben wir limδ→0 Nδ (γδ ) = 1. Somit hat diese Menge Wahrscheinlichkeit 0. Da ε
und T beliebig waren, folgt das Resultat.
Analog zu Hilfssatz 4.7 haben wir die folgenden Martingale.
Hilfssatz 7.3. Sei r ∈ IR. Folgende Prozesse sind Martingale
i)
{Wt } ,
ii)
{Wt2 − t} ,
iii)
{erWt −r
2 t/2
}.
Beweis. Dies folgt leicht aus den unabhängigen und stationären Zuwächsen des
Prozesses.
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
2
4
119
6
8
10
-1
-2
-3
Abbildung 7.2: Pfad des Prozesses Wt /t
Der Prozess {Wn : n ∈ IIN} ist eine Irrfahrt mit Mittelwert 0. Somit wissen
wir, dass {Wt } oszilliert, das heisst limt Wt = − limt Wt = ∞. Setzen wir für x > 0,
T x = inf{t : Wt > x}, so ist T x < ∞. Analog setzen wir für T−x = inf{t : Wt < −x},
was auch eine endliche Stoppzeit ist. Sei nun Tab = Ta ∧T b für a < 0 < b. Wir erhalten
dann aus dem Stoppsatz, dass {WTab ∧t } ein beschränktes Martingal ist. Aus dem
Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert WTab = limt→∞ WTab ∧t existiert. Wegen der
Beschränktheit folgt
0 = lim IIE[WTab ∧t ] = IIE[WTab ] = aIIP[WTab = a] + bIIP[WTab = b] .
t→∞
Somit haben wir
b
.
b−a
Aus dem starken Gesetz der grossen Zahl folgt, dass Wn /n → 0 für n → ∞. Wir
zeigen nun Wt /t → 0 für t → ∞.
IIP[WTab = a] =
Hilfssatz 7.4. Es gilt limt→∞ Wt /t = 0.
Beweis.
Sei n ∈ IIN. Dann gilt für a > 0
IIP[ sup
|Ws − Wn | ≥ a] = IIP[ sup |Ws | ≥ a] .
s∈(n,n+1]
s∈(0,1]
Der Prozess {Wt2 } ist ein Submartingal. Es folgt dann also aus Hilfssatz 6.2
IIP[ sup |Ws | ≥ a] = IIP[ sup Ws2 ≥ a2 ] ≤
s∈(0,1]
s∈(0,1]
IIE[W12 ]
= a−2 .
a2
120
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
Somit haben wir
∞
X
IIP[ sup
n=1
|Ws − Wn | ≥ nε] ≤
s∈(n,n+1]
∞
X
ε−2 n−2 < ∞ .
n=1
Also gilt nach dem Lemma von Borel–Cantelli, dass das Ereignis {sups∈(n,n+1] |Ws −
Wn | ≥ nε} nur endlich oft eintritt. Damit ist
Wbtc + |Wt − Wbtc |
Wt
≤ lim
≤ ε.
t→∞ t
t→∞
t
lim
Da ε beliebig ist, folgt limt Wt /t ≤ 0. Analog folgt limt Wt /t ≥ 0.
ft = tW1/t für t > 0, und W
f0 = 0. Dann ist {W
ft } eine
Hilfssatz 7.5. Sei W
standard Brownsche Bewegung.
ft } stetig in 0 ist.
Beweis. Lassen wir t ↓ 0, so folgt aus Hilfssatz 7.4, dass {W
ft } stetige Pfade. Da {Wt } unabhängige Zuwächse hat, hängt für s > t
Somit hat {W
fs − W
ft von der Vorgeschichte nur von W
ft ab. Wenn wir also zeigen,
der Zuwachs W
fs − W
ft bedingt auf W1/t eine N (0, t − s) Verteilung hat, dann hat {W
ft }
dass W
unabhängige Zuwächse. Die gemeinsame Dichte von (W1/t , W1/s ) ist
f (x, y) =
n y2
1
(x − y)2 o
p
exp − 21
+
.
1/s 1/t − 1/s
2π 1/s(1/t − 1/s)
Somit wird die bedingte Dichte von W1/s gegeben W1/t = x
s
n
s2
s2 xt 2 o
exp −
y−
.
2π(s − t)
2(s − t)
s
Das heisst, die bedingte Verteilung von W1/s ist eine Normalverteilung mit Mittelwert tW1/t /s und Varianz (s−t)/s2 . Für die momentenerzeugende Funktion erhalten
wir nun
IIE[exp{r(sW1/s − tW1/t )} | W1/t ] = exp{rstW1/t /s + 12 r2 s2 (s − t)/s2 − rtW1/t }
= er
2 (s−t)/2
ft } die geforderte Verteilung.
Somit hat {W
.
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
121
Wollen wir die Ableitung von Wt in t berechnen, erhalten wir
lim(Wt+s − Wt )/s = lim s(Wt+1/s − Wt ) = ∞ ,
s→∞
s↓0
wobei wir verwendet haben, dass {Wt } unabhängige und stationäre Zuwächse hat.
Analog folgt lims↓0 (Wt+s − Wt )/t = −∞. Also ist {Wt } in t nicht differenzierbar.
Es lässt sich sogar zeigen, dass {Wt } fast sicher in keinem Punkt Hölder-stetig der
Ordnung γ für jedes γ > 21 ist, siehe [4]. Daher folgt, dass die Brownsche Bewegung
fast sicher nirgends differenzierbar ist.
Korollar 7.6. Die (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung schneidet die t-Achse in jedem
Intervall [0, ε) unendlich oft.
Beweis. Aus Korollar 5.2 folgt, dass die Brownsche Bewegung {σt(W1/t + µ/σ)}
die t-Achse in jedem Intervall (ε−1 , ∞) unendlich oft schneidet. Dies ist äquivalent
zur Aussage.
Wir sehen also, dass T0 = T 0 = 0.
Sei nun {Xt } eine (m, σ 2 )-Brownsche Bewegung. Wir nehmen zuerst m < 0 an.
2
Dann konvergiert Xt nach −∞ und {e−2mXt /σ } ist ein Martingal. Sei x > 0. Wir
erhalten
2
2
2
1 = IIE[e−2mXT x ∧t /σ ] = e−2mx/σ IIP[T x ≤ t] + IIE[e−2mXt /σ ; T x > t] .
2
Der erste Term ist wachsend in t, der zweite Term ist durch e−2mx/σ beschränkt.
Somit können wir Grenzwert und Erwartungswert vertauschen, und erhalten für
t→∞
2
IIP[T x < ∞] = e2mx/σ .
Wir wollen nun die Ruinwahrscheinlichkeit in endlicher Zeit betrachten. Sei m ∈ IR
und x > 0. Dann erhalten wir
IIP[T x ≤ t] = IIP[ sup σsW1/s + ms > x] = IIP[ sup σWs /s + m/s > x]
0≤s≤t
s≥1/t
= IIP[ sup σWs − xs > −m]
s≥1/t
= IIE[IIP[ sup σ(Ws − W1/t ) − x(s − 1/t) > −m − (σW1/t − x/t) | W1/t ]]
s≥1/t
√
x − tm Z (x−tm)/(σ t)
√
1
2
2
√
+
e2x(m+(σy/ t−x/t))/σ √ e−y /2 dy
=1−Φ
σ t
2π
−∞
Z (x−tm)/(σ√t)
tm − x √
1
2
2
√
√ e−(y−2x/(σ t)) /2 dy
=Φ
+ e2mx/σ
σ t
2π
−∞
tm + x tm − x 2
√
=Φ
+ e2mx/σ Φ − √
.
σ t
σ t
122
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
Setzen wir m = 0 und σ = 1, so erhalten wir
√
IIP[ sup Ws > x] = 2Φ(−x/ t) = 2IIP[Wt > x] .
0≤s≤t
Diese Formel ist allgemein bekannt unter dem Namen Reflektionsprinzip. In der
Tat kann man wegen der Symmetrie den Pfad ab der Stelle wo x erreicht wird
spiegeln. Dann gehört zu jedem Pfad, der x erreicht und zum Zeitpunkt t in x − y
endet ein Pfad, der in x + y endet, da jeder dieser Pfade ja x zuerst erreicht. Damit
erhält man obige Formel.
Als nächstes beweisen wir die folgenden Abschätzungen der Standardnormalverteilung für x > 0
1
√ e−x
−1
(x + x ) 2π
2 /2
1
2
< IIP[W1 > x] < √ e−x /2 .
x 2π
(7.1)
Mittels partieller Integration erhalten wir
Z ∞
Z ∞
1
1 −y2 /2
1
1 −y2 /2
1
−x2 /2
IIP[W1 > x] = √
−√
ye
dy = √ e
e
dy .
2π x y
x 2π
2π x y 2
Die eine Richtung folgt, da der Integrand positiv ist. Die andere Richtung folgt aus
Z ∞
Z ∞
1
IIP[W1 > x]
1 −y2 /2
1
2
√
e
dy < √
e−y /2 dy =
.
2
2
x2
2π x y
x 2π x
Wir können nun das Gesetz vom iterierten Logarithmus beweisen.
Satz 7.7. Für eine standard Brownsche Bewegung gilt
Wt
lim √
=1.
t→∞
2t log log t
Bemerkung.
Wegen der Symmetrie folgt automatisch
lim √
t→∞
Wt
= −1 .
2t log log t
Sei α > 1 und tn = αn . Wir setzen f (t) = 2α2 log log t. Dann haben wir
h
i
h
i
p
p
IIP
sup Ws > tn f (tn ) ≤ IIP sup Ws > tn+1 f (tn )/α
tn <s≤tn+1
0<s≤tn+1
p
p
p
= 2IIP[Wtn+1 > tn+1 f (tn )/α] = 2IIP[Wtn+1 / tn+1 > f (tn )/α]
s
r
2
α
2α
≤√
e−f (tn )/(2α) =
n−α (log α)−α .
f
(t
)
πf
(t
)
2π
n
n
Beweis.
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
123
30
20
10
50
100
150
200
250
-10
-20
-30
Abbildung 7.3: Gesetz vom iterierten Logarithmus
P
n−α < ∞ gilt, haben
Für n gross genug ist dies beschränkt durch n−α . Da ∞
n=1p
wir aus dem Borel–Cantelli-Lemma, dass {suptn <s≤tn+1 Ws > tn f (tn )} nur endlich
p
p
oft eintritt. Somit gilt Wt > tf (t) ≥ tn f (tn ) nur auf endlich vielen Intervallen
(tn , tn+1 ]. Also haben wir
Wt
lim √
≤α.
t→∞
2t log log t
Da α > 1 beliebig war, folgt die obere Grenze.
Setze β = (α−1)/α und g(t) = 2β 2 log log t. Wir können annehmen, dass g(tn ) ≥
β. Wir haben tn − tn−1 = βtn . Es gilt dann g(tn )/β + β/g(tn ) ≤ 2g(tn )/β, und somit
p
p
tn g(tn )] = IIP[(tn − tn−1 )−1/2 (Wtn − Wtn−1 ) > β −1 g(tn )]
s
p
1
β −g(tn )/(2β)
= IIP[W1 > β −1 g(tn )] ≥ √
e
2 2π g(tn )
s
β
(log α)−β n−β .
=
8πg(tn )
IIP[Wtn − Wtn−1 >
Da die rechte Seite nicht summierbar ist, und die Ereignisse unabhängig sind, tritt
das Ereignis nach dem Borel–Cantelli-Lemma unendlich oft ein. Es gilt
lim
tn log log tn
=α.
log log tn−1
n→∞ tn−1
√
Wegen dem bereits gezeigten, gilt Wtn−1 > −(1 + ε)α−1/2 2tn log log tn für fast alle
n und alle ε > 0. Also schliessen wir dass für unendlich viele n
Wtn > −α−1/2
p
p
p
2tn log log tn + tn g(tn ) = (β − α−1/2 ) 2tn log log tn .
124
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
Also gilt
Wtn
1
α−1
lim √
−√ .
≥
n→∞
α
α
2tn log log tn
Lassen wir α → ∞, folgt die Aussage.
Für einen Prozess {Zt } definieren wir den Variationsprozess
n
nX
o
Vt = sup
|Zti − Zti−1 | ,
i=1
wobei wir das Supremum über alle 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t und alle n nehmen.
Wir sagen, {Zt } hat endliche Variation, falls Vt < ∞ für alle t.
Wir schreiben nun
n
nX
o
Z t = sup
(Zti − Zti−1 )+
i=1
und
n
nX
o
(Zti − Zti−1 )− .
Z t = Z t − (Zt − Z0 ) = sup
i=1
Die Prozesse {Z t } und {Z t } sind dann wachsend, Zt = Z0 + Z t − Z t und Vt =
Z t + Z t . Sind {At } und {Bt } zwei wachsende Prozesse mit A0 = B0 = 0, so dass
Zt = Z0 + At − Bt , so gilt At ≥ Z t und daher auch Bt ≥ Z t . Dies folgt aus
Zti − Zti−1 = Ati − Ati−1 − (Bti − Bti−1 ) ≤ Ati − Ati−1 .
Betrachten wir nun die Brownsche Bewegung. Wir haben
IIE
2n
hX
i
(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 = t
i=1
und
2n
hnX
o2 i
2
IIE
(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )
i=1
2n n
o
X
=
IIE[(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )4 ] − IIE[(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 ]2
i=1
n
+
n
n
2 X
2
X
IIE[(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 ]IIE[(Wj2−n t − W(j−1)2−n t )2 ]
i=1 j=1
−n 2
= 2 {3 − 1}(2
t) + (2n 2−n t)2 = t2 (1 + 2−n+1 ) .
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
125
Wir schliessen daraus, dass
IIE
2n
hnX
o2 i
(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 − t
= 2−n+1 t2
i=1
und damit aus der Chebychev-Ungleichung
2n
hX
i
t2
IIP (Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 − t > ε ≤ 2−n+1 2 ; .
ε
i=1
Da letzterer Ausdruck summierbar ist, folgt aus dem Borel–Cantelli-Lemma, dass
2n
X
2
(Wi2−n t − W(i−1)2−n t ) − t > ε
i=1
nur für endlich viele n gilt. Also konvergiert
folgt nun
P2n
i=1 (Wi2−n t
n
2
X
i=1
− W(i−1)2−n t )2 nach t. Es
n
−1
|Wi2−n t − W(i−1)2−n t | ≥ (sup |Wi2−n t − W(i−1)2−n t |)
i
2
X
(Wi2−n t − W(i−1)2−n t )2 .
i=1
Da die Pfade stetig sind, folgt dass supi |Wi2−n t − W(i−1)2−n t | gegen Null konvergiert.
Das heisst, die Brownsche Bewegung hat unendliche Variation.
P
Aus der Stetigkeit der Pfade folgt, dass der Grenzwert von ni=1 (Wti − Wti−1 )2
nicht von der Wahl von {tk } abhängt, solange supk (tk − tk−1 ) → 0. Somit haben wir
Qt = lim
n
n
X
(Wti − Wti−1 )2 = t .
i=1
Der Prozess {Qt } heisst quadratische Variation.
126
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG
© Copyright 2025 ExpyDoc
