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20150514
信号処理システム特論
本日の内容
○ （固定係数）ディジタルフィルタ
‐Z領域表現と周波数特性
○ フィルタの構成法
○ フィルタの分類
準備）Ｚ変換
•Z 変換
– 離散的な時系列の特性を解析する手法の一つ
– x (n) は離散時間信号
x(n) = {x(−∞),..., x(−1), x(0), x(1), ..., x(∞) } ←実数
Z変換と逆Z変換の定義
X ( z) =
↑
複素数
∞
−n
x
(
n
)
⋅
z
∑
n = −∞
1
n −1
⋅
z
z
dz
X
x ( n) =
(
)
∫c
2πj
z −1 は１サンプル時間遅れを表す演算子
Z変換の性質
−m
 mサンプルの時間遅れ： x(n − m) ⇔ X ( z ) z
 時間領域での畳み込み演算＝ Z領域での積演算
y ( n) = x ( n) ∗ h( n) ⇔ Y ( z ) = X ( z ) ⋅ H ( z )
ディジタルフィルタの概要
x(n)
ディジタル
フィルタ
y(n)
フィルタ：様々な信号の中から，所望の信号を取り出すもの
用途：雑音除去，信号の帯域制限など
構成要素：加算器，乗算器，遅延器
ディジタルフィルタの構成
入出力差分方程式
M
N
i =0
l =1
y (n) = ∑ ai x(n − i ) − ∑ bl y (n − l )
ai , bl : フィルタ係数
(ここでは実数と仮定する）
IIRディジタルフィルタの直接型構成
フィルタの構成要素
x(n)
(a) 乗算器
a
y(n)
y(n) = a x(n)
y(n)
x(n)
z –1
(c) 遅延器
y(n) = x(n–1)
伝達関数と周波数特性(1)
差分方程式
M
N
i =0
l =1
y (n) = ∑ ai x(n − i ) − ∑ bl y (n − l )
Ｚ変換
伝達関数
M
A( z )
=
H ( z) =
B( z )
∑a
i =0
N
i
z
1 + ∑ bl z −l
=C
l =1
z=e
∏ (1 − β
( )
( )
jω
Ae
=
jω
Be
M
l
z −1
)
)
=Cz
∏ (z − α )
∏ (z − β )
l
l =1
T = 1 / fs = 1を仮定）
∏ (1 − α e )
M
− jiω
1 + ∑ bl e − jlω
i
− ( N − M ) i =1
N
α i : 零点， β l : 極， C : 定数
j ωT
i =0
l =1
z
M
l =1
∑ ai e
N
−1
i
i =1
N
（ただし，ここでは
周波数特性
H ( e jω ) =
∏ (1 − α
M
−i
=C
i
i =1
N
∏ (1 − β
l =1
− jω
e
l
)
∏ (e
M
− jω
=C
jω
− αi
i =1
N
)
∏ (e ω − β )
j
l
l =1
伝達関数と周波数特性(2)
振幅特性
( )
( )
A e jω
jω
H (e ) =
=
jω
Be
M
∑ ai e
i =0
N
1 + ∑ bl e − jlω
l =1
ここで，e jω − α i = Ai e jφi
∏ (1 − α e )
M
− jiω
=C
i
i =1
N
∏ (1 − β e )
θ (ω ) = arg{H (e
jω
l
l =1
e jω − β i = Bi e jψ i と置くと，
)}= −(M − N )ω + ∑ φ −∑ψ
M
i =1
群遅延特性
=C
− jω
位相特性
M
i
N
M
− jiω
− jlω 
a
i
e
b
l
e
∑ i
∑
l


 i =0

l =1
−
τ (ω ) = − Re M

N
 ∑ ai e − jiω 1 + ∑ bl e − jlω 


l =1
 i =0

i =1
i
∏ (e
jω
− αi
)
∏ (e
jω
− βl
)
M
− jω
i =1
N
l =1
Ｚ平面の意味
z = e jωT の軌道
Z平面
z=e
j ωT
= cos ωT + j sin ωT
大きさは１
ωT
0
ω =0
-1
ωT = −π
cos ωT
ωT = 2πf / fs
ωT = π / 2
e jω1
ωT = π
j sin ωT
Im
j
ωT = −π / 2
ωT
1
Re
フィルタの周波数特性
Im
(
H e jπ / 2
)
e j ωT
( )
He
(
H e − jπ
( )
H e j0
jπ
ωT
)
(
H e − jπ / 2
)
Re
単位円上のH(z)の値が
周波数特性
極・零点と周波数特性の関係
周波数特性
( )
( )
jω
Ae
=
H ( e jω ) =
jω
Be
M
∑a e
i
i =0
∏ (1 − α e )
M
− jiω
=C
N
1 + ∑ bl e − jlω
l =1
i
∏ (1 − β
l
e − jω
)
j
= C e− j ( N −M )
i
i =1
N
∏ (e ω − β )
j
l
l =1
l =1
e jω − α i = Ai e jφi
Im
β1
B
×ψ 1 1
i =1
N
(e ω − α )
∏
ω
M
− jω
e jω − β l = Bl e jψ l
φ1
A1
○
α1
振幅：各極・零点と単位円までの距離の比
M
B2
A2
Re
φ2
β2
×ψ 2
α
○
2
○：零点，×：極
H ( e jω ) = C
∏A
i
i =1
N
∏B
l
l =1
位相：偏角の総和
M
N
i =1
l =1
θ (ω ) = ∑ φi −∑ψ l
極と零点の意味
極：分母＝0の解 ⇒ H（ｚ）の山
零点：分子＝0の解 ⇒ H（ｚ）の谷
極
○
零点
1
×
対数振幅特性
×
H ( z = e jω )
○
→ f
• 極の配置とシステムの安定性
– 極の位置が単位円内 ⇒ システムは安定
単位円外 ⇒ システムは不安定
– 極が単位円に接近 ⇒ 周波数特性上に強いピーク
分母1次のIIRフィルタ（単一極フィルタ）の例
X(z)
Y(z)
1
(1 − β1 z −1 )
Y ( z) =
1
(1 − β1 z −1 )
X ( z)
Y ( z ) = X ( z ) + β1 z −1Y ( z )
x(n)
(1 − β1 z −1 ) Y ( z ) = X ( z )
y (n) = x(n) + β1 y (n − 1)
+
y(n)
β1
z −1
フィードバック信号は β1 倍（極倍）される ⇒ | β1 | ≥ 1 だと発散する
（振動する場合もある）
フィルタの安定判別法
１次のフィルタ
２次のフィルタ
y (n) = a0 x(n) + a1 x(n − 1) − b1 y (n − 1)
y (n) = a0 x(n) + a1 x(n − 1) + a2 x(n − 2)
− b1 y (n − 1) − b2 y (n − 2)
安定な係数の範囲
安定な係数の範囲
| b1 | < 1
b2
1
-2
2
-1
３次以上のフィルタでは？
M
N
i =0
l =1
y (n) = ∑ ai x(n − i ) − ∑ bl y (n − l )
b1
（安定三角形）
Ｎ次フィルタの安定条件
∏ (1 − α
i
z −1
)
l
z −1
) (
M
H ( z) = C
i =1
N
∏ (1 − β
(
)(
)(
) (
) (
C 1 − α1 z −1 1 − α 2 z −1  1 − α M z −1
=
1 − β1 z −1 1 − β 2 z −1  1 − β N z −1
)
l =1
M
N
= ∑ Ci z + ∑
−i
i =0
M
= ∑ Ci z − i +
i =0
l =1
Dl
1 − β l z −1
D1
1 − β1 z −1
+
D2
1 − β 2 z −1
++
DN
1 − β N z −1
フィルタが安定である（発散や振動しない）条件は，
伝達関数H(z)のすべての極 β l (l = 1,2,..., N ) の絶対値が
| β l |< 1, l = 1,2,...N
を満たすこと
)
フィルタの安定判別の必要性
伝送路（ヘッドホン，スピーカー，室内，通信など）
元信号
X(z)
H (z )
H(z) X(z)
伝送路の影響
を受けた信号
伝送路の影響を受けた信号H(z)X(z)
元の信号X(z)を復元したい
1
G( z) =
H(z) X(z)
H ( z)
得られるのは
この信号
X(z)
G(z)は安定か?
*安定でないフィルタは基本的には使い物にならない！
フィルタの構成法
IIRフィルタの代表的な構成法
x(n)
a0
y (n)
x(n)
y (n)
a0
− b1
a1
a1
− b1
− b2
a2
a2
− b2
− bM
aM
aM
− bM
x(n)
a01
a02
a0 N
− b11
a11
− b12
a12
− b1N
a1N
− b21
a21
− b22
a22
− b2 N
a2 N
y (n)
各種構成法の特徴
係数語長の影響(１)
フィルタ係数を６ビットで表現した際の振幅特性
黒：直接形（無限語長），青：バイクワッド従属形（６ビット）
赤：バイクワッド並列（６ビット），黄緑：直接形（６ビット）
10
【設計仕様】
・サンプリング周波数：１０００Ｈｚ
・Ｌｏｗ通過域端周波数：２００Ｈｚ
・Ｈｉｇｈ通過域端周波数：３００Ｈｚ
・通過域リプル：１ｄＢ
・阻止域減衰量：４０ｄＢ
Magnitude Response [dB]
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0
50
100
150
200
250
300
Frequency [Hz]
350
400
450
500
係数語長の影響(２)
a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + a3 z −3 + a4 z −4 + a5 z −5 + a6 z −6
H ( z) =
1 + b1 z −1 + b2 z − 2 + b3 z −3 + b4 z − 4 + b5 z −5 + b6 z −6
直接形構成では，ある係数の変化が，
すべての極（あるいは零点）に影響
⇒ 特性に影響
直接形
バイクワッド従属形
a01 + a11 z −1 + b21 z −2 a02 + a12 z −1 + b22 z −2 a03 + a13 z −1 + b23 z −2
H ( z) =
⋅
⋅
−1
−2
−1
−2
1 + b11 z + b21 z
1 + b12 z + b22 z
1 + b13 z −1 + b23 z − 2
バイクワッド縦続形では，ある段の係数が変化しても，他の段の極
（あるいは零点）には影響を与えない ⇒ 特性への影響が少ない
信号処理システムにおける主な劣化要因
要因
劣化現象
入力信号の
量子化
雑音の発生
係数値の
有限語長化
周波数特性
の理論値から
の偏移
乗算結果の
丸め・切り捨
て量子化
加算器の
オーバフロー
＊
＊
不安定化
（発振）
＊
＊：ＩＩＲフィルタのみで発生
フィルタの色々な分類
インパルス応答によるフィルタの分類
1 n = 0
x ( n) = 
0 n ≠ 0
-3 -2 -1 0 1 2 3 → n
x(n)
インパルス応答
が有限長で0に
収束
FIRフィルタの場合
フィルタ
y (n)
インパルス応答
が無限に続く
IIRフィルタの場合
極・零点によるフィルタの分類
極・零フィルタ
∏ (1 − α
i
z −1
)
l
z −1
)
M
H ( z) = C
i =1
N
∏ (1 − β
極と零点によるスペクトル表現
極と零点を上手く使うことで
低次で急峻な特性を実現可
l =1
全極フィルタ
H ( z) =
極によるスペクトル表現
ピークの表現
⇒共振系の表現に適合
音声生成のモデル
ＡＲ(Auto Regressive)モデル
C
∏ (1 − β
N
l
z −1
)
l =1
全零フィルタ
M
(
H ( z ) = C ∏ 1 − α i z −1
i =1
)
零点によるスペクトル表現
高次数で急峻な特性も実現可
ＭＡ(moving Average)モデル
極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）
サンプリング周波数：1000Hz
ノッチ周波数：50Hz
0
-10
-30
-40
-50
-60
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
500
1
0.5
虚部
振幅 (dB)
-20
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0.5
0
実部
1
1.5
極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）
10
25
0
20
-10
15
-20
-30
10
5
0
-40
-5
-50
-10
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
500
0
1
1
0.5
0.5
0
虚部
虚部
極のみの特性
振幅 (dB)
振幅 (dB)
零点のみの特性
2
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
実部
1
1.5
200
300
周波数 (Hz)
0
-0.5
-1.5
100
400
500
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
実部
1
1.5
極・零と周波数特性の関係（ノッチフィルタを例として）
0
0
-5
振幅 (dB)
-10
-15
-15
-20
-30
40
-25
0
-10
-25
-20
100
200
300
周波数 (Hz)
400
45
50
周波数 (Hz)
55
60
500
1
0.5
虚部
振幅 (dB)
-5
0
-0.5
極と零点を近づけると
急峻な特性を実現できる
-1
-1.5
-1
-0.5
0.5
0
実部
1
1.5
極・零と周波数特性の関係（Combフィルタを例として）
0
-20
-30
-40
-50
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
500
1
0.5
虚部
振幅 (dB)
-10
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
実部
1
1.5
振幅特性の形状（リプルの有無）による分類
位相特性の種類による分類
 直線位相（線形位相）
ＦＩＲフィルタでのみ実現可，位相歪みなし
零点は，単位円に対して鏡像関係
 近似的直線位相
直線位相フィルタよりも低遅延で同等の振幅特性を実現可。
位相歪みはわずか
 最小位相
遅延時間は最小。遅延歪みは大
極・零点とも単位円内に存在
 最小位相系
遅延時間は最小位相よりも大きい。遅延歪みは大
極・零点とも単位円内に存在
ＦＩＲフィルタ vs ＩＩＲフィルタの比較
インパルス応
答の継続時間
FIR
(Finite Impulse Response)
IIR
(Infinite Impulse Response)
有限
無限
M
差分方程式
y (n) = ∑ ai x(n − i )
i =0
M
N
i =0
l =1
y (n) = ∑ ai x(n − i ) − ∑ bl y (n − i )
M
伝達関数
M
H ( z ) = ∑ ai z
−i
i =0
H ( z) =
∑a z
i =0
N
−i
i
1 + ∑ bl z −l
l =1
安定性
常に安定
注意が必要
直線位相
実現可能
困難
次数
高い次数が必要
比較的低い次数でＯＫ
直線位相フィルタの例
0.6
0
0.5
-10
0.4
-30
振幅
振幅 (dB)
-20
-40
0.3
0.2
-50
0.1
-60
0
-70
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
-0.1
0
500
10
5
20
15
n (sample)
30
25
15.5
0.5
虚部
群遅延 (サンプル)
1
15
0
30
-0.5
-1
14.5
0
-2
100
200
300
周波数 (Hz)
400
500
-1
0
実部
1
2
直線位相となる条件
インパルス応答が対象性をもつこと
対象となるパターンは以下の４つ
a0
aM
偶対象，M が偶数
a0
奇対象，M が偶数
a0
aM
偶対象，M が奇数
aM
a0
奇対象，M が奇数
aM
直線位相のメリット(1)
位相歪みがない
線形位相
ローパスフィルタ
＝
非線形位相
ローパスフィルタ
線形位相のフィルタでは，異なる周波数成分の信
号もすべて同じ時間だけ遅れて出力される。
⇒歪みなし
非線形位相のフィルタでは，各周波数成分によっ
て遅れ時間が異なる
⇒歪みの原因
直線位相のメリット(2)
システム間の同期が取りやすい
ノイズリダクションＡの回路（遅延器なし）
ノイズリダクションＡの出力
ノイズリダクションＢの回路（遅延器あり）
ノイズリダクションＢの出力
直線位相のメリット：位相歪みを生じない。
データ伝送，画像処理，脳波計測等では重要！
直線位相が重要でない場合もある
電話などでは最小位相フィルタ
⇒ 遅延時間重視
最小位相FIRフィルタの例
サンプリング周波数：1000Hz
通過域端周波数：100Hz
0
-10
0.2
振幅 (dB)
-20
0.15
-30
0.1
-40
0.05
-50
0
-60
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
500
-0.05
-0.1
0
15
10
30
20
n (sample)
50
40
1
0.5
10
虚部
群遅延 (サンプル)
20
5
0
50
-0.5
-1
0
0
100
300
200
周波数 (Hz)
400
500
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
実部
1
1.5

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