1 ¡ t - SUUGAKU.JP

年番号
1
次の式を展開したとき，a5¡k bk の項の係数を Ck とする．ただし，k = 0; 1; Ý; 5 とする．
3
氏名
次の 2 つの放物線
5
(5a + 12b)
y = x2 + 2x ¡ 4;
(1) 係数 C2 に対して，
log10 C2 =
タ
y = ¡x2 + 2x + 2
を考える．
log10 2 +
log10 3 +
チ
ツ
が成り立つ．
C
(1) 2 つの放物線の交点における x 座標は，§
ハ
である．
(2) 2 つの放物線で囲まれた図形の面積は，
C
フ
ヒ
である．
（山口東京理科大学 2016 ）
(2) 2 つの係数 C3 ; C4 に対して，
log10 C4 ¡ log10 C3 =
テ
log10 2 +
ト
log10 3 ¡
ナ
が成り立つ．
（山口東京理科大学 2016 ）
4
ある製品を工場 A および工場 B で製造している．工場 A の製品には 4 %，工場 B の製品には
5 % の不良品がそれぞれ含まれる．工場 A と工場 B の個数を 5 : 7 の割合で混ぜた大量の製品の
2
空間において，3 点 A(1; 1; 2)，B(¡1; ¡1; 0)，C(0; ¡1; ¡1) を定める．点 P が 2 点 A，
中から 1 個の製品を取り出す．
B を通る直線上の点であれば，実数 t を用いて，
(1) 取り出した製品が不良品である確率は，
¡
!
¡!
¡!
CP = (1 ¡ t)CA + tCB
ニ
;
P(¡
ヌ
コ
ケ
サ
シ
である．
(2) 取り出した製品が不良品であったとき，それが工場 A の製品である確率は，
¡
!
と表される．このとき，点 P が CP の長さを最小にするとき，t の値，点 P の座標について，
t=
ク
; ¡
ネ
;
ノ
ス
セ
ソ
で
ある．
（山口東京理科大学 2016 ）
)
である．
（山口東京理科大学 2016 ）
5
7
次の各問いに答えよ．
p
(1) 円に内接する四角形 ABCD において，AB = 1+ 3，BC = CD，DA = 2，また ÎDAB = 60±
の中に答を入れよ．
(1) 2 つの関数 f(x) = x ，g(x) = ax + a2 + 3a + 1 がある．g(0) > f(0) となるとき，a の
である．四角形 ABCD の対角線の交点を P，ÎBCD の二等分線と辺 AB との交点を Q，BD と
とりうる値の範囲は
CQ の交点を R とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
交点をもつとき，a のとりうる値の範囲は
である．また，y = f(x) のグラフと y = g(x) のグラフが 2 つの
ア
イ
である．
(2) 次のデータは，5 個の乾電池について，ある実験で用いたときの持続時間 x を調べたものである．
‘ 辺 BD の長さを求めよ．
’ ÎABD の大きさを求めよ．
103; 93; 98; 88; 108（時間）
“ 辺 BP の長さを求めよ．
” 三角形 PQR の内接円の半径を求めよ．
x の平均値は
(2) 自然数 n に対して，n を 3 で割った余りを an ，n 2 を 3 で割った余りを bn とするとき，以下の
の式で表すと an =
エ
である．
オ
であり，an < 0 を満たす最小の自然数 n の値を求めると n =
カ
である．
n=1
m
P
(an+2 + bn+1 + 2an ) = 2016 を満たす自然数 m の値を求めよ．
(4) x と y は 0 < x < y，log2 x + 2 log4 y = 1，(log2 x)(log4 y) = ¡6 を満たす．s = log2 x，
n=1
t = log2 y とおき s + t と st の値を求めると (s + t; st) =
(3) O を原点とする座標平面上に，次のような双曲線 C と直線 `k（ k は実数の定数）が与えられて
を求めると (x; y) =
いるとき，以下の各問いに答えよ．
y2
x2
C:
¡
= ¡1
4
3
時間であり，x の分散を求めると
(3) a1 = 99，an+1 = 2an ¡ 100 (n = 1; 2; Ý) で定義される数列 fan g について，一般項 an を n
各問いに答えよ．
2016
P
‘
(an + bn ) の値を求めよ．
’
ウ
ク
キ
である．また，x と y の値
である．
（南山大学 2016 ）
`k : 3x ¡ 4y + k = 0
‘ C と `k が接するような k の値を求めよ．
’ C 上の点と直線 `0 : 3x ¡ 4y = 0 の距離の最小値を求めよ．
（日本医科大学 2016 ）
8
O を原点とする座標空間に 4 点 A(2; 0; 4)，B(0; 4; 0)，C(3; 1; 0)，D(¡1; 0; 1) がある．
(1) ÎBCD を求めよ．
6
座標平面上の 2 点 P(t; t2 )，Q(t ¡ 5; t2 ¡ 4t + 2) に対して，t が 1 5 t 5 3 の範囲を動くとき，
以下の各問いに答えよ．
(1) 線分 PQ を表す直線の方程式および定義域を，t を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2) 線分 PQ が通過する範囲 D を求め，図示せよ．
（日本医科大学 2016 ）
(2) 4BCD の面積 S を求めよ．
(3) A，B，C，D を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
（南山大学 2016 ）
9
11 次の
a を正の実数とし，数列 fan g を次で定義する．
a1 = a;
an+1
2
=1+
an
の中に答を入れよ．
(1) 放物線 C1 : y = x2 +ax+8 を x 軸方向に 5 だけ平行移動した放物線 C2 の方程式は y =
(n = 1; 2; 3; Ý)
である．C2 を y 軸に関して対称移動した放物線が C1 に一致するとき，定数 a の値を求めると
a=
このとき，次の問いに答えよ．
(1) a2 ; a3 ; a4 をそれぞれ分子と分母が a の整式となっている分数式で表せ．
(2) 数列 fbn g を bn = (¡1)n a1 a2 Ýan により定めるとき，b1 ; b2 ; b3 ; b4 をそれぞれ a を用いて
表せ．
(3) bn+1 と bn を用いて bn+2 を表せ．
(4) 数列 fcn g を cn = bn+1 ¡ bn により定めるとき，n と a を用いて cn を表せ．
(5) a = 1 のとき，bn を n を用いて表せ．また，an を n を用いて表せ．
イ
である．
(2) 455 と 273 の最大公約数は
ウ
である．また，方程式 455x + 273y = 2821 を満たす自然
数の組 (x; y) をすべて求めると (x; y) =
エ
である．
(3) 0 < µ < ¼ とする．方程式 cos 2µ ¡ sin µ = 0 を解くと µ =
p
sin 2µ ¡ cos 2µ ¡ 6 sin µ + 1 = 0 を解くと µ = カである．
10 放物線 C : y = x2 と直線 ` : y = kx + k (k > 0) に対し，放物線 C と直線 ` の 2 個の交点を
A(a;
b2 )
オ
(4) 3 つのさいころを同時に投げる．このとき，出る目の積が奇数になる確率は
る目の積が 4 以上の偶数になる確率は
ク
であり，方程式
キ
であり，出
である．
（南山大学 2016 ）
（立教大学 2016 ）
a2 )，B(b;
ア
12 関数 f(x) = xex と曲線 C : y = f(x) を考える．
(a < b) とする．さらに，点 A における放物線 C の接線を m1 ，点 B に
(1) 導関数 f0 (x) を求めよ．
おける放物線 C の接線を m2 とする．このとき，次の問いに答えよ．
(2) C 上の点 (t; tet ) における C の接線の方程式を求めよ．
(1) 直線 m1 の方程式を a を用いて表せ．また，直線 m2 の方程式を b を用いて表せ．
(3) 2 つの直線 m1 と m2 の交点を D(p; q) とするとき，p と q のそれぞれを k を用いて表せ．
1
(3) C の接線で点 # ; 0; を通るものを求めよ．
2
Z
(4) 不定積分
f(x) dx を求めよ．
(4) 放物線 C と直線 ` で囲まれた図形の面積 T を k を用いて表せ．
(5) (3) で求めた接線のうち，接点の x 座標が
(2) a と b をそれぞれ k を用いて表せ．
(5) 2 点 E(a; q)，F(b; q) をとる．三角形 AED と三角形 BFD の面積の和 S を k を用いて表せ．
S
を求めよ．
また
T
（立教大学 2016 ）
x=
1
より大きいものを ` とするとき，C と ` と直線
2
1
とで囲まれた部分の面積 S を求めよ．
2
（南山大学 2016 ）

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